Test: Limitele funcțiilor uzuale și nedeterminările (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Limite de funcții și continuitate

Exerciții

Partea I – Polinoame, rapoarte, puteri, radicali și exponențiale

Exercițiul 1 (6 puncte)

Calculează următoarele limite, scriind de fiecare dată situația în care te afli (câte 1 punct): a) $\underset{x\to -2}{\lim }\left(4x^2+3x-7\right)$ b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{6x-5}{2x^2+1}$ c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{9x^2+x}{4x^2-3}$ d) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3+7x\right)$ e) $\underset{x\to 5}{\lim }\frac{x^2+3}{x+2}$ f) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+9x}{x}$

Exercițiul 2 (6 puncte)

a) Calculează $\underset{x\to 6}{\lim }\sqrt[3]{x-70}$. (2 p) b) Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{16x^2+7}}{x}$, arătând cum scoți pătratul de sub radical. (2 p) c) Calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{16x^2+7}}{x}$ și explică de unde vine deosebirea de semn față de punctul b). (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

a) Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{7}{2}\right)}^x$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{7}{2}\right)}^x$, precizând poziția bazei față de $1$. (2 p) b) Calculează limita funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{\frac{1}{5}}x$, în punctul $0$, scriind condiția care trebuie pusă sub semnul limitei. (2 p) c) Determină numărul real $m$, $m>0$, pentru care ${\log }_{\frac{1}{2}}m=-4$. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Limita $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{7x^2-x}{4x^2+9}$ este: A. $\frac{7}{4}$; B. $0$; C. $+\infty$; D. $\frac{4}{7}$.

b) Limita $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{x^2-16}{x^2-3x-4}$ este: A. $1$; B. $\frac{8}{5}$; C. $\frac{5}{8}$; D. $0$.

c) Limita $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+22x}-x\right)$ este: A. $0$; B. $11$; C. $22$; D. $+\infty$.

d) Limita $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{x}\left(7x-30\right)$ este: A. $0$; B. $14$; C. $-60$; D. $+\infty$.

Partea a II-a – Cazurile exceptate

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră limita $\underset{x\to -6}{\lim }\frac{x^2+11x+30}{x^2-36}$. a) Arată că apare un caz exceptat, numește-l și scrie simplificarea, cu mențiunea de valabilitate. (3 p) b) Calculează limita. (3 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră funcțiile $f(x)=\frac{2x-15}{x+3}$ și $g(x)=\frac{2x-15}{(x+3{)}^2}$, definite pentru $x\ne -3$. a) Calculează cele două limite laterale ale funcției $f$ în $-3$ și precizează dacă $f$ are limită acolo. (2 p) b) Calculează cele două limite laterale ale funcției $g$ în $-3$ și precizează dacă $g$ are limită acolo. (2 p) c) Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt, printr-un calcul sau printr-un contraexemplu (câte 2 puncte): a) „Pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{a{x}^2+7}{4x^2-3x+2}$, unde $a$ este un număr real, condiția $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-5$ este îndeplinită exact pentru $a=-20$." b) „$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{9x^2+30x}-3x\right)=15$." c) „Limita $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-7x}{x^2}$ este un număr real." d) „$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\left(3+{\log }_{0,4}x\right)=+\infty$."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-10x+16$. a) Arătați că $f(x)=(x-2)(x-8)$, pentru orice număr real $x$. (2 p) b) Arătați că $\underset{x\to 8}{\lim }\frac{f(x)}{x^2-64}=\frac{3}{8}$. (2 p) c) Calculați $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{x^2-4}$. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Un cablu se întinde între două puncte de prindere aflate la $d$ metri unul de altul pe orizontală, cu o diferență de nivel de $60$ de metri. Lungimea cablului, în metri, este $L(d)=\sqrt{d^2+3600}$, pentru $d>0$. a) Calculează surplusul de lungime $L(d)-d$ pentru $d=80$ și pentru $d=45$. (2 p) b) Arată că $L(d)-d=\frac{3600}{\sqrt{d^2+3600}+d}$, pentru orice $d>0$. (2 p) c) Determină deschiderea $d$ pentru care surplusul este de exact $10$ metri și arată că, pentru deschideri mai mari, surplusul este mai mic decât $10$ metri. (2 p)

