Test: Determinanți de ordinul 2, 3 și 4 (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Matrice și determinanți

Exerciții

Partea I – Determinantul de ordinul al doilea

Exercițiul 1 (6 puncte)

Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Ce condiție trebuie să îndeplinească o matrice pentru ca determinantul ei să aibă sens? b) Câte produse se adună și câte se scad într-un determinant de ordinul al treilea? c) Câți termeni are un determinant de ordinul al patrulea și câți determinanți de ordinul al treilea cere dezvoltarea lui după o linie care are două zerouri? d) Cum se schimbă valoarea unui determinant dacă se schimbă între ele două linii ale matricei? e) Se știe că $\det U=3$, unde $U$ este o matrice pătratică de ordinul al patrulea. Cât este $\det (2U)$? f) Adevărat sau fals: „Dacă toate elementele unei matrice pătratice sunt numere întregi, atunci determinantul ei este număr întreg."

Exercițiul 2 (6 puncte)

Calculează, scriind mai întâi cele două produse (câte 2 puncte): a) $\left|\begin{array}{cc}9& 2\\ 7& 5\end{array}\right|$; b) $\left|\begin{array}{cc}-6& 2\\ 5& -3\end{array}\right|$; c) $\left|\begin{array}{cc}\frac{3}{4}& 8\\ \frac{1}{2}& 6\end{array}\right|$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră matricea $C(s)=\left(\begin{array}{cc}s& 6\\ 1& s-5\end{array}\right)$, unde $s$ este număr real. a) Arătați că $\det (C(2))=-12$. (2 p) b) Determinați numerele reale $s$ pentru care $\det (C(s))=0$. (2 p) c) Determinați numerele reale $s$ pentru care $\det (C(s))=-10$. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea determinantului $\left|\begin{array}{cc}6& 7\\ 2& 3\end{array}\right|$ este: A. $4$; B. $32$; C. $-4$; D. $18$.

b) Dacă $A$ este o matrice pătratică de ordinul al patrulea cu $\det A=-1$, atunci $\det (3A)$ este: A. $-3$; B. $-12$; C. $-81$; D. $81$.

c) În tabla semnelor unei matrice pătratice de ordinul al patrulea, semnul poziției $(4,3)$ este: A. $+$; B. $-$; C. $0$; D. depinde de elementele matricei.

d) Dacă $A$ și $B$ sunt matrice pătratice de același ordin, cu $\det A=-2$ și $\det B=6$, atunci $\det (A\cdot B)$ este: A. $4$; B. $-3$; C. $12$; D. $-12$.

Partea a II-a – Ordinul al treilea și proprietățile

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră determinantul $D=\left|\begin{array}{ccc}3& 2& -1\\ 5& 0& 4\\ 1& 6& 2\end{array}\right|$. a) Scrie cei trei termeni ai grupului cu plus și suma lor. (2 p) b) Scrie cei trei termeni ai grupului cu minus și suma lor. (2 p) c) Calculează $D$, printr-o singură scădere. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră determinantul $D=\left|\begin{array}{ccc}3& 10& 4\\ 1& 15& 0\\ 2& 5& 7\end{array}\right|$. a) Scoate factorul comun al coloanei a doua și scrie egalitatea obținută. (2 p) b) Calculează $D$. (3 p) c) Fără niciun alt calcul, scrie valoarea determinantului obținut din $D$ prin schimbarea între ele a liniilor $1$ și $3$. (1 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

