Test: Bijectivitate, optimizare și aplicații în științe (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor

Exerciții

Partea I – Bijectivitate

Exercițiul 1 (6 puncte)

Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Este funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=7-2x$, injectivă? b) Este funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-18x$, injectivă? c) Dar funcția $f:[9,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-18x$? d) Determină imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x-5$. e) Ce codomeniu trebuie ales pentru funcția de la punctul d) ca ea să devină bijectivă? f) Este funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{11\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{6}{x-11}$, strict descrescătoare pe domeniul ei?

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3+3x^2+12x-5$. a) Calculează $f^{\prime }$ și arată că funcția este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci injectivă. (3 p) b) Determină imaginea funcției. (2 p) c) Scrie concluzia despre bijectivitatea funcției $f$. (1 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:[0,+\infty )\to J$, $f(x)=\frac{5x}{x+2}$. a) Arată că $f^{\prime }(x)=\frac{10}{(x+2{)}^2}$, $x\ge 0$. (2 p) b) Arată că funcția $f$ este strict crescătoare pe $[0,+\infty )$. (2 p) c) Determină intervalul $J$ pentru care funcția $f:[0,+\infty )\to J$ este bijectivă. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-12x+40$, este injectivă." b) „Dacă o funcție are derivata strict pozitivă pe $(0,+\infty )$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=6$, atunci funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ nu este surjectivă." c) „Funcția $\mathcal{S}:(0,15)\to \mathbb{R}$, $\mathcal{S}(x)=x(30-2x)$, își atinge valoarea maximă pentru $x=10$." d) „Funcția $f:[-5,+\infty )\to [4,+\infty )$, $f(x)=4+\sqrt{2x+10}$, este bijectivă."

Partea a II-a – Probleme de optimizare

Exercițiul 5 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) O cutie cu capac, cu baza pătrată de latură $x$ decimetri și înălțimea $h$ decimetri, are volumul de $64$ dm³. a) Arată că aria totală a cutiei este $\mathcal{S}(x)=2x^2+\frac{256}{x}$, $x>0$. (3 p) b) Determină latura bazei pentru care aria totală este minimă. (3 p) c) Calculează aria minimă și înălțimea cutiei, cu unitățile lor, și fă proba restricției. (2 p)

Exercițiul 6 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Două țarcuri dreptunghiulare identice, alăturate, se împrejmuiesc cu $120$ de metri de plasă. Ele formează împreună un dreptunghi de lățime $2x$ metri și adâncime $y$ metri, despărțit printr-o plasă interioară de lungime $y$. a) Arată că aria totală împrejmuită este $\mathcal{S}(x)=\frac{240x-8x^2}{3}$ și scrie domeniul, justificând fiecare inegalitate. (3 p) b) Determină valoarea lui $x$ pentru care aria totală este maximă. (3 p) c) Scrie dimensiunile dreptunghiului total și aria maximă, cu unitatea ei, apoi fă proba restricției. (2 p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

Suma a două numere pozitive este $24$. Se caută cele două numere pentru care suma pătratelor lor este cea mai mică. a) Scrie mărimea de optimizat ca funcție de o singură variabilă și precizează domeniul. (2 p) b) Determină punctul critic și stabilește natura lui, cu semnul derivatei. (2 p) c) Scrie cele două numere și valoarea minimă a sumei pătratelor. (2 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+\frac{48}{x}$. a) Arată că $f^{\prime }(x)=\frac{3x^2-48}{x^2}$, $x>0$. (2 p) b) Determină punctul de minim al funcției $f$. (2 p) c) Arată că $f(x)\ge 24$, pentru orice $x>0$. (2 p)

Partea a III-a – Viteză, accelerație și modele din științe

Exercițiul 9 (6 puncte)

Un mobil se deplasează pe o axă după legea $x(t)=t^3-18t^2+81t$, unde coordonata este în metri, iar $t$ în secunde, $t\in [0,10]$. a) Determină viteza și accelerația, cu unitățile lor. (2 p) b) Determină momentele în care mobilul își schimbă sensul și pozițiile lui atunci. (2 p) c) Calculează distanța parcursă între $t=0$ și $t=9$ secunde și compar-o cu modulul deplasării $|x(9)-x(0)|$, explicând deosebirea. (2 p)

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră funcția $x:[0,4]\to \mathbb{R}$, $x(t)=t^4-18t^2+40$, care dă coordonata unui mobil, în metri, la momentul $t$, măsurat în secunde. a) Arată că $v(t)=4t^3-36t$, $t\in [0,4]$. (2 p) b) Determină momentele din intervalul $[0,4]$ în care viteza mobilului se anulează. (3 p) c) Calculează accelerația la $t=1$ și precizează dacă atunci mișcarea se iuțește sau se domolește. (3 p)

