Test: Convexitate, inflexiune și tabelul de variație (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — testele de mate-info, clasa a XI-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor

Exerciții

Partea I – Convexitate, concavitate și derivata a doua

Exercițiul 1 (6 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 7 x - 5$ . Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Calculează $f^{''} (x)$ . b) Determină zeroul lui $f^{''}$ . c) Scrie intervalul pe care funcția este concavă. d) Scrie intervalul pe care funcția este convexă. e) Calculează $f^{''} (- 2)$ și spune ce formă are graficul în jurul lui $- 2$ . f) Adevărat sau fals: „numărul $- 6$ este punct de extrem al funcției $f$ ".

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2} + 20$ . a) Calculează $f^{'}$ și apoi $f^{''}$ , adusă la formă factorizată. (2 p) b) Alcătuiește tabelul de semn al lui $f^{''}$ , cu câte o probă interioară pe fiecare interval. (2 p) c) Scrie intervalele de convexitate și de concavitate și punctele de inflexiune ale funcției. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (x^{2} + 8 x + 9) e^{x}$ . a) Arată că $f^{''} (x) = (x^{2} + 12 x + 27) e^{x}$ , $x \in R$ . (3 p) b) Determină intervalele de convexitate și de concavitate ale funcției $f$ . (3 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + 12 x + 29$ , este: A. concavă pe $R$ ; B. convexă pe $R$ ; C. concavă pe $(- \infty, - 6]$ și convexă pe $[- 6, + \infty)$ ; D. convexă numai pe $[0, + \infty)$ .

b) Derivata a doua a funcției $f : R ∖ {- 7} \to R$ , $f (x) = \frac{8}{x + 7}$ , este: A. $- \frac{8}{( x + 7 ) ^{2}}$ ; B. $\frac{16}{( x + 7 ) ^{3}}$ ; C. $- \frac{16}{( x + 7 ) ^{3}}$ ; D. $\frac{8}{( x + 7 ) ^{3}}$ .

c) Dacă $f^{'} (a) = 0$ și $f^{''} (a) = - 24$ , atunci $a$ este: A. punct de minim local; B. punct de maxim local; C. punct de inflexiune; D. nu se poate decide.

d) Numărul punctelor de inflexiune ale graficului funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 1$ , este: A. $0$ ; B. $1$ ; C. $2$ ; D. $3$ .

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x + 2$ . a) Scrie $f^{'}$ în formă factorizată și determină punctele critice. (2 p) b) Folosind derivata a doua, precizează natura fiecărui punct critic. (3 p) c) Calculează valorile extreme locale ale funcției. (1 p)

Partea a II-a – Tabelul de variație

Exercițiul 6 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 21 x^{2} + 120 x + 4$ . a) Calculează limitele la capetele domeniului, apoi scrie $f^{'}$ și $f^{''}$ în formă factorizată, cu zerourile lor. (3 p) b) Calculează valorile funcției în toate punctele marcate, precum și $f^{'} (7)$ , $f^{''} (4)$ și $f^{''} (10)$ . (2 p) c) Întocmește tabelul de variație complet, cu cele patru rânduri, și scrie citirea lui în trei propoziții. (3 p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

Se consideră funcția $f : R ∖ {- 5} \to R$ , $f (x) = \frac{3 x - 1}{x + 5}$ . a) Calculează $f^{'}$ și $f^{''}$ . (2 p) b) Calculează limitele la $- \infty$ și la $+ \infty$ , precum și cele două limite laterale în $- 5$ . (2 p) c) Scrie ce se trece în coloana lui $- 5$ , pe fiecare dintre cele trei rânduri $f^{'}$ , $f^{''}$ și $f$ , și explică de ce funcția nu are niciun punct de inflexiune. (2 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Se consideră funcția $f : [0, 6] \to R$ , $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 30$ . a) Determină punctele care se marchează pe axă și spune câte coloane are tabelul de variație, cu justificarea numărului. (2 p) b) Scrie ce se trece în coloanele capetelor $0$ și $6$ , pe fiecare dintre cele patru rânduri. (2 p) c) Întocmește tabelul de variație complet. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Dacă funcția $f$ este convexă pe intervalul $[2, 5]$ și $f (2) = f (5)$ , atunci $f (x) \leq f (2)$ pentru orice $x \in [2, 5]$ ." b) „Dacă $f^{''} (x) > 0$ pentru orice număr real $x$ , atunci ecuația $f (x) = 0$ are cel mult două soluții reale." c) „Graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{5} - 20 x^{3} + 6 x$ , are exact două puncte de inflexiune."