a) Un elev scrie: „Prima linie a determinantului $\left|\begin{array}{ccc}4& 6& 2\\ 1& 5& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right|$ are factorul comun $2$, deci determinantul este egal cu $\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 1& 5& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right|$." Găsește greșeala, scrie egalitatea corectă și dă valoarea determinantului. (4 p) b) Un elev vrea să calculeze $\left|\begin{array}{ccc}2& 7& 1\\ 5& 0& 3\\ 4& 6& 2\end{array}\right|$. El schimbă între ele primele două linii, „ca să aibă zeroul mai sus", calculează determinantul noului tablou, obține $-8$ și scrie: „deci determinantul cerut este $-8$". Găsește greșeala și dă valoarea corectă. (4 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 0& 2& 5\\ 4& 1& 0\end{array}\right)$. a) Arătați că $\det A=39$. (2 p) b) Calculați $\det ({}^{t}A)$ și $\det (2A)$. (2 p) c) Arătați că determinantul matricei obținute din $A$ adunând la linia a treia dublul primei linii este tot $39$. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Se consideră determinantul $D=\left|\begin{array}{ccc}8& 11& 4\\ 10& 17& 5\\ 3& 5& 2\end{array}\right|$. a) Aplică transformările $L_1\to L_1-2L_3$ și $L_2\to L_2-3L_3$, scrie tabloul obținut și explică de ce valoarea nu se schimbă. (3 p) b) Calculează $D$ folosind tabloul obținut. (2 p) c) Verifică rezultatul prin calcul direct pe tabloul inițial. (1 p)

Partea a III-a – Ordinul al patrulea și sinteză

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cccc}2& 3& 0& 1\\ 1& 0& 4& 2\\ 0& 5& 0& 0\\ 3& 1& 2& 4\end{array}\right)$. a) Precizați după ce linie dezvoltați determinantul și câți determinanți de ordinul al treilea vă rămân de calculat. (2 p) b) Calculați minorul de care aveți nevoie. (3 p) c) Calculați $\det A$. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră matricea $M=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 3& 1\\ 2& 4& 1& 5\\ 0& 2& 0& 3\\ 4& 1& 2& 2\end{array}\right)$. a) Aplicați transformarea $L_2\to L_2-L_1$, scrieți tabloul obținut și precizați de ce valoarea determinantului nu se schimbă. (2 p) b) Calculați cei doi minori de care aveți nevoie pentru dezvoltarea după prima coloană. (4 p) c) Calculați $\det M$. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}m& 2& 1\\ 3& m& 0\\ 1& 4& 2\end{array}\right)$, unde $m$ este număr real. a) Arată că $\det (A(m))=m(2m-1)$, oricare ar fi numărul real $m$. (4 p) b) Determină numerele reale $m$ pentru care $\det (A(m))=0$. (2 p) c) Calculează $\det (A(2))$ și $\det (A(2)\cdot {}^{t}A(2))$. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 6& 3\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 3\\ 4& x+4\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real. a) Arătați că $\det A=3$. (2 p) b) Arătați că $\det (A\cdot B(1))=-21$. (3 p) c) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det (B(x))=\det A$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Matricea trebuie să fie pătratică, adică să aibă tot atâtea linii câte coloane; la un tablou dreptunghiular determinantul nu se definește. b) Se adună trei produse și se scad trei, în total șase. c) Are $4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$ de termeni. O linie cu două zerouri are $4-2=2$ elemente nenule, iar dezvoltarea cere câte un determinant de ordinul al treilea pentru fiecare element nenul, deci doi. d) Determinantul își schimbă semnul, iar valoarea lui absolută rămâne aceeași. e) $\det (2U)=2^4\cdot \det U=16\cdot 3=48$, pentru că factorul se scoate din fiecare dintre cele patru linii. f) Adevărat. Determinantul este o sumă de produse de elemente ale matricei, iar suma și produsul unor numere întregi sunt numere întregi.

