Test: Plane în spațiu: ecuații și poziții relative (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — testele de mate-info, clasa a XII-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Elemente de geometrie analitică în spațiu

Exerciții

Partea I – Ecuația planului, tăieturi și plane particulare

Exercițiul 1 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră planul $π : 3 x - 2 y + 6 z - 18 = 0$ . Răspunde scurt, cu o propoziție de justificare (câte 1 punct): a) Scrie tripletul $(a, b, c)$ al planului. b) Aparține punctul $M (2, 0, 2)$ planului $π$ ? c) Aparține punctul $N (1, 1, 3)$ planului $π$ ? d) În ce punct taie planul $π$ axa $O x$ ? e) Trece planul $π$ prin originea reperului? f) Adevărat sau fals: „planul $π$ este paralel cu axa $O y$ ".

Exercițiul 2 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Precizează poziția față de repere a fiecăruia dintre planele de mai jos și, unde există, punctele în care taie axele (câte 2 puncte):

a) $5 z + 15 = 0$ ;

b) $5 x + 3 y - 30 = 0$ ;

c) $4 x - 9 z = 0$ .

Exercițiul 3 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Scrie ecuația planului care (câte 2 puncte):

a) este paralel cu planul $x O z$ și trece prin $A (5, - 4, 7)$ ;

b) conține axa $O y$ și trece prin $B (3, 8, - 6)$ ;

c) este paralel cu planul $σ : 4 x - 5 y + 2 z - 9 = 0$ și trece prin $C (2, 1, - 3)$ .

Exercițiul 4 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Tripletul planului $6 x - 7 z + 5 = 0$ este: A. $(6, - 7, 0)$ ; B. $(6, 0, - 7)$ ; C. $(6, - 7, 5)$ ; D. $(0, 6, - 7)$ .

b) Planul $2 x - 3 y + 4 z + 12 = 0$ taie axa $O z$ în punctul: A. $(0, 0, 3)$ ; B. $(0, 0, 12)$ ; C. $(0, 0, - 3)$ ; D. $(0, 0, - 12)$ .

c) Planele $3 x - y + 5 z - 2 = 0$ și $- 6 x + 2 y - 10 z + 4 = 0$ sunt: A. secante; B. paralele distincte; C. confundate; D. fără nicio legătură.

d) Planul $a x + 3 y - z + 7 = 0$ este paralel cu axa $O x$ pentru $a$ egal cu: A. $7$ ; B. $3$ ; C. $- 1$ ; D. $0$ .

Partea a II-a – Planul prin trei puncte și pozițiile relative a două plane

Exercițiul 5 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră punctele $A (6, 0, 0)$ , $B (0, 0, 4)$ și $C (2, 4, 0)$ .

a) Arată că punctele $A$ , $B$ și $C$ nu sunt coliniare. (2 p) b) Scrie ecuația planului determinat de ele. (3 p) c) Verifică dacă punctul $D (1, 2, 2)$ aparține acestui plan. (1 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Stabilește poziția relativă a fiecărei perechi de plane (câte 2 puncte):

a) $3 x + 4 y - 2 z + 5 = 0$ și $9 x + 12 y - 6 z - 7 = 0$ ;

b) $x - 5 z + 2 = 0$ și $2 x + y - 10 z + 4 = 0$ ;

c) $2 y - 7 z + 6 = 0$ și $- 6 y + 21 z - 18 = 0$ .

Exercițiul 7 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră planele $π : x + 4 z - 13 = 0$ și $σ : y - 2 z - 3 = 0$ .

a) Arată că planele $π$ și $σ$ sunt secante. (2 p) b) Scrie punctele dreptei lor comune, în funcție de un parametru. (3 p) c) Determină punctul dreptei comune situat în planul $x O y$ . (3 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră planele $π : 2 x - 5 y + m z + 4 = 0$ și $σ : 6 x - 15 y + 9 z - 1 = 0$ , cu $m$ număr real.

a) Determină valoarea lui $m$ pentru care planele nu sunt secante. (3 p) b) Pentru valoarea găsită, precizează poziția exactă a celor două plane. (3 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică pe scurt (câte 2 puncte):

a) „Dacă un plan conține două dintre axele reperului, atunci el este unul dintre planele de coordonate." b) „Planele $x - 2 y + 11 = 0$ și $3 x - 6 y + 33 = 0$ sunt confundate." c) „Există trei plane distincte care au în comun exact două puncte."