Partea a III-a – Conjugata, parametri și modele

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră expresia $\sqrt{x^2+12x}$. a) Arătați că $\left(\sqrt{x^2+12x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+12x}+x\right)=12x$ și calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+12x}-x\right)$. (3 p) b) Calculați $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+12x}+x\right)$. (3 p) c) Arătați că expresia $\sqrt{x^2+12x}-x$ nu duce la un caz exceptat la $-\infty$ și calculați $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+12x}-x\right)$. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{k{x}^2-x+1}{3x^2+5}$, unde $k$ este un număr real. a) Determină $k$ pentru care $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\frac{5}{3}$. (3 p) b) Pentru valoarea găsită, calculează $\underset{x\to -1}{\lim }f(x)$. (3 p) c) Arată că nu există niciun număr real $k$ pentru care $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{k{x}^3+1}{3x^2+5}$ să fie un număr real nenul. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Temperatura unei piese scoase dintr-o baie termostatată, în grade Celsius, la $t$ minute de la scoatere, este $T(t)=18+63\cdot (0,8{)}^t$, model potrivit pe măsurători pentru $t\ge 0$. a) Calculează $T(0)$ și $T(2)$, cu unitatea de măsură. (3 p) b) Calculează $\underset{t\to +\infty }{\lim }T(t)$, precizând poziția bazei față de $1$, și spune ce reprezintă numărul obținut. (3 p) c) Arată că $T(t)>18$ pentru orice $t\ge 0$ și explică ce înseamnă asta pentru piesă. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{25x+49}$. a) Arătați că $f(11)=18$ și calculați $\underset{x\to 11}{\lim }f(x)$. (3 p) b) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{\sqrt{x}}$. (3 p) c) Arătați că $f(x)\ge 7$, pentru orice $x\in [0,+\infty )$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Funcție polinomială, punct finit, deci înlocuire directă: $4\cdot 4+3\cdot (-2)-7=16-6-7=3$. b) Capăt, raport de polinoame: gradul numărătorului ($1$) este mai mic decât al numitorului ($2$), deci numitorul învinge și fracția se stinge: limita este $0$. c) Capăt, grade egale ($2$ și $2$): limita este raportul coeficienților dominanți, $\frac{9}{4}$. d) Capăt, polinom: termenul dominant este $x^3$, cu coeficient pozitiv, iar gradul impar păstrează semnul lui $x$, deci limita este $-\infty$. e) Punct finit, raport: numitorul în $5$ face $7\ne 0$, deci se înlocuiește: $\frac{25+3}{7}=\frac{28}{7}=4$. f) Punct finit, caz exceptat $\frac{0}{0}$: pentru $x\ne 0$ se dă factor comun și se simplifică, $\frac{x(x+9)}{x}=x+9$, iar limita este $9$.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) Radicalul de ordin impar este definit pentru orice număr real, deci limita trece sub radical fără nicio verificare de semn: sub radical rămâne $6-70=-64$, iar $\underset{x\to 6}{\lim }\sqrt[3]{x-70}=-4$, pentru că $(-4{)}^3=-64$. b) (2 p) Scoatem $x^2$ de sub radical: $\sqrt{16x^2+7}=\sqrt{x^2\left(16+\frac{7}{x^2}\right)}=|x|\sqrt{16+\frac{7}{x^2}}$ (1 p). La capătul din dreapta $x$ este pozitiv, deci $|x|=x$, iar raportul devine $\sqrt{16+\frac{7}{x^2}}$, care tinde la $\sqrt{16}=4$ (1 p). c) (2 p) La capătul din stânga $x$ este negativ, deci $|x|=-x$, iar raportul devine $-\sqrt{16+\frac{7}{x^2}}$; prin urmare limita este $-4$ (1 p). Deosebirea vine numai din modul: radicalul de ordin par dă întotdeauna un rezultat nenegativ, în timp ce numitorul își schimbă semnul (1 p).