Exercițiul 11 (6 puncte)

Un mobil are viteza $v(t)=21-3t$ metri pe secundă, pentru $t\in [0,9]$ secunde. a) Determină accelerația mobilului, cu unitatea ei. (1 p) b) Determină momentul în care viteza se anulează și spune dacă mobilul își schimbă sensul acolo. (2 p) c) Determină intervalul pe care mișcarea se domolește și pe cel pe care se iuțește, cu justificare. (3 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Într-un experiment de laborator, adâncimea la care a pătruns un colorant într-un gel, în milimetri, la $t$ minute de la depunere, este $d(t)=12\ln (t+1)$, iar modelul este valabil pentru $t\in [0,20]$. a) Arată că $d^{\prime }(t)=\frac{12}{t+1}$ și că frontul de colorant înaintează pe tot intervalul. (2 p) b) Calculează ritmul de pătrundere la $t=2$ minute și la $t=5$ minute, cu unitățile lor. (3 p) c) Arată, cu derivata a doua, că ritmul scade pe tot intervalul, spune ce înseamnă asta și calculează adâncimea la momentul depunerii. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

Un mobil se deplasează pe o axă după legea $x(t)=-t^3+9t^2+48t$, unde coordonata este în metri, iar $t$ în secunde, $t\in [0,10]$. a) Determină viteza mobilului și momentul în care ea are valoarea cea mai mare. (3 p) b) Calculează viteza maximă și accelerația în acel moment, cu unitățile lor. (3 p) c) Determină momentul de oprire al mobilului. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Da. $f^{\prime }(x)=-2<0$ pe tot $\mathbb{R}$, care este interval, deci funcția este strict descrescătoare, prin urmare injectivă. b) **Nu.** $f(0)=0$ și $f(18)=324-324=0$: două argumente diferite cu aceeași valoare. c) **Da.** $f^{\prime }(x)=2x-18\ge 0$ pe $[9,+\infty )$, cu un singur zerou, în capătul $9$; un zerou izolat nu întrerupe stricta creștere, deci funcția este strict crescătoare acolo, prin urmare injectivă. d) Cum $e^x>0$ ia orice valoare pozitivă, $\mathrm{Im}f=\left(-5,+\infty \right)$; valoarea $-5$ nu se atinge, fiind doar limita la $-\infty$. e) Codomeniul $\left(-5,+\infty \right)$, adică chiar imaginea funcției — cu această alegere surjectivitatea este automată. f) Nu. Domeniul $\mathbb{R}\setminus \{11\}$ nu este interval, iar regula semnului se enunță pe un interval: $f(10)=-6$ și $f(12)=6$, deci valoarea crește când se trece de la $10$ la $12$. Funcția scade pe fiecare ramură separat, nu pe tot domeniul.

Exercițiul 2. (6 p) a) (3 p) $f^{\prime }(x)=6x^2+6x+12=6\left(x^2+x+2\right)$ (1 p). Trinomul din paranteză are $\Delta =1-8=-7<0$ și coeficient dominant pozitiv, deci este strict pozitiv pentru orice $x$ real; prin urmare $f^{\prime }(x)>0$ pe tot $\mathbb{R}$ (1 p). Domeniul fiind interval, funcția este strict crescătoare, deci injectivă (1 p). b) (2 p) Termenul dominant este $2x^3$, deci $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$; funcția fiind strict crescătoare și continuă, imaginea este $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$. c) (1 p) Imaginea coincide cu codomeniul propus, deci funcția este și surjectivă; fiind și injectivă, $f$ este bijectivă.

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Cu regula câtului, $f^{\prime }(x)=\frac{5(x+2)-5x}{(x+2{)}^2}=\frac{10}{(x+2{)}^2}$, pentru orice $x\ge 0$. b) (2 p) Numitorul $(x+2{)}^2$ este strict pozitiv pe $[0,+\infty )$, deci $f^{\prime }(x)>0$ acolo; domeniul fiind interval, funcția este strict crescătoare, prin urmare injectivă. c) (2 p) Capătul $0$ aparține domeniului și $f(0)=0$, deci paranteza de acolo este dreaptă (1 p). La $+\infty$, raportul a două funcții de gradul întâi tinde la raportul coeficienților dominanți, adică la $5$; valoarea $5$ nu se atinge, fiindcă $\frac{5x}{x+2}=5-\frac{10}{x+2}$, expresie strict mai mică decât $5$ pentru orice $x\ge 0$, deci paranteza este rotundă. Prin urmare $J=\left[0,5\right)$, iar $f:[0,+\infty )\to [0,5)$ este bijectivă (1 p).

