Test: Matrice: operații și contexte practice (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Matrice și determinanți

Exerciții

Partea I – Matricea: format, poziții și tipuri

Exercițiul 1 (6 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cccc}6& -1& 0& 5\\ 2& 7& -4& 3\\ -3& 8& 1& -2\end{array}\right)$. Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Care este formatul matricei $A$ și câte elemente are ea? b) Cât este $a_{23}$? c) Pe ce poziție se află în tablou numărul $8$? d) De ce scrierea $a_{41}$ nu desemnează niciun număr? e) Ce format are ${}^{t}A$? f) Adevărat sau fals: „Există o matrice cu exact $7$ elemente care nu este nici matrice linie, nici matrice coloană."

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră matricea $B=(b_{ij})\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$, cu $b_{ij}=i\cdot j-2$. a) Scrie matricea $B$, calculând elementele linie cu linie. (3 p) b) Scrie ${}^{t}B$ și precizează formatul ei. (2 p) c) Câte elemente ale matricei $B$ sunt nule? (1 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

a) Determină numerele reale $u$ și $v$ pentru care $\left(\begin{array}{cc}u+3& 7\\ -4& 2v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9& 7\\ -4& 10\end{array}\right)$. (3 p) b) Arată că nu există niciun număr real $w$ pentru care $\left(\begin{array}{cc}w+2& 5\\ 1& w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 5\\ 1& 4\end{array}\right)$. (3 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Dacă $A\in {\mathcal{M}}_{4,3}(\mathbb{R})$, atunci ${}^{t}A$ are formatul: A. $4\times 3$; B. $3\times 4$; C. $4\times 4$; D. $3\times 3$.

b) Produsul $\left(\begin{array}{cc}3& -2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 9\end{array}\right)$ este egal cu: A. $\left(\begin{array}{cc}6& -18\end{array}\right)$; B. $\left(\begin{array}{c}24\end{array}\right)$; C. $\left(\begin{array}{c}-12\end{array}\right)$; D. $\left(\begin{array}{cc}6& -4\\ 27& -18\end{array}\right)$.

c) Pentru orice matrice $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, produsul $O_3\cdot A$ este egal cu: A. $A$; B. $I_3$; C. $O_3$; D. produsul nu există.

d) Dacă $A$ are formatul $2\times 5$, iar $B$ formatul $5\times 2$, atunci $B\cdot A$ are formatul: A. $2\times 2$; B. $2\times 5$; C. produsul nu există; D. $5\times 5$.

Partea a II-a – Adunarea, înmulțirea cu un număr și combinațiile liniare

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}5& -4\\ 2& 6\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 9\\ -5& 1\end{array}\right)$. a) Calculează $A+B$. (2 p) b) Calculează $A-B$. (2 p) c) Calculează $3A$. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

a) Scrie matricea $\left(\begin{array}{cc}24& -18\\ 30& 42\end{array}\right)$ sub forma $\alpha M$, cu $\alpha$ număr natural cât mai mare. (2 p) b) Determină matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $X+\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 5& 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& -1\\ -1& 16\end{array}\right)$. (2 p) c) Scrie matricea opusă a matricei $X$ de la punctul b) și verifică egalitatea $X+(-X)=O_2$. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Dacă matricea $A$ are formatul $2\times 3$, atunci există o matrice $B$ pentru care amândouă produsele $A\cdot B$ și $B\cdot A$ există." b) „Dacă două matrice au același format și suma tuturor elementelor lor este aceeași, atunci cele două matrice sunt egale." c) „Pentru orice matrice pătratică $A$ de ordinul $2$, matricea $A-{}^{t}A$ are pe diagonala principală numai zerouri." d) „Există matrice $A$ și $B$, amândouă cu toate elementele nenule, pentru care $A+B=O_2$."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 6& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 6\\ -4& 7\end{array}\right)$. a) Calculați $2A+B$. (3 p) b) Determinați numărul real $\alpha$ pentru care $\alpha A-B=\left(\begin{array}{cc}8& -12\\ 22& -4\end{array}\right)$. (3 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Se consideră matricele $P=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 4\\ 0& 3& -2\end{array}\right)$ și $Q=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 3& -2\\ -1& 0\end{array}\right)$. a) Arată că produsul $P\cdot Q$ există și precizează formatul lui. (2 p) b) Calculează $P\cdot Q$. (3 p) c) Câți termeni are suma din care se obține fiecare element al produsului? (1 p)