Partea a III-a – Imaginea funcției și probleme

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră funcția $f : [0, 10] \to R$ , $f (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 48 x + 20$ . a) Scrie $f^{'}$ în formă factorizată și determină intervalele de monotonie. (3 p) b) Calculează valorile funcției în capetele domeniului și în punctele critice. (2 p) c) Determină imaginea funcției, justificând fiecare paranteză. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 21$ . a) Arată că $f^{'} (x) = 4 x (x^{2} - 4)$ , $x \in R$ . (2 p) b) Determină imaginea funcției $f$ . (4 p) c) Arată că $f (x) \geq 5$ , pentru orice număr real $x$ . (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră funcția $f : [0, + \infty) \to R$ , $f (x) = (x - 12) x$ . a) Arată că $f^{'} (x) = \frac{3 ( x - 4 )}{2 x}$ , pentru orice $x > 0$ . (3 p) b) Întocmește tabelul de variație cu rândurile $x$ , $f^{'} (x)$ și $f (x)$ și scrie ce se trece în coloana lui $0$ . (3 p) c) Determină imaginea funcției $f$ . (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

Într-un pahar cu apă se pune o cantitate de sare care se dizolvă treptat. Masa de sare nedizolvată, în grame, la $t$ minute de la începerea amestecării, este $m (t) = \frac{144}{t + 4}$ , iar modelul este valabil pentru $t \in [0, 14]$ . a) Calculează $m^{'}$ și $m^{''}$ și arată că masa nedizolvată scade pe tot intervalul, iar graficul este convex; spune, într-o propoziție, ce înseamnă asta pentru dizolvare. (3 p) b) Întocmește tabelul de variație al funcției $m$ pe intervalul $[0, 14]$ . (2 p) c) Determină imaginea funcției $m$ și calculează câte grame de sare s-au dizolvat în cele $14$ minute. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 36 x + 7$ , deci $f^{''} (x) = 6x + 36$ . b) $6 x + 36 = 0$ dă $x = - 6$ . c) Pentru $x < - 6$ avem $f^{''} (x) < 0$ , deci funcția este **concavă pe $(- \infty, - 6]$ **. d) Pentru $x > - 6$ avem $f^{''} (x) > 0$ , deci funcția este convexă pe $[- 6, + \infty)$ . e) $f^{''} (- 2) = - 12 + 36 = 24 > 0$ , deci în jurul lui $- 2$ graficul „ține apa", adică este convex. f) Fals. Punctele de extrem se caută printre zerourile derivatei întâi, iar $f^{'} (- 6) = 108 - 216 + 7 = - 101 \neq = 0$ , deci $- 6$ nu este nici măcar punct critic.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $f^{'} (x) = 4 x^{3} + 12 x^{2} - 36 x$ (1 p), iar $f^{''} (x) = 12 x^{2} + 24 x - 36 = 12 (x^{2} + 2 x - 3) = 12 (x + 3) (x - 1)$ (1 p). b) (2 p) Zerourile lui $f^{''}$ sunt $- 3$ și $1$ . Probe: $f^{''} (- 4) = 192 - 96 - 36 = 60 > 0$ ; $f^{''} (0) = - 36 < 0$ ; $f^{''} (2) = 48 + 48 - 36 = 60 > 0$ .

$x$	$- \infty$		$- 3$		$1$		$+ \infty$
$f^{''} (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

c) (2 p) Funcția este convexă pe $(- \infty, - 3]$ și pe $[1, + \infty)$ și concavă pe $[- 3, 1]$ . În amândouă punctele semnul lui $f^{''}$ se schimbă, deci punctele de inflexiune ale funcției sunt $- 3$ și $1$ .

Exercițiul 3. (6 p) a) (3 p) Cu regula produsului, $f^{'} (x) = (2 x + 8) e^{x} + (x^{2} + 8 x + 9) e^{x} = (x^{2} + 10 x + 17) e^{x}$ (2 p). Derivând încă o dată, $f^{''} (x) = (2 x + 10) e^{x} + (x^{2} + 10 x + 17) e^{x} = (x^{2} + 12 x + 27) e^{x}$ (1 p). b) (3 p) Cum $e^{x} > 0$ pentru orice $x$ real, semnul lui $f^{''}$ este semnul trinomului $x^{2} + 12 x + 27 = (x + 3) (x + 9)$ , cu rădăcinile $- 9$ și $- 3$ (1 p).

