Test: Funcții compuse, tangenta și normala la grafic (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — testele de mate-info, clasa a XI-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Derivabilitate

Exerciții

Partea I – Regula lanțului și derivata a doua

Exercițiul 1 (6 puncte)

Pentru fiecare funcție, scrie interiorul $u$ și derivata lui $u^{'}$ (câte 1 punct): a) $f (x) = (6 x + 1)^{5}$ ; b) $f (x) = e^{7 - 3 x}$ ; c) $f (x) = ln (x^{2} + 12)$ ; d) $f (x) = (3 - 2 x)^{7}$ ; e) $f (x) = x^{2} + 20$ ; f) $f (x) = 3 ln x$ .

Exercițiul 2 (6 puncte)

Calculează derivata fiecărei funcții, folosind regula lanțului (câte 2 puncte): a) $f : R \to R$ , $f (x) = (2 x^{2} - 7)^{4}$ ; b) $f : R \to R$ , $f (x) = e^{4 - x^{2}}$ ; c) $f : (\frac{5}{6}, + \infty) \to R$ , $f (x) = ln (6 x - 5)$ .

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x^{4} + 5 x^{3} - 9 x$ . a) Calculează $f^{'} (x)$ . (2 p) b) Calculează $f^{''} (x)$ și scrie rezultatul sub formă factorizată. (2 p) c) Determină numerele reale $x$ pentru care $f^{''} (x) = 0$ . (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 5 x^{2} + 4$ , are derivata: A. $\frac{5 x}{5 x ^{2} + 4}$ ; B. $\frac{1}{2 5 x ^{2} + 4}$ ; C. $\frac{10 x}{5 x ^{2} + 4}$ ; D. $\frac{5 x}{2 5 x ^{2} + 4}$ .

b) Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = e^{7 - 3 x}$ , are derivata de ordinul al doilea: A. $9 e^{7 - 3 x}$ ; B. $- 9 e^{7 - 3 x}$ ; C. $3 e^{7 - 3 x}$ ; D. $- 3 e^{7 - 3 x}$ .

c) Tangenta la graficul unei funcții derivabile într-un punct are ecuația $3 x + 7 y - 5 = 0$ . Panta normalei în același punct este: A. $- \frac{7}{3}$ ; B. $\frac{3}{7}$ ; C. $\frac{7}{3}$ ; D. $- \frac{3}{7}$ .

d) Pentru funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + a x + 1$ , unde $a$ este un număr real, normala la grafic în punctul de abscisă $x_{0} = - 2$ este verticală exact când: A. $a = - 4$ ; B. $a = 4$ ; C. $a = 2$ ; D. $a = 0$ .

Partea a II-a – Tangenta la grafic

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 7 x$ , și punctul de abscisă $x_{0} = - 2$ . a) Calculează $f (- 2)$ și $f^{'} (- 2)$ . (2 p) b) Scrie ecuația tangentei la grafic în punctul de abscisă $- 2$ , sub forma $y = m x + n$ . (2 p) c) Fă proba, înlocuind $x = - 2$ în ecuația obținută. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră funcția $f : (\frac{3}{4}, + \infty) \to R$ , $f (x) = ln (4 x - 3)$ . a) Calculează $f (1)$ și determină $f^{'} (x)$ . (2 p) b) Scrie ecuația tangentei la grafic în punctul de abscisă $x_{0} = 1$ . (3 p) c) Determină punctul în care această tangentă taie axa $O y$ . (1 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Există o funcție derivabilă a cărei normală într-un punct coincide cu tangenta în acel punct." b) „Dacă $f : R \to R$ este derivabilă și $f^{'} (x) > 0$ pentru orice număr real $x$ , atunci nicio tangentă la graficul funcției nu este paralelă cu axa $O x$ ." c) „Derivata de ordinul al doilea a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = (5 x - 2)^{2}$ , este funcția constantă $10$ ." d) „Dacă tangenta la graficul unei funcții derivabile $f$ în punctul de abscisă $x_{0}$ este dreapta $y = 2 x + 1$ , atunci $f (x_{0}) = 2 x_{0} + 1$ ."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x^{2} + a x - 3$ , unde $a$ este număr real. a) Determină $a$ , știind că tangenta la graficul funcției în punctul de abscisă $- 1$ este paralelă cu dreapta $d : y = - 3 x + 1$ . (3 p) b) Pentru valoarea găsită a lui $a$ , scrie ecuația acestei tangente și arată că ea nu coincide cu dreapta $d$ . (3 p)

