Test: Matrice inversabile și aplicații geometrice (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Matrice și determinanți

Exerciții

Partea I – Criteriul determinantului

Exercițiul 1 (6 puncte)

Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Ce condiție de format trebuie să îndeplinească un tablou pentru ca întrebarea „are inversă?" să aibă sens? b) Ce înseamnă că o matrice este nesingulară? c) Se știe că $\det A=-7$. Este $A$ inversabilă? d) Ce se calculează mai întâi la o cerință despre inversă: determinantul sau inversa? e) Se știe că $\det A=5$, unde $A$ este o matrice pătratică de ordinul al doilea. Cât este $\det \left(A^{-1}\right)$? f) Adevărat sau fals: „Dacă matricea $A$ este inversabilă, atunci și ${}^{t}A$ este inversabilă."

Exercițiul 2 (6 puncte)

Stabilește, calculând determinantul, dacă matricea este singulară sau nesingulară (câte 2 puncte): a) $\left(\begin{array}{cc}10& 4\\ 15& 6\end{array}\right)$; b) $\left(\begin{array}{ccc}2& 5& 1\\ 0& 3& 4\\ 1& 2& 2\end{array}\right)$; c) $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 4\\ 3& 5& 1\\ 5& 6& 5\end{array}\right)$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{cc}m+2& 15\\ 1& m\end{array}\right)$, unde $m$ este număr real. a) Calculați $\det (A(1))$. (2 p) b) Determinați numerele reale $m$ pentru care $A(m)$ nu este inversabilă. (2 p) c) Scrieți mulțimea numerelor reale $m$ pentru care $A(m)$ este inversabilă. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Matricea $\left(\begin{array}{cc}9& 6\\ 6& 4\end{array}\right)$ este: A. nesingulară, cu determinantul $72$; B. singulară; C. nesingulară, cu determinantul $12$; D. fără determinant.

b) Inversa matricei $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& 11\end{array}\right)$ este: A. $\left(\begin{array}{cc}11& -5\\ -2& 1\end{array}\right)$; B. $\left(\begin{array}{cc}11& -2\\ -5& 1\end{array}\right)$; C. $\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 5& -11\end{array}\right)$; D. $\left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{5}& \frac{1}{11}\end{array}\right)$.

c) Punctele $A(1,2)$, $B(4,8)$ și $C(6,12)$: A. formează un triunghi de arie $1$; B. formează un triunghi de arie $3$; C. sunt coliniare; D. nu se poate decide fără o figură.

d) Aria triunghiului cu vârfurile $O(0,0)$, $P(7,2)$ și $Q(3,8)$ este egală cu: A. $50$; B. $12,5$; C. $100$; D. $25$.

Partea a II-a – Inversa, cu matricea adjunctă

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 13& 6\end{array}\right)$. a) Arată că $\det A=-1$ și că $A$ este inversabilă. (2 p) b) Determină $A^{-1}$. (2 p) c) Fă proba, calculând $A\cdot A^{-1}$. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră matricea $B=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 3& 7\end{array}\right)$. a) Arată că $B$ este nesingulară. (2 p) b) Determină $B^{-1}$, lăsând numitorul în fața matricei. (2 p) c) Verifică rezultatul, calculând $B^{-1}\cdot B$. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră matricea $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 5& 3\\ 1& 2& 2\end{array}\right)$. a) Arătați că $\det C=-1$. (2 p) b) Calculați cei nouă complemenți algebrici ai lui $C$ și scrieți tabloul lor. (3 p) c) Scrieți matricea adjunctă $C^{\ast }$, determinați $C^{-1}$ și verificați prima linie a produsului $C\cdot C^{-1}$. (3 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Dacă $A$ este o matrice pătratică de ordinul al doilea cu $A^{-1}=A$, atunci $\det A=1$." b) „Există trei puncte cu toate cele șase coordonate numere întregi pentru care aria triunghiului determinat de ele este egală cu $\frac{1}{2}$." c) „Dacă matricea pătratică $A$ este singulară, atunci și matricea $2A$ este singulară."