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Baza este $\frac{7}{2}=3,5>1$, deci funcția este strict crescătoare și urmează primul rând al tabelului: $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{7}{2}\right)}^x=+\infty$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{7}{2}\right)}^x=0$. b) (2 p) Domeniul este $(0,+\infty )$, iar $0$ este capăt finit și deschis al lui, deci limita se scrie cu condiția $x>0$. Baza $\frac{1}{5}$ este subunitară, prin urmare $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{\log }_{\frac{1}{5}}x=+\infty .$$ c) (2 p) Prin definiția logaritmului, ${\log }_{\frac{1}{2}}m=-4$ înseamnă $m={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-4}=2^4=16$, valoare pozitivă, deci acceptabilă. Observație: la bază subunitară un exponent negativ dă un număr mai mare decât $1$.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — grade egale, amândouă $2$, iar coeficienții dominanți sunt $7$ și $4$, deci limita este $\frac{7}{4}$. b) B — în $4$ ambele polinoame se anulează, deci cazul este $\frac{0}{0}$; cum $x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$, pentru $x\ne 4$ avem $\frac{(x-4)(x+4)}{(x-4)(x+1)}=\frac{x+4}{x+1}$, iar limita este $\frac{8}{5}$. c) B — amplificând cu conjugata se obține $\frac{22x}{\sqrt{x^2+22x}+x}$, iar împărțind prin $x$ pozitiv numitorul tinde la $1+1=2$: limita este $\frac{22}{2}=11$, adică jumătate din coeficientul lui $x$ de sub radical. d) B — cazul este $0\cdot \infty$; scriem produsul ca o singură fracție, $\frac{14x-60}{x}$, iar prin regula gradelor limita este $\frac{14}{1}=14$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (3 p) În $-6$ numărătorul face $36-66+30=0$, iar numitorul $36-36=0$, deci apare cazul exceptat $\frac{0}{0}$ (1 p). Numărătorul are rădăcinile $-6$ și $-5$, iar numitorul este o diferență de pătrate, deci, pentru orice $x\ne -6$, $$\frac{x^2+11x+30}{x^2-36}=\frac{(x+6)(x+5)}{(x+6)(x-6)}=\frac{x+5}{x-6}$$ (2 p). Simplificarea este permisă tocmai pentru că $x$ se apropie de $-6$ fără să ia valoarea $-6$. b) (3 p) Expresia rămasă are numitorul nenul în $-6$, deci se înlocuiește: $\frac{-6+5}{-6-6}=\frac{-1}{-12}=\frac{1}{12}$.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) În $-3$ numărătorul tinde la $-21$, număr negativ, iar numitorul la zero. Pentru $x<-3$ numitorul este negativ, deci raportul este pozitiv și crește peste orice prag; pentru $x>-3$ numitorul este pozitiv, deci raportul scade sub orice prag: $$\underset{\begin{array}{c}x\to -3\\ x<-3\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to -3\\ x>-3\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty .$$ Fiind diferite, $f$ nu are limită în $-3$. b) (2 p) La $g$ numitorul este un pătrat, deci rămâne strict pozitiv de amândouă părțile, în timp ce numărătorul tinde tot la $-21<0$. Cele două limite laterale sunt așadar egale, amândouă $-\infty$, deci $g$ are limită în $-3$ și aceasta este $-\infty$. c) (2 p) Pentru $f$: grade egale ($1$ și $1$), coeficienți dominanți $2$ și $1$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=2$ (1 p). Pentru $g$: gradul numărătorului ($1$) este mai mic decât al numitorului ($2$), deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=0$ (1 p).

