Test: Integrala definită și formula Leibniz–Newton (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Integrala definită

Exerciții

Partea I – Noțiunea de integrală definită și estimarea ei

Exercițiul 1 (6 puncte)

Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Calculează ${\int }_3^{7}12dx$. b) Calculează ${\int }_5^5\left(4x^2+7\right)dx$. c) Calculează ${\int }_2^6(5x+2)dx$, folosind aria trapezului. d) Calculează ${\int }_0^7(20-2x)dx$, după ce arăți că integrandul rămâne pozitiv pe $[0,7]$. e) Care dintre scrierile $\int f(x)dx$ și ${\int }_2^{6}f(x)dx$ este un număr și de ce numai una dintre ele primește $+\mathcal{C}$? f) Este numărul ${\int }_1^4(4x-18)dx$ aria suprafeței dintre grafic, axa $Ox$ și dreptele $x=1$ și $x=4$?

Exercițiul 2 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră funcția $g:[0,3]\to \mathbb{R}$, $g(x)=4x^2+7$. a) Încadrează ${\int }_0^{3}g(x)dx$ folosind un singur dreptunghi de jos și unul de sus. (2 p) b) Strânge încadrarea tăind intervalul în trei fâșii de lungime $1$. (2 p) c) Dă estimarea din mijlocul încadrării de la b) și precizează cu cât poate greși ea, cel mult. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Un aparat scrie curbele a două probe pe aceeași hârtie cu caroiaj, cu pasul $2$ pe axa orizontală și pasul $0,25$ pe axa verticală. a) Cât valorează un pătrățel al acestui caroiaj? (2 p) b) Sub prima curbă se numără $23$ de pătrățele întregi și $10$ tăiate de curbă. Estimează aria de sub ea. (2 p) c) Sub a doua curbă se numără $40$ de pătrățele întregi și $12$ tăiate. Estimează aria de sub ea și spune cu cât este mai mare decât prima. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Numărul ${\int }_2^{9}5dx$ este egal cu: A. $45$; B. $35$; C. $30$; D. $10$.

b) O primitivă a funcției $f(x)=6x^2+10x$ este: A. $2x^3+5x^2$; B. $12x+10$; C. $2x^3+10x$; D. $6x^3+5x^2$.

c) Numărul ${\int }_0^3\left(x^2+4x\right)dx$ este egal cu: A. $18$; B. $27$; C. $21$; D. $36$.

d) Dacă ${\int }_2^{7}f(x)dx=13$ și ${\int }_2^{4}f(x)dx=5$, atunci ${\int }_4^{7}f(x)dx$ este egal cu: A. $18$; B. $8$; C. $-8$; D. $65$.

Partea a II-a – Formula Leibniz–Newton și proprietățile integralei

Exercițiul 5 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=9x^2+8x+5$. a) Arată că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=3x^3+4x^2+5x$, este o primitivă a lui $f$. (2 p) b) Calculează ${\int }_0^{2}f(x)dx$. (2 p) c) Calculează ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Funcțiile $f$ și $g$ sunt continue pe $[1,7]$ și se cunosc ${\int }_1^{7}f(x)dx=12$ și ${\int }_1^{7}g(x)dx=-5$. a) Calculează ${\int }_1^7(3f(x)+2g(x))dx$. (2 p) b) Calculează ${\int }_1^7(f(x)-4)dx$. (2 p) c) Determină numărul real $k$ pentru care ${\int }_1^7(kf(x)+g(x))dx=55$. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Funcția $h$ este continuă pe $[0,12]$ și se cunosc ${\int }_0^{12}h(x)dx=30$, ${\int }_0^{5}h(x)dx=11$ și ${\int }_3^{12}h(x)dx=24$. a) Calculează ${\int }_5^{12}h(x)dx$. (2 p) b) Calculează ${\int }_0^{3}h(x)dx$. (2 p) c) Calculează ${\int }_3^{5}h(x)dx$. (3 p) d) Explică de ce numerele $11$ și $24$ nu se adună direct. (1 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcțiile $u,v:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $u(x)=x^2+5$ și $v(x)=x^2+3x+5$. a) Arată, fără a calcula integralele, că ${\int }_0^{3}u(x)dx\le {\int }_0^{3}v(x)dx$. (2 p) b) Calculează cele două integrale și verifică inegalitatea. (3 p) c) Arată că nu există nicio funcție continuă $w$ pe $[0,3]$ cu $w(x)\le u(x)$ pentru orice $x$ și ${\int }_0^{3}w(x)dx=30$. (1 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+3$ pentru $x\in [0,2]$ și $f(x)=4x-1$ pentru $x\in (2,5]$. a) Arată că $f$ este continuă în $2$. (1 p) b) Calculează ${\int }_0^{2}f(x)dx$. (2 p) c) Calculează ${\int }_2^{5}f(x)dx$. (2 p) d) Calculează ${\int }_0^{5}f(x)dx$. (1 p)