Exercițiul 9 (6 puncte)

Un atelier prepară două soluții de curățare. Pentru un litru din prima intră $3$ unități din substanța A și $5$ unități din substanța B; pentru un litru din a doua, $2$ unități din A și $7$ unități din B. a) Scrie matricea $M$ a consumurilor, precizând ce numără liniile, ce numără coloanele și în ce unitate sunt elementele. (2 p) b) Arată că $M$ este inversabilă și determină $M^{-1}$, lăsând numitorul în fața matricei. (2 p) c) Precizează unitatea de măsură a numerelor din $M^{-1}$ și verifică egalitatea $M\cdot M^{\ast }=(\det M)I_2$. (2 p)

Partea a III-a – Aplicații geometrice

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră punctele $A(-6,5)$, $B(-1,-3)$ și $C(4,-11)$. a) Stabilește dacă punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare. (3 p) b) Scrie ecuația dreptei $AB$ sub forma $ax+by+c=0$, cu coeficienți întregi, și verifică rezultatul înlocuind ambele puncte. (3 p) c) Arată că punctul $D(9,-18)$ nu aparține dreptei $AB$. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se consideră punctele $P(-3,-4)$, $Q(7,2)$, $R(1,9)$ și $S(-7,2)$, care sunt vârfurile, în această ordine, ale unui patrulater convex. a) Calculează aria triunghiului $PQR$. (3 p) b) Calculează aria patrulaterului $PQRS$, descompunându-l cu diagonala $PR$. (3 p) c) Verifică rezultatul refăcând descompunerea cu diagonala $QS$. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră punctele $A(-4,1)$, $B(2,m)$ și $C(8,13)$, unde $m$ este număr real. a) Arată că $\Delta =84-12m$ și determină numărul real $m$ pentru care punctele sunt coliniare. (3 p) b) Determină numerele reale $m$ pentru care aria triunghiului $ABC$ este egală cu $18$. (3 p) c) Explică de ce cerința de la b) are două răspunsuri, iar cea de la a) doar unul. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2,4)$, $B(6,8)$ și $C(2,-4)$. a) Arătați că punctele $A$, $B$ și $C$ nu sunt coliniare. (2 p) b) Calculați aria triunghiului $ABC$. (3 p) c) Demonstrați că, oricare ar fi numărul real $m$, punctul $D(2m,m+5)$ aparține dreptei $AB$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Tabloul trebuie să fie pătratic: la o matrice cu $3$ linii și $2$ coloane, cele două produse din definiție ar ieși de ordine diferite, deci egalitățile cerute nu pot fi adevărate deodată. b) Înseamnă că determinantul ei este diferit de zero, deci că matricea are inversă. c) Da: determinantul este nenul, iar criteriul determinantului spune că atunci inversa există. d) Determinantul, întotdeauna: el se obține din câteva înmulțiri și hotărăște dacă inversa există; dacă iese zero, calculul se oprește acolo. e) $\det \left(A^{-1}\right)=\frac{1}{5}$: cei doi determinanți sunt inversul unul altuia, fiindcă produsul lor este $\det (A\cdot A^{-1})=\det I_2=1$. f) Adevărat. Determinantul nu se schimbă la transpunere, deci $\det ({}^{t}A)=\det A\ne 0$, iar criteriul se aplică la fel.

Exercițiul 2. (6 p) — câte 2 puncte. a) $\det =10\cdot 6-4\cdot 15=60-60=0$, deci matricea este singulară. Se vedea și direct: a doua linie este prima înmulțită cu $\frac{3}{2}$. b) Grupul cu plus: $2\cdot 3\cdot 2=12$, $5\cdot 4\cdot 1=20$ și $1\cdot 0\cdot 2=0$, cu suma $32$; grupul cu minus: $1\cdot 3\cdot 1=3$, $2\cdot 4\cdot 2=16$ și $5\cdot 0\cdot 2=0$, cu suma $19$. Deci $\det =32-19=13\ne 0$ și matricea este nesingulară. c) A treia linie este suma primelor două: $(2+3,1+5,4+1)=(5,6,5)$, deci liniile sunt legate între ele și determinantul este nul — matricea este singulară. Calculul complet confirmă: grupul cu plus $50+5+72=127$, grupul cu minus $100+12+15=127$, iar diferența este $0$.

