Test: Limite de funcții: noțiune, limite laterale și la infinit (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Limite de funcții și continuitate

Exerciții

Partea I – Vecinătăți, mărginire și lectura limitei

Exercițiul 1 (6 puncte)

Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Scrie sub formă de interval mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $|x+7|<0,4$. b) Determină cel mai mare număr $\epsilon >0$ pentru care $(8-\epsilon ,8+\epsilon )\subseteq (7,1;8,6)$. c) Este mulțimea $[-3;11)$ vecinătate a punctului $-3$? d) Scrie o vecinătate a lui $-\infty$. e) Scrie un majorant și un minorant pentru mulțimea $A=\{-9;2,5;7;13\}$. f) Adevărat sau fals: „Dacă funcția $f$ este mărginită pe $[0,4]$ și este mărginită pe $[4,9]$, atunci ea este mărginită pe $[0,9]$."

Exercițiul 2 (6 puncte)

a) Arată că funcția $f:[1,7]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{36}{x+5}$, este mărginită și scrie o încadrare a ei. (3 p) b) Arată că $x^2-12x+43\ge 7$, pentru orice număr real $x$, și precizează pentru ce valoare a lui $x$ se atinge egalitatea. (3 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Graficul funcției $f:[-5,6]\to \mathbb{R}$ este descris astfel: pe intervalul $[-5,1)$ el coincide cu dreapta $y=4x+3$; în punctul $1$ are un cerculeț gol la înălțimea $7$ și o bulină plină la înălțimea $12$, adică $f(1)=12$; pe intervalul $(1,6]$ coincide cu dreapta $y=10-3x$. a) Citește $\underset{x\to -1}{\lim }f(x)$. (2 p) b) Studiază existența limitei în punctul $1$ și compară rezultatul cu $f(1)$. (2 p) c) Citește $\underset{x\to 4}{\lim }f(x)$. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Limita $\underset{x\to -4}{\lim }\frac{x^2+x-12}{x+4}$ este: A. $-7$; B. $-4$; C. $0$; D. nu există.

b) Mulțimea $(-\infty ;9]$ este vecinătate a punctului: A. $9$; B. $-30$; C. $10$; D. niciunul dintre cele trei.

c) Limita $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{13}{x-6}-9\right)$ este: A. $-9$; B. $13$; C. $4$; D. $-\infty$.

d) Pentru funcția $f:[-2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+10}{x+3}$, limita în punctul $-2$ este: A. nu se poate calcula, pentru că lipsește partea stângă; B. $8$; C. $+\infty$; D. $0$.

Partea a II-a – Limite laterale

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+4x$ pentru $x<-3$ și $f(x)=8x+9$ pentru $x\ge -3$. a) Calculează cele două limite laterale în punctul $-3$. (3 p) b) Decide dacă funcția are limită în $-3$ și, dacă nu are, măsoară saltul graficului. (3 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră funcția $g(x)=\frac{5x+35}{|x+7|}$, definită pentru $x\ne -7$. a) Calculează limita la dreapta în punctul $-7$. (2 p) b) Calculează limita la stânga în punctul $-7$. (2 p) c) Precizează dacă funcția are limită în $-7$ și descrie graficul ei. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt, printr-un argument sau printr-un contraexemplu (câte 2 puncte): a) „O funcție mărginită pe $\mathbb{R}$ nu poate avea limita $+\infty$ într-un punct." b) „Există o funcție $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ pentru care $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty$." c) „Dacă limitele laterale ale unei funcții într-un punct sunt numere reale diferite, atunci valorile funcției cresc nemărginit lângă acel punct." d) „Dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=5$, atunci $f(x)<5$ pentru orice $x$ dintr-o vecinătate a lui $+\infty$."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x+a$ pentru $x<-2$ și $f(x)=x^2-13x$ pentru $x\ge -2$, unde $a$ este un număr real. a) Arătați că $\underset{\begin{array}{c}x\to -2\\ x>-2\end{array}}{\lim }f(x)=30$. (2 p) b) Determinați numărul real $a$ pentru care funcția $f$ are limită în punctul $-2$. (2 p) c) Pentru valoarea găsită la b), arătați că $f(x)<30$, pentru orice $x<-2$. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

