Test: Metode de integrare: părți și substituție (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Integrala definită

Exerciții

Partea I – Integrarea prin părți

Exercițiul 1 (6 puncte)

Răspunde scurt (câte 1 punct): a) La ${\int }_0^1(x+5)e^{2x}dx$, care dintre cei doi factori se derivează și de ce? b) Scrie o primitivă a funcției $h(x)=e^{5x}$. c) Scrie o primitivă a funcției $h(x)=\sin x$. d) De câte ori se aplică formula de integrare prin părți la ${\int }_0^1\left(x^2+7x\right)e^{x}dx$? e) La ${\int }_1^3\frac{2x}{x^2+9}dx$, ce notezi cu $t$ și ce devin cele două limite? f) Calculează termenul din capete $(x+5)e^{2x}{|}_0^1$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră ${\int }_0^3(x+1)e^{2x}dx$. a) Precizează ce factor derivezi și ce factor integrezi, împreună cu primitiva aleasă. (1 p) b) Calculează termenul din capete. (2 p) c) Calculează integrala. (3 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se consideră ${\int }_0^{\pi /2}(x+2)\sin xdx$. a) Scrie primitiva $g$ a factorului $\sin x$, cu semnul ei. (1 p) b) Calculează termenul din capete. (2 p) c) Calculează integrala. (3 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Numărul ${\int }_0^1{e}^{3x}dx$ este egal cu: A. $\frac{e^3-1}{3}$; B. $e^3-1$; C. $3\left(e^3-1\right)$; D. $\frac{e^3}{3}$.

b) O primitivă a funcției $f(x)=x{e}^x$ este: A. $\frac{x^2}{2}{e}^x$; B. $(x-1)e^x$; C. $(x+1)e^x$; D. $e^x$.

c) După substituția $t=x^2+7$ în ${\int }_1^3\frac{x}{x^2+7}dx$, noile limite de integrare sunt: A. $1$ și $3$; B. $7$ și $16$; C. $8$ și $16$; D. $8$ și $9$.

d) Pentru ${\int }_0^1{x}^2{e}^{x}dx$, formula de integrare prin părți se aplică: A. o dată; B. de două ori; C. de trei ori; D. nu se aplică.

Exercițiul 5 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră ${\int }_0^{\pi /2}{x}^2\cos xdx$. a) Precizează de câte ori se aplică formula de integrare prin părți și după ce criteriu. (1 p) b) Scrie etajul întâi: termenul din capete și integrala rămasă. (2 p) c) Rezolvă etajul al doilea și compune rezultatul. (3 p)

Partea a II-a – Schimbarea de variabilă

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră ${\int }_1^5\frac{dx}{(2x-1{)}^2}$. a) Notează $t=2x-1$, scrie $dt$ și cele două limite noi. (2 p) b) Calculează integrala. (2 p) c) Cu aceeași substituție, calculează ${\int }_1^5\frac{dx}{(2x-1{)}^3}$. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Calculează, precizând de fiecare dată tiparul recunoscut și ce repari (câte 2 puncte): a) ${\int }_1^{e^4}\frac{\ln x}{x}dx$ b) ${\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos x}{(1+\sin x{)}^2}dx$ c) ${\int }_0^3\frac{x}{\sqrt{x^2+7}}dx$ d) ${\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{(4-\cos x{)}^2}dx$

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2$. a) Arată că ${\int }_0^{2}2xf(x)dx=16$. (2 p) b) Arată că ${\int }_0^2\frac{x}{f(x)}dx=\frac{1}{2}\ln 3$. (2 p) c) Determină numărul real $a>0$ pentru care ${\int }_0^a\frac{x}{f(x)}dx=\ln 2$. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Se consideră ${\int }_1^{e^3}\frac{2\ln x+1}{x}dx$. a) Precizează ce notezi cu $t$ și scrie cele două limite noi. (2 p) b) Calculează integrala. (2 p) c) Cu aceeași substituție, calculează ${\int }_1^{e^3}\frac{{\left(\ln x\right)}^2}{x}dx$. (2 p)