Partea a III-a – Normala și probleme de sinteză

Exercițiul 9 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 4 x + 11$ . a) Calculează $f (4)$ și $f^{'} (4)$ . (2 p) b) Scrie ecuația normalei la graficul funcției în punctul de abscisă $x_{0} = 4$ . (2 p) c) Verifică perpendicularitatea celor două drepte, calculând produsul pantelor. (2 p)

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{18}{x}$ . a) Arată că $f^{'} (x) = - \frac{18}{x ^{2}}$ și calculează $f^{'} (3)$ . (3 p) b) Scrie ecuația normalei la graficul funcției în punctul de abscisă $x_{0} = 3$ . (2 p) c) Determină punctele în care normala taie axele de coordonate și calculează aria triunghiului determinat de ea împreună cu cele două axe. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Într-un experiment de dizolvare se înregistrează masa de sare dizolvată, în grame, timp de zece minute. Pe grafic s-a trasat tangenta la curbă în punctul de abscisă $t_{0} = 4$ ; ea trece prin nodurile de caroiaj de coordonate $(2, 3)$ și $(6, 15)$ . a) Calculează panta tangentei și precizează unitatea ei de măsură. (3 p) b) Scrie ecuația tangentei. (2 p) c) Determină masa dizolvată la momentul $t_{0} = 4$ minute și explică de ce ea se poate citi de pe tangentă. (3 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = e^{- 2 x} + 4 x$ . a) Arată că $f^{'} (x) = - 2 e^{- 2 x} + 4$ , $x \in R$ . (3 p) b) Arată că $f^{''} (x) = 4 e^{- 2 x}$ , $x \in R$ . (2 p) c) Arată că $f^{''} (x) > 0$ pentru orice număr real $x$ și determină numărul real $x$ pentru care $f^{'} (x) = 0$ . (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 4$ . a) Arată că $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 18 x$ , $x \in R$ . (2 p) b) Determină abscisele punctelor în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta $d : y = - 12 x + 7$ . (3 p) c) Scrie ecuațiile celor două tangente și arată că niciuna dintre ele nu coincide cu dreapta $d$ . (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) $u = 6 x + 1$ , cu $u^{'} = 6$ . b) $u = 7 - 3 x$ , cu $u^{'} = - 3$ . c) $u = x^{2} + 12$ , cu $u^{'} = 2 x$ ; interiorul este pozitiv peste tot, deci logaritmul are sens pe $R$ . d) $u = 3 - 2 x$ , cu $u^{'} = - 2$ . e) $u = x^{2} + 20$ , cu $u^{'} = 2 x$ . f) Funcția nu este compusă: numărul $3$ este un factor în fața logaritmului, iar interiorul logaritmului este chiar $x$ , cu derivata $1$ .

Exercițiul 2. (6 p) — câte 2 puncte. a) Interiorul este $u = 2 x^{2} - 7$ , cu $u^{'} = 4 x$ , iar exteriorul este puterea a patra: $f^{'} (x) = 4 (2 x^{2} - 7)^{3} \cdot 4 x = 16 x (2 x^{2} - 7)^{3}$ . b) Interiorul este $u = 4 - x^{2}$ , cu $u^{'} = - 2 x$ : $f^{'} (x) = - 2 x e^{4 - x^{2}}$ . c) Interiorul este $u = 6 x - 5$ , cu $u^{'} = 6$ : $f^{'} (x) = \frac{6}{6 x - 5}$ , pe $(\frac{5}{6}, + \infty)$ , unde $6 x - 5 > 0$ .

