Test: Existența primitivelor și aplicații (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Primitivele unei funcții continue

Exerciții

Partea I – Existența primitivelor

Exercițiul 1 (6 puncte)

Răspunde scurt, fără calcule intermediare scrise (câte 1 punct): a) Precizează domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\frac{5}{x^2-9}$ și din câte intervale este format. b) Arată printr-un calcul că numitorul funcției $g(x)=\frac{1}{x^2+2x+5}$ nu se anulează. c) Scrie condiția pe care o pui dacă ți se cere primitiva $F$ al cărei grafic trece prin punctul $A(3,-2)$. d) Scrie condiția pe care o pui dacă ți se cere primitiva care se anulează în punctul $4$. e) Rata unei mărimi este dată în grame pe secundă. În ce unitate se măsoară mărimea acumulată? f) Determină numărul real $m$ pentru care funcția $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=\{\begin{array}{ll}5x+m,& x\le 2\\ x^2+3,& x>2\end{array}$, este continuă în punctul $2$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x-5}{x^2+6x+10}$. a) Arată că numitorul este strict pozitiv pentru orice număr real $x$. (3 p) b) Arată, în trei rânduri, că $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$. (3 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se consideră funcția $f(x)=\frac{x+1}{x^2-x-12}$, cu domeniul maxim de definiție. a) Determină domeniul maxim de definiție al funcției. (2 p) b) Precizează intervalele pe care se aplică regula de existență. (2 p) c) Explică de ce răspunsul de la punctul b) nu se poate scrie ca un singur interval. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3}{x^2+5}$, admite primitive pe $\mathbb{R}$ pentru că: A. este derivabilă pe $\mathbb{R}$; B. este continuă pe $\mathbb{R}$, care este interval; C. este mărginită; D. ia numai valori pozitive.

b) Primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^3$, cu $F(1)=10$, este: A. $F(x)=x^4+10$; B. $F(x)=x^4+9$; C. $F(x)=4x^4+6$; D. $F(x)=x^4$.

c) Dacă o mărime are rata $M^{\prime }(t)=-3$ pe $[0,10]$ și $M(0)=45$, atunci $M(4)$ este: A. $33$; B. $-12$; C. $57$; D. $12$.

d) Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+5,& x<3\\ x^2+p,& x\ge 3\end{array}$, este continuă pe $\mathbb{R}$ pentru: A. $p=11$; B. $p=9$; C. $p=2$; D. $p=-2$.

Partea a II-a – Primitiva determinată de o condiție

Exercițiul 5 (6 puncte)

Determină primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=9x^2-8x+5$, cu $F(2)=3$. a) Scrie familia primitivelor lui $f$, cu constantă cu tot. (2 p) b) Determină valoarea constantei. (2 p) c) Scrie răspunsul ca funcție și fă cele două verificări. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{6}{x}+4x$. a) Scrie familia primitivelor lui $f$ pe $(0,+\infty )$. (2 p) b) Determină primitiva $F$ a lui $f$ care se anulează în punctul $1$. (2 p) c) Calculează $F(e)$. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Dacă $F$ este primitiva funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2$, cu $F(2)=0$, atunci $F$ se anulează într-un singur punct." b) „Dacă rata unei mărimi este strict pozitivă pe un interval, atunci mărimea ia numai valori pozitive pe acel interval." c) „Dacă $F$ este o primitivă a funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^3}$, cu $F(1)=1$, atunci $F(x)>0$ pentru orice $x>0$." d) „Dacă masa dintr-un vas verifică $m^{\prime }(t)=2,4-0,3t$ pe $[0,10]$ și $m(0)=5$ grame, atunci masa crește pe tot intervalul."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+mx-1,& x\le 2\\ 5x-3,& x>2\end{array}$, unde $m$ este un număr real. a) Calculează limita la dreapta a funcției $f$ în punctul $2$. (2 p) b) Determină numărul real $m$ pentru care $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și arată că, pentru această valoare, $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$. (2 p) c) Pentru valoarea găsită la punctul b), arată că $f(x)\ge -2$ pentru orice număr real $x$. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{10}{x^2+1}+e^x$. a) Traduce în egalitate condiția „graficul primitivei trece prin punctul $A(0,4)$" și scrie familia primitivelor lui $f$. (2 p) b) Determină primitiva cerută. (2 p) c) Arată că funcția obținută este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. (2 p)

