Test: Derivata: definiție, tabel și reguli de derivare (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Derivabilitate

Exerciții

Partea I – Definiția derivatei și funcția derivată

Exercițiul 1 (6 puncte)

Se consideră o funcție $f$ și un punct $x_0$ interior domeniului ei. Răspunde scurt, cu o propoziție de justificare (câte 1 punct): a) Ce nume poartă raportul $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ și ce reprezintă el pe grafic? b) Ce condiție trebuie să îndeplinească limita acestui raport, pentru ca $f$ să fie derivabilă în $x_0$? c) Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=7x-2$, cât valorează raportul de variație în $x_0=5$, pentru orice $x\ne 5$? d) Ce deosebire este între scrierea $f^{\prime }(3)$ și scrierea $f^{\prime }$? e) Pe ce mulțime este derivabilă funcția $g:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt{x}$? f) Pentru funcția de la punctul c), cât este $f^{\prime }(5)$?

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-11x$, și punctul $x_0=4$. a) Calculează $f(4)$ și scrie raportul de variație al funcției în punctul $4$. (2 p) b) Descompune numărătorul în factori și simplifică raportul prin $x-4$. (2 p) c) Calculează limita expresiei rămase și scrie valoarea lui $f^{\prime }(4)$. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\left[-\frac{13}{3},+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{3x+13}$, și punctul $x_0=4$. a) Calculează $f(4)$ și amplifică raportul de variație cu expresia conjugată a numărătorului. (2 p) b) Simplifică prin $x-4$ și scrie expresia rămasă. (2 p) c) Calculează $f^{\prime }(4)$. (2 p)

Partea a II-a – Tabelul derivatelor

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^{13}$, are funcția derivată: A. $13x^{12}$; B. $13x^{14}$; C. $x^{12}$; D. $12x^{13}$.

b) Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x}$, este derivabilă pe mulțimea: A. $\mathbb{R}$; B. $[0,+\infty )$; C. $(0,+\infty )$; D. ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

c) Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=8^x$, are funcția derivată: A. $x\cdot 8^{x-1}$; B. $8^x$; C. $8^x\ln 8$; D. $\frac{8^x}{\ln 8}$.

d) Funcția $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^{-7}$, are funcția derivată: A. $-7x^{-6}$; B. $-7x^{-8}$; C. $7x^{-8}$; D. $-7x^8$.

Exercițiul 5 (6 puncte)

Scrie funcția derivată și mulțimea pe care ea este valabilă, pentru fiecare dintre funcțiile de mai jos (câte 1 punct): a) $f(x)=-19$; b) $f(x)=x$; c) $f(x)=\sqrt{x}$; d) $f(x)=\ln x$; e) $f(x)={\log }_{8}x$; f) $f(x)=e^x$.

Exercițiul 6 (6 puncte)

Calculează, folosind tabelul derivatelor (câte 2 puncte): a) $f^{\prime }(81)$, pentru $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$; b) $f^{\prime }(12)$, pentru $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$; c) $f^{\prime }(125)$, pentru $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x}$.

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Funcțiile $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$, și $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)={\log }_{8}x$, au funcțiile derivate proporționale." b) „Funcția derivată a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^{13}$, ia valori negative pentru unele numere reale $x$." c) „Dacă două funcții derivabile pe $\mathbb{R}$ au aceeași funcție derivată, atunci ele sunt egale." d) „Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^{13}+8^x$, are derivata strict pozitivă în punctul $x_0=0$."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră funcțiile $f,g,h$ definite prin $f(x)=\sin x$, $g(x)=\cos x$ și $h(x)=\mathrm{tg}x$. a) Calculează $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)$. (2 p) b) Calculează $g^{\prime }\left(\frac{\pi }{6}\right)$. (2 p) c) Scrie funcția derivată a lui $h$ împreună cu mulțimea pe care ea este valabilă și calculează $h^{\prime }\left(\frac{\pi }{6}\right)$. (2 p)

Partea a III-a – Reguli de derivare

Exercițiul 9 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^3+\frac{9}{x}-2\sqrt{x}$. a) Determină $f^{\prime }(x)$, derivând termen cu termen. (3 p) b) Calculează $f^{\prime }(1)$. (2 p) c) Explică de ce rezultatul este valabil numai pentru $x>0$. (1 p)

Exercițiul 10 (8 puncte)