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Se derivează termen cu termen: $f^{'} (x) = 8 x^{3} + 15 x^{2} - 9$ . b) (2 p) A doua derivare dă $f^{''} (x) = 24 x^{2} + 30 x$ , adică $f^{''} (x) = 6 x (4 x + 5)$ . Gradul a scăzut cu două unități, cum era de așteptat. c) (2 p) Un produs este nul când unul dintre factori este nul: $6 x = 0$ dă $x = 0$ , iar $4 x + 5 = 0$ dă $x = - \frac{5}{4}$ .

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — interiorul $5 x^{2} + 4$ are derivata $10 x$ , deci $f^{'} (x) = \frac{10 x}{2 5 x ^{2} + 4} = \frac{5 x}{5 x ^{2} + 4}$ ; doiul de la numitor se reduce cu factorul par al derivatei interioare. b) A — $f^{'} (x) = - 3 e^{7 - 3 x}$ , iar a doua derivare aduce încă un factor $- 3$ , deci $f^{''} (x) = 9 e^{7 - 3 x}$ ; factorul apare de două ori, la pătrat. c) C — din $7 y = - 3 x + 5$ rezultă panta tangentei $m_{t} = - \frac{3}{7}$ . Condiția $m_{t} m_{n} = - 1$ dă $m_{n} = - \frac{1}{- 3/7} = \frac{7}{3}$ . d) B — normala este verticală exact când tangenta este orizontală, adică $f^{'} (- 2) = 0$ . Din $f^{'} (x) = 2 x + a$ rezultă $- 4 + a = 0$ , deci $a = 4$ .

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) $f (- 2) = - 8 + 14 = 6$ ; $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 7$ , deci $f^{'} (- 2) = 12 - 7 = 5$ . b) (2 p) $y - 6 = 5 (x - (- 2))$ , adică $y - 6 = 5 (x + 2)$ și, în final, $y = 5 x + 16$ . Atenție la paranteză: $x - (- 2) = x + 2$ . c) (2 p) Pentru $x = - 2$ ecuația dă $y = - 10 + 16 = 6$ , adică exact $f (- 2)$ , deci tangenta trece prin punctul de tangență.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) $f (1) = ln 1 = 0$ ; interiorul este $4 x - 3$ , cu derivata $4$ , deci $f^{'} (x) = \frac{4}{4 x - 3}$ . b) (3 p) $f^{'} (1) = \frac{4}{1} = 4$ (1 p), deci tangenta are ecuația $y - 0 = 4 (x - 1)$ (1 p), adică $y = 4 x - 4$ (1 p). c) (1 p) Pentru $x = 0$ obținem $y = - 4$ , deci tangenta taie axa $O y$ în punctul $(0, - 4)$ .

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Fals. Dacă amândouă dreptele ar avea pantă, coincidența ar cere $m \cdot m = - 1$ , adică $m^{2} = - 1$ , imposibil pentru un număr real. Iar dacă tangenta este orizontală, normala este verticală, deci tot diferite. b) Adevărat. O tangentă paralelă cu axa $O x$ are panta $0$ , deci ar trebui să existe un punct în care $f^{'} (x_{0}) = 0$ ; ipoteza spune că derivata este strict pozitivă peste tot, deci un asemenea punct nu există. c) Fals. $f^{'} (x) = 2 (5 x - 2) \cdot 5 = 50 x - 20$ , deci $f^{''} (x) = 50$ , nu $10$ . Funcția derivată de ordinul al doilea este într-adevăr constantă, dar constanta este alta. d) Adevărat. Tangenta trece prin punctul de tangență $(x_{0}, f (x_{0}))$ , deci coordonatele acestuia verifică ecuația dreptei: $f (x_{0}) = 2 x_{0} + 1$ .