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Adevărat. Numitorul are discriminantul $9-32=-23<0$ și coeficientul lui $x^2$ pozitiv, deci nu se anulează pe $\mathbb{R}$. Împărțind prin $x^2$ obținem $\frac{a+7/x^2}{4-3/x+2/x^2}\to \frac{a}{4}$, inclusiv pentru $a=0$. Condiția este așadar $\frac{a}{4}=-5$, echivalentă cu $a=-20$. b) **Fals.** Amplificând cu conjugata $\sqrt{9x^2+30x}+3x$ se obține $\frac{30x}{\sqrt{9x^2+30x}+3x}$; împărțind prin $x$ pozitiv, radicalul se comportă ca $3$, deci numitorul tinde la $3+3=6$ și limita este $\frac{30}{6}=5$, nu $15$. Regula „jumătate din coeficientul lui $x$" se aplică numai când sub radical coeficientul lui $x^2$ este $1$. c) **Fals.** Pentru $x\ne 0$, $\frac{x^2-7x}{x^2}=\frac{x-7}{x}$; numărătorul tinde la $-7$, număr negativ, iar numitorul la zero, schimbându-și semnul: $l_s(0)=+\infty$ și $l_d(0)=-\infty$. Cele două fiind diferite, limita nu există, deci cu atât mai puțin este un număr real. d) **Adevărat.** Baza $0,4$ este subunitară, deci $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{\log }_{0,4}x=+\infty$, iar adunarea constantei $3$ nu schimbă rezultatul.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) $(x-2)(x-8)=x^2-8x-2x+16=x^2-10x+16$, adică exact $f(x)$. (Se acceptă și calculul rădăcinilor: suma lor este $10$, produsul $16$, deci ele sunt $2$ și $8$.) b) (2 p) În $8$ ambele expresii se anulează, deci cazul este $\frac{0}{0}$. Cum $x^2-64=(x-8)(x+8)$, pentru $x\ne 8$ avem $$\frac{f(x)}{x^2-64}=\frac{(x-2)(x-8)}{(x-8)(x+8)}=\frac{x-2}{x+8},$$ iar limita este $\frac{8-2}{8+8}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$, ceea ce trebuia arătat. c) (2 p) Analog, în $2$ cazul este tot $\frac{0}{0}$; cum $x^2-4=(x-2)(x+2)$, pentru $x\ne 2$ avem $\frac{f(x)}{x^2-4}=\frac{x-8}{x+2}$, iar limita este $\frac{2-8}{2+2}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}$.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) $L(80)=\sqrt{6400+3600}=\sqrt{10000}=100$, deci surplusul este $100-80=20$ de metri (1 p). $L(45)=\sqrt{2025+3600}=\sqrt{5625}=75$, deci surplusul este $75-45=30$ de metri (1 p). Deși deschiderea a scăzut, surplusul a crescut: pe deschideri mici aceeași diferență de nivel cântărește mai mult. b) (2 p) Pentru $d>0$ suma $\sqrt{d^2+3600}+d$ este strict pozitivă, deci amplificarea este permisă: $$\sqrt{d^2+3600}-d=\frac{d^2+3600-d^2}{\sqrt{d^2+3600}+d}=\frac{3600}{\sqrt{d^2+3600}+d},$$ ceea ce trebuia arătat. c) (2 p) Condiția $\frac{3600}{\sqrt{d^2+3600}+d}=10$ dă $\sqrt{d^2+3600}+d=360$, adică $\sqrt{d^2+3600}=360-d$. Ridicând la pătrat, $d^2+3600=129600-720d+d^2$, deci $720d=126000$ și $d=175$ de metri (1 p). Verificare: $\sqrt{30625+3600}=\sqrt{34225}=185$, iar $185-175=10$. Pentru $d>175$ numitorul $\sqrt{d^2+3600}+d$ crește, iar fracția cu numărător constant scade, deci surplusul este mai mic decât $10$ metri (1 p).

