Test: Primitive și tabelul primitivelor (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Primitivele unei funcții continue

Exerciții

Partea I – Primitive, integrală nedefinită și liniaritate

Exercițiul 1 (6 puncte)

Răspunde scurt, fără calcule intermediare scrise (câte 1 punct): a) Ce grad are o primitivă a unui polinom de gradul al cincilea? b) Scrie o primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-13$. c) Se știe că $\int f(x)dx=x^7+\mathcal{C}$ pe $\mathbb{R}$. Scrie $f(x)$. d) Dintre funcțiile $x^3$ și $3^x$, care are primitiva $\frac{3^x}{\ln 3}$? e) Care este derivata funcției $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=2\mathrm{arctg}x$? f) Pe ce interval maxim are sens egalitatea $\int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{3}+\mathcal{C}$?

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=28x^3-21x^2+10x-6$. a) Calculează $\int f(x)dx$ pe $\mathbb{R}$. (3 p) b) Arată, prin derivare, că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=7x^4-7x^3+5x^2-6x+11$, este o primitivă a lui $f$. (2 p) c) Calculează $F(1)-F(0)$. (1 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

a) Calculează $\int (2x-7)(x+4)dx$ pe $\mathbb{R}$. (3 p) b) Se știe că $\int f(x)dx=x^5-8x+\mathcal{C}$ pe $\mathbb{R}$. Calculează $\int 7f(x)dx$. (2 p) c) Pentru aceeași funcție $f$, determină numărul real $\alpha$ pentru care $\int \alpha f(x)dx=3x^5-24x+\mathcal{C}$. (1 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Pe $(0,+\infty )$, $\int \frac{1}{x^8}dx$ este: A. $-\frac{1}{7x^7}+\mathcal{C}$; B. $-\frac{1}{8x^7}+\mathcal{C}$; C. $\frac{1}{7x^7}+\mathcal{C}$; D. $-\frac{1}{9x^9}+\mathcal{C}$.

b) Pe $\mathbb{R}$, $\int 9^{x}dx$ este: A. $9^x\ln 9+\mathcal{C}$; B. $\frac{9^x}{\ln 9}+\mathcal{C}$; C. $\frac{9^{x+1}}{x+1}+\mathcal{C}$; D. $9^x+\mathcal{C}$.

c) O primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2+49}$, este: A. $\mathrm{arctg}\frac{x}{7}$; B. $\frac{1}{7}\mathrm{arctg}\frac{x}{7}$; C. $\frac{1}{49}\mathrm{arctg}\frac{x}{49}$; D. $\arcsin \frac{x}{7}$.

d) Pe intervalul $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, $\int \left(\frac{3}{{\cos }^{2}x}-\sin x\right)dx$ este: A. $3\mathrm{tg}x+\cos x+\mathcal{C}$; B. $3\mathrm{tg}x-\cos x+\mathcal{C}$; C. $-3\mathrm{ctg}x+\cos x+\mathcal{C}$; D. $3\mathrm{tg}x-\sin x+\mathcal{C}$.

Partea a II-a – Tabelul primitivelor uzuale

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^5-12}{x^3}$. a) Arată că $f(x)=x^2-\frac{12}{x^3}$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$. (2 p) b) Determină mulțimea primitivelor funcției $f$ pe $(0,+\infty )$. (3 p) c) Verifică rezultatul de la punctul b) prin derivare. (1 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

a) Determină $\int \left(8\sqrt{x}-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)dx$ pe $(0,+\infty )$. (3 p) b) Determină $\int {\left(\sqrt{x}-5\right)}^{2}dx$ pe $(0,+\infty )$. (3 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Funcția $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=\frac{x^2\sqrt{x}}{5}$, este o primitivă a funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x\sqrt{x}}{2}$." b) „Dacă $F$ este o primitivă a funcției $f$ pe $\mathbb{R}$, atunci și funcția $G$, dată de $G(x)=F(2x)$, este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$." c) „Funcțiile $F(x)=\frac{e^{7x}}{7}$ și $G(x)=\frac{e^{7x+9}}{7}$ sunt primitive ale aceleiași funcții pe $\mathbb{R}$." d) „Există un interval pe care funcția $F(x)=\mathrm{tg}x$ este o primitivă a funcției $f(x)=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x^2-15}{x}$. a) Arată că $f(x)=4x-\frac{15}{x}$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$. (2 p) b) Determină mulțimea primitivelor funcției $f$ pe $(0,+\infty )$. (2 p) c) Fie $F$ o primitivă oarecare a lui $f$ pe $(0,+\infty )$. Calculează $F(e)-F(1)$ și arată că rezultatul nu depinde de primitiva aleasă. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

a) Determină $\int \left(\frac{5}{{\cos }^{2}x}+7\sin x\right)dx$ pe intervalul $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$. (3 p) b) Determină $\int \frac{1}{\sqrt{121-x^2}}dx$ și precizează intervalul pe care lucrezi. (3 p)