Partea a III-a – De la rată la cantitate

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) O lumânare de laborator arde, iar masa ei scade cu rata $u(t)=0,9-0,06t$, măsurată în grame pe minut, unde $t$ este timpul de la aprindere, în minute, iar modelul se folosește pentru $t\in [0,15]$. La aprindere, lumânarea avea $40$ de grame. a) Arată că rata este strict pozitivă pe $[0,15)$ și se anulează la $t=15$. (2 p) b) Determină legea masei $m(t)$, cu unitatea de măsură. (4 p) c) Calculează $m(10)$ și arată că masa rămâne pozitivă pe tot intervalul. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Un senzor urmărește subțierea unui strat de vopsea proaspătă, din care se evaporă solventul. Viteza de subțiere este $u(t)=\frac{40}{t^3}$, măsurată în micrometri pe minut, unde $t$ este timpul în minute, iar modelul se folosește pentru $t\ge 2$. La minutul al doilea, stratul avea grosimea de $150$ de micrometri. a) Scrie prima egalitate verificată de grosimea $d$ și explică semnul ei. (2 p) b) Determină legea grosimii $d(t)$, cu unitatea de măsură. (4 p) c) Arată că grosimea nu coboară niciodată sub $145$ de micrometri și spune ce înseamnă asta pentru model. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:(-3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^3+27}{x+3}$. a) Arată că $f(x)=x^2-3x+9$ pentru orice $x\in (-3,+\infty )$. (2 p) b) Determină mulțimea primitivelor funcției $f$ pe $(-3,+\infty )$. (3 p) c) Determină primitiva $F$ a lui $f$ cu $F(0)=5$. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{6x+7\sqrt{x}}{x}$. a) Arată că $f$ admite primitive pe $(0,+\infty )$. (2 p) b) Arată că $f(x)=6+\frac{7}{\sqrt{x}}$ și determină mulțimea primitivelor lui $f$ pe $(0,+\infty )$. (3 p) c) Determină primitiva $F$ a lui $f$ cu $F(4)=10$ și calculează $F(9)$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Numitorul se anulează pentru $x=-3$ și $x=3$, deci domeniul maxim este $\mathbb{R}\setminus \{-3,3\}$, format din trei intervale. b) Discriminantul este $\Delta =4-20=-16<0$, iar coeficientul lui $x^2$ este pozitiv, deci $x^2+2x+5>0$ pentru orice $x$ real. c) $\mathbf{F}(3)=-2$ — condiția geometrică se traduce în valoarea primitivei în abscisa punctului. d) $\mathbf{F}(4)=0$ — cine se anulează este primitiva $F$, nu funcția $f$. e) În grame: unitatea timpului din numitorul ratei se simplifică cu unitatea timpului cu care se înmulțește. f) Prima ramură dă în $2$ valoarea $10+m$, iar a doua se apropie de $4+3=7$; din $10+m=7$ rezultă $m=-3$.

Exercițiul 2. (6 p) a) (3 p) Discriminantul este $\Delta =36-40=-4<0$ (2 p), iar coeficientul lui $x^2$ este $1>0$, deci trinomul păstrează semnul coeficientului dominant și $x^2+6x+10>0$ pentru orice $x$ real (1 p). b) (3 p) Rândul întâi: lucrăm pe intervalul $\mathbb{R}$ (1 p). Rândul al doilea: $f$ este un cât de două funcții polinomiale, iar numitorul nu se anulează, prin punctul a); deci $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ (1 p). Rândul al treilea: fiind continuă pe un interval, $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$ (1 p). Nu se calculează nicio primitivă.