Partea a III-a – Produsul, ordinea factorilor și modelarea

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 1& -2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -2& 6\end{array}\right)$. a) Calculați $A\cdot B$. (3 p) b) Arătați că $A\cdot B\ne B\cdot A$, precizând o poziție pe care cele două matrice diferă. (3 p) c) Calculați $A\cdot B+B\cdot A$ și suma tuturor elementelor matricei obținute. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Un centru de colectare a primit, de la două școli, trei feluri de deșeuri reciclabile — hârtie, plastic și sticlă —, cantitățile fiind date, în kilograme, de matricea $$R=\left(\begin{array}{ccc}140& 90& 75\\ 110& 125& 60\end{array}\right),$$ cu liniile școlile (întâi prima școală) și coloanele felurile de deșeu, în ordinea de mai sus. Centrul plătește $3$ lei pe kilogramul de hârtie, $5$ lei pe cel de plastic și $2$ lei pe cel de sticlă. a) Scrie matricea coloană $P$ a prețurilor, calculează $R\cdot P$ și spune ce reprezintă numerele obținute, cu unitatea de măsură. (3 p) b) Calculează $\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)\cdot R$ și spune ce reprezintă rezultatul. (3 p) c) Află cantitatea totală colectată pe două căi — din rezultatul de la b) și din sumele pe linii ale lui $R$ — și explică de ce cele două numere trebuie să coincidă. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră matricele $M=\left(\begin{array}{cc}9& 12\\ 6& 8\end{array}\right)$ și $N=\left(\begin{array}{cc}4& -8\\ -3& 6\end{array}\right)$. a) Arată că $M\cdot N=O_2$, deși niciuna dintre cele două matrice nu este matricea nulă. (3 p) b) Calculează $N\cdot M$. (3 p) c) Arată că suma elementelor de pe diagonala principală a matricei $N\cdot M$ este $0$. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 7& 5\end{array}\right)$ și $B(m)=\left(\begin{array}{cc}m& 4\\ 9& m\end{array}\right)$, unde $m$ este număr real. a) Calculați $A+B(2)$. (2 p) b) Determinați numărul real $m$ pentru care suma elementelor de pe diagonala principală a matricei $A\cdot B(m)$ este egală cu $46$. (3 p) c) Demonstrați că matricea $B(m)-{}^{t}B(m)$ nu depinde de $m$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Tabloul are trei linii și patru coloane, deci formatul este $3\times 4$, iar numărul de elemente este $3\cdot 4=12$. b) Primul indice este linia, al doilea coloana: $a_{23}=-4$ (linia $2$, coloana $3$). c) Numărul $8$ se află pe linia $3$ și pe coloana $2$, deci se notează ${\mathbf{a}}_{32}$. d) Matricea are numai trei linii, iar un indice de linie trebuie să respecte $1\le i\le 3$; poziția $(4,1)$ nu există în tablou. e) Transpusa răstoarnă formatul, deci ${}^{t}A$ este de tip $4\times 3$. f) Fals. Formatul $m\times n$ trebuie să dea $m\cdot n=7$, iar $7$ este număr prim, deci singurele posibilități sunt $1\times 7$ și $7\times 1$ — adică o matrice linie sau o matrice coloană.

Exercițiul 2. (6 p) a) (3 p) Pentru $i=1$: $b_{11}=1\cdot 1-2=-1$, $b_{12}=1\cdot 2-2=0$, $b_{13}=1\cdot 3-2=1$. Pentru $i=2$: $b_{21}=2\cdot 1-2=0$, $b_{22}=2\cdot 2-2=2$, $b_{23}=2\cdot 3-2=4$. Deci $$B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& 2& 4\end{array}\right).$$ b) (2 p) Liniile devin coloane, iar formatul se răstoarnă din $2\times 3$ în $3\times 2$: $${}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 2\\ 1& 4\end{array}\right).$$ c) (1 p) Sunt nule două elemente, $b_{12}$ și $b_{21}$, pentru că $i\cdot j=2$ în amândouă cazurile.

Exercițiul 3. (6 p) a) (3 p) Formatele coincid, deci comparăm poziție cu poziție. Din $(1,1)$: $u+3=9$, deci $u=6$ (1 p). Din $(2,2)$: $2v=10$, deci $v=5$ (1 p). Pozițiile $(1,2)$ și $(2,1)$ sunt deja egale, $7=7$ și $-4=-4$, deci nu aduc nicio condiție nouă (1 p). b) (3 p) Poziția $(1,1)$ dă $w+2=8$, adică $w=6$ (1 p). Poziția $(2,2)$ dă $w=4$ (1 p). Cele două valori sunt diferite, iar egalitatea a două matrice cere ca toate pozițiile să se potrivească deodată; prin urmare nu există niciun număr real $w$ care să facă matricele egale (1 p).