Partea a III-a – Recunoaștere, modele și raționament

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{x}$. a) Arată că $f(x)=1-\frac{4}{x}$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$. (3 p) b) Determină mulțimea primitivelor funcției $f$ pe $(0,+\infty )$. (3 p) c) Arată că orice primitivă a lui $f$ este strict crescătoare pe intervalul $(4,+\infty )$. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Într-un laborator de biologie, o suspensie este trecută printr-o membrană de filtrare. Debitul filtratului scade în timp și se modelează prin $q(t)=\frac{6}{t}$, măsurat în mililitri pe minut, unde $t$ este timpul scurs de la pornire, în minute, iar modelul se folosește pentru $t\ge 1$. a) Determină mulțimea funcțiilor $V$ care pot descrie volumul de filtrat adunat, precizează unitatea de măsură a lui $V$ și rândul din tabel pe care l-ai folosit. (3 p) b) Arată că diferența $V(8)-V(2)$ are aceeași valoare pentru orice asemenea funcție și calculeaz-o. (3 p) c) Arată că debitul rămâne strict pozitiv pe tot intervalul $[1,+\infty )$ și spune ce înseamnă asta pentru volumul de filtrat. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+13}{x^2+4}$. a) Arată că $f(x)=1+\frac{9}{x^2+4}$ pentru orice număr real $x$. (3 p) b) Determină mulțimea primitivelor funcției $f$ pe $\mathbb{R}$. (3 p) c) Arată că $\int (4f(x)-4)dx=18\mathrm{arctg}\frac{x}{2}+\mathcal{C}$ pe $\mathbb{R}$. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcțiile $f,F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}$ și $F(x)=a\ln x+\frac{b}{x^2}$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. a) Determină $a$ și $b$ astfel încât $F$ să fie o primitivă a lui $f$ pe $(0,+\infty )$. (4 p) b) Pentru valorile găsite, calculează $F(1)$. (2 p) c) Pentru valorile găsite, arată că $F(x)<\ln x$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Gradul $6$: mersul invers pe formula puterii urcă exponentul cu o unitate, iar termenul dominant al primitivei are gradul $5+1$. b) $F(x)=-13x$, fiindcă $(-13x{)}^{\prime }=-13$. (Orice funcție $-13x+c$ este tot un răspuns corect.) c) $f(x)=7{\mathbf{x}}^6$, fiindcă funcția de integrat este derivata membrului drept. d) Funcția $3^{\mathbf{x}}$: litera $x$ stă la exponent, deci este o exponențială, iar primitiva ei se împarte la $\ln 3$. e) $F^{\prime }(x)=\frac{2}{{\mathbf{x}}^2+1}$, din derivata arctangentei. f) Intervalul $(-3,3)$: formula cere $a=3$, iar la capete radicalul de la numitor se anulează.

Exercițiul 2. (6 p) a) (3 p) Termen cu termen: $\frac{28x^4}{4}=7x^4$, $\frac{21x^3}{3}=7x^3$, $\frac{10x^2}{2}=5x^2$, iar constanta $-6$ dă $-6x$. Deci $\int f(x)dx=7{\mathbf{x}}^4-7{\mathbf{x}}^3+5{\mathbf{x}}^2-6x+\mathcal{C}$. b) (2 p) Funcția $F$ este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar $F^{\prime }(x)=28x^3-21x^2+10x-6=f(x)$ pentru orice $x$ real; termenul liber $11$ dispare la derivare. c) (1 p) $F(1)=7-7+5-6+11=10$ și $F(0)=11$, deci $F(1)-F(0)=-1$.