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Numitorul se descompune: $x^2-x-12=(x-4)(x+3)$, deci se anulează pentru $x=4$ și $x=-3$. Domeniul maxim este $\mathbb{R}\setminus \{-3,4\}$. b) (2 p) Mulțimea de la punctul a) nu este interval; bucățile ei sunt $(-\infty ,-3)$, $(-3,4)$ și $(4,+\infty )$. Pe fiecare dintre ele funcția este continuă, ca raport de funcții continue cu numitor nenul, deci pe fiecare dintre ele admite primitive. c) (2 p) Regula de existență se enunță pe un interval, iar din domeniu lipsesc două puncte: mulțimea se rupe în trei bucăți care nu comunică. Ce se întâmplă pe una dintre ele nu constrânge cu nimic ce se întâmplă pe alta, iar constantele se aleg separat pe fiecare.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B — regula cere continuitate pe un interval; derivabilitatea nu se cere, iar mărginirea și semnul nu apar în ipoteze. b) B — familia este $x^4+c$, iar din $1+c=10$ rezultă $c=9$. c) A — $M(t)=-3t+45$, din $M(0)=45$, deci $M(4)=-12+45=33$. d) C — în $3$ prima ramură se apropie de $2\cdot 3+5=11$, iar a doua dă $9+p$; din $9+p=11$ rezultă $p=2$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Termen cu termen: $F(x)=3{\mathbf{x}}^3-4{\mathbf{x}}^2+5x+\mathbf{c}$, cu $c$ număr real. Constanta se scrie de la primul rând. b) (2 p) $F(2)=24-16+10+c=18+c$, iar din $18+c=3$ rezultă $c=-15$. c) (2 p) Răspunsul este funcția $F(x)=3{\mathbf{x}}^3-4{\mathbf{x}}^2+5x-15$. Prima verificare: $F^{\prime }(x)=9x^2-8x+5=f(x)$ pe $\mathbb{R}$. A doua: $F(2)=24-16+10-15=3$, exact cât cerea enunțul.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Rândul logaritmului și rândul puterii: $F(x)=6\ln \mathbf{x}+2{\mathbf{x}}^2+\mathbf{c}$, pe $(0,+\infty )$. b) (2 p) „Se anulează în $1$" înseamnă $F(1)=0$. Cum $\ln 1=0$, avem $F(1)=0+2+c=2+c$, iar din $2+c=0$ rezultă $c=-2$, deci $F(x)=6\ln \mathbf{x}+2{\mathbf{x}}^2-2$. c) (2 p) $F(e)=6\ln e+2e^2-2=6+2e^2-2=2{\mathbf{e}}^2+4$, fiindcă $\ln e=1$.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Adevărat. Familia este $x^3+c$, iar din $8+c=0$ rezultă $c=-8$, deci $F(x)=x^3-8$. Ecuația $x^3=8$ are o singură soluție reală, $x=2$, fiindcă funcția $x\mapsto x^3$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. b) Fals. Semnul ratei dă monotonia mărimii, nu semnul ei. Contraexemplu: pentru $M(t)=t-10$ pe $[0,5]$ avem $M^{\prime }(t)=1>0$, deci mărimea crește, dar ea ia numai valori negative acolo, de la $-10$ la $-5$. c) Fals. Familia este $-\frac{1}{2x^2}+c$, iar din $-\frac{1}{2}+c=1$ rezultă $c=\frac{3}{2}$, deci $F(x)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2x^2}$. Pentru $x=\frac{1}{2}$ obținem $F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}-2=-\frac{1}{2}<0$, deci afirmația nu este adevărată pe tot intervalul. d) Fals. Rata se anulează pentru $2,4-0,3t=0$, adică la $t=8$, punct din interiorul intervalului; pe $(8,10]$ ea este negativă, deci masa scade acolo. Creșterea are loc numai pe $[0,8)$.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Pentru $x>2$ funcția coincide cu $5x-3$, deci limita la dreapta în $2$ este $5\cdot 2-3=7$. b) (2 p) Valoarea funcției în $2$ se citește din prima ramură: $4+2m-1=2m+3$. Continuitatea în racord cere $2m+3=7$, deci $m=2$ (1 p). Pe fiecare dintre bucățile $(-\infty ,2)$ și $(2,+\infty )$ funcția e polinomială, deci continuă; împreună cu racordul, $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, care este interval, deci $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$ (1 p). c) (2 p) Pentru $m=2$ și $x\le 2$ avem $x^2+2x-1=(x+1{)}^2-2\ge -2$, cu egalitate în $x=-1$. Pentru $x>2$ funcția $5x-3$ este strict crescătoare și depășește valoarea ei din $2$, adică $7$, deci $f(x)>7>-2$. Prin urmare $f(x)\ge -2$ pe tot $\mathbb{R}$.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Condiția geometrică se scrie $\mathbf{F}(0)=4$. Familia primitivelor este $F(x)=10\mathrm{arctg}x+e^x+c$, din rândul arctangentei cu $a=1$ și din rândul exponențialei naturale. b) (2 p) Cum $\mathrm{arctg}0=0$ și $e^0=1$, avem $F(0)=0+1+c=1+c$, iar din $1+c=4$ rezultă $c=3$. Răspunsul este $F(x)=10\mathrm{arctg}\mathbf{x}+{\mathbf{e}}^{\mathbf{x}}+3$. Proba: $F^{\prime }(x)=\frac{10}{x^2+1}+e^x=f(x)$, iar $F(0)=4$. c) (2 p) Avem $F^{\prime }(x)=f(x)=\frac{10}{x^2+1}+e^x$, iar amândoi termenii sunt strict pozitivi pentru orice $x$ real, fiindcă $x^2+1>0$ și exponențiala ia numai valori strict pozitive. Deci $F^{\prime }(x)>0$ pe $\mathbb{R}$, iar $F$ este strict crescătoare acolo.