Partea a III-a – Alegerea metodei, raționament și probleme

Exercițiul 10 (8 puncte)

Precizează, pentru fiecare integrală, pe ce ramură a arborelui intri și după ce semn ai hotărât, apoi calculeaz-o (câte 2 puncte): a) ${\int }_0^{1}x{\left(x^2+5\right)}^{2}dx$ b) ${\int }_0^1{x}^2\left(x^2+5\right)dx$ c) ${\int }_0^1(4x+1)e^{x}dx$ d) ${\int }_1^4\left(6x-\frac{4}{\sqrt{x}}\right)dx$

Exercițiul 11 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Numărul ${\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx$ este mai mic decât numărul ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$." b) „După substituția $t=3x+1$, integrala ${\int }_0^2(3x+1{)}^{4}dx$ devine ${\int }_1^7{t}^{4}dt$." c) „La ${\int }_0^{\pi /2}\sin x\cos xdx$ poți nota fie $t=\sin x$, fie $t=\cos x$, iar cele două drumuri dau același număr." d) „Dacă o funcție continuă $f$ pe $[0,2]$ satisface ${\int }_0^{2}f(x)dx={\int }_0^{2}xf(x)dx$, atunci $f$ este funcția nulă pe $[0,2]$."

Exercițiul 12 (8 puncte)

Într-un experiment de electrofiziologie, curentul care trece printr-o membrană este $i(t)=3t{e}^{-t}$, măsurat în nanoamperi, unde $t$ este timpul în secunde de la începutul măsurătorii, iar modelul este valabil pentru $t\in [0,2]$. Sarcina electrică transportată pe un interval de timp este integrala curentului pe acel interval. a) Arată că $i(t)\ge 0$ pe tot intervalul $[0,2]$ și precizează în ce punct se anulează. (2 p) b) Calculează sarcina transportată în cele două secunde și scrie unitatea de măsură. (3 p) c) Calculează sarcina transportată în a doua secundă, adică ${\int }_1^{2}i(t)dt$. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(3x-2)e^x$. a) Arată că ${\int }_0^{2}f(x)dx=e^2+5$. (3 p) b) Arată că $f(x)<0$ pentru $x\in \left[0,\frac{2}{3}\right)$ și $f(x)>0$ pentru $x>\frac{2}{3}$. (2 p) c) Determină numărul real $m$ pentru care ${\int }_0^2(f(x)+m)dx=e^2+11$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Se derivează polinomul $x+5$, pentru că prin derivare el devine constanta $1$, în timp ce exponențiala nu se simplifică prin derivare. b) O primitivă a lui $e^{5x}$ este $\frac{{\mathbf{e}}^{5x}}{5}$, fiindcă ${\left(\frac{e^{5x}}{5}\right)}^{\prime }=e^{5x}$. c) O primitivă a lui $\sin x$ este $-\cos \mathbf{x}$, fiindcă ${\left(-\cos x\right)}^{\prime }=\sin x$. d) Polinomul $x^2+7x$ are gradul al doilea, deci formula se aplică de două ori. e) Se notează $t=x^2+9$, cu $dt=2xdx$; limitele devin $1^2+9=10$ și $3^2+9=18$. f) $(x+5)e^{2x}{|}_0^1=6e^2-5\cdot e^0=6{\mathbf{e}}^2-5$.

Exercițiul 2. (6 p) a) (1 p) Se derivează $f(x)=x+1$, cu $f^{\prime }(x)=1$, și se integrează $g^{\prime }(x)=e^{2x}$, cu primitiva $g(x)=\frac{e^{2x}}{2}$. b) (2 p) $(x+1)\frac{e^{2x}}{2}{|}_0^3=4\cdot \frac{e^6}{2}-1\cdot \frac{1}{2}=2{\mathbf{e}}^6-\frac{1}{2}$. c) (3 p) Formula dă ${\int }_0^3(x+1)e^{2x}dx=\left(2e^6-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}{\int }_0^3{e}^{2x}dx$ (1 p). Cum ${\int }_0^3{e}^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}{|}_0^3=\frac{e^6-1}{2}$ (1 p), rezultă $2e^6-\frac{1}{2}-\frac{e^6-1}{4}=\frac{8e^6-2-e^6+1}{4}=\frac{7{\mathbf{e}}^6-1}{4}$ (1 p). Proba prin derivare: primitiva ieșită din calcul este $\frac{(2x+1)e^{2x}}{4}$, iar derivata ei este $\frac{2e^{2x}+2(2x+1)e^{2x}}{4}=(x+1)e^{2x}$.