O pompă de dozare funcționează în două regimuri. Debitul ei, în mililitri pe minut, la $t$ minute de la pornire, este $Q(t)=6t+4$ pentru $0\le t<5$ și $Q(t)=64-3t$ pentru $5\le t\le 15$. a) Calculează cele două limite laterale în $t=5$ și scrie unitatea de măsură. (2 p) b) Precizează dacă funcția $Q$ are limită în $5$ și cât măsoară saltul debitului. (2 p) c) Arată că debitul rămâne strict pozitiv pe tot intervalul $[0,15]$. (2 p)

Partea a III-a – Limite la capetele domeniului

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-8\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{7x+11}{x+8}$. a) Arătați că $f(x)=7-\frac{45}{x+8}$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{-8\}$. (3 p) b) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ și cele două limite laterale ale funcției $f$ în punctul $-8$. (3 p) c) Arătați că $f(x)<7$, pentru orice $x>-8$. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Măsurătorile unei funcții $f$ dau valorile $f(10)=4,4$; $f(100)=4,04$ și $f(1000)=4,004$. a) Ce limită bănuiești la $+\infty$ și de ce tabelul acesta nu ține loc de justificare? (3 p) b) Se știe că $f(x)=4+\frac{4}{x}$ pentru $x>0$ și se consideră $g(x)=4-\frac{6}{x}$ pe același domeniu. Arată că cele două funcții au aceeași limită la $+\infty$, deși $f(x)>g(x)$ pentru orice $x>0$. (3 p) c) Determină cel mai mic număr $R>0$ pentru care, oricare ar fi $x>R$, sunt îndeplinite simultan condițiile $|f(x)-4|<0,01$ și $|g(x)-4|<0,01$. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{mx+6}{x-1}$, unde $m$ este un număr real. a) Arată că $f(x)=m+\frac{m+6}{x-1}$ pentru orice $x\ne 1$ și determină $m$ pentru care $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-4$. (3 p) b) Pentru $m=-4$, calculează cele două limite laterale ale funcției $f$ în punctul $1$ și precizează dacă funcția are limită acolo. (3 p) c) Determină numărul real $m$ pentru care funcția $f$ are limită finită în punctul $1$ și precizează valoarea acelei limite. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+6x-16$. a) Arătați că $f(x)=(x-2)(x+8)$, pentru orice număr real $x$. (3 p) b) Arătați că $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{x-2}=10$. (3 p) c) Calculați $\underset{x\to -8}{\lim }\frac{f(x)}{x+8}$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Condiția cu modul înseamnă $-0,4<x+7<0,4$, deci $-7,4<x<-6,6$: mulțimea este intervalul $(-7,4;-6,6)$. b) Trebuie $8-\epsilon \ge 7,1$ și $8+\epsilon \le 8,6$, adică $\epsilon \le 0,9$ și $\epsilon \le 0,6$. Cea mai strânsă condiție dă $\epsilon =0,6$ — distanța până la capătul din dreapta a fost cea mică. c) Nu. Punctul $-3$ este chiar capătul din stânga, iar orice fâșie $(-3-\epsilon ,-3+\epsilon )$ conține numere mai mici decât $-3$, care nu aparțin mulțimii. d) De exemplu $[-\infty ;-250)$: ea cuprinde toate numerele de sub pragul $-250$. (Orice interval de forma $[-\infty ;a)$ este bun.) e) Un majorant: $13$ (sau $20$); un minorant: $-9$ (sau $-15$). Mulțimea este mărginită, iar $A\subseteq [-9;13]$. f) Adevărat. Din $m_1\le f(x)\le M_1$ pe $[0,4]$ și $m_2\le f(x)\le M_2$ pe $[4,9]$ rezultă că, pe reuniunea celor două intervale, toate valorile stau între cel mai mic dintre $m_1$ și $m_2$ și cel mai mare dintre $M_1$ și $M_2$.

Exercițiul 2. (6 p) a) (3 p) Pentru $x\in [1,7]$ avem $6\le x+5\le 12$, toate valorile fiind strict pozitive (1 p). Când numitorul unei fracții cu numărător pozitiv crește, fracția scade, deci inegalitățile se răstoarnă: $\frac{36}{12}\le \frac{36}{x+5}\le \frac{36}{6}$ (1 p). Prin urmare $3\le \mathbf{f}(\mathbf{x})\le 6$ pentru orice $x\in [1,7]$: funcția este mărginită, cu minorantul $3$ și majorantul $6$ (1 p). Control: $f(1)=6$, $f(7)=3$, $f(4)=4$. b) (3 p) Forma canonică: $x^2-12x+43=(x-6{)}^2+7$ (2 p), pentru că $(x-6{)}^2=x^2-12x+36$. Cum $(x-6{)}^2\ge 0$, adunând $7$ obținem $x^2-12x+43\ge 7$, cu egalitate exact pentru $x=6$ (1 p).