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Fals. $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$ își schimbă semnul în $-2$ și în $2$, deci funcția urcă, coboară și urcă din nou. Concret, $f(-4)=-64+48+40=24$ și $f(2)=8-24+40=24$: două argumente diferite cu aceeași valoare. b) Adevărat. Funcția fiind strict crescătoare pe $(0,+\infty )$, toate valorile ei sunt mai mici decât limita de la capătul din dreapta, adică $f(x)<6$. Prin urmare numărul $10$ nu este valoarea funcției pentru niciun $x$, deci funcția nu este surjectivă pe $\mathbb{R}$. c) Fals. $\mathcal{S}(x)=30x-2x^2$, deci ${\mathcal{S}}^{\prime }(x)=30-4x$, care se anulează pentru $x=\frac{15}{2}=7,5$, cu semn plus înainte și minus după. Valoarea maximă se atinge deci în $7,5$, nu în $10$. d) Adevărat. Pentru orice $y\ge 4$, ecuația $4+\sqrt{2x+10}=y$ este echivalentă cu $\sqrt{2x+10}=y-4$, unde membrul drept este nenegativ. Ea are soluția unică $x=\frac{(y-4{)}^2-10}{2}\ge -5$. Fiecare element al codomeniului are astfel exact o preimagine în domeniu, deci funcția este bijectivă.

Exercițiul 5. (8 p) a) (3 p) Cutia are două fețe pătrate, de arie $x^2$ fiecare, și patru pereți laterali, de arie $xh$ fiecare, deci $\mathcal{S}=2x^2+4xh$ (1 p). Restricția de volum dă $x^{2}h=64$, adică $h=\frac{64}{x^2}$ (1 p). Înlocuind, $\mathcal{S}(x)=2x^2+4x\cdot \frac{64}{x^2}=2x^2+\frac{256}{x}$, cu $x>0$, fiindcă latura bazei este o lungime (1 p). b) (3 p) ${\mathcal{S}}^{\prime }(x)=4x-\frac{256}{x^2}=\frac{4x^3-256}{x^2}$ (1 p). Numitorul este strict pozitiv, deci semnul este al lui $4x^3-256$; ecuația $4x^3=256$ dă $x^3=64$, adică $x=4$ (1 p). Derivata este negativă pe $(0,4)$ și pozitivă pe $(4,+\infty )$, deci $x=4$ este punct de minim (1 p). c) (2 p) Înălțimea este $h=\frac{64}{16}=4$ decimetri, iar aria minimă este $\mathcal{S}(4)=32+64=96$ dm² (1 p). Proba restricției: $4^2\cdot 4=64$ dm³, adică exact volumul cerut; cutia optimă este deci un cub cu muchia de $4$ decimetri (1 p).

Exercițiul 6. (8 p) a) (3 p) Plasa se consumă pe cele două laturi de lungime $2x$, pe cele două laturi de lungime $y$ și pe despărțitura de lungime $y$: $2\cdot 2x+2y+y=120$, adică $4x+3y=120$, de unde $y=\frac{120-4x}{3}$ (1 p). Aria totală este $\mathcal{S}=2x\cdot y=2x\cdot \frac{120-4x}{3}=\frac{240x-8x^2}{3}$ (1 p). Domeniul: $x>0$, fiindcă $2x$ este o lungime, și $y>0$, adică $120-4x>0$, deci $x<30$; prin urmare $x\in (0,30)$ (1 p). b) (3 p) ${\mathcal{S}}^{\prime }(x)=\frac{240-16x}{3}$ (1 p), care se anulează pentru $x=15$, valoare aflată în domeniu (1 p). Derivata este pozitivă pe $(0,15)$ și negativă pe $(15,30)$, deci $x=15$ este punct de maxim (1 p). c) (2 p) Atunci $y=\frac{120-60}{3}=20$, deci dreptunghiul total are $30$ de metri pe $20$ de metri, iar fiecare țarc are $15$ pe $20$ de metri; aria maximă este $\mathcal{S}(15)=\frac{3600-1800}{3}=600$ m² (1 p). Proba restricției: $4\cdot 15+3\cdot 20=60+60=120$ de metri de plasă (1 p).