Exercițiul 3. (6 p) a) (1 p) O primitivă a lui $\sin x$ este $g(x)=-\cos x$; minusul din formulă se compune cu acest minus. b) (2 p) $-(x+2)\cos x{|}_0^{\pi /2}=-\left(\frac{\pi }{2}+2\right)\cdot 0+2\cdot 1=2$. c) (3 p) ${\int }_0^{\pi /2}(x+2)\sin xdx=-(x+2)\cos x{|}_0^{\pi /2}+{\int }_0^{\pi /2}\cos xdx$ (1 p) $=2+\sin x{|}_0^{\pi /2}$ (1 p) $=2+1=3$ (1 p). Integrandul este pozitiv pe interval, deci semnul rezultatului este cel așteptat.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — o primitivă a lui $e^{3x}$ este $\frac{e^{3x}}{3}$, deci ${\int }_0^1{e}^{3x}dx=\frac{e^3-1}{3}$. Varianta B uită factorul $\frac{1}{3}$, iar C îl pune la numărător. b) B — $((x-1)e^x{)}^{\prime }=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$. Varianta A este produsul primitivelor celor doi factori, iar primitiva unui produs nu se obține așa; C are derivata $(x+2)e^x$, nu $x{e}^x$. c) C — noile limite sunt $u(1)=1+7=8$ și $u(3)=9+7=16$. Varianta A păstrează limitele vechi, care sunt valori ale lui $x$. d) B — polinomul are gradul al doilea, iar fiecare aplicare a formulei coboară gradul cu unu.