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Folosim identitatea $\left(\sqrt{A}-B\right)\left(\sqrt{A}+B\right)=A-B^2$, cu $A=x^2+12x$ și $B=x$: produsul este $x^2+12x-x^2=12x$, ceea ce trebuia arătat (1 p). Pentru $x>0$ conjugata este o sumă de mărimi pozitive, deci nenulă, iar amplificarea dă $\frac{12x}{\sqrt{x^2+12x}+x}$ (1 p). Împărțind numărătorul și numitorul prin $x$ pozitiv, $\frac{\sqrt{x^2+12x}}{x}=\sqrt{1+\frac{12}{x}}⟶1$, deci numitorul tinde la $1+1=2$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+12x}-x\right)=6$ (1 p). b) (3 p) La $-\infty$ primul termen tinde la $+\infty$ și al doilea la $-\infty$, deci avem cazul $\infty -\infty$. Conjugata este acum $\sqrt{x^2+12x}-x$, strict pozitivă pentru $x<-12$, iar amplificarea dă $\frac{12x}{\sqrt{x^2+12x}-x}$ (1 p). Împărțind prin $x$, care este negativ, radicalul aduce semnul minus: $\frac{\sqrt{x^2+12x}}{x}=-\sqrt{1+\frac{12}{x}}⟶-1$, deci numitorul tinde la $-1-1=-2$ (1 p) și $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+12x}+x\right)=\frac{12}{-2}=-6$ (1 p). c) (2 p) Pentru $x<-12$ avem $-x>0$, deci $\sqrt{x^2+12x}-x$ este o sumă de două mărimi pozitive care cresc amândouă nemărginit; nu se scade nimic, deci nu apare niciun caz exceptat (1 p). Prin urmare $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+12x}-x\right)=+\infty$ (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) La $+\infty$ gradele numărătorului și numitorului sunt egale, amândouă $2$, deci limita este raportul coeficienților dominanți, $\frac{k}{3}$ (2 p). Condiția $\frac{k}{3}=\frac{5}{3}$ dă $k=5$ (1 p). b) (3 p) Pentru $k=5$ funcția este $\frac{5x^2-x+1}{3x^2+5}$. În $-1$ numitorul face $3+5=8\ne 0$, deci nu apare niciun caz exceptat și se înlocuiește direct: numărătorul face $5+1+1=7$, iar $\underset{x\to -1}{\lim }f(x)=\frac{7}{8}$. c) (2 p) Dacă $k\ne 0$, numărătorul are gradul $3$, cu o unitate mai mult decât numitorul, iar raportul termenilor dominanți este $\frac{k{x}^3}{3x^2}=\frac{kx}{3}$, care crește nemărginit în valoare absolută: limita este infinită, deci nu e un număr real (1 p). Dacă $k=0$, expresia devine $\frac{1}{3x^2+5}$, cu numărător constant și numitor care crește nemărginit, deci limita este $0$ — un număr real, dar nul (1 p). În niciunul dintre cazuri limita nu este un număr real nenul.

