Test: Ecuații diferențiale (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Ecuații diferențiale

Exerciții

Partea I – Ce este o soluție

Exercițiul 1 (6 puncte)

Răspunde scurt, fără calcule intermediare scrise (câte 1 punct): a) Precizează ordinul ecuației $y^{\prime \prime }+7y^{\prime }-2y=0$. b) Precizează ordinul ecuației $y^{\prime }=4x^3+1$. c) Scrie soluția generală a ecuației $y^{\prime }=10x-6$. d) Determină valoarea de echilibru a ecuației $y^{\prime }=4y-28$. e) Scrie ecuația caracteristică a ecuației $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+11y=0$. f) Scrie soluțiile ecuației $y^{\prime }=-6y$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră ecuația $x{y}^{\prime }=4y$, cu necunoscuta $y:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$. a) Arată că funcția $u(x)=7x^4$ este soluție. (2 p) b) Arată că funcția $v(x)=e^{4x}$ nu este soluție, indicând o valoare a lui $x$ pentru care egalitatea cade. (2 p) c) Arată că, pentru orice număr real $c$, funcția $y(x)=c{x}^4$ este soluție a ecuației pe $(0,+\infty )$. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se consideră ecuația $y^{\prime }=24x^2-10x+3$, cu necunoscuta $y:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. a) Determină soluția generală a ecuației. (2 p) b) Determină soluția care verifică $y(-1)=5$. (2 p) c) Verifică răspunsul de la punctul b) prin derivare și prin înlocuirea punctului din condiție. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Ordinul ecuației $y^{\prime \prime }+y^{\prime }=x^3$ este: A. $1$; B. $2$; C. $3$; D. $4$.

b) Soluțiile ecuației $y^{\prime }=0,8y$ sunt funcțiile: A. $y(x)=c{e}^{0,8x}$; B. $y(x)=0,8e^{cx}$; C. $y(x)=c{e}^{x/0,8}$; D. $y(x)=c+e^{0,8x}$.

c) Valoarea de echilibru a ecuației $y^{\prime }=-5y+45$ este: A. $45$; B. $-9$; C. $9$; D. $-5$.

d) Soluția generală a ecuației $y^{\prime \prime }-16y=0$ este: A. $c_1{e}^{4x}+c_2{e}^{-4x}$; B. $c_1\cos 4x+c_2\sin 4x$; C. $\left(c_1+c_{2}x\right)e^{4x}$; D. $c_1{e}^{16x}+c_2{e}^{-16x}$.

Partea a II-a – Variabile separabile și ordinul I

Exercițiul 5 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră ecuația $y^{\prime }=4x^{3}y$, cu necunoscuta $y:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $y>0$. a) Separă variabilele și arată că $\ln y=x^4+c_0$, cu $c_0$ număr real. (2 p) b) Determină soluția generală a ecuației. (2 p) c) Determină soluția care verifică $y(0)=5$ și verific-o prin derivare și substituție. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Concentrația unui dezinfectant dintr-un bazin de laborator scade după legea $C^{\prime }(t)=-\lambda C(t)$, unde $\lambda >0$ este o constantă măsurată în ore la puterea minus unu, iar $t$ este timpul în ore. La pornirea măsurătorii, concentrația era de $64$ de miligrame pe litru, iar după $3$ ore ea a ajuns la $32$ de miligrame pe litru. a) Scrie soluția generală a ecuației și determină constanta din condiția de la pornire. (2 p) b) Determină $\lambda$, exprimat cu ajutorul lui $\ln 2$. (2 p) c) Calculează concentrația după $12$ ore, cu unitatea de măsură. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Funcția constantă $y(x)=0$, definită pe $\mathbb{R}$, este soluție a ecuației $y^{\prime }=7y-3$." b) „Ecuația $y^{\prime }=2y+6$ are o soluție care se anulează într-un punct." c) „Ecuația $y^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y=0$ are o soluție care se anulează în punctul $3$ și care nu este funcția nulă." d) „Dacă $y_1$ și $y_2$ sunt soluții ale ecuației $y^{\prime }=3y-12$, atunci și funcția $y_1+y_2$ este soluție a aceleiași ecuații."