Exercițiul 5. (6 p) a) (1 p) De două ori, fiindcă numărul de aplicări este egal cu gradul polinomului, iar $x^2$ are gradul al doilea. b) (2 p) Cu $f(x)=x^2$ și $g(x)=\sin x$: ${\int }_0^{\pi /2}{x}^2\cos xdx=x^2\sin x{|}_0^{\pi /2}-2{\int }_0^{\pi /2}x\sin xdx=\frac{{\pi }^2}{4}-2{\int }_0^{\pi /2}x\sin xdx$. c) (3 p) Etajul al doilea, cu $f(x)=x$ și $g(x)=-\cos x$: ${\int }_0^{\pi /2}x\sin xdx=-x\cos x{|}_0^{\pi /2}+{\int }_0^{\pi /2}\cos xdx=0+1=1$ (2 p). Compunerea: ${\int }_0^{\pi /2}{x}^2\cos xdx=\frac{{\pi }^2}{4}-2\cdot 1=\frac{{\pi }^2}{4}-2$ (1 p). Numeric, aproximativ $0,4674$; integrandul este pozitiv pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$, deci rezultatul pozitiv se potrivește.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) $t=2x-1$ dă $dt=2dx$, adică $dx=\frac{dt}{2}$; limitele devin $t=2\cdot 1-1=1$ și $t=2\cdot 5-1=9$. b) (2 p) ${\int }_1^5\frac{dx}{(2x-1{)}^2}=\frac{1}{2}{\int }_1^9\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{t}\right){|}_1^9=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{9}\right)=\frac{4}{9}$. c) (2 p) ${\int }_1^5\frac{dx}{(2x-1{)}^3}=\frac{1}{2}{\int }_1^9\frac{dt}{t^3}=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2t^2}\right){|}_1^9=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{162}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{80}{162}=\frac{20}{81}$.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte. a) Tiparul întâi, $t=\ln x$, nimic de reparat, fiindcă $dt=\frac{dx}{x}$. Limitele devin $\ln 1=0$ și $\ln e^4=4$, deci ${\int }_1^{e^4}\frac{\ln x}{x}dx={\int }_0^{4}tdt=\frac{t^2}{2}{|}_0^4=8$. b) Tiparul al doilea, $t=1+\sin x$, nimic de reparat, fiindcă $(1+\sin x{)}^{\prime }=\cos x$. Limitele devin $1$ și $2$, deci ${\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos x}{(1+\sin x{)}^2}dx={\int }_1^2\frac{dt}{t^2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$. c) Tiparul al treilea, $t=x^2+7$, de reparat factorul $\frac{1}{2}$, fiindcă $dt=2xdx$. Limitele devin $7$ și $16$, deci ${\int }_0^3\frac{x}{\sqrt{x^2+7}}dx=\frac{1}{2}{\int }_7^{16}\frac{dt}{\sqrt{t}}=\sqrt{t}{|}_7^{16}=4-\sqrt{7}$, adică aproximativ $1,3542$. d) Tiparul al cincilea ca formă, dar nimic de reparat: derivata expresiei dinăuntru este $(4-\cos x{)}^{\prime }=\sin x$, adică exact factorul liber, deci semnul minus nu apare. Limitele devin $4-\cos 0=3$ și $4-\cos \frac{\pi }{2}=4$, deci ${\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{(4-\cos x{)}^2}dx={\int }_3^4\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Cu $t=x^2+2$ avem $dt=2xdx$, iar limitele devin $2$ și $6$. Atunci ${\int }_0^{2}2x\left(x^2+2\right)dx={\int }_2^{6}tdt=\frac{t^2}{2}{|}_2^6=\frac{36-4}{2}=16$. b) (2 p) Cu aceeași substituție, $xdx=\frac{dt}{2}$, deci ${\int }_0^2\frac{x}{x^2+2}dx=\frac{1}{2}{\int }_2^6\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln \frac{6}{2}=\frac{1}{2}\ln 3$. c) (2 p) Capătul de sus fiind necunoscut, limitele devin $2$ și $a^2+2$, deci ${\int }_0^a\frac{x}{x^2+2}dx=\frac{1}{2}\ln \frac{a^2+2}{2}$. Condiția $\frac{1}{2}\ln \frac{a^2+2}{2}=\ln 2$ se scrie $\ln \frac{a^2+2}{2}=\ln 4$, deci $\frac{a^2+2}{2}=4$, de unde $a^2=6$ și, cum $a>0$, $a=\sqrt{6}$, adică aproximativ $2,4495$.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Se notează $t=\ln x$, cu $dt=\frac{dx}{x}$; limitele devin $\ln 1=0$ și $\ln e^3=3$. b) (2 p) ${\int }_1^{e^3}\frac{2\ln x+1}{x}dx={\int }_0^3(2t+1)dt=\left(t^2+t\right){|}_0^3=9+3=12$. c) (2 p) ${\int }_1^{e^3}\frac{{\left(\ln x\right)}^2}{x}dx={\int }_0^3{t}^{2}dt=\frac{t^3}{3}{|}_0^3=9$.

Exercițiul 10. (8 p) — câte 2 puncte. a) Ramura a doua: lângă paranteza ridicată la pătrat stă un $x$ singur, adică jumătate din derivata lui $x^2+5$. Cu $t=x^2+5$ limitele devin $5$ și $6$, deci ${\int }_0^{1}x{\left(x^2+5\right)}^{2}dx=\frac{1}{2}{\int }_5^6{t}^{2}dt=\frac{216-125}{6}=\frac{91}{6}$. b) Ramura întâi: factorul liber este $x^2$, iar raportul dintre el și derivata $2x$ este $\frac{x}{2}$, care nu e un număr — substituția nu se aplică. Produsul se desface: $x^2\left(x^2+5\right)=x^4+5x^2$, deci ${\int }_0^1\left(x^4+5x^2\right)dx=\frac{1}{5}+\frac{5}{3}=\frac{3+25}{15}=\frac{28}{15}$. c) Ramura a treia: produs de două naturi diferite, un polinom de gradul întâi și o exponențială. Cu $f(x)=4x+1$ și $g(x)=e^x$: $(4x+1)e^x{|}_0^1-4{\int }_0^1{e}^{x}dx=(5e-1)-4(e-1)=\mathbf{e}+3$, adică aproximativ $5,7183$. d) Ramura întâi: fiecare bucată e un rând de tabel. O primitivă este $3x^2-8\sqrt{x}$, deci ${\int }_1^4\left(6x-\frac{4}{\sqrt{x}}\right)dx=\left(3x^2-8\sqrt{x}\right){|}_1^4=(48-16)-(3-8)=32+5=37$.