$x$	$- \infty$		$- 9$		$- 3$		$+ \infty$
$f^{''} (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Funcția este convexă pe $(- \infty, - 9]$ și pe $[- 3, + \infty)$ și concavă pe $[- 9, - 3]$ (2 p).

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B — $f^{'} (x) = 2 x + 12$ și $f^{''} (x) = 2 > 0$ pe tot $R$ , deci funcția este convexă peste tot; numărul $- 6$ este abscisa vârfului, nu un punct în care se schimbă curbura. b) B — $f^{'} (x) = - \frac{8}{( x + 7 ) ^{2}}$ , iar derivând încă o dată se obține $f^{''} (x) = \frac{16}{( x + 7 ) ^{3}}$ . c) B — punctul este critic, iar derivata a doua este negativă acolo, deci graficul „varsă apa" în jurul lui: vârf de deal, adică punct de maxim local. d) A — $f^{'} (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x$ , deci $f^{''} (x) = 12 x^{2} + 48 x + 48 = 12 (x + 2)^{2}$ , care se anulează numai în $- 2$ , fără să-și schimbe semnul; funcția rămâne convexă pe tot $R$ și graficul nu are niciun punct de inflexiune.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) $f^{'} (x) = 6 x^{2} + 6 x - 72 = 6 (x^{2} + x - 12) = 6 (x + 4) (x - 3)$ , deci punctele critice sunt $- 4$ și $3$ . b) (3 p) $f^{''} (x) = 12 x + 6$ . Avem $f^{''} (- 4) = - 48 + 6 = - 42 < 0$ , deci $- 4$ este punct de **maxim** local (1,5 p); și $f^{''} (3) = 36 + 6 = 42 > 0$ , deci $3$ este punct de minim local (1,5 p). c) (1 p) $f (- 4) = - 128 + 48 + 288 + 2 = 210$ (maximul local) și $f (3) = 54 + 27 - 216 + 2 = - 133$ (minimul local).

Exercițiul 6. (8 p) a) (3 p) Termenul dominant este $x^{3}$ , deci $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$ și $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ (1 p). Apoi $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 42 x + 120 = 3 (x^{2} - 14 x + 40) = 3 (x - 4) (x - 10)$ , cu zerourile $4$ și $10$ (1 p), și $f^{''} (x) = 6 x - 42 = 6 (x - 7)$ , cu zeroul $7$ (1 p). b) (2 p) $f (4) = 64 - 336 + 480 + 4 = 212$ ; $f (7) = 343 - 1029 + 840 + 4 = 158$ ; $f (10) = 1000 - 2100 + 1200 + 4 = 104$ (1 p). În plus $f^{'} (7) = 147 - 294 + 120 = - 27$ , $f^{''} (4) = 24 - 42 = - 18$ și $f^{''} (10) = 60 - 42 = 18$ (1 p). c) (3 p) Punctele marcate sunt $4$ , $7$ și $10$ , deci $k = 3$ și tabelul are $2 \cdot 3 + 4 = 10$ coloane.

$x$	$- \infty$		$4$		$7$		$10$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$	$- 27$	$-$	$0$	$+$
$f^{''} (x)$		$-$	$- 18$	$-$	$0$	$+$	$18$	$+$
$f (x)$	$- \infty$	$↗ \cap$	$212 M$	$↘ \cap$	$158 I$	$↘ \cup$	$104 m$	$↗ \cup$	$+ \infty$

Citirea tabelului: funcția crește pe $(- \infty, 4]$ , scade pe $[4, 10]$ și crește pe $[10, + \infty)$ . Valoarea maximă locală este $212$ , atinsă în punctul $4$ , iar cea minimă locală este $104$ , atinsă în punctul $10$ . Curbura se schimbă o singură dată, în $7$ , unde graficul trece de la a vărsa apa la a o ține, deci $(7, 158)$ este punct de inflexiune al graficului.