Exercițiul 8 (6 puncte)

Se consideră ecuația $y^{\prime }=-4y+60$, cu necunoscuta $y:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ și condiția $y(0)=3$. a) Determină valoarea de echilibru a ecuației. (2 p) b) Determină soluția care verifică condiția dată. (2 p) c) Arată că soluția este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și că nu ia niciodată valoarea $15$. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Într-o fermă, laptele turnat în tancul de răcire are temperatura de $36$ de grade Celsius, iar agentul frigorific menține în tanc $4$ grade Celsius. Temperatura laptelui verifică $T^{\prime }(t)=-k(T(t)-4)$, cu $k=0,02$ minute la puterea minus unu, unde $t$ este timpul în minute. a) Determină $T(t)$. (2 p) b) Arată că temperatura laptelui nu coboară niciodată sub $4$ grade Celsius. (2 p) c) Determină, cu ajutorul lui $\ln 2$, momentul în care laptele ajunge la $20$ de grade Celsius, apoi scrie rezultatul cu două zecimale. (2 p)

Partea a III-a – Ordinul al doilea și modele

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră ecuația $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }-15y=0$, cu necunoscuta $y:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. a) Scrie ecuația caracteristică și determină rădăcinile ei. (3 p) b) Determină soluția generală a ecuației. (2 p) c) Determină soluția care verifică $y(0)=5$ și $y^{\prime }(0)=9$. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

a) Determină soluția generală a ecuației $y^{\prime \prime }+14y^{\prime }+49y=0$. (3 p) b) Determină soluția generală a ecuației $y^{\prime \prime }-8y^{\prime }+41y=0$. (3 p) c) Precizează, calculând discriminantul, în care dintre cele trei cazuri se află ecuația $y^{\prime \prime }+11y=0$ și scrie soluția ei generală. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Un plutitor de $0,5$ kilograme, apăsat ușor în apă și lăsat liber, oscilează pe verticală sub acțiunea unei forțe de readucere proporționale cu deplasarea, cu constanta de $32$ de newtoni pe metru. Deplasarea $x$, măsurată în metri față de poziția de echilibru și socotită pozitivă în jos, verifică $0,5x^{\prime \prime }=-32x$, iar $t$ este timpul în secunde. a) Arată că ecuația se scrie $x^{\prime \prime }+64x=0$ și determină pulsația $\omega$, cu unitatea de măsură. (3 p) b) Determină $x(t)$, știind că la momentul $0$ plutitorul este tras în jos cu $4$ centimetri și lăsat liber, fără viteză inițială. (3 p) c) Calculează perioada și frecvența oscilației, cu două zecimale. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Într-un vas de laborator are loc o reacție autocatalitică: în fiecare minut se formează o cantitate de produs proporțională cu cea deja aflată în vas, constanta de proporționalitate fiind $0,3$ pe minut, iar în același timp se extrag necontenit $18$ mililitri de produs pe minut. Volumul $V$ de produs, măsurat în mililitri, verifică o ecuație de forma $V^{\prime }=aV+b$; la pornire, vasul conținea $100$ de mililitri. a) Scrie ecuația verificată de $V$ și determină valoarea ei de echilibru. (3 p) b) Determină $V(t)$. (3 p) c) Arată că abaterea volumului față de valoarea de echilibru crește nemărginit, apoi determină, cu ajutorul lui $\ln 3$, momentul în care volumul ajunge la $180$ de mililitri. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Ordinul al doilea: cea mai mare derivată care apare este $y^{\prime \prime }$. b) Ordinul întâi: în ecuație apare numai $y^{\prime }$; gradul expresiei în $x$ nu schimbă ordinul. c) $y(x)=5{\mathbf{x}}^2-6x+\mathbf{c}$, cu $c$ număr real: ecuația dă direct derivata, deci soluțiile sunt primitivele membrului drept. d) Punem $4y-28=0$ și obținem $y_e=7$; se poate folosi și formula $y_e=-\frac{b}{a}=-\frac{-28}{4}$. e) ${\mathbf{r}}^2-3r+11=0$: coeficienții se iau exact în ordinea din ecuația diferențială. f) $y(x)=\mathbf{c}{\mathbf{e}}^{-6x}$, cu $c$ număr real: numărul din ecuație ajunge la exponent.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) Derivăm: $u^{\prime }(x)=28x^3$. Membrul stâng dă $x{u}^{\prime }(x)=28x^4$, iar membrul drept, $4u(x)=28x^4$. Cei doi membri coincid pentru orice $x\in (0,+\infty )$, deci $u$ este soluție. b) (2 p) Avem $v^{\prime }(x)=4e^{4x}$, deci membrul stâng este $x{v}^{\prime }(x)=4x{e}^{4x}$, iar membrul drept, $4v(x)=4e^{4x}$. Pentru $x=2$ obținem $8e^8$, respectiv $4e^8$, numere diferite, deci egalitatea cade acolo și $v$ nu este soluție. O singură valoare a variabilei ajunge ca să respingi o funcție. c) (2 p) Pentru $y(x)=c{x}^4$ avem $y^{\prime }(x)=4c{x}^3$, deci $x{y}^{\prime }(x)=4c{x}^4$, iar $4y(x)=4c{x}^4$. Cei doi membri coincid pe tot intervalul, oricare ar fi $c$.