Exercițiul 10. (8 p) a) (2 p) Rata $u(t)=0,9-0,06t$ este o funcție de gradul întâi descrescătoare; ea se anulează pentru $0,06t=0,9$, adică $t=15$. Pe $[0,15)$ avem $t<15$, deci $u(t)>0$; cea mai mică valoare pe interval, atinsă în capătul din dreapta, este $u(15)=0$. b) (4 p) Masa scade, deci semnul intră în prima egalitate: $m^{\prime }(t)=-u(t)=-0,9+0,06t$ (1 p). Integrând termen cu termen, $m(t)=-0,9t+0,03t^2+c$ (2 p). Din $m(0)=40$ rezultă $c=40$, deci $m(t)=40-0,9t+0,03{\mathbf{t}}^2$ grame, pentru $t\in [0,15]$ (1 p). c) (2 p) $m(10)=40-9+3=34$ de grame. Masa scade pe tot intervalul, fiindcă $m^{\prime }(t)=-u(t)<0$ pe $[0,15)$, deci cea mai mică valoare este cea din capătul din dreapta: $m(15)=40-13,5+6,75=33,25$ de grame, număr pozitiv. Prin urmare masa rămâne pozitivă pe tot intervalul, cum se și cuvine.

Exercițiul 11. (8 p) a) (2 p) Stratul se subțiază, deci grosimea scade, iar prima egalitate poartă minusul: ${\mathbf{d}}^{\prime }(\mathbf{t})=-\mathbf{u}(\mathbf{t})=-\frac{40}{{\mathbf{t}}^3}$. Semnul se scrie aici, la traducerea enunțului, nu la sfârșit. b) (4 p) Rândul puterii de la numitor, cu $n=3$, dă $\int \frac{1}{t^3}dt=-\frac{1}{2t^2}+\mathcal{C}$ (1 p), deci $\int -\frac{40}{t^3}dt=\frac{20}{t^2}+\mathcal{C}$ (1 p). Așadar $d(t)=\frac{20}{t^2}+c$. Din $d(2)=\frac{20}{4}+c=5+c=150$ rezultă $c=145$ (1 p), deci $d(t)=\frac{20}{{\mathbf{t}}^2}+145$ micrometri, pentru $t\ge 2$ (1 p). c) (2 p) Pentru $t\ge 2$ avem $\frac{20}{t^2}>0$, deci $d(t)>145$ de micrometri oricât ar trece timpul. Modelul descrie un strat care se subțiază tot mai încet și se apropie de o grosime-limită; el nu spune că vopseaua dispare, ci că solventul se evaporă până rămâne pelicula uscată.

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) Numărătorul este o sumă de cuburi: $x^3+27=(x+3)\left(x^2-3x+9\right)$. Pe $(-3,+\infty )$ avem $x>-3$, deci $x+3>0$ și în particular $x+3\ne 0$, așa că simplificarea este permisă și $f(x)=x^2-3x+9$. b) (3 p) După simplificare a rămas o funcție polinomială, integrată termen cu termen: $\int f(x)dx=\frac{{\mathbf{x}}^3}{3}-\frac{3{\mathbf{x}}^2}{2}+9x+\mathcal{C}$. Controlul: derivata membrului drept este $x^2-3x+9$. c) (3 p) Scriem $F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+9x+c$ și punem condiția: $F(0)=c$, iar din $c=5$ rezultă $F(x)=\frac{{\mathbf{x}}^3}{3}-\frac{3{\mathbf{x}}^2}{2}+9x+5$. Proba: $F^{\prime }(x)=x^2-3x+9=f(x)$, iar $F(0)=5$.