Exercițiul 7. (6 p) a) (2 p) Cu regula câtului, $f^{'} (x) = \frac{3 ( x + 5 ) - ( 3 x - 1 )}{( x + 5 ) ^{2}} = \frac{16}{( x + 5 ) ^{2}}$ (1 p), iar $f^{''} (x) = - \frac{32}{( x + 5 ) ^{3}}$ (1 p). b) (2 p) La $\pm \infty$ raportul a două funcții de gradul întâi tinde la raportul coeficienților dominanți, deci limita este $3$ la ambele capete (1 p). În $- 5$ numărătorul tinde la $- 16$ , iar numitorul la $0$ : la stânga lui $- 5$ avem $x + 5 < 0$ , deci limita este $+ \infty$ , iar la dreapta limita este $- \infty$ (1 p). c) (2 p) În coloana lui $- 5$ : pe rândul $f^{'} (x)$ se scrie $∣$ , pe rândul $f^{''} (x)$ se scrie tot $∣$ , iar pe rândul $f (x)$ se scriu cele două limite laterale, $+ \infty ∣ - \infty$ (1 p). Derivata a doua își schimbă într-adevăr semnul în $- 5$ — este pozitivă pentru $x < - 5$ și negativă pentru $x > - 5$ —, dar $- 5$ nu aparține domeniului, deci nu există nicio vecinătate pe care funcția să fie continuă acolo: graficul are o ruptură, iar punct de inflexiune nu există (1 p).

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 18 x + 15 = 3 (x - 1) (x - 5)$ , cu zerourile $1$ și $5$ , iar $f^{''} (x) = 6 x - 18$ , cu zeroul $3$ ; toate trei sunt în intervalul $[0, 6]$ (1 p). Capetele $0$ și $6$ sunt capetele domeniului, deci punctele interioare marcate sunt $1$ , $3$ și $5$ : $k = 3$ , iar tabelul are $2 \cdot 3 + 4 = 10$ coloane (1 p). b) (2 p) Amândouă capetele aparțin domeniului, iar funcția este derivabilă în ele, deci nu se pune nicio bară și nu rămâne nicio celulă goală: în coloana lui $0$ se scriu $f^{'} (0) = 15$ , $f^{''} (0) = - 18$ și $f (0) = 30$ ; în coloana lui $6$ se scriu $f^{'} (6) = 108 - 108 + 15 = 15$ , $f^{''} (6) = 36 - 18 = 18$ și $f (6) = 216 - 324 + 90 + 30 = 12$ . c) (2 p) Valorile: $f (1) = 1 - 9 + 15 + 30 = 37$ , $f (3) = 27 - 81 + 45 + 30 = 21$ , $f (5) = 125 - 225 + 75 + 30 = 5$ ; în plus $f^{'} (3) = 27 - 54 + 15 = - 12$ , $f^{''} (1) = - 12$ și $f^{''} (5) = 12$ .

$x$	$0$		$1$		$3$		$5$		$6$
$f^{'} (x)$	$15$	$+$	$0$	$-$	$- 12$	$-$	$0$	$+$	$15$
$f^{''} (x)$	$- 18$	$-$	$- 12$	$-$	$0$	$+$	$12$	$+$	$18$
$f (x)$	$30$	$↗ \cap$	$37 M$	$↘ \cap$	$21 I$	$↘ \cup$	$5 m$	$↗ \cup$	$12$

Exercițiul 9. (6 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Adevărat. Coarda dusă între punctele $(2, f (2))$ și $(5, f (5))$ este orizontală, la înălțimea $f (2)$ , pentru că cele două valori sunt egale. Graficul unei funcții convexe rămâne sub orice coardă a sa, deci $f (x) \leq f (2)$ pe tot intervalul. b) Adevărat. Din $f^{''} > 0$ rezultă că $f^{'}$ este strict crescătoare, deci $f^{'}$ se anulează cel mult o dată; prin urmare domeniul se împarte în cel mult două intervale de strictă monotonie, iar pe un interval de strictă monotonie o funcție ia fiecare valoare cel mult o dată. Ecuația are deci cel mult două soluții. c) Fals. $f^{'} (x) = 5 x^{4} - 60 x^{2} + 6$ , deci $f^{''} (x) = 20 x^{3} - 120 x = 20 x (x^{2} - 6)$ , cu zerourile $- 6$ , $0$ și $6$ , toate simple. În fiecare dintre ele semnul lui $f^{''}$ se schimbă, deci graficul are trei puncte de inflexiune, nu două.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 30 x + 48 = 3 (x - 2) (x - 8)$ , cu zerourile $2$ și $8$ , amândouă în $[0, 10]$ (2 p). Semnul: pozitiv pe $[0, 2)$ , negativ pe $(2, 8)$ , pozitiv pe $(8, 10]$ , deci funcția crește pe $[0, 2]$ , scade pe $[2, 8]$ și crește pe $[8, 10]$ (1 p). b) (2 p) $f (0) = 20$ ; $f (2) = 8 - 60 + 96 + 20 = 64$ ; $f (8) = 512 - 960 + 384 + 20 = - 44$ ; $f (10) = 1000 - 1500 + 480 + 20 = 0$ . c) (3 p) Pe cele trei intervale de monotonie imaginile sunt $[20, 64]$ , $[- 44, 64]$ și $[- 44, 0]$ (2 p), iar reuniunea lor este $Im f = [- 44, 64]$ (1 p). Amândouă parantezele sunt drepte: valoarea $64$ se atinge în punctul $2$ , iar valoarea $- 44$ se atinge în punctul $8$ , amândouă din domeniu.