Partea a III-a – Modul, model din științe și raționament

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x^2-6x-7|$. a) Alcătuiește tabelul de semn al expresiei $x^2-6x-7$ pe intervalul $[4,9]$ și spune câte bucăți are calculul integralei pe acest interval. (2 p) b) Calculează ${\int }_4^{7}f(x)dx$. (3 p) c) Calculează ${\int }_4^{9}f(x)dx$. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Dacă $f$ este continuă pe $[0,2]$ și ${\int }_0^{2}f(x)dx>0$, atunci $f(x)>0$ pentru orice $x\in [0,2]$." b) „Există două funcții continue diferite pe $[0,3]$ care au aceeași integrală pe $[0,3]$." c) „Dacă ${\int }_2^{9}f(x)dx=14$, atunci ${\int }_2^{5}f(x)dx=6$ și ${\int }_5^{9}f(x)dx=8$." d) „Funcția $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ pentru $x\in [0,2]$ și $f(x)=x+1$ pentru $x\in (2,4]$, se încadrează în definiția integralei definite de la profilul științe ale naturii."

Exercițiul 12 (8 puncte)

Un filtru de aer reține praful cu rata $r(t)=30-2t$, măsurată în miligrame pe minut, unde $t$ este timpul în minute de la pornirea ventilatorului, iar modelul este valabil pentru $t\in [0,10]$. a) Arată că rata rămâne pozitivă pe tot intervalul $[0,10]$. (2 p) b) Calculează masa de praf reținută în primele $10$ minute și scrie unitatea de măsură. (3 p) c) Determină momentul $t_0\in (0,10)$ în care filtrul reținuse jumătate din masa de la punctul b). (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+2mx+7$, cu $m$ număr real. a) Determină $m$, știind că ${\int }_0^{2}f(x)dx=34$. (3 p) b) Pentru valoarea găsită a lui $m$, arată că $f(x)>0$ pentru orice număr real $x$. (2 p) c) Pentru aceeași valoare a lui $m$, calculează ${\int }_{-2}^{0}f(x)dx$ și explică de ce numărul obținut este diferit de cel de la punctul a), deși cele două intervale au aceeași lungime. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Funcția constantă dă un dreptunghi cu baza $7-3=4$ și înălțimea $12$, deci ${\int }_3^{7}12dx=12\cdot 4=48$. b) Cele două limite coincid, deci suprafața se reduce la un segment: ${\int }_5^5\left(4x^2+7\right)dx=0$. c) Pe $[2,6]$ funcția $5x+2$ este pozitivă, iar trapezul are bazele $f(2)=12$ și $f(6)=32$ și înălțimea $4$, deci ${\int }_2^6(5x+2)dx=\frac{12+32}{2}\cdot 4=88$. d) Din $x\le 7$ rezultă $20-2x\ge 6>0$. Trapezul are bazele $20$ și $6$ și înălțimea $7$, deci ${\int }_0^7(20-2x)dx=\frac{20+6}{2}\cdot 7=91$. e) ${\int }_2^{6}f(x)dx$ este un număr, fiindcă are limite de integrare; $\int f(x)dx$ este o familie de funcții și numai ea primește $+\mathcal{C}$, pentru că un număr nu are constantă de integrare. f) Nu. Pe $[1,4]$ funcția $4x-18$ ia numai valori negative, fiindcă $4\cdot 4-18=-2<0$, iar graficul stă sub axă. Numărul obținut este corect, dar este un bilanț cu semn, nu o arie.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) Funcția $g(x)=4x^2+7$ este continuă și crescătoare pe $[0,3]$, deci valoarea cea mai mică este $g(0)=7$ și cea mai mare este $g(3)=43$; intervalul are lungimea $3$, așadar $21\le {\int }_0^3\mathbf{g}(\mathbf{x})\mathbf{dx}\le 129$. b) (2 p) Valorile în capetele fâșiilor sunt $g(0)=7$, $g(1)=11$, $g(2)=23$ și $g(3)=43$. Adunând minimele, $7+11+23=41$; adunând maximele, $11+23+43=77$. Prin urmare $41\le {\int }_0^3\mathbf{g}(\mathbf{x})\mathbf{dx}\le 77$. c) (2 p) Estimarea este mijlocul încadrării, $\frac{41+77}{2}=59$, iar eroarea este cel mult jumătate din lățime, adică $\frac{77-41}{2}=18$. (Valoarea adevărată este $57$ și se află, într-adevăr, între $41$ și $77$.)