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B — transpusa unei matrice $4\times 3$ este de tip $3\times 4$. b) C — formatele sunt $(1\times 2)\cdot (2\times 1)$, deci produsul este de tip $1\times 1$, iar $3\cdot 2+(-2)\cdot 9=6-18=-12$. c) C — matricea nulă este element absorbant la înmulțire, deci produsul ei cu orice matrice de format potrivit este tot matricea nulă. d) D — formatele se scriu $(5\times 2)\cdot (2\times 5)$; numerele din mijloc coincid, deci produsul există și are formatul $5\times 5$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Formatele coincid, deci suma există și se calculează poziție cu poziție: $$A+B=\left(\begin{array}{cc}7& 5\\ -3& 7\end{array}\right).$$ b) (2 p) Se scade poziție cu poziție, cu atenție la semne: $5-2=3$, $-4-9=-13$, $2-(-5)=7$ și $6-1=5$, deci $$A-B=\left(\begin{array}{cc}3& -13\\ 7& 5\end{array}\right).$$ c) (2 p) Scalarul intră în fiecare element: $$3A=\left(\begin{array}{cc}15& -12\\ 6& 18\end{array}\right).$$

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Toate cele patru elemente se împart exact la $6$, dar nu toate la $12$ sau la $18$, deci cel mai mare factor comun este $6$: $$\left(\begin{array}{cc}24& -18\\ 30& 42\end{array}\right)=6\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 5& 7\end{array}\right).$$ b) (2 p) Adunând matricea opusă la ambii membri, rezultă $X=\left(\begin{array}{cc}5& -1\\ -1& 16\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 5& 7\end{array}\right)$, adică $$X=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -6& 9\end{array}\right).$$ c) (2 p) Matricea opusă schimbă semnul tuturor elementelor: $-X=\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 6& -9\end{array}\right)$. Adunându-le poziție cu poziție se obține $1+(-1)=0$, $2+(-2)=0$, $-6+6=0$ și $9+(-9)=0$, deci $X+(-X)=O_2$.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Adevărat. Este de ajuns ca $B$ să aibă formatul $3\times 2$: atunci $A\cdot B$ se scrie $(2\times 3)\cdot (3\times 2)$ și este de tip $2\times 2$, iar $B\cdot A$ se scrie $(3\times 2)\cdot (2\times 3)$ și este de tip $3\times 3$. Amândouă produsele există, deși au formate diferite. b) Fals. Suma tuturor elementelor nu spune nimic despre pozițiile lor. Contraexemplu: $\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 7& 1\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 1& 7\end{array}\right)$ au amândouă suma elementelor $15$, dar nu coincid pe nicio poziție. c) Adevărat. Elementul de pe poziția $(i,i)$ al matricei $A-{}^{t}A$ este $a_{ii}-a_{ii}=0$, pentru că transpusa lasă pe loc elementele cu cei doi indici egali. Deci ambele elemente ale diagonalei principale sunt nule. d) Adevărat. Se ia $B=-A$, cu $A$ o matrice fără niciun element nul. De exemplu, pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}-2& -3\\ -5& -1\end{array}\right)$ avem $A+B=O_2$, iar toate cele opt elemente sunt nenule.

