Test: Regula lui L’Hospital, monotonia și punctele de extrem (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor

Exerciții

Partea I – Regula lui l’Hôspital

Exercițiul 1 (6 puncte)

Precizează, pentru fiecare limită, în ce caz te afli; dacă limita nu este o nedeterminare, calculeaz-o (câte 1 punct): a) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{\ln x}$; b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^5+1}{e^x}$; c) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+6}{x^2+2}$; d) $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{x}^4\ln x$; e) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+8}-x\right)$; f) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x+3}$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se cere $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\ln (x-1)}{x^2-4}$. a) Arată în ce caz de nedeterminare te afli și verifică celelalte două condiții ale regulii. (2 p) b) Scrie raportul derivatelor, adus la o singură fracție. (2 p) c) Calculează limita cerută. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se cere $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (7x)}{\sqrt{x}}$. a) Arată în ce caz de nedeterminare te afli și verifică celelalte două condiții ale regulii. (2 p) b) Scrie raportul derivatelor, adus la o singură fracție. (2 p) c) Calculează limita cerută. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Limita $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{6x}-1}{2x}$ este: A. $3$; B. $\frac{1}{3}$; C. $6$; D. $0$.

b) Dintre limitele de mai jos, cea de tipul $\frac{\infty }{\infty }$ este: A. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+1}{e^x}$; B. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+1}{e^x}$; C. $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{x-1}$; D. $\underset{x\to 0}{\lim }x\ln (x+1)$.

c) Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+12x-5$, este: A. strict crescătoare pe $\mathbb{R}$; B. strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$; C. strict crescătoare pe $(-\infty ,0]$ și strict descrescătoare pe $[0,+\infty )$; D. constantă.

d) Pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^5+2x^3+7$, punctul $x_0=0$ este: A. punct de maxim local; B. punct de minim local; C. punct critic fără să fie punct de extrem; D. un punct care nu este critic.

Partea a II-a – Nedeterminări reduse la un raport

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se cere $\underset{x\to 2}{\lim }\left[(x-2)\cdot \frac{3}{\ln (x-1)}\right]$. a) Arată că produsul este de tipul $0\cdot \infty$ și scrie-l ca un singur raport, precizând noul caz. (2 p) b) Aplică regula lui l’Hôspital și simplifică raportul derivatelor. (2 p) c) Calculează limita cerută. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se cere $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{9x^2+4x}-3x\right)$. a) Precizează tipul nedeterminării și explică de ce derivarea nu ajută aici. (2 p) b) Amplifică cu expresia conjugată și scrie fracția obținută. (2 p) c) Calculează limita cerută. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Dacă raportul derivatelor obținut după o aplicare a regulii lui l’Hôspital este tot o nedeterminare, atunci limita cerută nu există." b) „Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3+6x^2+6x+1$, este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$." c) „Dacă $f$ este derivabilă pe $(0,9)$, cu $f^{\prime }(x)<0$ pentru orice $x\in (0,4)$ și $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x\in (4,9)$, atunci $f(4)$ este cea mai mică valoare a funcției pe intervalul $(0,9)$." d) „Pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4+7$, punctul $x_0=0$ este punct de maxim local."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln (x+1)-x$. a) Arată că $f^{\prime }(x)=-\frac{x}{x+1}$, $x\in (-1,+\infty )$. (2 p) b) Arată că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}=-\frac{1}{2}$. (4 p)

Partea a III-a – Monotonie și puncte de extrem

Exercițiul 9 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3+9x^2-60x+7$. a) Calculează $f^{\prime }(x)$ și scrie rezultatul sub formă factorizată. (2 p) b) Alcătuiește tabelul de semn al derivatei, cu semnele justificate prin valori de probă. (2 p) c) Scrie intervalele de monotonie ale funcției. (2 p)