Într-un vas de reacție, volumul amestecului este $V(t)=2t+5$ litri, iar concentrația unei substanțe în el este $c(t)=30-2t$ grame pe litru, unde $t$ este timpul în minute, $t\in [0,10]$. Masa substanței, în grame, este $m(t)=V(t)c(t)$. a) Calculează $m^{\prime }(t)$ cu regula produsului. (3 p) b) Calculează $m^{\prime }(2)$ și scrie unitatea de măsură a rezultatului. (3 p) c) Verifică rezultatul de la a) desfăcând parantezele în $m(t)$ și arată că modelul rămâne corect fizic pe tot intervalul $[0,10]$. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{5x+2}{x-3}$. a) Arată că $f^{\prime }(x)=-\frac{17}{(x-3{)}^2}$. (3 p) b) Calculează $f^{\prime }(5)$. (2 p) c) Arată că $f^{\prime }(x)<0$ pentru orice $x\ne 3$ și că $f^{\prime }$ nu se anulează în niciun punct al domeniului. (3 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\sqrt{x}+8\ln x$. a) Arată că $f^{\prime }(x)=\frac{3x\sqrt{x}+16}{2x}$, $x\in (0,+\infty )$. (3 p) b) Calculează $f^{\prime }(4)$. (2 p) c) Arată că $f^{\prime }(x)>0$, pentru orice $x>0$. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{5\ln x}{x^3}$. a) Arată că $f^{\prime }(x)=\frac{5\left(1-3\ln x\right)}{x^4}$, $x\in (0,+\infty )$. (4 p) b) Calculează $f^{\prime }(1)$. (2 p) c) Determină numărul real $x>0$ pentru care $f^{\prime }(x)=0$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Se numește raportul de variație al funcției în $x_0$; pe grafic el este panta secantei care unește punctele de abscise $x_0$ și $x$ (și, în același timp, rata medie de variație pe intervalul dintre ele). b) Limita trebuie să existe și să fie finită; atunci valoarea ei este $f^{\prime }(x_0)$. c) $f(5)=7\cdot 5-2=33$, iar raportul este $\frac{7x-2-33}{x-5}=\frac{7(x-5)}{x-5}=7$, constant. d) $f^{\prime }(3)$ este un număr — panta tangentei în punctul de abscisă $3$ —, iar $f^{\prime }$ este o funcție, regula care produce acel număr în fiecare punct al mulțimii de derivabilitate. e) Pe $(0,+\infty )$: în $0$ funcția are valoare, dar $0$ nu este punct interior al domeniului, iar raportul de variație crește acolo peste orice valoare. f) $f^{\prime }(5)=7$: raportul fiind constant egal cu $7$, limita lui este tot $7$.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $f(4)=16-44=-28$, iar raportul de variație este $\frac{x^2-11x+28}{x-4}$ — la numărător, scăderea lui $-28$ adună. b) (2 p) $x^2-11x+28=(x-4)(x-7)$, deci $\frac{(x-4)(x-7)}{x-4}=x-7$, pentru $x\ne 4$. c) (2 p) $\underset{x\to 4}{\lim }(x-7)=-3$, limită finită, deci $f$ este derivabilă în $4$ și $f^{\prime }(4)=-3$.

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) $f(4)=\sqrt{25}=5$, iar raportul se amplifică cu $\sqrt{3x+13}+5$: $\frac{\sqrt{3x+13}-5}{x-4}=\frac{(3x+13)-25}{(x-4)\left(\sqrt{3x+13}+5\right)}$. b) (2 p) Numărătorul este $3x-12=3(x-4)$, deci după simplificare rămâne $\frac{3}{\sqrt{3x+13}+5}$. c) (2 p) Pentru $x\to 4$ numitorul tinde la $5+5=10$, deci $f^{\prime }(4)=\frac{3}{10}$.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — exponentul coboară în față și scade cu unu: ${\left(x^{13}\right)}^{\prime }=13x^{12}$. b) D — radicalul de ordinul al treilea este definit pe $\mathbb{R}$ și derivabil în fiecare punct nenul. Formula $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ este valabilă și pentru $x<0$; în origine raportul de variație tinde la $+\infty$, deci nu există derivată finită. c) C — variabila stă la exponent, deci se aplică rândul $a^x$, iar factorul $\ln 8$ face parte din răspuns. d) B — „mai mic cu unu" înseamnă, la exponenți negativi, mai departe de zero: din $-7$ se ajunge la $-8$.

Exercițiul 5. (6 p) — câte 1 punct; răspunsul complet conține și mulțimea. a) $f^{\prime }(x)=0$, pe $\mathbb{R}$ — o mărime care nu se schimbă are rata de variație nulă. b) $f^{\prime }(x)=1$, pe $\mathbb{R}$. c) $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, pe $(0,+\infty )$. d) $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, pe $(0,+\infty )$. e) $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln 8}$, pe $(0,+\infty )$ — la numitor apare logaritmul bazei, un număr fix. f) $f^{\prime }(x)=e^x$, pe $\mathbb{R}$.