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Ecuația cere primitivele membrului drept: $y(x)=8{\mathbf{x}}^3-5{\mathbf{x}}^2+3x+\mathbf{c}$, cu $c$ număr real. Ecuația fiind de ordinul întâi, apare o singură constantă. b) (2 p) $y(-1)=-8-5-3+c=-16+c$, iar din $-16+c=5$ rezultă $c=21$, deci $y(x)=8{\mathbf{x}}^3-5{\mathbf{x}}^2+3x+21$. c) (2 p) Derivând, $y^{\prime }(x)=24x^2-10x+3$, adică exact membrul drept al ecuației. Înlocuind punctul din condiție, $y(-1)=-8-5-3+21=5$.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B — cea mai mare derivată este $y^{\prime \prime }$; puterea a treia a variabilei nu are legătură cu ordinul. b) A — ecuația este tiparul $y^{\prime }=ky$ cu $k=0,8$, iar numărul $k$ merge la exponent; în față stă constanta care vine din condiția inițială. c) C — din $-5y+45=0$ rezultă $y=9$; termenul liber $45$ nu este valoarea de echilibru. d) A — ecuația caracteristică $r^2-16=0$ are rădăcinile $4$ și $-4$, deci discriminantul e pozitiv și soluția generală are două exponențiale.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Cum $y>0$, împărțim prin $y$ și obținem $\frac{1}{y}\cdot y^{\prime }=4x^3$: la stânga numai $y$, la dreapta numai $x$. Membrul stâng este derivata lui $\ln y$, după regula lanțului, iar membrul drept are primitivele $x^4+c_0$. Două funcții cu aceeași derivată pe un interval diferă printr-o constantă, deci $\ln y=x^4+c_0$. b) (2 p) Trecem la exponențială: $y=e^{x^4+c_0}=e^{c_0}\cdot e^{x^4}$, iar $e^{c_0}$ este un număr strict pozitiv, notat $c$. Soluția generală este $y(x)=\mathbf{c}{\mathbf{e}}^{{\mathbf{x}}^4}$. c) (2 p) Din $y(0)=c\cdot e^0=c=5$ obținem $y(x)=5{\mathbf{e}}^{{\mathbf{x}}^4}$. Verificare: $y^{\prime }(x)=5\cdot 4x^3{e}^{x^4}=20x^3{e}^{x^4}$, iar membrul drept dă $4x^3\cdot 5e^{x^4}=20x^3{e}^{x^4}$; cei doi membri coincid pe tot $\mathbb{R}$.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Ecuația este tiparul $y^{\prime }=ky$ cu $k=-\lambda$, deci $C(t)=c{e}^{-\lambda t}$ miligrame pe litru. Din $C(0)=c=64$ obținem $C(t)=64e^{-\lambda t}$. b) (2 p) Din $C(3)=32$ rezultă $64e^{-3\lambda }=32$, adică $e^{-3\lambda }=\frac{1}{2}$, deci $3\lambda =\ln 2$ și $\lambda =\frac{\ln 2}{3}$ ore la puterea minus unu. c) (2 p) Timpul de înjumătățire este $t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda }=3$ ore, iar în $12$ ore trec patru asemenea intervale: concentrația se înjumătățește de patru ori, deci $C(12)=\frac{64}{16}=4$ miligrame pe litru. Valoarea rămâne strict pozitivă, cum se și cuvine pentru o concentrație.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Fals. Derivata funcției constante nule este $0$, iar membrul drept dă $7\cdot 0-3=-3$. Cei doi membri nu coincid în niciun punct, deci funcția nulă nu este soluție. (Ea ar fi fost soluție dacă ecuația nu avea termen liber.) b) Adevărat. Valoarea de echilibru este $y_e=-\frac{6}{2}=-3$, deci soluțiile sunt $y(x)=-3+c{e}^{2x}$. Pentru $c=3$ obținem $y(x)=-3+3e^{2x}$, care se anulează în $x=0$. Verificare: $y^{\prime }(x)=6e^{2x}$, iar $2y(x)+6=-6+6e^{2x}+6=6e^{2x}$. c) Adevărat. Ecuația caracteristică $r^2+4r+4=0$ are $\Delta =0$ și rădăcina dublă $-2$, deci soluțiile sunt $y(x)=\left(c_1+c_{2}x\right)e^{-2x}$. Condiția $y(3)=0$ cere $c_1+3c_2=0$, fiindcă exponențiala nu se anulează; pentru $c_2=1$ și $c_1=-3$ obținem $y(x)=(x-3)e^{-2x}$, funcție care nu este identic nulă. d) Fals. Notăm $z=y_1+y_2$. Atunci $z^{\prime }=y_1^{\prime }+y_2^{\prime }=\left(3y_1-12\right)+\left(3y_2-12\right)=3z-24$, iar $3z-24$ nu coincide cu $3z-12$. Termenul liber se dublează la adunare, deci suma verifică altă ecuație. (Se păstrează, în schimb, diferența: $y_1-y_2$ verifică $z^{\prime }=3z$.)