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) În $-1$ curba trece neîntrerupt pe prima ramură, deci limita se obține prin înlocuire în $4x+3$: $\underset{x\to -1}{\lim }f(x)=-4+3=-1$. b) (2 p) Din stânga, pe dreapta $y=4x+3$, înălțimile se strâng spre $4+3=7$; din dreapta, pe dreapta $y=10-3x$, spre $10-3=7$. Cele două numere fiind egale, limita există și $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=7$, deși $f(1)=12$: valoarea citită de la bulina plină nu intră în niciunul dintre cele două calcule. c) (2 p) În $4$ curba trece neîntrerupt pe a doua ramură: $\underset{x\to 4}{\lim }f(x)=10-12=-2$.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — înlocuirea directă dă $\frac{0}{0}$; numărătorul are rădăcinile $-4$ și $3$, deci $\frac{(x+4)(x-3)}{x+4}=x-3$ pentru $x\ne -4$, iar limita este $-4-3=-7$. b) B — în jurul lui $-30$ încape o fâșie inclusă în mulțime, de pildă $(-31;-29)$; punctul $9$ este capăt, iar $10$ nici nu aparține mulțimii. c) A — fracția $\frac{13}{x-6}$ tinde la $0$ la ambele capete, iar constanta rămâne: limita este $0-9=-9$. d) B — domeniul nu conține numere mai mici decât $-2$, deci limita funcției în $-2$ este unica laterală care se poate calcula, cea la dreapta. Numitorul în $-2$ face $1\ne 0$, deci se înlocuiește: $\frac{-2+10}{-2+3}=8$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (3 p) La stânga lui $-3$ funcția este dată de prima ramură: $l_s(-3)=9-12=-3$ (1,5 p). La dreapta, de a doua: $l_d(-3)=-24+9=-15$ (1,5 p). b) (3 p) Cele două limite laterale există, dar $-3\ne -15$, deci, prin criteriul de existență, funcția nu are limită în punctul $-3$ (2 p). Saltul graficului măsoară $|-15-(-3)|=12$ unități (1 p).