Exercițiul 11. (8 p) a) (2 p) Derivăm termen cu termen: $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 16 x = 4 x (x^{2} - 4)$ . b) (4 p) Zerourile lui $f^{'}$ sunt $- 2$ , $0$ și $2$ , iar semnul lui $4 x (x - 2) (x + 2)$ este minus, plus, minus, plus; funcția scade pe $(- \infty, - 2]$ , crește pe $[- 2, 0]$ , scade pe $[0, 2]$ și crește pe $[2, + \infty)$ (2 p). Valorile: $f (- 2) = 16 - 32 + 21 = 5$ , $f (0) = 21$ , $f (2) = 16 - 32 + 21 = 5$ , iar limitele la ambele capete sunt $+ \infty$ , pentru că termenul dominant este $x^{4}$ (1 p). Imaginile bucăților sunt $[5, + \infty)$ , $[5, 21]$ , $[5, 21]$ și $[5, + \infty)$ , cu reuniunea $Im f = [5, + \infty)$ (1 p). c) (2 p) Cea mai mică valoare a funcției este $5$ , atinsă în punctele $- 2$ și $2$ ; cum toate valorile funcției se află în $[5, + \infty)$ , rezultă $f (x) \geq 5$ pentru orice $x$ real, ceea ce trebuia arătat.

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Derivăm produsul, folosind $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ : $f^{'} (x) = x + (x - 12) \cdot \frac{1}{2 x} = \frac{2 x + x - 12}{2 x} = \frac{3 x - 12}{2 x} = \frac{3 ( x - 4 )}{2 x},$ expresie definită pentru orice $x > 0$ . b) (3 p) Numitorul $2 x$ este strict pozitiv pe $(0, + \infty)$ , deci semnul lui $f^{'}$ este semnul lui $x - 4$ : negativ pe $(0, 4)$ , pozitiv pe $(4, + \infty)$ , cu zeroul $4$ . Valorile: $f (0) = 0$ și $f (4) = (4 - 12) \cdot 2 = - 16$ ; la $+ \infty$ limita este $+ \infty$ (1 p).

$x$	$0$		$4$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$	$∣$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$0$	$↘$	$- 16 m$	$↗$	$+ \infty$

În coloana lui $0$ , pe rândul derivatei se scrie bara $∣$ , fiindcă funcția nu este derivabilă acolo, iar pe rândul funcției se scrie valoarea $0$ , fiindcă punctul aparține domeniului; graficul pornește cu semitangentă verticală (2 p). c) (2 p) Pe $[0, 4]$ funcția scade de la $0$ la $- 16$ , deci imaginea bucății este $[- 16, 0]$ ; pe $[4, + \infty)$ crește de la $- 16$ la $+ \infty$ , deci imaginea este $[- 16, + \infty)$ . Reuniunea lor dă $Im f = [- 16, + \infty)$ ; paranteza de la $- 16$ este dreaptă, pentru că valoarea se atinge în punctul $4$ .