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Din $-4y+60=0$ rezultă $y_e=15$; cu formula, $y_e=-\frac{60}{-4}=15$. b) (2 p) Soluția generală este $y(x)=15+c{e}^{-4x}$, iar constanta este abaterea inițială de la echilibru: $c=3-15=-12$. Prin urmare $y(x)=15-12{\mathbf{e}}^{-4x}$. Proba: $y^{\prime }(x)=48e^{-4x}$, iar $-4\left(15-12e^{-4x}\right)+60=-60+48e^{-4x}+60=48e^{-4x}$; în plus $y(0)=15-12=3$. c) (2 p) Derivata este $y^{\prime }(x)=48e^{-4x}>0$ pentru orice $x$ real, deci $y$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. Diferența față de echilibru este $15-y(x)=12e^{-4x}>0$, deci $y(x)<15$ peste tot: soluția se apropie de $15$ fără să atingă valoarea aceasta.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Ecuația este legea răcirii, cu $T_m=4$ și $T_0=36$, deci $T(t)=T_m+\left(T_0-T_m\right)e^{-kt}=4+32{\mathbf{e}}^{-0,02t}$ grade Celsius. b) (2 p) Exponențiala ia numai valori strict pozitive, deci $32e^{-0,02t}>0$ pentru orice $t\ge 0$, adică $T(t)>4$. Laptele se apropie de temperatura din tanc fără să coboare sub ea. c) (2 p) Din $4+32e^{-0,02t}=20$ rezultă $32e^{-0,02t}=16$, adică $e^{-0,02t}=\frac{1}{2}$, deci $0,02t=\ln 2$ și $t=50\ln 2$ minute, adică aproximativ $34,66$ de minute.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Ecuația caracteristică este ${\mathbf{r}}^2-2r-15=0$ (1 p), cu $\Delta =4+60=64$ (1 p). Rădăcinile sunt $r_{1,2}=\frac{2\pm 8}{2}$, adică $r_1=5$ și $r_2=-3$ (1 p). b) (2 p) Discriminantul fiind pozitiv, cu rădăcini distincte, soluția generală este $y(x)={\mathbf{c}}_1{\mathbf{e}}^{5x}+{\mathbf{c}}_2{\mathbf{e}}^{-3x}$. c) (3 p) Derivata este $y^{\prime }(x)=5c_1{e}^{5x}-3c_2{e}^{-3x}$ (1 p). Condițiile dau sistemul $c_1+c_2=5$ și $5c_1-3c_2=9$; din prima, $c_2=5-c_1$, iar înlocuind în a doua obținem $8c_1=24$, deci $c_1=3$ și $c_2=2$ (1 p). Soluția este $y(x)=3{\mathbf{e}}^{5x}+2{\mathbf{e}}^{-3x}$, cu proba $y(0)=3+2=5$ și $y^{\prime }(0)=15-6=9$ (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Ecuația caracteristică $r^2+14r+49=0$ are $\Delta =196-196=0$ și rădăcina dublă $r=-7$. La rădăcină dublă, a doua soluție se obține înmulțind exponențiala cu variabila, deci soluția generală este $y(x)=\left({\mathbf{c}}_1+{\mathbf{c}}_2\mathbf{x}\right){\mathbf{e}}^{-7x}$. b) (3 p) Ecuația caracteristică $r^2-8r+41=0$ are $\Delta =64-164=-100<0$, deci $\alpha =-\frac{-8}{2}=4$ și $\beta =\frac{\sqrt{100}}{2}=5$. Soluția generală este $y(x)={\mathbf{e}}^{4x}\left({\mathbf{c}}_1\cos 5x+{\mathbf{c}}_2\sin 5x\right)$. Fiind $\alpha >0$, amplitudinea crește. c) (2 p) Aici $a=0$ și $b=11$, deci $\Delta =0-44=-44<0$: suntem în cazul al treilea, cel oscilant. Atunci $\alpha =0$ și $\beta =\frac{\sqrt{44}}{2}=\sqrt{11}$, iar soluția generală este $y(x)={\mathbf{c}}_1\cos \left(\sqrt{11}\mathbf{x}\right)+{\mathbf{c}}_2\sin \left(\sqrt{11}\mathbf{x}\right)$. Numărul $\beta$ nu trebuie să fie întreg.