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-10\ln x$. a) Arată că $f^{\prime }(x)=\frac{2\left(x^2-5\right)}{x}$, $x\in (0,+\infty )$. (3 p) b) Determină zeroul derivatei care aparține domeniului. (2 p) c) Scrie intervalele de monotonie ale funcției. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2-15x+8$. a) Determină punctele critice ale funcției. (3 p) b) Precizează natura fiecărui punct critic, pe baza tabelului de semn al derivatei. (3 p) c) Calculează valorile extreme ale funcției. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Într-un bazin de creștere, concentrația de oxigen dizolvat, în miligrame pe litru, la $t$ ore după pornirea aeratorului, este $c(t)=\frac{36t}{t^2+9}+4$, unde $t\in [0,12]$. a) Arată că $c^{\prime }(t)=\frac{36\left(9-t^2\right)}{{\left(t^2+9\right)}^2}$. (3 p) b) Determină momentul în care concentrația este maximă și valoarea maximă, cu unitățile de măsură. (3 p) c) Arată că modelul rămâne corect fizic pe tot intervalul $[0,12]$. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2+2x-7\right)e^x$. a) Arată că $f^{\prime }(x)=\left(x^2+4x-5\right)e^x$, $x\in \mathbb{R}$. (3 p) b) Determină punctele de extrem ale funcției $f$. (3 p) c) Arată că $f(x)\ge -4e$, pentru orice $x\ge -5$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) $x^2-1\to 0$ și $\ln x\to 0$, deci cazul $\frac{0}{0}$. b) Numărătorul și numitorul cresc amândoi nemărginit, deci cazul $\frac{\infty }{\infty }$. c) Nu este nedeterminare: numărătorul tinde la $6$, numitorul la $2$, deci limita se obține prin înlocuire și valorează $3$. d) $x^4\to 0$, iar $\ln x$ scade nemărginit, deci produs de tipul $0\cdot \infty$; limita este laterală, fiindcă logaritmul e definit numai pentru $x>0$. e) Ambii termeni cresc nemărginit, deci $\infty -\infty$. f) Nu este nedeterminare: numărătorul tinde la $0$, numitorul la $6$, deci limita valorează $0$.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $\ln (2-1)=\ln 1=0$ și $2^2-4=0$, deci cazul $\frac{0}{0}$ (1 p). Logaritmul este derivabil pe $(1,+\infty )$, polinomul pe $\mathbb{R}$, iar derivata numitorului, $2x$, valorează $4$ în $2$, deci nu se anulează în jurul punctului (1 p). b) (2 p) Derivata numărătorului este $\frac{1}{x-1}$, iar a numitorului $2x$; raportul lor, adus la o singură fracție, este $\frac{1}{2x(x-1)}$. c) (2 p) Pentru $x\to 2$ expresia rămasă este continuă și valorează $\frac{1}{4\cdot 1}=\frac{1}{4}$, deci $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\ln (x-1)}{x^2-4}=\frac{1}{4}$.