Exercițiul 2. (6 p) — câte 2 puncte. a) Produsul principal este $9\cdot 5=45$, cel secundar $2\cdot 7=14$, deci $\left|\begin{array}{cc}9& 2\\ 7& 5\end{array}\right|=45-14=31$. b) Produsul principal este $(-6)\cdot (-3)=18$, cel secundar $2\cdot 5=10$, deci $\left|\begin{array}{cc}-6& 2\\ 5& -3\end{array}\right|=18-10=8$. Cele două minusuri dau un produs pozitiv, iar scăderea rămâne scădere. c) $\frac{3}{4}\cdot 6=\frac{9}{2}$ și $8\cdot \frac{1}{2}=4$, deci $\left|\begin{array}{cc}\frac{3}{4}& 8\\ \frac{1}{2}& 6\end{array}\right|=\frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}$. Nu se rotunjește pe parcurs: rezultatul este exact.

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Pentru $s=2$ matricea devine $\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 1& -3\end{array}\right)$, deci $\det (C(2))=2\cdot (-3)-6\cdot 1=-6-6=-12$. b) (2 p) În general, $\det (C(s))=s(s-5)-6\cdot 1=s^2-5s-6$. Ecuația $s^2-5s-6=0$ are $\Delta =25+24=49$, deci $s_1=6$ și $s_2=-1$. c) (2 p) Din $s^2-5s-6=-10$ rezultă $s^2-5s+4=0$, cu $\Delta =25-16=9$, deci $s_1=1$ și $s_2=4$.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — $6\cdot 3-7\cdot 2=18-14=4$. b) C — matricea este de ordinul al patrulea, deci $\det (3A)=3^4\cdot \det A=81\cdot (-1)=-81$. c) B — suma indicilor este $4+3=7$, număr impar, deci semnul poziției este $-$. d) D — determinantul unui produs este produsul determinanților: $(-2)\cdot 6=-12$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Grupul cu plus: $3\cdot 0\cdot 2=0$, $2\cdot 4\cdot 1=8$ și $(-1)\cdot 5\cdot 6=-30$, cu suma $0+8-30=-22$. b) (2 p) Grupul cu minus: $(-1)\cdot 0\cdot 1=0$, $3\cdot 4\cdot 6=72$ și $2\cdot 5\cdot 2=20$, cu suma $0+72+20=92$. c) (2 p) $D=-22-92=-114$.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Elementele coloanei a doua sunt $10$, $15$ și $5$, toate divizibile cu $5$; proprietatea e enunțată pentru linii, dar trece la coloane prin egalitatea determinantului cu cel al transpusei, deci factorul iese în față: $$\left|\begin{array}{ccc}3& 10& 4\\ 1& 15& 0\\ 2& 5& 7\end{array}\right|=5\cdot \left|\begin{array}{ccc}3& 2& 4\\ 1& 3& 0\\ 2& 1& 7\end{array}\right|.$$ b) (3 p) Pentru determinantul rămas, grupul cu plus este $3\cdot 3\cdot 7=63$, $2\cdot 0\cdot 2=0$ și $4\cdot 1\cdot 1=4$, cu suma $67$ (1 p); grupul cu minus este $4\cdot 3\cdot 2=24$, $3\cdot 0\cdot 1=0$ și $2\cdot 1\cdot 7=14$, cu suma $38$ (1 p). Deci determinantul rămas este $67-38=29$, iar $D=5\cdot 29=145$ (1 p). c) (1 p) $-145$: schimbarea a două linii schimbă semnul determinantului.

Exercițiul 7. (8 p) a) (4 p) Greșeala este de sens: factorul comun se scoate în fața determinantului, nu se împarte la el; scrierea corectă este $\left|\begin{array}{ccc}4& 6& 2\\ 1& 5& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right|=2\cdot \left|\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 1& 5& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right|$ (2 p). În determinantul rămas, prima și a treia linie sunt identice, $(2,3,1)$, deci el este nul (1 p). Prin urmare valoarea cerută este $2\cdot 0=0$ (1 p). Verificarea directă confirmă: grupul cu plus este $20+36+6=62$, grupul cu minus $20+36+6=62$, iar diferența lor este $0$. b) (4 p) Elevul a uitat că schimbarea a două linii schimbă semnul determinantului (2 p): tabloul pe care l-a calculat nu mai are aceeași valoare cu cel din enunț, ci valoarea opusă. Deci determinantul cerut este $-(-8)=8$ (1 p). Verificare pe tabloul din enunț: grupul cu plus este $2\cdot 0\cdot 2=0$, $7\cdot 3\cdot 4=84$ și $1\cdot 5\cdot 6=30$, cu suma $114$; grupul cu minus este $1\cdot 0\cdot 4=0$, $2\cdot 3\cdot 6=36$ și $7\cdot 5\cdot 2=70$, cu suma $106$; diferența este $114-106=8$ (1 p).