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Împărțim egalitatea la $0,5$: din $0,5x^{\prime \prime }=-32x$ rezultă $x^{\prime \prime }=-64x$, adică ${\mathbf{x}}^{\prime \prime }+64x=0$ (2 p). Comparând cu forma $x^{\prime \prime }+{\omega }^{2}x=0$ obținem ${\omega }^2=64$, deci $\omega =8$ radiani pe secundă (1 p). Aceeași valoare iese din $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{32}{0,5}}$. b) (3 p) Ecuația caracteristică $r^2+64=0$ are $\Delta =-256<0$, cu $\alpha =0$ și $\beta =8$, deci soluția generală este $x(t)=c_1\cos 8t+c_2\sin 8t$ (1 p). Derivata este $x^{\prime }(t)=-8c_1\sin 8t+8c_2\cos 8t$ (1 p). Din $x(0)=0,04$ metri rezultă $c_1=0,04$, iar din $x^{\prime }(0)=8c_2=0$ rezultă $c_2=0$, deci $x(t)=0,04\cos 8t$ metri (1 p). c) (2 p) Perioada este $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{8}=\frac{\pi }{4}\approx 0,79$ secunde, iar frecvența, $f=\frac{1}{T}=\frac{4}{\pi }\approx 1,27$ hertzi. Amplitudinea de $4$ centimetri nu intră în niciunul dintre cele două numere: perioada e hotărâtă numai de masă și de constanta forței de readucere.