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Pentru $m=1$ matricea devine $\left(\begin{array}{cc}3& 15\\ 1& 1\end{array}\right)$, deci $\det (A(1))=3\cdot 1-15\cdot 1=3-15=-12$. b) (2 p) În general, $\det (A(m))=(m+2)m-15\cdot 1=m^2+2m-15=(m+5)(m-3)$. Matricea nu este inversabilă exact când determinantul se anulează, adică pentru $m=-5$ și $m=3$. c) (2 p) Criteriul cere $\det (A(m))\ne 0$, deci se scot din mulțimea numerelor reale exact valorile găsite la b): $m\in \mathbb{R}\setminus \{-5,3\}$. Probă pe o valoare simplă: pentru $m=0$ avem $\det (A(0))=-15\ne 0$, iar $0$ chiar se află în mulțimea scrisă.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B — $\det =9\cdot 4-6\cdot 6=36-36=0$, deci matricea este singulară. b) B — determinantul este $1\cdot 11-2\cdot 5=1$, iar la ordinul $2$ numerele de pe diagonala principală își schimbă locurile, celelalte două își schimbă semnul, și totul se împarte la $1$. c) C — $\Delta =(4-1)(12-2)-(6-1)(8-2)=30-30=0$, deci punctele sunt coliniare. d) D — $\Delta =7\cdot 8-3\cdot 2=56-6=50$, iar aria este jumătate din modulul lui, adică $25$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) $\det A=2\cdot 6-1\cdot 13=12-13=-1$. Determinantul fiind nenul, criteriul spune că $A$ este inversabilă. b) (2 p) Adjuncta este $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}6& -1\\ -13& 2\end{array}\right)$, iar împărțirea la $-1$ schimbă toate semnele: $$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-6& 1\\ 13& -2\end{array}\right).$$ c) (2 p) $2\cdot (-6)+1\cdot 13=-12+13=1$; $2\cdot 1+1\cdot (-2)=2-2=0$; $13\cdot (-6)+6\cdot 13=-78+78=0$; $13\cdot 1+6\cdot (-2)=13-12=1$. Deci $A\cdot A^{-1}=I_2$, iar rezultatul este corect.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) $\det B=4\cdot 7-6\cdot 3=28-18=10\ne 0$, deci $B$ este nesingulară. b) (2 p) Adjuncta este $B^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}7& -6\\ -3& 4\end{array}\right)$, deci $$B^{-1}=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{cc}7& -6\\ -3& 4\end{array}\right).$$ c) (2 p) Cu factorul lăsat în față, produsul se face cu numere întregi: $7\cdot 4+(-6)\cdot 3=10$; $7\cdot 6+(-6)\cdot 7=0$; $-3\cdot 4+4\cdot 3=0$; $-3\cdot 6+4\cdot 7=10$. Deci $B^{\ast }\cdot B=10I_2$, iar împărțind la $10$ se obține $B^{-1}\cdot B=I_2$.

Exercițiul 7. (8 p) a) (2 p) Grupul cu plus: $1\cdot 5\cdot 2=10$, $3\cdot 3\cdot 1=9$ și $2\cdot 2\cdot 2=8$, cu suma $27$. Grupul cu minus: $2\cdot 5\cdot 1=10$, $1\cdot 3\cdot 2=6$ și $3\cdot 2\cdot 2=12$, cu suma $28$. Deci $\det C=27-28=-1$. b) (3 p) Fiecare complement este un determinant de ordinul al doilea, luat cu semnul poziției: ${\delta }_{11}=+(10-6)=4$; ${\delta }_{12}=-(4-3)=-1$; ${\delta }_{13}=+(4-5)=-1$; ${\delta }_{21}=-(6-4)=-2$; ${\delta }_{22}=+(2-2)=0$; ${\delta }_{23}=-(2-3)=1$; ${\delta }_{31}=+(9-10)=-1$; ${\delta }_{32}=-(3-4)=1$; ${\delta }_{33}=+(5-6)=-1$. Tabloul complemenților este $$\left(\begin{array}{ccc}4& -1& -1\\ -2& 0& 1\\ -1& 1& -1\end{array}\right).$$ c) (3 p) Adjuncta este transpusa tabloului de mai sus (1 p): $$C^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}4& -2& -1\\ -1& 0& 1\\ -1& 1& -1\end{array}\right),C^{-1}=\frac{1}{-1}{C}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}-4& 2& 1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$$ (1 p). Proba pe prima linie: $1\cdot (-4)+3\cdot 1+2\cdot 1=1$; $1\cdot 2+3\cdot 0+2\cdot (-1)=0$; $1\cdot 1+3\cdot (-1)+2\cdot 1=0$ — adică exact prima linie a lui $I_3$ (1 p).