Exercițiul 11. (8 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Adevărat. Pe $[0,1]$ avem $x\ge 0$ și $e^{-x}\le e^x$, deci $x{e}^{-x}\le x{e}^x$ peste tot; din monotonia integralei rezultă inegalitatea cerută. (Prin calcul: ${\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx=1-\frac{2}{e}\approx 0,2642$, iar ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=1$.) b) Fals. Din $t=3x+1$ rezultă $dt=3dx$, deci $dx=\frac{dt}{3}$, iar factorul $\frac{1}{3}$ nu poate lipsi: forma corectă este $\frac{1}{3}{\int }_1^7{t}^{4}dt$. Limitele, în schimb, sunt bine calculate. c) Adevărat. Cu $t=\sin x$ limitele devin $0$ și $1$, iar integrala este ${\int }_0^{1}tdt=\frac{1}{2}$. Cu $t=\cos x$ avem $\sin xdx=-dt$, limitele devin $1$ și $0$, iar integrala este $-{\int }_1^{0}tdt={\int }_0^{1}tdt=\frac{1}{2}$. Rezultatul unei integrale nu depinde de drumul ales. d) Fals. Contraexemplu: $f(x)=1$ pe $[0,2]$. Atunci ${\int }_0^{2}1dx=2$ și ${\int }_0^{2}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_0^2=2$, deci cele două integrale coincid fără ca funcția să fie nulă.

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) Pentru $t\in [0,2]$ avem $3t\ge 0$ și $e^{-t}>0$, deci $i(t)\ge 0$ pe tot intervalul, iar produsul se anulează numai în $t=0$ — la începutul măsurătorii nu trece încă niciun curent. Modelul are deci sens fizic pe tot intervalul declarat. b) (3 p) Cu $f(t)=t$ și $g(t)=-e^{-t}$: ${\int }_0^{2}3t{e}^{-t}dt=3\left(-t{e}^{-t}{|}_0^2+{\int }_0^2{e}^{-t}dt\right)$ (1 p) $=3\left(-\frac{2}{e^2}+1-\frac{1}{e^2}\right)=3-\frac{9}{e^2}$ (1 p), adică aproximativ $1,7820$. Unitatea se obține înmulțind unitățile celor două axe, nanoamperi cu secunde, deci sarcina este de $3-\frac{9}{e^2}$ nanocoulombi (1 p). c) (3 p) ${\int }_1^{2}3t{e}^{-t}dt=3\left(-t{e}^{-t}{|}_1^2+{\int }_1^2{e}^{-t}dt\right)$ (1 p) $=3\left(\left(-\frac{2}{e^2}+\frac{1}{e}\right)+\left(\frac{1}{e}-\frac{1}{e^2}\right)\right)$ (1 p) $=\frac{6}{\mathbf{e}}-\frac{9}{{\mathbf{e}}^2}$, adică aproximativ $0,9893$ nanocoulombi (1 p). Rezultatul este mai mic decât cel de la punctul b), cum trebuie, fiindcă a doua secundă este o parte din intervalul întreg, iar curentul este pozitiv.