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) Lucrăm pe intervalul $(0,+\infty )$. Acolo $x>0$ și $\sqrt{x}>0$, deci $f$ este un cât de funcții continue cu numitor nenul, adică este continuă. Fiind continuă pe un interval, $f$ admite primitive pe $(0,+\infty )$. b) (3 p) Împărțim termen cu termen la $x$, nenul pe interval: $\frac{6x}{x}=6$, iar $\frac{7\sqrt{x}}{x}=\frac{7}{\sqrt{x}}$, fiindcă $x=\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}$. Deci $f(x)=6+\frac{7}{\sqrt{x}}$ (1 p). Rândul puterii cu $n=0$ și rândul lui $\frac{1}{\sqrt{x}}$ dau $\int f(x)dx=6x+14\sqrt{\mathbf{x}}+\mathcal{C}$ (2 p). c) (3 p) Scriem $F(x)=6x+14\sqrt{x}+c$. Din $F(4)=24+28+c=52+c$ și $52+c=10$ rezultă $c=-42$, deci $F(x)=6x+14\sqrt{\mathbf{x}}-42$ (2 p). Atunci $F(9)=54+42-42=54$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică al doilea strat al unității de primitive: existența, selecția și folosirea lor. Sunt acoperite patru lecții — Ce funcții admit primitive (regula de existență, cuvântul „interval", funcțiile definite pe ramuri și parametrul din racord), Primitiva care trece printr-un punct dat (traducerea condiției, determinarea constantei, proba în două verificări), Primitive: cum recunoști funcția la examen (cele trei rescrieri: împărțire termen cu termen, simplificare cu numitorul, desfacerea unui pătrat sau a unui produs) și De la rată la cantitate: primitive în științe (prima egalitate, semnul, unitatea de măsură, intervalul de valabilitate). Noțiunea de primitivă, integrala nedefinită, liniaritatea și tabelul au fost verificate în testul anterior al unității — aici se presupun știute și nu se mai cer ca atare. Ecuațiile diferențiale se verifică în testul unității următoare, deci nu se cere nicio ecuație în care necunoscuta apare și în membrul drept.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La cerințele de existență nu se calculează nicio primitivă: se scrie intervalul, se justifică continuitatea și se invocă regula. La cerințele cu condiție, răspunsul este funcția, scrisă complet, nu valoarea constantei. La problemele cu model se cere unitatea de măsură la fiecare rezultat și intervalul pe care modelul are sens.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele patru lecții, în special citirea domeniului înaintea continuității și traducerea condiției din enunț.
• Formule de reținut: regula de existență — dacă $f$ este continuă pe un interval $I$, atunci $f$ admite primitive pe $I$; concluziile negative nu se scriu la acest profil. La o funcție definită pe ramuri se verifică numai punctul de racord: cele două formule trebuie să dea acolo aceeași valoare. Condiția inițială se scrie $F(x_0)=y_0$, cu $x_0$ din intervalul de lucru; „graficul trece prin $A(x_0,y_0)$" și „primitiva se anulează în $x_0$" se traduc în aceeași egalitate, a doua cu $y_0=0$. Constanta se scrie din primul rând și se determină dintr-o ecuație de gradul întâi; proba are două jumătăți: $F^{\prime }=f$ și $F(x_0)=y_0$. Puntea rată–cantitate: dacă $r$ este rata mărimii $M$, atunci $M^{\prime }(t)=r(t)$, iar dacă mărimea scade, în prima egalitate apare minusul: $M^{\prime }(t)=-r(t)$. Unitatea mărimii acumulate este unitatea ratei înmulțită cu unitatea timpului.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.3. Primitivele unei funcții continue, la conținutul „Noțiunea de primitivă, mulțimea primitivelor unei funcții continue". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține rândurile „Probleme care conduc la noțiunea de integrală" și „Primitivele unei funcții definite pe un interval", iar analiza matematică se dă la Subiectul al III-lea. Tema se cere, așadar, la amândouă examenele. Programa de examen (OMEN 4430/2014) conține proprietatea lui Darboux la clasa a XI-a, la capitolul „Funcții continue"; ce nu se cere la științe ale naturii este concluzia negativă — a arăta că o funcție nu admite primitive fiindcă nu are proprietatea lui Darboux —, un raționament care se studiază numai la matematică-informatică.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".