Exercițiul 6. (6 p) — câte 2 puncte. a) $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, iar $\sqrt{81}=9$, deci $f^{\prime }(81)=\frac{1}{18}$. b) $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, deci $f^{\prime }(12)=\frac{1}{12}$. c) $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$, iar $\sqrt[3]{125^2}=25$, deci $f^{\prime }(125)=\frac{1}{75}$.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Adevărat. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ și $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln 8}$, deci $g^{\prime }(x)=\frac{1}{\ln 8}\cdot f^{\prime }(x)$: raportul dintre cele două funcții derivate este constant. b) Fals. $f^{\prime }(x)=13x^{12}$, iar exponentul $12$ este par, deci $x^{12}\ge 0$ pentru orice $x$ real; derivata nu coboară niciodată sub zero. c) Fals. Contraexemplu: $f(x)=x$ și $g(x)=x+5$ au amândouă derivata $1$, dar nu sunt egale. Termenul liber dispare la derivare, deci el nu se poate reconstitui din derivată. d) Adevărat. $f^{\prime }(x)=13x^{12}+8^x\ln 8$, iar în $0$ primul termen este $0$, al doilea este $\ln 8$. Cum $8>1$, avem $\ln 8>0$, deci $f^{\prime }(0)=\ln 8>0$.

Exercițiul 8. (6 p) — câte 2 puncte. a) $f^{\prime }(x)=\cos x$, deci $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$. b) $g^{\prime }(x)=-\sin x$, deci $g^{\prime }\left(\frac{\pi }{6}\right)=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}$. Semnul minus arată că, în acel punct, cosinusul coboară. c) $h^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, pe mulțimea $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Cum $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, avem ${\cos }^2\frac{\pi }{6}=\frac{3}{4}$, deci $h^{\prime }\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{4}{3}$.

Exercițiul 9. (6 p) a) (3 p) Se derivează termen cu termen, cu factorii numerici copiați: ${\left(4x^3\right)}^{\prime }=12x^2$; $\frac{9}{x}=9x^{-1}$, cu derivata $-9x^{-2}=-\frac{9}{x^2}$; ${\left(-2\sqrt{x}\right)}^{\prime }=-2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{1}{\sqrt{x}}$. Prin urmare $f^{\prime }(x)=12x^2-\frac{9}{x^2}-\frac{1}{\sqrt{x}}$. b) (2 p) $f^{\prime }(1)=12-9-1=2$. c) (1 p) Radicalul este derivabil numai pe $(0,+\infty )$, iar $\frac{9}{x}$ cere $x\ne 0$; mulțimea de lucru este cea mai mică dintre mulțimile termenilor, adică $(0,+\infty )$.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) $V^{\prime }(t)=2$ și $c^{\prime }(t)=-2$, iar regula produsului dă $m^{\prime }(t)=V^{\prime }(t)c(t)+V(t)c^{\prime }(t)=2(30-2t)+(2t+5)(-2)=60-4t-4t-10=50-8t$. b) (3 p) $m^{\prime }(2)=50-16=34$, adică 34 de grame pe minut: unitatea derivatei este unitatea mărimii împărțită la unitatea variabilei. c) (2 p) Desfăcând parantezele, $m(t)=(2t+5)(30-2t)=60t-4t^2+150-10t=-4t^2+50t+150$, iar derivarea termen cu termen dă tot $-8t+50$. Pe intervalul $[0,10]$ avem $V(t)=2t+5\ge 5>0$ și $c(t)=30-2t\ge 10>0$, deci masa $m(t)=V(t)c(t)$ rămâne pozitivă peste tot: $m(0)=150$ grame, iar $m(10)=250$ de grame.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Regula câtului, începând cu derivata numărătorului: $f^{\prime }(x)=\frac{5(x-3)-(5x+2)\cdot 1}{(x-3{)}^2}=\frac{5x-15-5x-2}{(x-3{)}^2}=-\frac{17}{(x-3{)}^2}$. Paranteza din jurul lui $5x+2$ ține minusul care se aplică ambilor termeni. b) (2 p) $f^{\prime }(5)=-\frac{17}{(5-3{)}^2}=-\frac{17}{4}$. c) (3 p) Numitorul $(x-3{)}^2$ este strict pozitiv pentru orice $x\ne 3$, iar numărătorul este constanta $-17$, strict negativă; raportul a două numere de semne contrare este negativ, deci $f^{\prime }(x)<0$. Cum numărătorul nu se anulează niciodată, nici $f^{\prime }$ nu se anulează.