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) Integrandul este un produs de naturi diferite, deci se aplică integrarea prin părți, cu $f(x)=3x-2$ și $g(x)=e^x$ (1 p): ${\int }_0^2(3x-2)e^{x}dx=(3x-2)e^x{|}_0^2-3{\int }_0^2{e}^{x}dx$ (1 p) $=\left(4e^2+2\right)-3\left(e^2-1\right)={\mathbf{e}}^2+5$ (1 p). Proba prin derivare: $((3x-5)e^x{)}^{\prime }=3e^x+(3x-5)e^x=(3x-2)e^x$, iar $(3x-5)e^x{|}_0^2=e^2+5$. b) (2 p) Cum $e^x>0$ pentru orice $x$ real, semnul lui $f$ este chiar semnul factorului $3x-2$, care se anulează în $x=\frac{2}{3}$. Prin urmare $f(x)<0$ pe $\left[0,\frac{2}{3}\right)$ și $f(x)>0$ pentru $x>\frac{2}{3}$. c) (3 p) Din liniaritate, ${\int }_0^2(f(x)+m)dx={\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_0^{2}mdx=e^2+5+2m$ (2 p). Condiția $e^2+5+2m=e^2+11$ dă $2m=6$, deci $m=3$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică a doua jumătate a unității de integrală definită: cele două metode de calcul cerute de programă și criteriul de alegere dintre ele. Sunt acoperite Integrarea prin părți (formula, deducerea ei, termenul din capete, alegerea factorilor), Integrarea prin părți aplicată de două ori (numărul de pași citit pe gradul polinomului, semnele la sinus și cosinus), Schimbarea de variabilă (cei trei pași, noile limite, oprirea la număr), Substituțiile care se dau la examen (cele cinci tipare și testul raportului) și Cum alegi metoda de calcul al unei integrale (cele trei ramuri și ordinea întrebărilor). Noțiunea de integrală definită, estimarea ei, formula Leibniz–Newton și cele trei proprietăți au fost verificate în testul anterior al unității; aici ele se folosesc ca unelte, nu se mai cer ca atare.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La orice integrală prin părți se cere scrierea explicită a factorului care se derivează și a celui care se integrează, iar termenul din capete se transformă în număr pe loc; la orice substituție se cere rândul „notăm $t=\dots$, deci $dt=\dots$", urmat imediat de cele două limite noi. Rezultatele care conțin $e$ sau $\pi$ se lasă în formă exactă.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele cinci lecții, în special alegerea factorilor și schimbarea limitelor de integrare.
• Formule de reținut: integrarea prin părți ${\int }_a^{b}f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x){|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }(x)g(x)dx$, pentru $f$ și $g$ derivabile pe $[a,b]$ cu derivatele continue; se derivează factorul care se simplifică, iar numărul de aplicări este gradul polinomului; schimbarea de variabilă ${\int }_a^{b}f(u(x))u^{\prime }(x)dx={\int }_{u(a)}^{u(b)}f(t)dt$, cu noile limite $u(a)$ și $u(b)$ scrise imediat după substituție și fără revenire la $x$; cele cinci tipare sunt $t=\ln x$, $t=\sin x$, $t=x^2+a$, $t=ax+b$ și $t=\cos x$, ordonate după cât ai de reparat — nimic, nimic, factorul $\frac{1}{2}$, factorul $\frac{1}{a}$, semnul minus; testul raportului: împarți ce a rămas liber la $u^{\prime }(x)$ și, dacă iese un număr, substituția merge; cele trei ramuri sunt tabelul cu liniaritatea, schimbarea de variabilă și integrarea prin părți, cercetate în ordinea aceasta. Primitive folosite: $\int e^{kx}dx=\frac{e^{kx}}{k}+\mathcal{C}$ pentru $k\ne 0$, o primitivă a lui $\sin x$ este $-\cos x$, iar a lui $\cos x$ este $\sin x$.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la unitatea XII.4. Integrala definită, cu rândul „metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin schimbare de variabilă, integrarea prin părți". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține același rând, la capitolul „Integrala definită". Tema se dă, așadar, la amândouă generațiile, motiv pentru care toți itemii marcați poartă forma simplă a marcajului. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, cerințele de analiză matematică se află la Subiectul al III-lea. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026). Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".