Partea a III-a – Trei plane, modele și corpuri

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră planele $α : x + 2 y - 2 z - 1 = 0$ , $β : 2 x - y + 3 z - 13 = 0$ și $γ : x + y + z - 8 = 0$ .

a) Calculează determinantul sistemului format din cele trei ecuații. (3 p) b) Află punctul comun al celor trei plane. (3 p) c) Arată că planul $δ : 2 x - 3 y + z - 3 = 0$ trece prin acest punct. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră planele $α : 2 x + y - 3 z + 1 = 0$ , $β : x - 2 y + z - 4 = 0$ și $γ_{k} : 3 x - y - 2 z + k = 0$ , unde $k$ este un număr real.

a) Arată că determinantul sistemului format din cele trei ecuații este nul, oricare ar fi $k$ . (3 p) b) Determină valoarea lui $k$ pentru care cele trei plane au o dreaptă comună. (3 p) c) Pentru $k = 5$ , precizează configurația celor trei plane. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Nivelul apei subterane dintr-o zonă se măsoară în trei foraje. Într-un reper cu unitatea de un metru, în care primele două coordonate dau poziția pe teren, iar a treia dă cota apei, forajele se află în punctele $F_{1} (0, 0, 12)$ , $F_{2} (40, 0, 8)$ și $F_{3} (0, 30, 6)$ . Se presupune că nivelul apei se așază după un plan.

a) Scrie ecuația planului determinat de cele trei foraje. (4 p) b) Determină cota apei în punctul de coordonate $(20, 15)$ pe teren. (2 p) c) Un al patrulea foraj, săpat în punctul de coordonate $(10, 20)$ , a dat cota $8$ m. Stabilește dacă el se află pe același plan și spune ce înseamnă răspunsul pentru zona măsurată. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are vârful $A$ în originea reperului, muchiile $A B$ , $A D$ și $A A^{'}$ pe semiaxele pozitive $O x$ , $O y$ , respectiv $O z$ , iar dimensiunile $A B = 8$ , $A D = 9$ și $A A^{'} = 12$ .

a) Scrie coordonatele vârfului $C^{'}$ și calculează lungimea diagonalei $A C^{'}$ . (2 p) b) Scrie ecuația planului determinat de punctele $B$ , $D$ și $A^{'}$ . (3 p) c) Calculează volumul tetraedrului $A B D A^{'}$ . (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Tripletul se citește direct din ecuație, ca listă a coeficienților necunoscutelor: $(3, - 2, 6)$ . b) Da. Înlocuind, $3 \cdot 2 - 2 \cdot 0 + 6 \cdot 2 - 18 = 6 + 12 - 18 = 0$ , deci $M \in π$ . c) Nu. Înlocuind, $3 - 2 + 18 - 18 = 1 \neq = 0$ , deci $N \in / π$ . d) Pe axa $O x$ punem $y = z = 0$ și rămâne $3 x - 18 = 0$ , deci punctul este $(6, 0, 0)$ . e) Nu. Termenul liber este $- 18 \neq = 0$ , iar originea $(0, 0, 0)$ ar da $- 18$ , nu zero. f) Fals. Paralelismul cu axa $O y$ ar cere ca variabila $y$ să lipsească din ecuație, adică $b = 0$ ; aici $b = - 2 \neq = 0$ .

Exercițiul 2. (6 p) — câte 2 puncte. a) Lipsesc $x$ și $y$ , iar ecuația se scrie $z = - 3$ : planul este paralel cu planul $x O y$ , situat sub el, și taie axa $O z$ în $(0, 0, - 3)$ . Cu celelalte două axe nu se întâlnește. b) Lipsește $z$ , iar termenul liber este $- 30 \neq = 0$ : planul este paralel cu axa $O z$ . Taie axa $O x$ în $(6, 0, 0)$ și axa $O y$ în $(0, 10, 0)$ , iar cu axa $O z$ nu se întâlnește. c) Lipsește $y$ , iar termenul liber este nul: planul conține axa $O y$ , fiindcă orice punct de forma $(0, t, 0)$ verifică ecuația, $0 - 0 = 0$ . El nu taie axa $O y$ într-un punct, ci o cuprinde în întregime; cu $O x$ și $O z$ are în comun doar originea.