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Pătrățelul este un dreptunghi cu laturile $2$ și $0,25$, deci aria lui este $2\cdot 0,25=0,5$ unități. b) (2 p) Pătrățelele tăiate se socotesc pe jumătate și dau aproximativ $5$ întregi, deci avem în jur de $23+5=28$ de pătrățele, adică o arie de $28\cdot 0,5=14$ unități. c) (2 p) Cele $12$ pătrățele tăiate dau aproximativ $6$ întregi, deci avem $40+6=46$ de pătrățele, adică $46\cdot 0,5=23$ de unități. A doua arie este cu $23-14=9$ unități mai mare decât prima.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B — dreptunghiul are baza $9-2=7$ și înălțimea $5$, deci ${\int }_2^{9}5dx=5\cdot 7=35$. b) A — $(2x^3+5x^2{)}^{\prime }=6x^2+10x$. Varianta B este derivata integrandului, C pierde primitiva termenului $10x$, iar D integrează greșit termenul $6x^2$. c) B — o primitivă este $\frac{x^3}{3}+2x^2$, deci ${\int }_0^3\left(x^2+4x\right)dx=(9+18)-0=27$. d) B — din aditivitate, ${\int }_2^{7}f={\int }_2^{4}f+{\int }_4^{7}f$, adică $13=5+{\int }_4^{7}f$, deci ${\int }_4^{7}f(x)dx=8$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) $F$ este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar $F^{\prime }(x)=9x^2+8x+5=f(x)$ pentru orice număr real $x$. Prin definiție, $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$. b) (2 p) $f$ este continuă pe $[0,2]$, deci ${\int }_0^{2}f(x)dx=\left(3x^3+4x^2+5x\right){|}_0^2=(24+16+10)-0=50$. c) (2 p) $F(1)=3+4+5=12$ și $F(-1)=-3+4-5=-4$, deci ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=12-(-4)=16$. Valoarea din capătul de jos fiind negativă, scăderea ei mărește rezultatul.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Din liniaritate, ${\int }_1^7(3f+2g)=3\cdot 12+2\cdot (-5)=36-10=26$. b) (2 p) Termenul constant dă un dreptunghi de înălțime $4$ și bază $7-1=6$, deci ${\int }_1^7(f(x)-4)dx=12-4\cdot 6=12-24=-12$. c) (2 p) Din liniaritate, ${\int }_1^7(kf+g)=12k-5$. Ecuația $12k-5=55$ dă $12k=60$, deci $k=5$.

Exercițiul 7. (8 p) a) (2 p) Punctul $5$ este între $0$ și $12$, deci ${\int }_0^{12}h={\int }_0^{5}h+{\int }_5^{12}h$, adică $30=11+{\int }_5^{12}h$ și ${\int }_5^{12}h(x)dx=19$. b) (2 p) Punctul $3$ este între $0$ și $12$, deci $30={\int }_0^{3}h+24$, de unde ${\int }_0^{3}h(x)dx=6$. c) (3 p) Intervalele $[0,3]$ și $[3,5]$ se lipesc și dau $[0,5]$, deci $11=6+{\int }_3^{5}h$ (2 p), de unde ${\int }_3^{5}h(x)dx=5$ (1 p). Control: $6+5+19=30$, cât integrala pe tot intervalul. d) (1 p) Intervalele $[0,5]$ și $[3,12]$ se suprapun pe $[3,5]$, deci adunarea lor ar număra bucata aceea de două ori; aditivitatea cere ca bucățile să aibă în comun numai punctul de tăiere.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Diferența este $v(x)-u(x)=3x$, care nu ia valori negative pe $[0,3]$ (se anulează doar în $x=0$), deci $u(x)\le v(x)$ acolo. Din monotonia integralei rezultă ${\int }_0^{3}u\le {\int }_0^{3}v$, fără niciun calcul. b) (3 p) ${\int }_0^{3}u(x)dx=\left(\frac{x^3}{3}+5x\right){|}_0^3=9+15=24$ (1 p); ${\int }_0^{3}v(x)dx=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+5x\right){|}_0^3=9+\frac{27}{2}+15=\frac{75}{2}$ (2 p). Într-adevăr, $24\le \frac{75}{2}=37,5$. c) (1 p) Din $w(x)\le u(x)$ pe $[0,3]$ și din monotonie rezultă ${\int }_0^{3}w\le {\int }_0^{3}u=24$, iar $30>24$: o astfel de funcție nu există.