Exercițiul 7. (6 p) a) (2 p) Dacă unul dintre numere este $x$, celălalt este $24-x$, iar mărimea de optimizat este $g(x)=x^2+(24-x{)}^2=2x^2-48x+576$ (1 p). Amândouă numerele fiind pozitive, domeniul este $x\in (0,24)$ (1 p). b) (2 p) $g^{\prime }(x)=4x-48$, care se anulează pentru $x=12$ (1 p); derivata este negativă pe $(0,12)$ și pozitivă pe $(12,24)$, deci $x=12$ este punct de minim (1 p). c) (2 p) Cele două numere sunt $12$ și $12$, iar valoarea minimă a sumei pătratelor este $g(12)=144+144=288$.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) $f^{\prime }(x)=3-\frac{48}{x^2}=\frac{3x^2-48}{x^2}$, pentru orice $x>0$. b) (2 p) Numitorul este strict pozitiv, deci semnul este al lui $3x^2-48$; din $3x^2=48$ rezultă $x^2=16$, iar în domeniu rămâne $x=4$ (1 p). Derivata este negativă pe $(0,4)$ și pozitivă pe $(4,+\infty )$, deci $x=4$ este punct de minim (1 p). c) (2 p) Valoarea minimă este $f(4)=12+12=24$, iar funcția scade pe $(0,4]$ și crește pe $[4,+\infty )$, deci $f(x)\ge f(4)=24$ pentru orice $x>0$, ceea ce trebuia arătat.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) $v(t)=x^{\prime }(t)=3t^2-36t+81$ metri pe secundă (1 p), iar $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-36$ metri pe secundă la pătrat (1 p). b) (2 p) Factorizăm: $v(t)=3\left(t^2-12t+27\right)=3(t-3)(t-9)$, cu zerourile $3$ și $9$, amândouă în interval; semnul este pozitiv pe $(0,3)$, negativ pe $(3,9)$ și pozitiv pe $(9,10)$, deci în amândouă momentele sensul se schimbă (1 p). Pozițiile: $x(3)=27-162+243=108$ metri și $x(9)=729-1458+729=0$ metri, adică mobilul se întoarce exact în origine (1 p). c) (2 p) Pe $[0,3]$ mobilul merge de la $x(0)=0$ la $x(3)=108$, apoi, pe $[3,9]$, revine la $x(9)=0$. Distanța parcursă este suma lungimilor celor două porțiuni: $|108-0|+|0-108|=216$ metri (1 p). Modulul deplasării este $|x(9)-x(0)|=0$ metri; pozițiile inițială și finală coincid, dar drumul până la întoarcere și drumul înapoi se adună la distanță (1 p).

Exercițiul 10. (8 p) a) (2 p) Derivăm termen cu termen: ${\left(t^4\right)}^{\prime }=4t^3$, ${\left(18t^2\right)}^{\prime }=36t$, iar derivata constantei este nulă, deci $v(t)=x^{\prime }(t)=4t^3-36t$ metri pe secundă. b) (3 p) Factorizăm: $v(t)=4t\left(t^2-9\right)=4t(t-3)(t+3)$ (1 p), cu zerourile $-3$, $0$ și $3$ (1 p); în intervalul $[0,4]$ rămân $t=0$ și $t=3$ secunde, iar $-3$ se respinge (1 p). c) (3 p) $a(t)=v^{\prime }(t)=12t^2-36$, deci $a(1)=12-36=-24$ metri pe secundă la pătrat (2 p). Cum $v(1)=4-36=-32$ metri pe secundă este tot negativă, viteza și accelerația au același semn, deci valoarea absolută a vitezei crește: mișcarea se iuțește (1 p).