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Grupul cu plus: $1\cdot 2\cdot 0=0$, $3\cdot 5\cdot 4=60$ și $2\cdot 0\cdot 1=0$, cu suma $60$. Grupul cu minus: $2\cdot 2\cdot 4=16$, $1\cdot 5\cdot 1=5$ și $3\cdot 0\cdot 0=0$, cu suma $21$. Deci $\det A=60-21=39$. b) (2 p) Determinantul nu se schimbă la transpunere, deci $\det ({}^{t}A)=39$ (1 p). Matricea este de ordinul al treilea, deci $\det (2A)=2^3\cdot 39=312$ (1 p). c) (2 p) Transformarea este $L_3\to L_3+2L_1$, adică la o linie se adaugă o altă linie înmulțită cu un număr, iar linia rescrisă intră cu coeficientul $1$; o astfel de transformare nu schimbă valoarea determinantului (1 p). Noua linie a treia este $(4+2,1+6,0+4)=(6,7,4)$, iar determinantul obținut este tot $39$ (1 p).

Exercițiul 9. (6 p) a) (3 p) Din prima linie se scade dublul liniei a treia: $(8-6,11-10,4-4)=(2,1,0)$ (1 p). Din a doua se scade triplul liniei a treia: $(10-9,17-15,5-6)=(1,2,-1)$ (1 p). Linia a treia rămâne neatinsă, iar fiecare transformare adaugă la o linie un multiplu al alteia, cu linia rescrisă luată cu coeficientul $1$, deci valoarea nu se schimbă (1 p): $$D=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& -1\\ 3& 5& 2\end{array}\right|.$$ b) (2 p) Grupul cu plus: $2\cdot 2\cdot 2=8$, $1\cdot (-1)\cdot 3=-3$ și $0\cdot 1\cdot 5=0$, cu suma $5$. Grupul cu minus: $0\cdot 2\cdot 3=0$, $2\cdot (-1)\cdot 5=-10$ și $1\cdot 1\cdot 2=2$, cu suma $-8$. Deci $D=5-(-8)=13$. c) (1 p) Pe tabloul inițial, grupul cu plus este $8\cdot 17\cdot 2=272$, $11\cdot 5\cdot 3=165$ și $4\cdot 10\cdot 5=200$, cu suma $637$; grupul cu minus este $4\cdot 17\cdot 3=204$, $8\cdot 5\cdot 5=200$ și $11\cdot 10\cdot 2=220$, cu suma $624$. Diferența este $637-624=13$, aceeași valoare.