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Pentru $x>-7$ avem $|x+7|=x+7$, deci $g(x)=\frac{5(x+7)}{x+7}=5$ pe toată această parte; prin urmare $l_d(-7)=5$. b) (2 p) Pentru $x<-7$ avem $|x+7|=-(x+7)$, deci $g(x)=\frac{5(x+7)}{-(x+7)}=-5$ și $l_s(-7)=-5$. c) (2 p) Cum $-5\ne 5$, funcția nu are limită în $-7$. Graficul este format din două semidrepte orizontale, de înălțimi $-5$ și $5$, iar saltul de $10$ unități se face exact acolo unde expresia de sub bare își schimbă semnul.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Adevărat. Mărginirea dă două numere $m$ și $M$ cu $m\le f(x)\le M$ pentru orice $x$ real. O limită $+\infty$ ar cere ca valorile să depășească orice prag, dar ele nu trec niciodată de $M$, deci nu pot intra în vecinătatea $(M,+\infty ]$ a lui $+\infty$. b) Adevărat. Un exemplu este $f(x)=-x^2$: valorile coboară sub orice prag și la dreapta, și la stânga, pentru că pătratul crește nemărginit în ambele direcții, iar semnul minus îl răstoarnă. (Afirmația „cele două limite au întotdeauna semne opuse" este adevărată doar la funcțiile de gradul I.) c) Fals. Un salt este o comportare mărginită. Contraexemplu: funcția care ia valoarea $-2$ pentru $x<0$ și valoarea $2$ pentru $x>0$ are limitele laterale $-2$ și $2$ în origine, iar toate valorile ei stau în intervalul $[-2;2]$. d) Fals. Limita descrie apropierea, nu poziția față de valoarea-limită. Contraexemplu: $f(x)=5+\frac{1}{x}$ are limita $5$ la $+\infty$, dar $f(x)>5$ pentru orice $x>0$.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) La dreapta lui $-2$ funcția este dată de a doua ramură, deci limita se obține prin înlocuire în $x^2-13x$: $(-2{)}^2-13\cdot (-2)=4+26=30$, ceea ce trebuia arătat. b) (2 p) La stânga lui $-2$ funcția este dată de prima ramură, deci $l_s(-2)=5\cdot (-2)+a=-10+a$ (1 p). Prin criteriul de existență, $f$ are limită în $-2$ dacă și numai dacă cele două laterale coincid: $-10+a=30$, deci $a=40$ (1 p). c) (2 p) Pentru $a=40$ și $x<-2$ avem $f(x)=5x+40$. Din $x<-2$ rezultă $5x<-10$, deci $5x+40<30$, adică $f(x)<30$ pentru orice $x<-2$, ceea ce trebuia arătat.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) La stânga lui $5$ se lucrează cu prima ramură: $l_s(5)=6\cdot 5+4=34$ mililitri pe minut (1 p). La dreapta, cu a doua: $l_d(5)=64-15=49$ mililitri pe minut (1 p). b) (2 p) Cele două numere sunt diferite, deci $Q$ nu are limită în $5$ (1 p), iar saltul debitului măsoară $49-34=15$ mililitri pe minut (1 p). c) (2 p) Pe $[0,5)$ avem $Q(t)=6t+4\ge 4>0$, pentru că $t\ge 0$. Pe $[5,15]$ avem $Q(t)=64-3t$, iar din $t\le 15$ rezultă $3t\le 45$ și $Q(t)\ge 19>0$. Prin urmare debitul este strict pozitiv pe tot intervalul $[0,15]$, cum trebuie să fie un debit.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Scriem numărătorul prin numitor: $7(x+8)=7x+56$, iar $7x+11=7x+56-45$ (2 p). Împărțind la $x+8$, obținem $\frac{7x+11}{x+8}=\frac{7(x+8)-45}{x+8}=7-\frac{45}{x+8}$, egalitate valabilă pentru orice $x\ne -8$ (1 p). b) (3 p) La $+\infty$, partea constantă este $7$, iar $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{45}{x+8}=0$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=7$ (1 p). În $-8$ numărătorul $7x+11$ tinde la $-45$, număr negativ, iar numitorul tinde la zero: pentru $x<-8$ numitorul este negativ, deci raportul este pozitiv și crește peste orice prag, iar pentru $x>-8$ numitorul este pozitiv, deci raportul scade sub orice prag. Așadar $$\underset{\begin{array}{c}x\to -8\\ x<-8\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to -8\\ x>-8\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$$ (2 p). Fiind diferite, funcția nu are limită în $-8$. c) (2 p) Din forma de la a): pentru $x>-8$ avem $x+8>0$, deci $\frac{45}{x+8}>0$, iar scăzând un număr strict pozitiv din $7$ obținem un rezultat mai mic decât $7$. Prin urmare $f(x)<7$ pentru orice $x>-8$, ceea ce trebuia arătat.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Valorile coboară spre $4$, câștigând câte o zecimală exactă la fiecare pas, deci bănuiala este $4$ (2 p). Tabelul nu este o justificare, pentru că arată trei valori dintr-o infinitate; limita este o afirmație despre toate valorile de la un prag încolo și se justifică prin raționament, nu prin coloane de numere (1 p). b) (3 p) Fracțiile $\frac{4}{x}$ și $\frac{6}{x}$ tind la $0$ când $x\to +\infty$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=4$ (1 p) și $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=4$ (1 p). Totuși, pentru orice $x>0$, $f(x)-g(x)=\frac{10}{x}>0$, de unde $f(x)>g(x)$; aceeași limită nu înseamnă aceleași valori (1 p). c) (2 p) Pentru $x>0$ avem $|f(x)-4|=\frac{4}{x}$ și $|g(x)-4|=\frac{6}{x}$. Prima condiție este echivalentă cu $x>400$, iar a doua cu $x>600$, deci ele sunt simultan adevărate exact pentru $x>600$ (1 p). Pragul cerut este $R=600$: orice $x>600$ satisface ambele condiții, iar pentru $R<600$ valoarea $x=600>R$ nu satisface a doua inegalitate strictă (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Scriem numărătorul prin numitor: $m(x-1)=mx-m$, deci $mx+6=m(x-1)+m+6$ și $f(x)=m+\frac{m+6}{x-1}$ pentru orice $x\ne 1$ (2 p). Fracția tinde la $0$ la $+\infty$ oricare ar fi $m$, deci limita la $+\infty$ este chiar $m$; condiția din enunț dă $m=-4$ (1 p). b) (3 p) Pentru $m=-4$ avem $f(x)=-4+\frac{2}{x-1}$. Numărătorul fracției este $2>0$, iar numitorul tinde la zero: pentru $x<1$ el este negativ, iar pentru $x>1$ pozitiv. Deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$$ (1 p). Cele două fiind diferite, funcția nu are limită în $1$ (1 p). Discuția de semn a numitorului se scrie, nu se subînțelege (1 p). c) (2 p) Fracția dispare exact când numărătorul ei se anulează: $m+6=0$, adică $m=-6$ (1 p). Atunci $f(x)=-6$ pentru orice $x\ne 1$, deci limita în $1$ există și este $-6$ (1 p). Verificare: $\frac{-6x+6}{x-1}=\frac{-6(x-1)}{x-1}=-6$.