Exercițiul 11. (6 p) a) (1 p) $a(t)=v^{\prime }(t)=-3$ metri pe secundă la pătrat, constantă. Enunțul dă direct viteza, deci accelerația se obține dintr-o singură derivare. b) (2 p) Din $21-3t=0$ rezultă $t=7$ secunde (1 p). Viteza trece de la valori pozitive la valori negative, deci mobilul își schimbă sensul la $t=7$ (1 p). c) (3 p) Pe $[0,7)$ avem $v(t)>0$ și $a(t)=-3<0$, deci semne contrare: mișcarea se domolește (1,5 p). Pe $(7,9]$ avem $v(t)<0$ și $a(t)<0$, deci același semn: mișcarea se iuțește, mobilul mergând înapoi din ce în ce mai repede (1,5 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) Derivând funcția compusă, $d^{\prime }(t)=12\cdot \frac{1}{t+1}=\frac{12}{t+1}$ (1 p). Pe $[0,20]$ avem $t+1>0$, deci $d^{\prime }(t)>0$: adâncimea crește tot timpul, adică frontul de colorant înaintează (1 p). b) (3 p) $d^{\prime }(2)=\frac{12}{3}=4$ milimetri pe minut (1,5 p) și $d^{\prime }(5)=\frac{12}{6}=2$ milimetri pe minut (1,5 p) — unitatea mărimii împărțită la unitatea timpului. c) (3 p) $d^{\prime \prime }(t)=-\frac{12}{(t+1{)}^2}$, strict negativă pe tot intervalul, deci $d^{\prime }$ este strict descrescătoare: ritmul de pătrundere scade pe tot intervalul (1,5 p). Înseamnă că frontul înaintează, dar tot mai încet — cu cât colorantul a pătruns mai adânc, cu atât avansează mai greu (1 p). La momentul depunerii, $d(0)=12\ln 1=0$ milimetri, adică frontul pornește de la suprafață (0,5 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) $v(t)=x^{\prime }(t)=-3t^2+18t+48$ metri pe secundă (1 p). Viteza are valoarea cea mai mare acolo unde derivata ei, adică accelerația, se anulează: $a(t)=-6t+18$, cu zeroul $t=3$ secunde (1 p), pozitivă înainte și negativă după, deci viteza crește până în $3$ și scade apoi — acolo este maximul ei (1 p). b) (3 p) $v(3)=-27+54+48=75$ metri pe secundă (2 p), iar accelerația în acel moment este $a(3)=-18+18=0$ metri pe secundă la pătrat: la vârful vitezei accelerația se anulează (1 p). c) (2 p) Din $v(t)=0$ obținem $-3\left(t^2-6t-16\right)=0$, adică $-3(t-8)(t+2)=0$, cu rădăcinile $8$ și $-2$; numai $t=8$ secunde se află în intervalul de valabilitate al modelului.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică ultimul strat al unității de aplicații ale derivatelor: ce se face cu derivata în afara studiului pur al funcției. Sunt acoperite trei lecții — Funcții bijective pe intervale (stricta monotonie ca argument de injectivitate, imaginea comparată cu codomeniul, repararea unei funcții care pică testul), Probleme de optimizare (mărimea de optimizat, restricția, domeniul dedus din figură, candidații din domeniu plus capetele incluse) și Viteza și accelerația, aflate cu derivata (cele două derivări, unitățile, semnul comun al vitezei și accelerației, intervalul de valabilitate al modelului). Convexitatea, punctele de inflexiune, tabelul de variație și determinarea imaginii au fost verificate în testul anterior al unității, iar aici se folosesc ca unelte gata făcute; suplimentul de algebră și proprietatea lui Darboux se verifică în unitatea următoare.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La problemele de optimizare se cer, scrise separat, mărimea, restricția și domeniul, înaintea oricărei derivate; la modelele din științe, fiecare rezultat primește unitatea lui de măsură.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele trei lecții, în special pasul „restricția" de la optimizare și citirea semnului comun al vitezei și accelerației.
• Formule de reținut: criteriul de bijectivitate — dacă $I$ este interval și $f^{\prime }$ păstrează semn constant pe $I$, anulându-se cel mult în puncte izolate, atunci $f$ este strict monotonă, deci injectivă; dacă, în plus, $J=f(I)$, atunci $f:I\to J$ este bijectivă; rețeta de optimizare are patru pași — mărimea, restricția, o singură variabilă cu domeniul scris explicit, apoi derivata și tabelul de semn —, iar candidații sunt rădăcinile derivatei aflate în domeniu, la care se adaugă capetele incluse în domeniu; viteza este derivata coordonatei, $v=x^{\prime }$, iar accelerația este derivata vitezei, $a=v^{\prime }=x^{\prime \prime }$; unitățile se obțin împărțind unitatea mărimii la unitatea timpului, deci $\text{m/s}$ și ${\text{m/s}}^2$; mișcarea se iuțește când $v$ și $a$ au același semn și se domolește când au semne contrare; orice model are un interval de valabilitate, iar în afara lui concluziile nu au acoperire.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) toate cele trei teme apar în domeniul Analiză matematică, la XI.4 „Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor", unde sunt numite pe nume studiul bijectivității unor funcții $f:I\to J$, problemele de optimizare cu restricții geometrice și modelarea proceselor fizice și chimice. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, iar acolo cele trei teme stau diferit: bijectivitatea este cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014) la nivelul clasei a X-a, în capitolul „Funcții și ecuații" — „injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcții inversabile" —, deci apare la Subiectul I, prin definiții și lectură grafică; problemele de optimizare cu restricții geometrice și modelul cinematic nu apar în acea programă, care cere doar punctele de extrem ale unei funcții date, la capitolul „Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor". De aceea itemii acestui test poartă două marcaje diferite, iar cel de-al doilea îl spune cinstit. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".