Exercițiul 8. (6 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Fals. Din $A\cdot A^{-1}=I_2$ și din faptul că determinantul unui produs este produsul determinanților rezultă $(\det A{)}^2=1$, deci $\det A$ poate fi și $-1$. Contraexemplu: pentru $A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -2& -3\end{array}\right)$ avem $A\cdot A=I_2$, deci $A^{-1}=A$, iar $\det A=-9+8=-1$. b) Adevărat. Aria este jumătate din modulul determinantului, deci este de forma cerută exact când $|\Delta |=1$. Exemplu: pentru punctele $(0,0)$, $(1,0)$ și $(0,1)$ avem $\Delta =1\cdot 1-0\cdot 0=1$, deci aria este $\frac{1}{2}$. c) Adevărat. Dacă $A$ este de ordinul $n$, atunci $\det (2A)=2^n\det A=2^n\cdot 0=0$, deci și $2A$ are determinantul nul și este singulară.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Punem pe linii substanțele (întâi A, apoi B) și pe coloane cele două soluții: $$M=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 5& 7\end{array}\right).$$ Elementele sunt unități de substanță pe litru de soluție. b) (2 p) $\det M=3\cdot 7-2\cdot 5=21-10=11\ne 0$, deci $M$ este inversabilă, iar adjuncta este $M^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}7& -2\\ -5& 3\end{array}\right)$: $$M^{-1}=\frac{1}{11}\left(\begin{array}{cc}7& -2\\ -5& 3\end{array}\right).$$ c) (2 p) Numerele din $M$ sunt unități de substanță pe litru, iar inversa merge în sens opus, de la unități de substanță la litri, deci numerele din $M^{-1}$ se măsoară în litri pe unitate de substanță (1 p). Verificarea: $3\cdot 7+2\cdot (-5)=11$; $3\cdot (-2)+2\cdot 3=0$; $5\cdot 7+7\cdot (-5)=0$; $5\cdot (-2)+7\cdot 3=11$, deci $M\cdot M^{\ast }=11I_2=(\det M)I_2$ (1 p).

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Cu forma scurtă, luând $A$ pe prima linie: $\Delta =(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)=(-1+6)(-11-5)-(4+6)(-3-5)$ (1 p), adică $\Delta =5\cdot (-16)-10\cdot (-8)=-80+80=0$ (1 p). Determinantul fiind nul, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare (1 p). b) (3 p) Punem pe linia a treia punctul mobil $M(x,y)$ și folosim aceeași formă scurtă: $(x_B-x_A)(y-y_A)-(x-x_A)(y_B-y_A)=0$, adică $5(y-5)-(x+6)(-8)=0$ (1 p). Desfacem: $5y-25+8x+48=0$, deci ecuația dreptei $AB$ este $8x+5y+23=0$ (1 p). Proba: pentru $A$, $8\cdot (-6)+5\cdot 5+23=-48+25+23=0$; pentru $B$, $8\cdot (-1)+5\cdot (-3)+23=-8-15+23=0$ (1 p). c) (2 p) Înlocuim coordonatele lui $D$ în ecuație: $8\cdot 9+5\cdot (-18)+23=72-90+23=5\ne 0$, deci $D$ nu se află pe dreapta $AB$.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) ${\Delta }_{PQR}=(7+3)(9+4)-(1+3)(2+4)=130-24=106$ (2 p), deci ${\mathcal{S}}_{PQR}=\frac{106}{2}=53$ (1 p). b) (3 p) Diagonala $PR$ rupe patrulaterul în triunghiurile $PQR$ și $PRS$. Pentru al doilea, ${\Delta }_{PRS}=(1+3)(2+4)-(-7+3)(9+4)=24+52=76$, deci aria lui este $38$ (2 p). Aria patrulaterului este $53+38=91$ (1 p). c) (2 p) Diagonala $QS$ dă triunghiurile $PQS$ și $QRS$. Pentru primul, ${\Delta }_{PQS}=(7+3)(2+4)-(-7+3)(2+4)=60+24=84$, deci aria este $42$; pentru al doilea, ${\Delta }_{QRS}=(1-7)(2-2)-(-7-7)(9-2)=0+98=98$, deci aria este $49$. Totalul este $42+49=91$, aceeași valoare ca la punctul b).

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) $\Delta =(2+4)(13-1)-(8+4)(m-1)=6\cdot 12-12(m-1)=72-12m+12=84-12m$ (2 p). Punctele sunt coliniare când $\Delta =0$, adică $84=12m$, deci $m=7$ (1 p). b) (3 p) Aria este $\frac{|84-12m|}{2}=18$, adică $|84-12m|=36$ (1 p). Din $84-12m=36$ rezultă $12m=48$, deci $m=4$ (1 p); din $84-12m=-36$ rezultă $12m=120$, deci $m=10$ (1 p). c) (2 p) La punctul a) se rezolvă o ecuație de gradul întâi, $84-12m=0$, care are o singură soluție. La punctul b) apare un modul, iar o egalitate cu modul se desface în două ecuații; geometric, cele două valori corespund celor două drepte paralele cu $AC$, câte una de fiecare parte a ei, pe care al treilea vârf dă aria cerută.