Exercițiul 10. (8 p) a) (2 p) Se dezvoltă după linia a treia, care are trei zerouri: singurul element nenul al ei este $a_{32}=5$, deci rămâne de calculat un singur determinant de ordinul al treilea. Orice altă linie sau coloană ar cere cel puțin doi. b) (3 p) Ștergem linia $3$ și coloana $2$; rămân liniile $(2,0,1)$, $(1,4,2)$ și $(3,2,4)$. Grupul cu plus: $2\cdot 4\cdot 4=32$, $0\cdot 2\cdot 3=0$ și $1\cdot 1\cdot 2=2$, cu suma $34$ (1 p). Grupul cu minus: $1\cdot 4\cdot 3=12$, $2\cdot 2\cdot 2=8$ și $0\cdot 1\cdot 4=0$, cu suma $20$ (1 p). Deci $${\Delta }_{32}=\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 1& 4& 2\\ 3& 2& 4\end{array}\right|=34-20=14$$ (1 p). c) (3 p) Poziția $(3,2)$ are suma indicilor $3+2=5$, număr impar, deci semnul ei este $-$ și ${\delta }_{32}=-14$ (2 p). Dezvoltarea după linia a treia are un singur termen nenul: $\det A=5\cdot (-14)=-70$ (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) a) (2 p) Noua linie a doua este $(2-2,4-1,1-3,5-1)=(0,3,-2,4)$, iar tabloul devine $$\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 3& 1\\ 0& 3& -2& 4\\ 0& 2& 0& 3\\ 4& 1& 2& 2\end{array}\right|.$$ Valoarea nu se schimbă pentru că s-a adunat la o linie o altă linie înmulțită cu un număr, iar linia rescrisă a intrat cu coeficientul $1$. b) (4 p) Prima coloană este acum $(2,0,0,4)$, deci au rămas doar doi termeni, cu minorii ${\Delta }_{11}$ și ${\Delta }_{41}$. Ștergând linia $1$ și coloana $1$ rămâne $\left|\begin{array}{ccc}3& -2& 4\\ 2& 0& 3\\ 1& 2& 2\end{array}\right|$: grupul cu plus este $3\cdot 0\cdot 2=0$, $(-2)\cdot 3\cdot 1=-6$ și $4\cdot 2\cdot 2=16$, cu suma $10$; grupul cu minus este $4\cdot 0\cdot 1=0$, $3\cdot 3\cdot 2=18$ și $(-2)\cdot 2\cdot 2=-8$, cu suma $10$; deci ${\Delta }_{11}=10-10=0$ (2 p). Ștergând linia $4$ și coloana $1$ rămâne $\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 3& -2& 4\\ 2& 0& 3\end{array}\right|$: grupul cu plus este $1\cdot (-2)\cdot 3=-6$, $3\cdot 4\cdot 2=24$ și $1\cdot 3\cdot 0=0$, cu suma $18$; grupul cu minus este $1\cdot (-2)\cdot 2=-4$, $1\cdot 4\cdot 0=0$ și $3\cdot 3\cdot 3=27$, cu suma $23$; deci ${\Delta }_{41}=18-23=-5$ (2 p). c) (2 p) Semnul poziției $(1,1)$ este $+$, deci ${\delta }_{11}=0$; semnul poziției $(4,1)$ este $-$, fiindcă $4+1=5$ este impar, deci ${\delta }_{41}=5$ (1 p). Prin urmare $\det M=2\cdot 0+0+0+4\cdot 5=20$ (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (4 p) Grupul cu plus: $m\cdot m\cdot 2=2m^2$, $2\cdot 0\cdot 1=0$ și $1\cdot 3\cdot 4=12$, cu suma $2m^2+12$ (2 p). Grupul cu minus: $1\cdot m\cdot 1=m$, $m\cdot 0\cdot 4=0$ și $2\cdot 3\cdot 2=12$, cu suma $m+12$ (1 p). Deci $\det (A(m))=2m^2+12-m-12=2m^2-m=m(2m-1)$ (1 p). b) (2 p) Un produs este nul când unul dintre factori este nul: $m=0$ sau $2m-1=0$, adică $m=\frac{1}{2}$. c) (2 p) $\det (A(2))=2\cdot (2\cdot 2-1)=2\cdot 3=6$ (1 p). Determinantul transpusei este egal cu al matricei, iar determinantul unui produs este produsul determinanților, deci $\det (A(2)\cdot {}^{t}A(2))=6\cdot 6=36$ (1 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) $\det A=5\cdot 3-2\cdot 6=15-12=3$. b) (3 p) Pentru $x=1$ avem $B(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 5\end{array}\right)$, cu $\det (B(1))=5-12=-7$ (2 p). Determinantul unui produs este produsul determinanților, deci $\det (A\cdot B(1))=3\cdot (-7)=-21$ (1 p). c) (3 p) În general, $\det (B(x))=x(x+4)-3\cdot 4=x^2+4x-12$ (1 p). Condiția $x^2+4x-12=3$ devine $x^2+4x-15=0$, cu $\Delta =16+60=76$ (1 p). Cum $\sqrt{76}=2\sqrt{19}$, soluțiile sunt $x_{1,2}=\frac{-4\pm 2\sqrt{19}}{2}$, adică $x_1=-2+\sqrt{19}$ și $x_2=-2-\sqrt{19}$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică al doilea strat al unității: numărul pe care îl scoate o matrice pătratică. Sunt acoperite trei lecții — Determinanți de ordinul 2 și 3 (definiția la ordinul al doilea, regula triunghiului și regula lui Sarrus, determinantul cu parametru), Proprietățile determinanților, la lucru (transpusa, linia nulă, liniile identice sau proporționale, schimbarea a două linii, factorul comun al unei linii sau coloane, $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$, transformarea care nu schimbă valoarea, $\det (A\cdot B)=\det A\cdot \det B$) și Determinantul de ordinul 4, pe o linie (minorul, complementul algebric, dezvoltarea după o linie sau o coloană). Matricele și operațiile cu ele au fost verificate în testul anterior al unității; inversabilitatea, inversa și aplicațiile geometrice ale determinantului se verifică în testul următor — aici nu se cere nicio inversă.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La ordinul al treilea se cere scrierea separată a celor două grupuri de câte trei produse, cu o singură scădere la final; la ordinul al patrulea se cere justificarea scrisă a liniei sau a coloanei alese.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele trei lecții, în special semnele celor două grupuri la ordinul al treilea și deosebirea dintre factorul comun al unei linii și înmulțirea întregii matrice cu un număr.
• Formule de reținut: la ordinul al doilea, $\det A=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$; la ordinul al treilea determinantul are șase produse, trei cu plus (diagonala principală și cele două triunghiuri paralele cu ea) și trei cu minus (diagonala secundară și triunghiurile ei), iar regula lui Sarrus le așază altfel pe hârtie; regula lui Sarrus și regula triunghiului nu se aplică la ordinul al patrulea, unde determinantul are $24$ de termeni; $\det ({}^{t}A)=\det A$; o linie nulă, două linii identice sau două linii proporționale anulează determinantul; schimbarea a două linii îi schimbă semnul; un factor comun al unei linii sau al unei coloane se scoate în fața determinantului, iar $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$ pentru o matrice de ordinul $n$; adunând la o linie o altă linie înmulțită cu un număr, valoarea nu se schimbă; $\det (A\cdot B)=\det A\cdot \det B$; minorul ${\Delta }_{ij}$ este determinantul rămas după ștergerea liniei $i$ și a coloanei $j$, complementul algebric este ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$, iar dezvoltarea după linia $i$ este $\det A=a_{i1}{\delta }_{i1}+a_{i2}{\delta }_{i2}+\cdots +a_{in}{\delta }_{in}$.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030, la clasa a XI-a din 2028–2029; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la XI.1 „Matrice și determinanți", unde programa scrie „Determinantul unei matrice pătratice de ordin $n\le 4$; metode de calcul și proprietăți fundamentale". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere „determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult $3$, proprietăți", iar în modelul oficial al probei tema apare la Subiectul al II-lea, în prima dintre cele două probleme. Ordinul al patrulea face deosebirea dintre cele două generații: el este materie de clasă la ambele, dar nu intră în programa de examen pentru 2027–2029 și apare abia la proba MAT_P2 din 2030; de aceea itemii $10$ și $11$ poartă marcajul corespunzător. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".