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Logaritmul crește nemărginit odată cu $x$, la fel și radicalul, deci cazul $\frac{\infty }{\infty }$ (1 p). Ambele funcții sunt derivabile pe $(0,+\infty )$, iar derivata numitorului, $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, nu se anulează acolo (1 p). b) (2 p) Derivata numărătorului este $\frac{7}{7x}=\frac{1}{x}$, iar a numitorului $\frac{1}{2\sqrt{x}}$; raportul lor este $\frac{2\sqrt{x}}{x}=\frac{2}{\sqrt{x}}$. c) (2 p) Numitorul crește nemărginit, iar numărătorul este constant, deci limita este $0$; prin urmare $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (7x)}{\sqrt{x}}=0$.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — cazul $\frac{0}{0}$; raportul derivatelor este $\frac{6e^{6x}}{2}=3e^{6x}$, care tinde la $3$. Factorul $6$ venit din exponent face parte din răspuns. b) A — la $+\infty$ atât $x^2+1$, cât și $e^x$ cresc nemărginit. La B numărătorul tinde la $1$ și numitorul la $1$; C este $\frac{0}{0}$; D este $0\cdot 0$, adică nicio nedeterminare. c) A — $f^{\prime }(x)=3x^2+12$, sumă dintre un număr nenegativ și unul strict pozitiv, deci $f^{\prime }(x)\ge 12>0$ pe tot $\mathbb{R}$, care este interval. d) C — $f^{\prime }(x)=5x^4+6x^2=x^2(5x^2+6)$, deci $f^{\prime }(0)=0$: punctul este critic. Pentru $x\ne 0$ derivata este pozitivă pe ambele părți ale lui $0$, fără schimbare de semn. Mai direct, $f(x)-f(0)=x^3(x^2+2)$ este negativ pentru $x<0$ și pozitiv pentru $x>0$, deci în $0$ nu există extrem local.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Primul factor tinde la $0$, iar $\ln (x-1)\to \ln 1=0$, deci al doilea factor crește nemărginit în valoare absolută: produs de tipul $0\cdot \infty$ (1 p). Coborând factorul $\frac{3}{\ln (x-1)}$, adică răsturnându-l, produsul se scrie $\frac{3(x-2)}{\ln (x-1)}$, raport de tipul $\frac{0}{0}$ (1 p). b) (2 p) Derivata numărătorului este $3$, iar a numitorului $\frac{1}{x-1}$; raportul lor este $3(x-1)$. c) (2 p) Pentru $x\to 2$ obținem $3\cdot 1=3$, deci limita cerută este $3$.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Ambii termeni cresc nemărginit, deci $\infty -\infty$ (1 p). Derivarea nu ajută, pentru că radicalul se reproduce la fiecare derivare, în loc să dispară; aici unealta potrivită este expresia conjugată (1 p). b) (2 p) Amplificând cu $\sqrt{9x^2+4x}+3x$, numărătorul devine $9x^2+4x-9x^2=4x$, deci expresia este $\frac{4x}{\sqrt{9x^2+4x}+3x}$. c) (2 p) Dând factor forțat pe $x>0$, expresia devine $\frac{4}{\sqrt{9+\frac{4}{x}}+3}$, iar pentru $x\to +\infty$ radicalul tinde la $3$; prin urmare limita este $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Fals. Un nou caz exceptat cere verificarea din nou a ipotezelor, nu concluzia că limita nu există. De exemplu, la $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{5x}-1-5x}{x^2}$ avem $\frac{0}{0}$. Prima aplicare dă $\frac{5e^{5x}-5}{2x}$, tot $\frac{0}{0}$; a doua dă $\frac{25e^{5x}}{2}\to \frac{25}{2}$. Funcțiile sunt derivabile, derivatele numitorilor sunt $2x\ne 0$ într-o vecinătate punctată a lui $0$, respectiv $2\ne 0$, iar ultimul raport are limită: cele două aplicări sunt justificate și limita cerută există. b) Adevărat. $f^{\prime }(x)=6x^2+12x+6=6(x+1{)}^2$, expresie nenegativă, nulă numai în $-1$. Semnul derivatei nu se schimbă la trecerea prin acest zerou izolat, iar $\mathbb{R}$ este interval, deci funcția urcă strict peste tot. c) Adevărat. Pe $(0,4]$ funcția coboară strict, iar pe $[4,9)$ urcă strict, deci orice valoare a ei pe $(0,9)$ este cel puțin egală cu $f(4)$; punctul $4$ este punct de minim, iar valoarea din el este cea mai mică de pe interval. d) Fals. $f^{\prime }(x)=4x^3$, negativă pentru $x<0$ și pozitivă pentru $x>0$; trecerea este de la minus la plus, deci $0$ este punct de minim local, cu valoarea $f(0)=7$.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Derivăm termen cu termen: ${\left(\ln (x+1)\right)}^{\prime }=\frac{1}{x+1}$, iar $(x{)}^{\prime }=1$ (1 p). Prin urmare $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}-1=\frac{1-(x+1)}{x+1}=-\frac{x}{x+1}$ (1 p). b) (4 p) Cazul: $f(0)=\ln 1-0=0$, iar $x^2\to 0$, deci $\frac{0}{0}$ (1 p). Condițiile: $f$ este derivabilă pe $(-1,+\infty )$, iar derivata numitorului, $2x$, este nenulă în jurul lui $0$ (1 p). Aplicarea: $\frac{f^{\prime }(x)}{2x}=\frac{-\frac{x}{x+1}}{2x}=-\frac{1}{2(x+1)}$ (1 p), iar pentru $x\to 0$ expresia tinde la $-\frac{1}{2}$ (1 p).