Exercițiul 3. (6 p) — câte 2 puncte. a) Planele paralele cu $x O z$ au forma $y = k$ ; din condiția ca $A$ să-i aparțină rezultă $k = - 4$ , deci ecuația este $y + 4 = 0$ . Coordonatele $5$ și $7$ nu intervin, fiindcă $x$ și $z$ lipsesc din ecuație. b) Planele care conțin axa $O y$ au forma $a x + cz = 0$ . Condiția pentru $B$ dă $3 a - 6 c = 0$ , adică $a = 2 c$ ; o alegere de numere întregi este $c = 1$ și $a = 2$ , deci ecuația este $2 x + z = 0$ . Orice pereche proporțională dă același plan. Ordonata $8$ nu a fost folosită, fiindcă $y$ lipsește. c) Paralelismul înseamnă același triplet, deci planul are forma $4 x - 5 y + 2 z + d = 0$ . Din condiția ca $C$ să-i aparțină: $8 - 5 - 6 + d = 0$ , deci $d = 3$ , iar ecuația este $4 x - 5 y + 2 z + 3 = 0$ . Cum $3 \neq = - 9$ , planul este distinct de $σ$ , deci într-adevăr paralel cu el, nu suprapus.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B — variabila $y$ lipsește, deci coeficientul ei este $0$ , iar tripletul este $(6, 0, - 7)$ ; termenul liber $5$ nu face parte din triplet. b) C — pe axa $O z$ punem $x = y = 0$ și rămâne $4 z + 12 = 0$ , deci $z = - 3$ . c) C — tripletele sunt $(3, - 1, 5)$ și $(- 6, 2, - 10)$ , iar $k = - 2$ se potrivește pe toate trei pozițiile; termenii liberi dau $- 2 \cdot (- 2) = 4$ , exact cât are al doilea plan, deci a doua ecuație este prima înmulțită cu $- 2$ . d) D — paralelismul cu axa $O x$ cere ca variabila $x$ să lipsească, adică $a = 0$ ; termenul liber este $7 \neq = 0$ , deci planul nu conține axa, ci îi este paralel.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Mergând de la $A$ la $B$ , variațiile coordonatelor sunt $- 6$ , $0$ și $4$ ; de la $A$ la $C$ ele sunt $- 4$ , $4$ și $0$ . Tripletele nu sunt proporționale: pe poziția a doua, $0$ ar trebui să dea $4$ . Punctele nu sunt coliniare, deci determină un plan. b) (3 p) Punem condiția ca fiecare punct să verifice $a x + b y + cz + d = 0$ : din $A$ avem $6 a + d = 0$ , din $B$ avem $4 c + d = 0$ , din $C$ avem $2 a + 4 b + d = 0$ (1 p). Alegem $d = - 12$ , multiplu comun al numerelor din enunț: atunci $a = 2$ , $c = 3$ , iar din a treia $4 + 4 b - 12 = 0$ , deci $b = 2$ (1 p). Ecuația este $2 x + 2 y + 3 z - 12 = 0$ . Verificare pe toate trei punctele: $12 - 12 = 0$ ; $12 - 12 = 0$ ; $4 + 8 - 12 = 0$ (1 p). c) (1 p) Pentru $D$ : $2 + 4 + 6 - 12 = 0$ , deci $D$ aparține planului.

Exercițiul 6. (6 p) — câte 2 puncte. a) Tripletele sunt $(3, 4, - 2)$ și $(9, 12, - 6)$ . Din prima poziție, $k = 3$ , iar $3 \cdot 4 = 12$ și $3 \cdot (- 2) = - 6$ se potrivesc. Trecem la termenii liberi, cu același $k$ : $3 \cdot 5 = 15$ , în timp ce al doilea plan are $- 7$ . Cum $15 \neq = - 7$ , planele sunt paralele distincte. b) Tripletele sunt $(1, 0, - 5)$ și $(2, 1, - 10)$ . Din prima poziție, singurul $k$ posibil este $2$ ; pe poziția a treia, $2 \cdot (- 5) = - 10$ se potrivește, dar pe poziția din mijloc $2 \cdot 0 = 0$ , iar al doilea plan are acolo $1$ . Egalitatea cade, deci nu există niciun $k$ : planele sunt secante. (Un zero se potrivește numai cu un zero.) c) Tripletele sunt $(0, 2, - 7)$ și $(0, - 6, 21)$ . Prima poziție dă $0 = k \cdot 0$ , adevărat pentru orice $k$ ; luăm $k$ din a doua poziție nenulă: $- 6 = k \cdot 2$ , deci $k = - 3$ , iar $- 3 \cdot (- 7) = 21$ se potrivește. Termenii liberi: $- 3 \cdot 6 = - 18$ , exact cât are al doilea plan. Planele sunt confundate.