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Primul termen este un produs de doi factori care depind amândoi de $x$: ${\left(x\sqrt{x}\right)}^{\prime }=1\cdot \sqrt{x}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}=\frac{3\sqrt{x}}{2}$ (1 p). Al doilea dă ${\left(8\ln x\right)}^{\prime }=\frac{8}{x}$ (1 p). Adunând și aducând la numitorul comun $2x$: $f^{\prime }(x)=\frac{3\sqrt{x}}{2}+\frac{8}{x}=\frac{3x\sqrt{x}+16}{2x}$ (1 p). b) (2 p) $f^{\prime }(4)=\frac{3\cdot 4\cdot 2+16}{2\cdot 4}=\frac{24+16}{8}=5$. c) (3 p) Pentru $x>0$ avem $\sqrt{x}>0$, deci $\frac{3\sqrt{x}}{2}>0$, și $\frac{8}{x}>0$. Suma a două numere strict pozitive este strict pozitivă, deci $f^{\prime }(x)>0$ pe tot domeniul.

Exercițiul 13. (8 p) a) (4 p) Ultima operație este împărțirea, deci se aplică regula câtului, cu $u(x)=5\ln x$, $u^{\prime }(x)=\frac{5}{x}$, și $v(x)=x^3$, $v^{\prime }(x)=3x^2$ (1 p): $f^{\prime }(x)=\frac{\frac{5}{x}\cdot x^3-5\ln x\cdot 3x^2}{x^6}$ (1 p). Numărătorul devine $5x^2-15x^2\ln x=5x^2\left(1-3\ln x\right)$ (1 p), iar simplificarea prin $x^2$ dă $f^{\prime }(x)=\frac{5\left(1-3\ln x\right)}{x^4}$ (1 p). b) (2 p) $\ln 1=0$, deci $f^{\prime }(1)=\frac{5(1-0)}{1}=5$. c) (2 p) O fracție se anulează când numărătorul se anulează, iar numitorul nu: $1-3\ln x=0$ dă $\ln x=\frac{1}{3}$, deci $x=\sqrt[3]{e}$. Numitorul $x^4$ nu se anulează pe $(0,+\infty )$, deci valoarea găsită convine.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică primul strat al unității de derivabilitate: de unde vine derivata și cum se calculează. Sunt acoperite cinci lecții — derivata unei funcții și panta tangentei (raportul de variație, limita lui, semnul rezultatului), funcție derivabilă și funcția derivată (trecerea de la un punct la o formulă, mulțimea de derivabilitate), tabelul derivatelor funcțiilor uzuale (cele paisprezece rânduri, cu mulțimea fiecăruia), regulile de derivare (suma, înmulțirea cu un număr, produsul, câtul) și cum derivezi orice funcție de la examen (alegerea regulii după ultima operație). Regula lanțului, derivata a doua, tangenta și normala se verifică în testul următor al unității; monotonia și punctele de extrem, în unitatea următoare — aici nu se cere nicio concluzie despre creșterea sau descreșterea unei funcții.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator; rezultatele cu $\ln$ și cu radicali se lasă în formă exactă. La calculul din definiție se cere scrierea celor trei pași — valoarea funcției în punct, raportul de variație simplificat, limita — nu doar rezultatul.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele cinci lecții, în special mulțimile de derivabilitate din tabel și ordinea termenilor la regula câtului.
• Formule de reținut: definiția — $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$, dacă limita există și este finită; puterile — ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ pe $\mathbb{R}$ și ${\left(x^{-n}\right)}^{\prime }=-n{x}^{-n-1}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$; radicalii — ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pe $(0,+\infty )$ și ${\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$; exponențiala și logaritmul — ${\left(a^x\right)}^{\prime }=a^x\ln a$ pe $\mathbb{R}$ și ${\left({\log }_{a}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$ pe $(0,+\infty )$; trigonometricele — ${\left(\sin x\right)}^{\prime }=\cos x$, ${\left(\cos x\right)}^{\prime }=-\sin x$, ${\left(\mathrm{tg}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$; regulile — $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$, $(\alpha f{)}^{\prime }=\alpha f^{\prime }$, $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ și ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, ultima cu $g\ne 0$ pe intervalul de lucru.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.3 „Derivabilitate" — „tangenta la o curbă și derivata unei funcții într-un punct; noțiunea de funcție derivabilă; operații cu funcții derivabile și reguli de derivare". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la capitolul „Funcții derivabile", „Tangenta la o curbă. Derivata unei funcții într-un punct, funcții derivabile" și „Operații cu funcții derivabile, calculul derivatelor de ordin I și al II-lea pentru funcțiile studiate"; tema apare la Subiectul al III-lea. Funcțiile trigonometrice nu se află pe lista funcțiilor studiate din programa de examen din 2014, așa că itemul 8 poartă mențiunea probei din 2030. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".