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) $\Delta =(6+2)(-4-4)-(2+2)(8-4)=8\cdot (-8)-4\cdot 4=-64-16=-80$. Determinantul fiind nenul, punctele nu sunt coliniare. b) (3 p) Aria este jumătate din modulul determinantului: ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{|-80|}{2}=40$. c) (3 p) Calculăm determinantul punctelor $A$, $B$ și $D$, lăsând parametrul înăuntru: $\Delta =(6+2)(m+5-4)-(2m+2)(8-4)$ (1 p), adică $\Delta =8(m+1)-4(2m+2)=8m+8-8m-8=0$ (1 p). Determinantul este nul pentru orice valoare a lui $m$, deci punctele $A$, $B$ și $D$ sunt coliniare, adică $D$ se află pe dreapta $AB$, oricare ar fi numărul real $m$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică al treilea strat al unității: ce se poate face cu determinantul, odată ce știi să-l calculezi. Sunt acoperite patru lecții — Matrice inversabilă: criteriul determinantului (definiția cu ambele produse, criteriul, cuvintele „singulară" și „nesingulară", cerințele cu parametru), Inversa unei matrice, cu matricea adjunctă (complemenții algebrici, transpunerea tabloului lor, formula $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$, algoritmul la ordinele $2$ și $3$, proba), Coliniaritate și dreapta, cu determinant (determinantul a trei puncte, criteriul de coliniaritate, ecuația dreptei prin două puncte) și Aria triunghiului calculată cu un determinant (jumătate din modul, poligonul convex descompus în triunghiuri). Matricele, operațiile cu ele și determinanții au fost verificați în primele două teste ale unității; ecuațiile matriceale și sistemele nu intră aici — ele sunt materia suplimentului pentru Bacalaureat M2, cu testul lor.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La orice cerință despre inversă se cere determinantul scris înaintea oricărei alte socoteli; la inversa de ordinul $3$ se cere tabloul complemenților cu semnele vizibile și proba măcar pe o linie; la geometrie se cere concluzia scrisă în cuvinte, nu doar cifra.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele patru lecții, în special răspunsul la cerințele cu parametru (mulțimea rămasă, nu soluțiile ecuației) și transpunerea tabloului complemenților.
• Formule de reținut: $A$ este inversabilă dacă există $B$ de același ordin cu $A\cdot B=B\cdot A=I_n$, iar criteriul spune că asta se întâmplă exact când $\det A\ne 0$ (matrice nesingulară; altfel, singulară); adjuncta $A^{\ast }$ este transpusa tabloului complemenților algebrici, adică pe linia $i$ și coloana $j$ stă ${\delta }_{ji}$; $A\cdot A^{\ast }=A^{\ast }\cdot A=(\det A)I_n$, iar dacă $\det A\ne 0$, atunci $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$; la ordinul $2$, pentru $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, adjuncta este $\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$; trei puncte sunt coliniare exact când $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|=0$, iar scăzând prima linie din celelalte două se obține forma scurtă $\Delta =(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)$; ecuația dreptei prin două puncte distincte se obține punând pe linia a treia punctul mobil $M(x,y)$ și egalând determinantul cu zero; aria triunghiului este $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |$, iar un poligon convex se descompune în triunghiuri cu diagonalele dintr-un vârf.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030, la clasa a XI-a din 2028–2029; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la XI.1 „Matrice și determinanți", unde programa scrie „Inversa unei matrice" și, la rândul „Aplicații ale determinanților în geometrie", „Coliniaritatea a trei puncte; calculul ariei unui triunghi; ecuația dreptei determinată de două puncte". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere „matrice inversabile din ${\mathcal{M}}_n$, $n=2,3$" și, la „Aplicații", „ecuația unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi și coliniaritatea a trei puncte în plan"; în modelul oficial al probei, Subiectul al II-lea începe cu o problemă de matrice și determinanți, iar una dintre cele șase cerințe scurte ale Subiectului I este de geometrie analitică plană. Ambele generații au, așadar, tema în programa lor de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".