Exercițiul 7. (8 p) a) (2 p) Tripletele sunt $(1, 0, 4)$ și $(0, 1, - 2)$ . Prima poziție ar cere $k \cdot 1 = 0$ , deci $k = 0$ , valoare neacceptată. Nu există niciun $k$ nenul, așa că planele sunt secante, iar punctele lor comune formează o dreaptă întreagă. b) (3 p) Rezolvăm sistemul format din cele două ecuații. Din prima, $x = 13 - 4 z$ ; din a doua, $y = 2 z + 3$ ; pe $z$ nu-l determină nicio ecuație, deci el rămâne liber (2 p). Notând $z = t$ , punctele dreptei comune sunt $(13 - 4 t, 2 t + 3, t)$ , cu $t \in R$ (1 p). Control pentru $t = 1$ : punctul $(9, 5, 1)$ dă $9 + 4 - 13 = 0$ și $5 - 2 - 3 = 0$ . c) (3 p) Punctele planului $x O y$ au cota nulă, deci punem $t = 0$ (1 p) și obținem punctul $(13, 3, 0)$ (1 p). Verificare în ambele ecuații: $13 + 0 - 13 = 0$ și $3 - 0 - 3 = 0$ (1 p).

Exercițiul 8. (6 p) a) (3 p) Planele nu sunt secante exact când tripletele $(2, - 5, m)$ și $(6, - 15, 9)$ sunt proporționale. Din prima poziție, $6 = k \cdot 2$ , deci $k = 3$ (1 p); pe poziția a doua, $3 \cdot (- 5) = - 15$ se potrivește (1 p); rămâne poziția a treia, $9 = 3 m$ , de unde $m = 3$ (1 p). b) (3 p) Comparăm termenii liberi cu același $k = 3$ : $3 \cdot 4 = 12$ , în timp ce al doilea plan are $- 1$ . Cum $12 \neq = - 1$ , planele sunt paralele distincte. Verificare: pentru $m = 3$ primul plan devine $2 x - 5 y + 3 z + 4 = 0$ , iar înmulțit cu $3$ dă $6 x - 15 y + 9 z + 12 = 0$ , care diferă de $6 x - 15 y + 9 z - 1 = 0$ numai prin termenul liber.