Exercițiul 8. (6 p) a) (3 p) Panta dreptei $d$ este $- 3$ , iar condiția de paralelism se scrie în punctul cerut: $f^{'} (- 1) = - 3$ (1 p). Cum $f^{'} (x) = 4 x + a$ , obținem $- 4 + a = - 3$ (1 p), deci $a = 1$ (1 p). b) (3 p) Pentru $a = 1$ , funcția este $f (x) = 2 x^{2} + x - 3$ , iar $f (- 1) = 2 - 1 - 3 = - 2$ (1 p). Tangenta are ecuația $y + 2 = - 3 (x + 1)$ (1 p), adică $y = - 3 x - 5$ . Ea este paralelă cu $d$ , dar nu coincide cu ea, pentru că termenii liberi diferă: $- 5 \neq = 1$ (1 p).

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) $f (4) = 16 - 16 + 11 = 11$ ; $f^{'} (x) = 2 x - 4$ , deci $f^{'} (4) = 4$ . b) (2 p) Panta normalei este $- \frac{1}{4}$ , deci ecuația ei este $y - 11 = - \frac{1}{4} (x - 4)$ , adică $y = - \frac{x}{4} + 12$ . c) (2 p) Produsul pantelor este $4 \cdot (- \frac{1}{4}) = - 1$ , deci dreptele sunt perpendiculare. A doua probă: pentru $x = 4$ ecuația normalei dă $- 1 + 12 = 11 = f (4)$ .