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) $f^{\prime }(x)=6x^2+18x-60=6\left(x^2+3x-10\right)=6(x+5)(x-2)$. b) (2 p) Zerourile derivatei sunt $-5$ și $2$, amândouă în domeniu. Valorile de probă: $f^{\prime }(-6)=216-108-60=48>0$; $f^{\prime }(0)=-60<0$; $f^{\prime }(3)=54+54-60=48>0$.

c) (2 p) Funcția este strict crescătoare pe $(-\infty ,-5]$, strict descrescătoare pe $[-5,2]$ și strict crescătoare pe $[2,+\infty )$.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Derivăm termen cu termen: ${\left(x^2\right)}^{\prime }=2x$ și ${\left(10\ln x\right)}^{\prime }=\frac{10}{x}$ (1 p), deci $f^{\prime }(x)=2x-\frac{10}{x}$ (1 p). Aducând la același numitor, $f^{\prime }(x)=\frac{2x^2-10}{x}=\frac{2\left(x^2-5\right)}{x}$ (1 p). b) (2 p) Ecuația $x^2-5=0$ are soluțiile $\sqrt{5}$ și $-\sqrt{5}$; a doua nu aparține domeniului $(0,+\infty )$ și se aruncă, deci zeroul căutat este $x=\sqrt{5}$. c) (3 p) Pe $(0,+\infty )$ numitorul este strict pozitiv, deci semnul derivatei este semnul lui $x^2-5$ (1 p). Valorile de probă: $f^{\prime }(1)=\frac{2(1-5)}{1}=-8<0$ și $f^{\prime }(3)=\frac{2(9-5)}{3}=\frac{8}{3}>0$ (1 p). Prin urmare funcția este strict descrescătoare pe $\left(0,\sqrt{5}\right]$ și strict crescătoare pe $\left[\sqrt{5},+\infty \right)$ (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) $f^{\prime }(x)=3x^2-12x-15=3\left(x^2-4x-5\right)=3(x-5)(x+1)$ (2 p), deci punctele critice sunt $-1$ și $5$, amândouă interioare domeniului $\mathbb{R}$ (1 p). b) (3 p) Valorile de probă: $f^{\prime }(-2)=12+24-15=21>0$; $f^{\prime }(0)=-15<0$; $f^{\prime }(6)=108-72-15=21>0$ (1 p).

În $-1$ trecerea este de la plus la minus, deci $-1$ este punct de maxim local (1 p); în $5$ trecerea este de la minus la plus, deci $5$ este punct de minim local (1 p). c) (2 p) $f(-1)=-1-6+15+8=16$, adică valoarea maximă locală, și $f(5)=125-150-75+8=-92$, adică valoarea minimă locală. Punctul de extrem este abscisa, iar valoarea extremă este numărul obținut din $f$; ambele fac parte din răspuns.

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Primul termen se derivează cu regula câtului, iar constanta $4$ dispare: $c^{\prime }(t)=\frac{36\left(t^2+9\right)-36t\cdot 2t}{{\left(t^2+9\right)}^2}$ (2 p). Numărătorul devine $36t^2+324-72t^2=324-36t^2=36\left(9-t^2\right)$, deci $c^{\prime }(t)=\frac{36\left(9-t^2\right)}{{\left(t^2+9\right)}^2}$ (1 p). b) (3 p) Numitorul este strict pozitiv, deci semnul este al lui $9-t^2$: pozitiv pe $[0,3)$ și negativ pe $(3,12]$ (1 p). Trecerea de la plus la minus arată că $t=3$ este punct de maxim (1 p), iar valoarea maximă este $c(3)=\frac{108}{18}+4=6+4=10$, adică 10 miligrame pe litru la 3 ore de la pornirea aeratorului (1 p). c) (2 p) Pentru orice $t\in [0,12]$ avem $\frac{36t}{t^2+9}\ge 0$, deci $c(t)\ge 4>0$: concentrația rămâne pozitivă pe tot intervalul, cum se cuvine unei concentrații. Capetele confirmă: $c(0)=4$ miligrame pe litru, iar $c(12)=\frac{48}{17}+4\approx 6,82$ miligrame pe litru.