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) Desfacem produsul: $(x-2)(x+8)=x^2+8x-2x-16=x^2+6x-16$, adică exact $f(x)$. (Se acceptă și calculul rădăcinilor: suma lor este $-6$, produsul $-16$, deci ele sunt $2$ și $-8$.) b) (3 p) Înlocuirea directă ar da $\frac{0}{0}$, fiindcă $f(2)=4+12-16=0$ (1 p). Pentru $x\ne 2$ se simplifică prin $x-2$, factor nenul: $$\frac{f(x)}{x-2}=\frac{(x-2)(x+8)}{x-2}=x+8$$ (1 p), iar expresia rămasă se apropie de $2+8=10$, deci $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{x-2}=10$ (1 p). c) (2 p) Analog, $f(-8)=64-48-16=0$, iar pentru $x\ne -8$ avem $\frac{f(x)}{x+8}=x-2$, deci $\underset{x\to -8}{\lim }\frac{f(x)}{x+8}=-8-2=-10$.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică primul strat al unității de limite: vocabularul și citirea. Sunt acoperite patru lecții — Intervale, mărginire și vecinătăți (fâșia din jurul unui punct, încadrarea $m\le f(x)\le M$, dreapta reală încheiată), Limita într-un punct, citită de pe grafic (tendința valorilor, deosebirea dintre limită și valoarea din punct), Limite laterale (cele două apropieri, criteriul de existență, semnul la un numitor care se anulează) și Limite la plus infinit și la minus infinit (cele două capete, rescrierea „constantă plus fracție care se stinge"). Rețetele pe familii de funcții — regula gradelor, puterile și radicalii, exponențiala și logaritmul, cele trei cazuri exceptate și amplificarea cu conjugata — se verifică în testul următor al unității; asimptotele și continuitatea, în al treilea. Aici nu se cere nicio comparare de grade și niciun calcul cu radicali.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — toate numerele sunt alese astfel încât calculele să se facă în minte sau în scris. La fiecare studiu de existență a limitei se cer cele două calcule laterale scrise separat, iar la fiecare limită infinită se cere semnul, nu doar simbolul.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele patru lecții, în special criteriul de existență enunțat complet („există și sunt egale") și discuția de semn la un numitor care tinde la zero.
• Formule de reținut: vecinătate a lui $x_0$ este orice mulțime care conține o fâșie $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$, cu $\epsilon >0$, iar $|x-x_0|<\epsilon$ înseamnă exact $x\in (x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$; o funcție este mărginită pe intervalul $I$ dacă există $m$ și $M$ cu $m\le f(x)\le M$ pentru orice $x\in I$; criteriul de existență a limitei — limita există în $x_0$ atunci și numai atunci când ambele limite laterale există și sunt egale, iar atunci ea este valoarea lor comună; valoarea $f(x_0)$ nu intră în calculul limitei; cărămida limitelor la capete este $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{a}{x+b}=0$, din care se obține orice limită finită la infinit prin rescrierea „constantă plus o fracție care se stinge"; la un numitor care tinde la zero semnul rezultatului se obține combinând semnul limitei numărătorului cu semnul numitorului pe partea cercetată.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la unitatea XI.2 „Limite de funcții și continuitate", unde programa scrie „interpretarea grafică a limitei unei funcții într-un punct și prin intermediul vecinătăților; limite laterale; limită a unei funcții într-un punct și limită la infinit". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la capitolul „Limite de funcții", „noțiuni elementare despre mulțimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăți, dreapta încheiată" și „interpretarea grafică a limitei unei funcții într-un punct utilizând vecinătăți, limite laterale"; conținutul de analiză matematică al clasei a XI-a se dă la Subiectul al III-lea. În modelul oficial publicat al probei M_șt-nat, o cerință a primei probleme de analiză are forma „Arătați că $\lim \dots$", cu rezultatul scris în enunț. Itemii de mai jos sunt construiți pe tema din programă, în formatul probei, fără să fie o prezicere a subiectului. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".