Exercițiul 9. (6 p) a) (1 p) Prima formulă dă în $2$ valoarea $4+3=7$, iar a doua dă $8-1=7$; valorile coincid, deci $f$ este continuă în $2$ și integrala ei are sens. b) (2 p) ${\int }_0^2\left(x^2+3\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+3x\right){|}_0^2=\frac{8}{3}+6=\frac{26}{3}$. c) (2 p) ${\int }_2^5(4x-1)dx=\left(2x^2-x\right){|}_2^5=(50-5)-(8-2)=45-6=39$. d) (1 p) Din aditivitate, ${\int }_0^{5}f(x)dx=\frac{26}{3}+39=\frac{143}{3}$.

Exercițiul 10. (8 p) a) (2 p) Ecuația $x^2-6x-7=0$ are rădăcinile $7$ și $-1$. Pe intervalul $[4,9]$, rădăcina $-1$ rămâne în afară și nu produce nicio tăietură, iar $7$ este strict interioară. Coeficientul dominant fiind pozitiv, expresia este negativă între rădăcini și pozitivă în afara lor:

Calculul are, așadar, două bucăți. b) (3 p) Pe $[4,7]$ expresia este negativă, deci $f(x)=-x^2+6x+7$. Cu primitiva $P(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-7x$ a expresiei de sub modul avem $P(4)=\frac{64}{3}-48-28=-\frac{164}{3}$ și $P(7)=\frac{343}{3}-147-49=-\frac{245}{3}$ (2 p), deci ${\int }_4^{7}f(x)dx=-(P(7)-P(4))=\frac{245}{3}-\frac{164}{3}=\frac{81}{3}=27$ (1 p). c) (3 p) Pe $[7,9]$ expresia este pozitivă, iar $P(9)=243-243-63=-63$, deci ${\int }_7^{9}f(x)dx=P(9)-P(7)=-63+\frac{245}{3}=\frac{56}{3}$ (2 p). Adunând, ${\int }_4^{9}f(x)dx=27+\frac{56}{3}=\frac{137}{3}$ (1 p). Amândouă bucățile au ieșit pozitive, cum trebuie la un integrand cu modul.

Exercițiul 11. (8 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Fals. Contraexemplu: pentru $f(x)=3x-2$ pe $[0,2]$ o primitivă este $\frac{3x^2}{2}-2x$, iar ${\int }_0^2(3x-2)dx=(6-4)-0=2>0$; totuși $f(0)=-2<0$. Bucata de sub axă este mai mică decât cea de deasupra, iar integrala iese pozitivă fără ca funcția să fie pozitivă peste tot. b) Adevărat. Exemplu: $f(x)=2x$ și $g(x)=x+\frac{3}{2}$ pe $[0,3]$. Avem ${\int }_0^{3}2xdx=x^2{|}_0^3=9$ și ${\int }_0^3\left(x+\frac{3}{2}\right)dx=\left(\frac{x^2}{2}+\frac{3x}{2}\right){|}_0^3=\frac{9}{2}+\frac{9}{2}=9$. Cele două funcții sunt diferite, dar au aceeași integrală. c) Fals. Aditivitatea spune doar că cele două bucăți se adună la $14$, nu cum se împarte suma. Contraexemplu: pentru $f(x)=x-\frac{7}{2}$ avem ${\int }_2^{9}f(x)dx=\left(\frac{x^2}{2}-\frac{7x}{2}\right){|}_2^9=\left(\frac{81}{2}-\frac{63}{2}\right)-\left(2-7\right)=9+5=14$, iar ${\int }_2^{5}f(x)dx=\left(\frac{25}{2}-\frac{35}{2}\right)-\left(2-7\right)=-5+5=0$, nu $6$. d) Fals. Ramurile nu se racordează: în $2$, prima formulă dă $4$, iar a doua dă $3$. Funcția are deci un salt, nu este continuă, iar la profilul științe ale naturii integrala definită se introduce numai pentru funcții continue.