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Scriem $f (x) = 18 x^{- 1}$ ; rândul $x^{- n}$ dă $f^{'} (x) = - 18 x^{- 2} = - \frac{18}{x ^{2}}$ (2 p). Atunci $f^{'} (3) = - \frac{18}{9} = - 2$ (1 p). b) (2 p) $f (3) = 6$ , iar panta normalei este $- \frac{1}{- 2} = \frac{1}{2}$ , deci $y - 6 = \frac{1}{2} (x - 3)$ , adică $y = \frac{x}{2} + \frac{9}{2}$ . c) (3 p) Cu $y = 0$ obținem $\frac{x}{2} = - \frac{9}{2}$ , deci punctul $(- 9, 0)$ de pe axa $O x$ (1 p); cu $x = 0$ obținem punctul $(0, \frac{9}{2})$ de pe axa $O y$ (1 p). Catetele au lungimile date de modulele coordonatelor, adică $9$ și $\frac{9}{2}$ , iar aria este $\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{9}{2} = \frac{81}{4}$ (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Panta se calculează din cele două puncte citite pe tangentă: $m = \frac{15 - 3}{6 - 2} = 3$ (2 p). Unitatea ei este unitatea mărimii de pe verticală împărțită la unitatea celei de pe orizontală, adică grame pe minut (1 p). b) (2 p) Cu formula punct-pantă, aplicată în punctul $(2, 3)$ : $y - 3 = 3 (t - 2)$ , adică $y = 3 t - 3$ . c) (3 p) Pentru $t = 4$ obținem $y = 12 - 3 = 9$ , deci la momentul $t_{0} = 4$ minute s-au dizolvat $9$ grame de sare (2 p). Valoarea se poate citi de pe tangentă pentru că tangenta și curba au același punct în punctul de tangență (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Primul termen este o funcție compusă, cu interiorul $u = - 2 x$ și $u^{'} = - 2$ , deci $(e^{- 2 x})^{'} = - 2 e^{- 2 x}$ (2 p); al doilea termen dă $(4 x)^{'} = 4$ (1 p). Prin urmare $f^{'} (x) = - 2 e^{- 2 x} + 4$ . b) (2 p) Derivăm încă o dată: constanta $4$ dispare, iar $(- 2 e^{- 2 x})^{'} = - 2 \cdot (- 2) e^{- 2 x} = 4 e^{- 2 x}$ , deci $f^{''} (x) = 4 e^{- 2 x}$ . c) (3 p) Exponențiala nu se anulează și nu ia valori negative, deci $e^{- 2 x} > 0$ pentru orice $x$ real, iar $f^{''} (x) = 4 e^{- 2 x} > 0$ (1 p). Ecuația $- 2 e^{- 2 x} + 4 = 0$ dă $e^{- 2 x} = 2$ (1 p), deci $- 2 x = ln 2$ și $x = - \frac{ln 2}{2}$ (1 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) Se derivează termen cu termen: $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 18 x$ ; constanta $4$ dispare. b) (3 p) Condiția de paralelism este $f^{'} (x) = - 12$ (1 p), adică $6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$ , echivalent cu $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ (1 p), cu soluțiile $x = 1$ și $x = 2$ (1 p). c) (3 p) Pentru $x = 1$ : $f (1) = 2 - 9 + 4 = - 3$ , iar tangenta este $y + 3 = - 12 (x - 1)$ , adică $y = - 12 x + 9$ (1 p). Pentru $x = 2$ : $f (2) = 16 - 36 + 4 = - 16$ , iar tangenta este $y + 16 = - 12 (x - 2)$ , adică $y = - 12 x + 8$ (1 p). Amândouă au panta $- 12$ , deci sunt paralele cu $d$ , dar termenii liberi sunt $9$ și $8$ , diferiți de $7$ , deci niciuna nu coincide cu $d$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică al doilea strat al unității de derivabilitate: ce se întâmplă când o operație se aplică unei expresii întregi și la ce folosește derivata obținută. Sunt acoperite cinci lecții — regula lanțului (interiorul, derivata lui, tabelul derivatelor compuse), derivata a doua (calculul în doi pași, cu simplificarea dintre ei), ecuația tangentei (cele trei numere din formulă și proba), normala la grafic (opusul inversului pantei, cazul tangentei orizontale) și tangente și normale, ca la examen (traducerea enunțului în condiție, parametrul, aria cu axele). Definiția derivatei și regulile pentru sumă, produs și cât au fost verificate în testul anterior al unității; monotonia, punctele de extrem și convexitatea se verifică în unitatea următoare — aici nu se cere nicio concluzie despre creșterea sau descreșterea unei funcții.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La ecuațiile de dreaptă se cere forma finală $y = m x + n$ (sau $x = x_{0}$ , la normala verticală) și cel puțin una dintre cele două probe: înlocuirea lui $x_{0}$ în ecuație sau produsul pantelor.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele cinci lecții, în special factorul venit din interior la funcțiile compuse și deosebirea dintre $- m$ și $- \frac{1}{m}$ .
Formule de reținut: regula lanțului — $(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ , adică derivata învelișului, calculată în interior, înmulțită cu derivata interiorului; tabelul compus — $(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$ , $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ (pentru $u > 0$ ), $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ (pentru $u > 0$ ), $(e^{u})^{'} = e^{u} u^{'}$ ; derivata a doua — $f^{''} = (f^{'})^{'}$ , iar la $e^{k x}$ ea conține $k^{2}$ ; tangenta — $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ ; normala — $y - f (x_{0}) = - \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} (x - x_{0})$ , valabilă când $f^{'} (x_{0}) \neq = 0$ , iar dacă $f^{'} (x_{0}) = 0$ normala este dreapta verticală $x = x_{0}$ ; perpendicularitatea — $m_{1} m_{2} = - 1$ .
Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) temele apar în domeniul Analiză matematică, la XI.3 „Derivabilitate", unde programa cere „operații cu funcții derivabile și reguli de derivare; derivatele de ordinul I și al doilea pentru funcțiile studiate; normala într-un punct la graficul unei funcții". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, la capitolul „Funcții derivabile", „Tangenta la o curbă" și „Operații cu funcții derivabile, calculul derivatelor de ordin I și al II-lea pentru funcțiile studiate", dar nu conține normala; tema tangentei apare la Subiectul al III-lea. De aceea itemii 9 și 10, care cer normala, poartă mențiunea probei din 2030, iar itemii 8, 12 și 13 sunt cerințe care se pot da și în sesiunile 2027–2029. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".