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) Formarea proporțională cu cantitatea prezentă dă termenul $+0,3V$, iar extragerea constantă dă termenul liber $-18$, cu minus, fiindcă micșorează volumul. Ecuația este ${\mathbf{V}}^{\prime }=0,3V-18$ (2 p). Valoarea de echilibru este $V_e=-\frac{-18}{0,3}=60$ de mililitri (1 p). b) (3 p) Soluția generală este $V(t)=60+c{e}^{0,3t}$ (1 p), iar constanta se scoate din condiția de pornire: $V(0)=60+c=100$, deci $c=40$ (1 p). Prin urmare $V(t)=60+40{\mathbf{e}}^{0,3t}$ mililitri. Controlul are două jumătăți: derivata este $V^{\prime }(t)=12e^{0,3t}$, iar membrul drept al ecuației dă $0,3\left(60+40e^{0,3t}\right)-18=18+12e^{0,3t}-18=12e^{0,3t}$, aceeași funcție; iar în $t=0$ formula dă $60+40=100$ de mililitri, cât spune enunțul (1 p). c) (2 p) Abaterea față de echilibru este $V(t)-60=40e^{0,3t}$; coeficientul lui $t$ din exponent este pozitiv, deci exponențiala crește nemărginit, iar odată cu ea și abaterea: aici echilibrul respinge, nu atrage. Din $60+40e^{0,3t}=180$ rezultă $40e^{0,3t}=120$, adică $e^{0,3t}=3$, deci $0,3t=\ln 3$ și $t=\frac{10\ln 3}{3}$ minute, adică aproximativ $3,66$ minute. Modelul are sens numai cât timp vasul mai are loc: o creștere exponențială nemărginită descrie realitatea doar pe primele minute.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică întreaga unitate de ecuații diferențiale, cele patru lecții ale ei — Ecuații diferențiale: ce este o soluție (necunoscuta e o funcție, ordinul, verificarea prin derivare și substituție, soluția generală și cea particulară), Ecuații cu variabile separabile (cei trei pași, tiparul $y^{\prime }=ky$, dezintegrarea și legea răcirii), Ecuații diferențiale de ordinul I (forma $y^{\prime }=ay+b$, valoarea de echilibru, semnul lui $a$) și Ecuații diferențiale de ordinul al doilea (ecuația caracteristică și cele trei cazuri de discriminant, oscilatorul armonic). Unitatea se sprijină pe primitive, verificate în cele două teste anterioare: acolo rata se citea la aparat, ca funcție de timp; aici ea depinde de mărimea necunoscută. Nu se cer sisteme de ecuații diferențiale, ecuații de ordin mai mare decât doi, ecuații cu membrul drept nenul la ordinul al doilea și nici ecuații care nu se separă, cum este $y^{\prime }=x+y$ — toate rămân în afara programei acestui profil.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator, cu excepția celor două rezultate pentru care enunțul cere două zecimale. Răspunsul la o cerință de rezolvare este o funcție, scrisă complet, nu valoarea unei constante; la verificarea unei soluții se scriu amândoi membrii, unul sub altul, iar concluzia se formulează în cuvinte. Rezultatele se lasă în formă exactă, cu $\ln 2$ și $\pi$ nescrise ca zecimale, acolo unde enunțul nu cere altfel.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele patru lecții, în special locul coeficientului din ecuație (la exponent, nu în față) și semnul din modelele fizice.
• Formule de reținut: ordinul unei ecuații diferențiale este ordinul celei mai mari derivate care apare în ea, iar soluția generală a unei ecuații de ordinul $n$ are $n$ constante. O funcție este soluție pe un interval dacă, derivată și înlocuită, dă o egalitate adevărată în fiecare punct al intervalului. Variabile separabile: aduci ecuația la forma $g(y)\cdot y^{\prime }=f(x)$, integrezi amândoi membrii și adaugi o singură constantă. Tiparul $y^{\prime }=ky$ are soluțiile $y(x)=c{e}^{kx}$; la dezintegrare $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$ și $t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda }$; la răcire $T(t)=T_m+(T_0-T_m)e^{-kt}$. Ordinul I cu coeficienți constanți: $y^{\prime }=ay+b$ are valoarea de echilibru $y_e=-\frac{b}{a}$ și soluția generală $y(x)=y_e+c{e}^{ax}$, cu $c=y_0-y_e$ atunci când condiția e dată în $0$. Ordinul al doilea omogen: $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$ are ecuația caracteristică $r^2+ar+b=0$; la $\Delta >0$ soluția generală este $c_1{e}^{r_{1}x}+c_2{e}^{r_{2}x}$, la $\Delta =0$ este $\left(c_1+c_{2}x\right)e^{rx}$, iar la $\Delta <0$ este $e^{\alpha x}\left(c_1\cos \beta x+c_2\sin \beta x\right)$, cu $\alpha =-\frac{a}{2}$ și $\beta =\frac{\sqrt{-\Delta }}{2}$. Oscilatorul armonic: $x^{\prime \prime }+{\omega }^{2}x=0$, cu $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$, perioada $T=\frac{2\pi }{\omega }$ și frecvența $f=\frac{1}{T}$.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.3. Primitivele unei funcții continue, la conținutul „Ecuații diferențiale: ecuații cu variabile separabile; ecuații diferențiale de grad cel mult 2, cu coeficienți constanți". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, pe programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), unde ecuațiile diferențiale nu apar deloc — nici la clasă, nici în subiecte. Pentru ei, testul rămâne exercițiu suplimentar util, nu materie de examen. Pentru proba MAT_P2 nu există încă subiecte publicate, ci numai programa de examen, așa că itemii marcați mai jos sunt construiți de noi, în formatul probei actuale de la științe ale naturii, nu preluați dintr-un model oficial.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".