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) Funcția $r$ este de gradul întâi și descrescătoare, deci valoarea ei cea mai mică pe $[0,10]$ se atinge în capătul din dreapta: $r(10)=30-20=10>0$. Prin urmare $r(t)\ge 10>0$ pe tot intervalul, iar modelul are sens fizic — praful se depune tot timpul, niciodată invers. b) (3 p) Masa reținută este integrala ratei: ${\int }_0^{10}(30-2t)dt=\left(30t-t^2\right){|}_0^{10}=(300-100)-0=200$ (2 p). Unitatea se obține înmulțind unitățile celor două axe, miligrame pe minut cu minute, deci masa este de $200$ de miligrame (1 p). c) (3 p) Masa reținută până la momentul $t_0$ este ${\int }_0^{t_0}(30-2t)dt=30t_0-t_0^2$, iar condiția din enunț devine $30t_0-t_0^2=100$, adică $t_0^2-30t_0+100=0$ (1 p). Discriminantul este $900-400=500$, deci $t_0=\frac{30\pm 10\sqrt{5}}{2}=15\pm 5\sqrt{5}$ (1 p). Cum $5\sqrt{5}\approx 11,18$, rădăcina $15+5\sqrt{5}$ este în afara intervalului, iar cea din enunț este $t_0=15-5\sqrt{5}\approx 3,82$ minute (1 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) O primitivă a lui $f$ este $F(x)=x^3+m{x}^2+7x$ (1 p), deci ${\int }_0^{2}f(x)dx=F(2)-F(0)=8+4m+14=4m+22$ (1 p). Din $4m+22=34$ rezultă $4m=12$, adică $m=3$ (1 p). b) (2 p) Pentru $m=3$ avem $f(x)=3x^2+6x+7$, cu discriminantul $\Delta =36-84=-48<0$ și cu coeficientul dominant $3>0$, deci trinomul nu se anulează nicăieri și rămâne strict pozitiv pe $\mathbb{R}$. c) (3 p) Cu $F(x)=x^3+3x^2+7x$ avem $F(-2)=-8+12-14=-10$ și $F(0)=0$ (2 p), deci ${\int }_{-2}^{0}f(x)dx=0-(-10)=10$ (1 p). Numărul este diferit de $34$ pentru că integrala nu depinde numai de lungimea intervalului, ci și de valorile funcției pe el: pe $[0,2]$ funcția crește de la $7$ la $31$, în timp ce pe $[-2,0]$ ea coboară până la valoarea minimă $4$, atinsă în $x=-1$. Cele două suprafețe au aceeași bază, dar înălțimi diferite.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică prima jumătate a unității de integrală definită: cele cinci lecții în care se construiește noțiunea și se învață calculul ei. Sunt acoperite Integrala definită: aria de sub grafic (definiția cu toate condițiile, notația, cazurile rezolvate de geometrie), Estimarea unei integrale de pe grafic (valoarea unui pătrățel, încadrarea, strângerea ei pe fâșii), Formula Leibniz–Newton (ipoteza de continuitate, bara cu limite, capcana de semn), Liniaritate, monotonie, aditivitate (cele trei proprietăți, aplicate pe valori date) și Integrala funcțiilor pe ramuri și cu modul (racordarea, tabelul de semn, numărul de bucăți). Metodele de calcul — integrarea prin părți și schimbarea de variabilă — se verifică în testul următor al unității; aici nu se cere niciun produs de două funcții și nicio substituție.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator; toate primitivele cerute sunt polinomiale, iar numerele sunt alese astfel încât calculul să se facă în scris. La orice integrală cu modul se cere tabelul de semn înaintea primei integrale, iar la orice funcție pe ramuri se cere verificarea racordării.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele cinci lecții, în special scăderea cu paranteză din formula Leibniz–Newton și numărarea zerourilor interioare.
• Formule de reținut: integrala definită a unei funcții continue și pozitive pe $[a,b]$ este aria suprafeței dintre grafic, axa $Ox$ și verticalele din capete; funcția constantă dă ${\int }_a^{b}cdx=c(b-a)$, iar o funcție de gradul întâi pozitivă dă aria trapezului, $\frac{f(a)+f(b)}{2}\cdot (b-a)$; încadrarea $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$, strânsă tăind intervalul în fâșii, cu estimarea la mijloc și eroarea cel mult jumătate din lățime; formula Leibniz–Newton ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, pentru $f$ continuă pe $[a,b]$ și $F$ o primitivă a ei acolo; liniaritatea ${\int }_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha {\int }_a^{b}f+\beta {\int }_a^{b}g$, monotonia ($f\le g$ dă $\int f\le \int g$) și aditivitatea ${\int }_a^{b}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f$ pentru $a<c<b$; la o funcție pe ramuri se taie în punctele de racord, iar la o funcție cu modul numărul bucăților este numărul zerourilor strict interioare plus unu.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) temele lui apar în domeniul Analiză matematică, la unitatea XII.4. Integrala definită. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, la capitolul „Integrala definită", rândurile „definirea integralei Riemann a unei funcții continue prin formula Leibniz-Newton" și „proprietăți ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare". O singură temă a testului lipsește din programa aceea: estimarea de pe grafic, cerută abia de programa nouă; itemii 2 și 3 poartă de aceea marcajul MAT_P2 2030. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026). Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".