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) $m^{'} (t) = - \frac{144}{( t + 4 ) ^{2}}$ și $m^{''} (t) = \frac{288}{( t + 4 ) ^{3}}$ (1 p). Pe $[0, 14]$ avem $t + 4 > 0$ , deci $m^{'} (t) < 0$ peste tot: masa nedizolvată scade tot timpul (1 p); și $m^{''} (t) > 0$ peste tot, deci graficul este convex. Cele două informații împreună spun că masa nedizolvată scade tot mai încet, adică dizolvarea se domolește pe măsură ce sarea se împuținează (1 p). b) (2 p) Derivata întâi nu se anulează, iar derivata a doua nici atât, deci nu se marchează niciun punct interior: $k = 0$ , iar tabelul are $4$ coloane. Valorile la capete: $m (0) = \frac{144}{4} = 36$ grame și $m (14) = \frac{144}{18} = 8$ grame; în plus $m^{'} (0) = - 9$ și $m^{'} (14) = - \frac{144}{324} = - \frac{4}{9}$ .

$t$	$0$		$14$
$m^{'} (t)$	$- 9$	$-$	$- \frac{4}{9}$
$m^{''} (t)$	$\frac{9}{2}$	$+$	$\frac{4}{81}$
$m (t)$	$36$	$↘ \cup$	$8$

c) (3 p) Funcția este strict descrescătoare pe $[0, 14]$ , iar amândouă capetele aparțin domeniului, deci imaginea este $Im m = [8, 36]$ : masa nedizolvată se mișcă între $8$ și $36$ de grame, fără să scadă vreodată sub $8$ grame pe intervalul măsurat (2 p). În cele $14$ minute s-au dizolvat $36 - 8 = 28$ de grame de sare (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică al doilea strat al unității de aplicații ale derivatelor: ce se citește din derivata a doua. Sunt acoperite patru lecții — Convexitate, concavitate și derivata a doua (criteriul convexității și criteriul derivatei a doua pentru natura unui punct critic), Puncte de inflexiune (candidați, schimbarea de semn, punctul funcției față de punctul graficului), Tabelul de variație (cele patru rânduri, numărul coloanelor, limitele la capete, bara) și Imaginea unei funcții pe un interval (citirea din ultimul rând, parantezele). Monotonia, punctele de extrem cu derivata întâi și regula lui L'Hospital au fost verificate în testul anterior al unității; bijectivitatea, problemele de optimizare și modelul cinematic se verifică în testul următor — aici nu se cere niciun grafic trasat și nicio problemă de optimizare cu restricție.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La fiecare tabel se cer toate rândurile cerute de enunț, iar la fiecare concluzie de convexitate se scrie intervalul, nu reuniunea de intervale.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele patru lecții, în special tabelul de semn al lui $f^{''}$ și regula parantezelor la imagine.
Formule de reținut: criteriul convexității — pe un interval $I$ pe care $f$ are derivată de ordinul al doilea, $f^{''} \geq 0$ înseamnă $f$ convexă („ține apa", $\cup$ ), iar $f^{''} \leq 0$ înseamnă $f$ concavă („varsă apa", $\cap$ ); criteriul derivatei a doua — dacă $f^{'} (x_{0}) = 0$ și $f^{''} (x_{0}) > 0$ , atunci $x_{0}$ este punct de minim local, dacă $f^{''} (x_{0}) < 0$ este punct de maxim local, iar dacă $f^{''} (x_{0}) = 0$ criteriul nu decide; punct de inflexiune — punct interior domeniului, în care funcția e continuă și în care $f^{''}$ își schimbă semnul; tabelul de variație are rândurile $x$ , $f^{'} (x)$ , $f^{''} (x)$ , $f (x)$ și $2 k + 4$ coloane, unde $k$ este numărul punctelor interioare marcate; la $\pm \infty$ celulele derivatelor rămân goale, iar rândul funcției primește limita; la un punct care nu aparține domeniului se scrie bara $∣$ ; imaginea unei funcții continue și strict monotone pe un interval este intervalul dintre valorile de la capete, iar paranteza e dreaptă la un capăt inclus și rotundă la unul exclus sau la $\pm \infty$ .
Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.4 „Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor", unde sunt numite pe nume convexitatea, punctele de inflexiune, tabelul de variație și determinarea imaginii funcției pe un interval. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la capitolul „Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor", „rolul derivatelor de ordin I și de ordinul al II-lea în studiul funcțiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate" și „reprezentarea grafică a funcțiilor"; tema apare la Subiectul al III-lea. Cuvântul „inflexiune" nu este scris ca atare în programa din 2014, dar punctul de inflexiune face parte din studiul cerut acolo. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".