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) $T(0)=18+63\cdot 1=81$ grade Celsius (1,5 p). $T(2)=18+63\cdot 0,64=18+40,32=58,32$ grade Celsius (1,5 p). b) (3 p) Baza este $0,8$, iar $0<0,8<1$, deci exponențiala este descrescătoare și $\underset{t\to +\infty }{\lim }(0,8{)}^t=0$ (1 p). Termenul $63\cdot (0,8{)}^t$ se apropie așadar de $0$, iar $\underset{t\to +\infty }{\lim }T(t)=18$ grade Celsius (1 p). Numărul obținut este temperatura mediului în care stă piesa: ea se răcește spre această valoare fără să o atingă (1 p). c) (2 p) Pentru orice $t\ge 0$ avem $(0,8{)}^t>0$, pentru că o putere a unui număr pozitiv este strict pozitivă; deci $63\cdot (0,8{)}^t>0$ și $T(t)>18$ (1 p). Fizic: piesa rămâne tot timpul mai caldă decât mediul, oricât timp ar trece — modelul nu o lasă niciodată să coboare sub temperatura din jur (1 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) Prin înlocuire, sub radical rămâne $25\cdot 11+49=275+49=324$, iar $f(11)=\sqrt{324}=18$ (2 p). Expresia de sub radical tinde în $11$ la $324$, număr pozitiv, deci limita trece sub radical și $\underset{x\to 11}{\lim }f(x)=18$ (1 p). b) (3 p) Pentru $x>0$ scriem raportul sub un singur radical: $$\frac{\sqrt{25x+49}}{\sqrt{x}}=\sqrt{\frac{25x+49}{x}}=\sqrt{25+\frac{49}{x}}$$ (2 p). Fracția $\frac{49}{x}$ tinde la $0$, deci expresia de sub radical tinde la $25$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=\sqrt{25}=5$ (1 p). c) (2 p) Pentru $x\ge 0$ avem $25x\ge 0$, deci $25x+49\ge 49$. Radicalul de ordin par este crescător, așa că $\sqrt{25x+49}\ge \sqrt{49}=7$, adică $f(x)\ge 7$, ceea ce trebuia arătat; egalitatea are loc numai pentru $x=0$.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică al doilea strat al unității de limite: rețetele de calcul, pe familii de funcții. Sunt acoperite cinci lecții — Limitele funcțiilor polinomiale și raționale (înlocuirea directă, termenul dominant, regula gradelor), Limite de putere și radical (cele patru funcții din programa de examen, capătul închis, scoaterea forțată a pătratului de sub radical), Limite cu exponențială și logaritm (poziția bazei față de $1$), Operații cu limite și cazurile exceptate ($\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$ și $0\cdot \infty$) și Infinit minus infinit: trucul conjugatei. Noțiunea de limită, lectura ei de pe grafic, limitele laterale și comportarea la capete au fost verificate în testul anterior al unității; asimptotele, continuitatea, tabelul de semn și funcțiile pe ramuri cu parametru se verifică în testul următor — aici nu se cere nicio ecuație de dreaptă și niciun studiu de continuitate.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — toate numerele sunt alese astfel încât calculele să se facă în minte sau în scris. Înainte de fiecare limită se cere scrisă situația („punct sau capăt?", „se anulează numitorul?"), iar la fiecare caz exceptat se cere numele lui, apoi prelucrarea, apoi rezultatul.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele cinci lecții, în special deosebirea dintre „punct finit" și „capăt" la alegerea uneltei și semnul modulului la scoaterea pătratului de sub radical.
• Formule de reținut: la un polinom limita într-un punct finit se obține prin înlocuire, iar la capete polinomul se poartă ca termenul lui de grad maxim; regula gradelor la un raport — grad mai mic sus dă $0$, grade egale dau raportul coeficienților dominanți, grad mai mare sus dă infinit, cu câte un răspuns pentru fiecare capăt; exponentul par unește capetele, cel impar le desparte, iar $\sqrt{x^2}=|x|$, deci la $-\infty$ modulul devine $-x$; la exponențială totul se decide din poziția bazei față de $1$, iar la logaritm capătul $0$ se scrie cu condiția $x>0$; cele trei cazuri exceptate cerute sunt $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$ și $0\cdot \infty$, ridicate prin factorizare, prin compararea gradelor, respectiv prin aducerea la o singură fracție; la o diferență cu radical se amplifică cu conjugata, folosind $\left(\sqrt{A}-B\right)\left(\sqrt{A}+B\right)=A-B^2$.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la unitatea XI.2 „Limite de funcții și continuitate", prin conținutul „Calculul limitelor: limitele funcțiilor studiate". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, cuvânt cu cuvânt, „calculul limitelor pentru funcția de gradul I, funcția de gradul al II-lea, funcția logaritmică, exponențială, funcția putere ($n=2,3$), funcția radical ($n=2,3$), funcția raport de două funcții cu grad cel mult 2" și enumeră cele trei cazuri exceptate; conținutul de analiză matematică al clasei a XI-a se dă la Subiectul al III-lea. În modelul oficial publicat al probei M_șt-nat, a doua problemă a Subiectului al III-lea pornește de la funcția $f(x)=x+\sqrt{2x^2+1}$, adică de la forma studiată la amplificarea cu conjugata, cu cerințe de calcul integral. Itemii de mai jos sunt construiți pe tema din programă, în formatul probei, fără să fie o prezicere a subiectului. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".