Exercițiul 8. (6 p) a) (3 p) Calculăm întâi $2A=\left(\begin{array}{cc}6& -4\\ 12& 2\end{array}\right)$ (1 p), apoi adunăm poziție cu poziție (2 p): $$2A+B=\left(\begin{array}{cc}7& 2\\ 8& 9\end{array}\right).$$ b) (3 p) Elementele matricei $\alpha A-B$ sunt $3\alpha -1$, $-2\alpha -6$, $6\alpha +4$ și $\alpha -7$ (1 p). Egalitatea cu matricea din enunț dă patru condiții: $3\alpha -1=8$, $-2\alpha -6=-12$, $6\alpha +4=22$ și $\alpha -7=-4$ (1 p). Fiecare dintre ele conduce la $\alpha =3$, deci valoarea căutată este $\alpha =3$ (1 p). Proba: $3A-B=\left(\begin{array}{cc}9-1& -6-6\\ 18+4& 3-7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& -12\\ 22& -4\end{array}\right)$.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Formatele se scriu alăturat: $(2\times 3)\cdot (3\times 2)$. Numerele din mijloc sunt amândouă $3$, deci produsul există și are formatul $2\times 2$. b) (3 p) Poziția $(1,1)$: $2\cdot 1+(-1)\cdot 3+4\cdot (-1)=2-3-4=-5$. Poziția $(1,2)$: $2\cdot 5+(-1)\cdot (-2)+4\cdot 0=10+2=12$. Poziția $(2,1)$: $0\cdot 1+3\cdot 3+(-2)\cdot (-1)=9+2=11$. Poziția $(2,2)$: $0\cdot 5+3\cdot (-2)+(-2)\cdot 0=-6$. Deci $$P\cdot Q=\left(\begin{array}{cc}-5& 12\\ 11& -6\end{array}\right).$$ c) (1 p) Trei termeni: numărul din mijlocul scrierii formatelor.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Matricele sunt pătratice de ordinul $2$, deci produsul există. Poziția $(1,1)$: $5\cdot 4+3\cdot (-2)=14$; poziția $(1,2)$: $5\cdot 1+3\cdot 6=23$; poziția $(2,1)$: $1\cdot 4+(-2)\cdot (-2)=8$; poziția $(2,2)$: $1\cdot 1+(-2)\cdot 6=-11$. Deci $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}14& 23\\ 8& -11\end{array}\right).$$ b) (3 p) Schimbăm ordinea și refacem cele patru sume: $4\cdot 5+1\cdot 1=21$; $4\cdot 3+1\cdot (-2)=10$; $-2\cdot 5+6\cdot 1=-4$; $-2\cdot 3+6\cdot (-2)=-18$. Rezultă $$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}21& 10\\ -4& -18\end{array}\right).$$ Este de ajuns o singură poziție pe care cele două matrice diferă, de exemplu $(1,1)$, unde primul produs are $14$, iar al doilea $21$; deci $A\cdot B\ne B\cdot A$. c) (2 p) Adunăm poziție cu poziție cele două matrice de mai sus: $$A\cdot B+B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}35& 33\\ 4& -29\end{array}\right),$$ iar suma tuturor elementelor ei este $35+33+4-29=43$.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Prețurile formează o coloană, pentru că liniile ei sunt felurile de deșeu, adică exact ce înseamnă coloanele lui $R$: $$P=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 2\end{array}\right),R\cdot P=\left(\begin{array}{c}1020\\ 1075\end{array}\right).$$ Pe prima linie: $140\cdot 3+90\cdot 5+75\cdot 2=420+450+150=1020$; pe a doua: $110\cdot 3+125\cdot 5+60\cdot 2=330+625+120=1075$. Numerele reprezintă suma plătită fiecărei școli, în lei: kilogramele din $R$ se simplifică cu kilogramele de la numitorul prețurilor și rămân leii. b) (3 p) Înmulțirea la stânga cu o linie de $1$ adună pe coloane: $$\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)\cdot R=\left(\begin{array}{ccc}250& 215& 135\end{array}\right).$$ Sunt cantitățile totale, în kilograme, strânse din fiecare fel de deșeu: $250$ kg de hârtie, $215$ kg de plastic și $135$ kg de sticlă. c) (2 p) Din rezultatul de la b): $250+215+135=600$ kg. Din sumele pe linii: $140+90+75=305$ kg și $110+125+60=295$ kg, cu totalul $305+295=600$ kg. Cele două numere coincid pentru că amândouă sunt suma tuturor elementelor matricei $R$, numărate o dată pe coloane și o dată pe linii.

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Calculăm cele patru poziții: $9\cdot 4+12\cdot (-3)=36-36=0$; $9\cdot (-8)+12\cdot 6=-72+72=0$; $6\cdot 4+8\cdot (-3)=24-24=0$; $6\cdot (-8)+8\cdot 6=-48+48=0$. Deci $$M\cdot N=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right),$$ deși $M$ are toate elementele pozitive, iar $N$ are elemente nenule pe toate cele patru poziții — niciuna dintre ele nu este matricea nulă. b) (3 p) Schimbăm ordinea: $4\cdot 9+(-8)\cdot 6=36-48=-12$; $4\cdot 12+(-8)\cdot 8=48-64=-16$; $-3\cdot 9+6\cdot 6=-27+36=9$; $-3\cdot 12+6\cdot 8=-36+48=12$. Rezultă $$N\cdot M=\left(\begin{array}{cc}-12& -16\\ 9& 12\end{array}\right).$$ c) (2 p) Elementele de pe diagonala principală sunt $-12$ și $12$, iar suma lor este $-12+12=0$.