Exercițiul 9. (6 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Adevărat. Două axe ale reperului sunt drepte concurente în origine, iar prin două drepte concurente trece un singur plan — chiar planul de coordonate pe care îl determină ele. Verificarea algebrică dă același lucru: dacă planul $a x + b y + cz + d = 0$ conține axa $O x$ , atunci $a t + d = 0$ pentru orice $t$ real, deci $a = 0$ și $d = 0$ ; dacă el conține și axa $O y$ , la fel rezultă $b = 0$ . Rămâne $cz = 0$ , cu $c \neq = 0$ , adică $z = 0$ , adică planul $x O y$ . b) Adevărat. Tripletele sunt $(1, - 2, 0)$ și $(3, - 6, 0)$ , proporționale cu $k = 3$ pe toate trei pozițiile; termenii liberi dau $3 \cdot 11 = 33$ , exact cât are al doilea plan. A doua ecuație este prima înmulțită cu $3$ , deci descriu același plan. c) Fals. Dacă două puncte distincte aparțin fiecăruia dintre plane, atunci fiecare plan conține dreapta determinată de ele, deci toate punctele acelei drepte sunt comune — o infinitate, nu două. Mulțimea punctelor comune ale unor plane este mulțimea vidă, un punct, o dreaptă sau un plan; „exact două puncte" nu apare printre ele.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Determinantul coeficienților este $Δ = 121 2 - 1 1 - 2 31 = 1 (- 1 - 3) - 2 (2 - 3) + (- 2) (2 + 1) = - 4 + 2 - 6 = - 8$ Fiind nenul, sistemul este compatibil determinat, deci cele trei plane au exact un punct comun. b) (3 p) Scădem ecuația lui $γ$ din cea a lui $α$ : $(x + 2 y - 2 z) - (x + y + z) = 1 - 8$ , adică $y - 3 z = - 7$ (1 p). Scădem apoi dublul ecuației lui $γ$ din cea a lui $β$ : $(2 x - y + 3 z) - 2 (x + y + z) = 13 - 16$ , adică $- 3 y + z = - 3$ (1 p). Din cele două relații, $y = 3 z - 7$ și $- 3 (3 z - 7) + z = - 3$ , deci $- 8 z = - 24$ și $z = 3$ , apoi $y = 2$ și, din $γ$ , $x = 8 - 2 - 3 = 3$ . Punctul comun este $(3, 2, 3)$ . Control în toate trei ecuațiile: $3 + 4 - 6 - 1 = 0$ ; $6 - 2 + 9 - 13 = 0$ ; $3 + 2 + 3 - 8 = 0$ (1 p). c) (2 p) Înlocuim punctul găsit în ecuația lui $δ$ : $2 \cdot 3 - 3 \cdot 2 + 3 - 3 = 6 - 6 + 3 - 3 = 0$ , deci planul $δ$ trece prin el.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Liniile de coeficienți sunt $(2, 1, - 3)$ , $(1, - 2, 1)$ și $(3, - 1, - 2)$ ; a treia este suma primelor două, fiindcă $2 + 1 = 3$ , $1 - 2 = - 1$ și $- 3 + 1 = - 2$ (2 p). Un determinant cu o linie egală cu suma celorlalte este nul, iar parametrul $k$ nu apare în coeficienți, ci numai în termenul liber, deci $Δ = 0$ oricare ar fi $k$ (1 p). b) (3 p) Adunând primele două ecuații obținem $3 x - y - 2 z - 3 = 0$ (1 p). A treia ecuație este o consecință a primelor două exact când coincide cu aceasta, adică atunci când $k = - 3$ (1 p). Pentru această valoare, orice punct care verifică primele două ecuații o verifică și pe a treia; cum tripletele $(2, 1, - 3)$ și $(1, - 2, 1)$ nu sunt proporționale, primele două plane sunt secante, deci punctele comune ale celor trei formează o dreaptă: configurația este un fascicul (1 p). c) (2 p) Pentru $k = 5$ , expresia $3 x - y - 2 z$ ar trebui să valoreze și $3$ , din primele două ecuații, și $- 5$ , din a treia: sistemul este incompatibil, deci planele nu au niciun punct comun (1 p). Comparându-le două câte două, niciuna dintre cele trei perechi de triplete nu este proporțională — $(2, 1, - 3)$ cu $(1, - 2, 1)$ ar cere $k = \frac{1}{2}$ , dar $\frac{1}{2} \cdot 1 \neq = - 2$ ; $(2, 1, - 3)$ cu $(3, - 1, - 2)$ ar cere $k = \frac{3}{2}$ , dar $\frac{3}{2} \cdot 1 \neq = - 1$ ; $(1, - 2, 1)$ cu $(3, - 1, - 2)$ ar cere $k = 3$ , dar $3 \cdot (- 2) \neq = - 1$ —, deci planele sunt două câte două secante: configurația este o prismă (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (4 p) Punctele nu sunt coliniare: de la $F_{1}$ la $F_{2}$ variațiile sunt $40$ , $0$ și $- 4$ , iar de la $F_{1}$ la $F_{3}$ ele sunt $0$ , $30$ și $- 6$ , triplete neproporționale (1 p). Punem condiția ca fiecare foraj să verifice $a x + b y + cz + d = 0$ : din $F_{1}$ avem $12 c + d = 0$ , din $F_{2}$ avem $40 a + 8 c + d = 0$ , din $F_{3}$ avem $30 b + 6 c + d = 0$ (1 p). Alegem $d = - 120$ : atunci $c = 10$ , iar $40 a + 80 - 120 = 0$ dă $a = 1$ și $30 b + 60 - 120 = 0$ dă $b = 2$ (1 p). Ecuația planului este $x + 2 y + 10 z - 120 = 0$ . Verificare: $120 - 120 = 0$ ; $40 + 80 - 120 = 0$ ; $60 + 60 - 120 = 0$ (1 p). b) (2 p) Punem $x = 20$ și $y = 15$ : $20 + 30 + 10 z - 120 = 