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) Funcția este un produs, cu ${\left(x^2+2x-7\right)}^{\prime }=2x+2$ și ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$ (1 p). Regula produsului dă $f^{\prime }(x)=(2x+2)e^x+\left(x^2+2x-7\right)e^x$ (1 p); scoțând factorul comun $e^x$ și adunând termenii asemenea, $f^{\prime }(x)=e^x\left(x^2+4x-5\right)$ (1 p). b) (3 p) Cum $e^x>0$ pentru orice $x$ real, semnul derivatei este semnul trinomului $x^2+4x-5=(x+5)(x-1)$, cu rădăcinile $-5$ și $1$ și coeficient dominant pozitiv, deci plus, minus, plus (2 p). Prin urmare $-5$ este punct de maxim local, iar $1$ este punct de minim local (1 p). c) (2 p) Pe $[-5,1]$ funcția coboară, iar pe $[1,+\infty )$ urcă, deci pe toată semidreapta $[-5,+\infty )$ cea mai mică valoare se ia în $1$ (1 p). Cum $f(1)=(1+2-7)e=-4e$, rezultă $f(x)\ge -4e$ pentru orice $x\ge -5$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică primul strat al unității de aplicații ale derivatelor: derivata folosită ca instrument, nu ca rezultat. Sunt acoperite patru lecții — regula lui l’Hôspital (enunțul cu toate condițiile, cazurile $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$, reluarea și oprirea la timp), nedeterminările reduse la un raport (produsul $0\cdot \infty$ scris ca fracție, diferența $\infty -\infty$ adusă la același numitor sau amplificată cu conjugata), monotonia citită din semnul derivatei (cei cinci pași și tabelul de semn) și punctele critice și punctele de extrem (criteriul derivatei întâi, punctul și valoarea). Calculul derivatelor a fost verificat în unitatea precedentă; convexitatea, punctele de inflexiune, tabelul de variație complet și imaginea unei funcții se verifică în testele următoare ale unității — aici nu se cere niciuna dintre ele.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator; rezultatele cu $e$, cu $\ln$ și cu radicali se lasă în formă exactă. La fiecare limită se cere scrierea cazului înaintea oricărei derivări, iar la fiecare studiu de monotonie se cere tabelul de semn, cu semnele justificate prin valori de probă.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele patru lecții, în special constatarea cazului înaintea derivării și scrierea concluziei pe câte un interval, nu pe o reuniune.
• Formule de reținut: regula lui l’Hôspital — dacă $\frac{f(x)}{g(x)}$ conduce la $\frac{0}{0}$ sau la $\frac{\infty }{\infty }$, funcțiile sunt derivabile în jurul punctului, $g^{\prime }$ nu se anulează acolo și există $\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$, atunci $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$; produsul se coboară după $f\cdot g=\frac{f}{1/g}$, niciodată $\frac{f}{g}$; diferența de fracții se strânge la același numitor, iar cea cu radicali se amplifică cu expresia conjugată; monotonia — pe un interval $I$, $f^{\prime }>0$ dă $f$ strict crescătoare, iar $f^{\prime }<0$ dă $f$ strict descrescătoare; punctul critic este un punct interior cu $f^{\prime }(x_0)=0$, iar criteriul derivatei întâi spune că trecerea semnului de la $+$ la $-$ dă un maxim local, trecerea de la $-$ la $+$ dă un minim local, iar lipsa schimbării nu dă niciunul.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) temele apar în domeniul Analiză matematică, la XI.4 „Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor" — „Monotonia funcțiilor: relația dintre semnul derivatei de ordinul I pe un interval și monotonia funcției", „Puncte de extrem: stabilirea naturii punctelor critice (staționare) cu ajutorul semnului derivatei de ordinul I" și „Teorema lui l’Hôspital (fără demonstrație)". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la capitolul „Funcții derivabile", „Regulile lui l’Hospital pentru cazurile $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$", iar la „Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor", „Rolul derivatelor de ordin I și de ordinul al II-lea în studiul funcțiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate"; temele apar la Subiectul al III-lea. Programa de examen numește explicit, între cazurile exceptate la calculul limitelor, și produsul $0\cdot \infty$. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".