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) Pentru $m=2$ avem $B(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 9& 2\end{array}\right)$, deci $$A+B(2)=\left(\begin{array}{cc}6& 1\\ 16& 7\end{array}\right).$$ b) (3 p) Calculăm produsul, lăsând parametrul înăuntru: pe poziția $(1,1)$ avem $4m-27$, iar pe poziția $(2,2)$ avem $28+5m$ (2 p). Suma elementelor de pe diagonala principală este $4m-27+28+5m=9m+1$; din $9m+1=46$ rezultă $9m=45$, deci $m=5$ (1 p). c) (3 p) Transpusa lui $B(m)$ este ${}^{t}B(m)=\left(\begin{array}{cc}m& 9\\ 4& m\end{array}\right)$ (1 p). Scăzând poziție cu poziție, elementele diagonalei principale se anulează, $m-m=0$, iar celelalte două dau $4-9=-5$ și $9-4=5$ (1 p): $$B(m)-{}^{t}B(m)=\left(\begin{array}{cc}0& -5\\ 5& 0\end{array}\right).$$ Parametrul a dispărut din toate cele patru poziții, deci matricea obținută este aceeași pentru orice număr real $m$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică primul strat al unității de matrice: obiectul și cele trei operații cu el. Sunt acoperite patru lecții — Matrice: tabelul de date care se poate calcula (format, poziția unui element, tipuri de tablouri, transpusa, egalitatea a două matrice), Adunarea matricelor și înmulțirea cu un număr (poziție cu poziție, matricea opusă, combinația liniară, proprietățile), Înmulțirea matricelor și ordinea factorilor (condiția de format, elementul ca sumă de produse, necomutativitatea, produsul nul cu factori nenuli, transpusa produsului) și Matrice în practică: costuri, transport, doze (ce numără liniile, ce numără coloanele, unitatea de măsură a rezultatului, totalurile cu o linie sau o coloană de $1$). Determinanții nu se cer nicăieri în acest test: ei se verifică în testul următor al unității, împreună cu proprietățile lor, iar inversa unei matrice și aplicațiile geometrice în al treilea.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — toate numerele sunt alese astfel încât calculele să se facă în minte sau în scris. La orice produs se cere scrierea formatelor înaintea primului număr; la problema aplicată se cere unitatea de măsură la fiecare rezultat.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele patru lecții, în special condiția de format la produs și disciplina semnelor la scădere.
• Formule de reținut: o matrice de format $m\times n$ are $m$ linii, $n$ coloane și $m\cdot n$ elemente, iar în scrierea $a_{ij}$ primul indice este linia; transpusa ${}^{t}A$ se obține scriind liniile drept coloane și are formatul $n\times m$; suma și diferența cer același format și se calculează poziție cu poziție, iar $\alpha A$ înmulțește fiecare element cu $\alpha$; produsul $A\cdot B$ există numai dacă numărul de coloane al lui $A$ este egal cu numărul de linii al lui $B$, are formatul $m\times p$, iar elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ este suma produselor dintre linia $i$ a primului factor și coloana $j$ al celui de-al doilea; ${}^t(A+B)={}^{t}A+{}^{t}B$, dar ${}^t(A\cdot B)={}^{t}B\cdot {}^{t}A$; înmulțirea matricelor nu este comutativă, un produs poate fi matricea nulă fără ca vreun factor să fie nul, iar simplificarea nu este permisă.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030, la clasa a XI-a din 2028–2029; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la XI.1 „Matrice și determinanți", unde programa scrie „Matrice; mulțimea matricelor cu elemente în $\mathbb{R}$; operații cu matrice: adunarea, înmulțirea unei matrice cu un scalar, înmulțirea; proprietăți ale operațiilor", cu nota că „se vor aborda și aplicații ale matricelor în contexte practice (matricea de transport, matricea costurilor etc.)". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la capitolul „Elemente de calcul matriceal și sisteme de ecuații liniare", „tabel de tip matriceal. Matrice, mulțimi de matrice" și „operații cu matrice: adunarea, înmulțirea, înmulțirea unei matrice cu un scalar, proprietăți", iar în modelul oficial al probei tema apare la Subiectul al II-lea, în prima dintre cele două probleme. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".