0$ , deci $10 z = 70$ și $z = 7$ metri. c) (2 p) Pentru punctul $(10, 20, 8)$ obținem $10 + 40 + 80 - 120 = 10 \neq = 0$ , deci al patrulea foraj nu se află pe planul celorlalte trei (1 p). Pentru zona măsurată asta înseamnă că nivelul apei nu se așază după un singur plan: fie o măsurătoare are o eroare, fie stratul acvifer nu este plan pe toată suprafața. Valoarea obținută nu este o distanță, ci doar semnalul că egalitatea nu se verifică (1 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) Cu $A (0, 0, 0)$ , vârfurile vecine sunt $B (8, 0, 0)$ , $D (0, 9, 0)$ și $A^{'} (0, 0, 12)$ , iar vârful opus originii este $C^{'} (8, 9, 12)$ . Atunci $A C^{'2} = 64 + 81 + 144 = 289$ , deci $A C^{'} = 17$ . b) (3 p) Cele trei puncte se află câte unul pe fiecare axă, deci planul lor le taie în $8$ , $9$ și $12$ . Punând condiția ca fiecare să verifice $a x + b y + cz + d = 0$ obținem $8 a + d = 0$ , $9 b + d = 0$ și $12 c + d = 0$ (1 p). Alegem $d = - 72$ , cel mai mic multiplu comun al celor trei numere: atunci $a = 9$ , $b = 8$ și $c = 6$ (1 p), deci ecuația este $9 x + 8 y + 6 z - 72 = 0$ . Verificare pe toate trei punctele: $72 - 72 = 0$ de fiecare dată (1 p). c) (3 p) Tetraedrul $A B D A^{'}$ are trei muchii perpendiculare două câte două, pornite din $A$ , iar diferențele față de $A$ sunt chiar coordonatele celorlalte vârfuri (1 p). Determinantul lor este $8000900012 = 8 \cdot 9 \cdot 12 = 864$ (1 p), deci $V_{A B D A^{'}} = \frac{864}{6} = 144$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică a doua jumătate a unității de geometrie analitică în spațiu: ecuația generală a planului și apartenența unui punct, tăieturile cu axele, planele particulare, planul determinat de trei puncte necoliniare, pozițiile relative a două plane și citirea geometrică a unui sistem de trei ecuații liniare, apoi rezolvarea analitică a unei probleme cu un corp. Reperul, distanțele, coplanaritatea și volumul tetraedrului au fost verificate în testul anterior al aceleiași unități; aici distanța se folosește o singură dată, ca unealtă, la ultimul item.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La pozițiile relative se cere ordinea corectă a pașilor: întâi tripletele, cu un singur factor $k$ pe toate cele trei poziții, apoi termenii liberi, cu același $k$ .
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau lecțiile unității, în special deosebirea dintre „paralel cu o axă" și „conține acea axă".
Formule de reținut: ecuația generală a planului este $a x + b y + cz + d = 0$ , cu $a$ , $b$ , $c$ nu toate nule, iar un punct îi aparține exact când coordonatele lui, înlocuite, dau zero; tripletul $(a, b, c)$ , numit vectorul normal, arată cum stă planul, iar $d$ arată unde este așezat; înmulțind toată ecuația cu un număr nenul se obține același plan; tăietura cu o axă se află anulând celelalte două coordonate; o variabilă lipsă înseamnă plan paralel cu axa ei când $d \neq = 0$ și plan care o conține când $d = 0$ , iar două variabile lipsă înseamnă plan paralel cu planul de coordonate al celor două variabile absente; două plane sunt secante, paralele distincte sau confundate, iar decizia se ia comparând întâi tripletele — $(a_{2}, b_{2}, c_{2}) = k (a_{1}, b_{1}, c_{1})$ , cu un zero potrivindu-se numai cu un zero — și apoi termenii liberi; două plane distincte care au un punct comun au o dreaptă întreagă comună; pentru trei plane, $Δ \neq = 0$ înseamnă exact un punct comun, iar $Δ = 0$ deschide restul configurațiilor — fascicul, prismă, plane paralele.
Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Geometrie. Trigonometrie, la unitatea XII.2 „Elemente de geometrie analitică în spațiu", cu rândurile „Planul în reperul cartezian tridimensional $O x y z$ : ecuația generală a planului; ecuația planului determinat de trei puncte necoliniare" și „Pozițiile relative ale două sau trei plane; interpretări geometrice ale sistemelor de ecuații liniare". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, pe programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), care conține numai geometria analitică din plan, cu poziția relativă a două drepte; geometria analitică în spațiu nu apare acolo la niciun capitol. Prin urmare întreaga materie a acestui test intră în probă abia din 2030, iar toți itemii lui poartă, de aceea, mențiunea MAT_P2 2030. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".