Exercițiul 3. (6 p) a) (3 p) Desfacem întâi produsul: $(2x-7)(x+4)=2x^2+8x-7x-28=2x^2+x-28$. Atunci $\int (2x-7)(x+4)dx=\frac{2{\mathbf{x}}^3}{3}+\frac{{\mathbf{x}}^2}{2}-28x+\mathcal{C}$. b) (2 p) Numărul $7$ este nenul, deci se scoate în fața integralei: $\int 7f(x)dx=7\int f(x)dx=7{\mathbf{x}}^5-56x+\mathcal{C}$. Nu se scrie $7\mathcal{C}$: mulțimea constantelor înmulțită cu un număr nenul este tot mulțimea constantelor. c) (1 p) Din $\alpha \left(x^5-8x\right)=3x^5-24x$ rezultă $\alpha =3$.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — rândul puterii de la numitor, cu $n=8$: numitorul este $n-1=7$, exponentul rămas este $7$, iar minusul face parte din formulă. b) B — la integrare se împarte la $\ln 9$; produsul $9^x\ln 9$ este derivata, nu primitiva. c) B — numitorul este $x^2+7^2$, deci $a=7$, iar factorul $\frac{1}{a}$ din față este obligatoriu: derivata lui $\mathrm{arctg}\frac{x}{7}$ este $\frac{7}{x^2+49}$. d) A — primul termen dă $3\mathrm{tg}x$, iar minusul din enunț se întâlnește cu minusul din primitiva sinusului și dă $+\cos x$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Pe $(0,+\infty )$ avem $x^3\ne 0$, deci împărțirea termen cu termen este permisă: $\frac{x^5}{x^3}=x^2$ și $\frac{12}{x^3}$ rămâne cum este, deci $f(x)=x^2-\frac{12}{x^3}$. b) (3 p) Primul termen este rândul puterii cu $n=2$, al doilea este rândul puterii de la numitor cu $n=3$, luat cu constanta $12$ în față: $\int \frac{1}{x^3}dx=-\frac{1}{2x^2}+\mathcal{C}$, iar minusul din enunț se înmulțește cu acest minus. Prin urmare $\int f(x)dx=\frac{{\mathbf{x}}^3}{3}+\frac{6}{{\mathbf{x}}^2}+\mathcal{C}$, pe $(0,+\infty )$. c) (1 p) ${\left(\frac{x^3}{3}+\frac{6}{x^2}\right)}^{\prime }=x^2-\frac{12}{x^3}$, adică exact funcția din enunț.

Exercițiul 6. (6 p) a) (3 p) Rândul radicalului pentru primul termen și rândul lui $\frac{1}{\sqrt{x}}$ pentru al doilea: $8\cdot \frac{2x\sqrt{x}}{3}=\frac{16x\sqrt{x}}{3}$ și $3\cdot 2\sqrt{x}=6\sqrt{x}$. Deci $\int \left(8\sqrt{x}-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)dx=\frac{16x\sqrt{\mathbf{x}}}{3}-6\sqrt{\mathbf{x}}+\mathcal{C}$. b) (3 p) Desfacem întâi pătratul: ${\left(\sqrt{x}-5\right)}^2=x-10\sqrt{x}+25$. Atunci $\int {\left(\sqrt{x}-5\right)}^{2}dx=\frac{{\mathbf{x}}^2}{2}-\frac{20x\sqrt{\mathbf{x}}}{3}+25x+\mathcal{C}$, fiindcă $10\cdot \frac{2x\sqrt{x}}{3}=\frac{20x\sqrt{x}}{3}$.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Adevărat. Derivăm cu regula produsului: ${\left(x^2\sqrt{x}\right)}^{\prime }=2x\sqrt{x}+\frac{x^2}{2\sqrt{x}}$, iar $\frac{x^2}{2\sqrt{x}}=\frac{x\sqrt{x}}{2}$, deci ${\left(x^2\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{5x\sqrt{x}}{2}$. Împărțind la $5$ obținem $F^{\prime }(x)=\frac{x\sqrt{x}}{2}=f(x)$ pe $(0,+\infty )$. b) Fals. Derivata funcției compuse aduce un factor: $G^{\prime }(x)=2F^{\prime }(2x)=2f(2x)$, care nu este $f(x)$. Contraexemplu: pentru $f(x)=x$ avem $F(x)=\frac{x^2}{2}$, deci $G(x)=2x^2$ și $G^{\prime }(x)=4x\ne x$. Familia primitivelor se obține mutând graficul pe verticală, nu întinzându-l pe orizontală. c) Fals. Numărul $9$ stă în exponent, nu lângă el: $e^{7x+9}=e^9\cdot e^{7x}$, deci $G=e^9\cdot F$. Cele două funcții diferă printr-un factor, nu printr-un termen, iar factorul rămâne după derivare: $F^{\prime }(x)=e^{7x}$, pe când $G^{\prime }(x)=e^{7x+9}=e^9{e}^{7x}$. Cum $e^9\ne 1$, derivatele sunt funcții diferite, deci $F$ și $G$ nu sunt primitive ale aceleiași funcții. d) Fals. Avem ${\left(\mathrm{tg}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, iar egalitatea $\frac{1}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ înseamnă ${\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$, adică ${\mathrm{tg}}^{2}x=1$. Aceasta se întâmplă numai în puncte izolate, de forma $\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, deci pe niciun interval egalitatea nu poate fi adevărată în fiecare punct.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Pe $(0,+\infty )$ avem $x\ne 0$, deci împărțim termen cu termen: $\frac{4x^2}{x}=4x$ și $\frac{15}{x}$ rămâne cum este, deci $f(x)=4x-\frac{15}{x}$. b) (2 p) Rândul puterii cu $n=1$ și rândul logaritmului: $\int f(x)dx=2{\mathbf{x}}^2-15\ln |\mathbf{x}|+\mathcal{C}$, pe $(0,+\infty )$. c) (2 p) Scriem $F(x)=2x^2-15\ln x+c$. Atunci $F(e)=2e^2-15+c$ și $F(1)=2-0+c=2+c$, fiindcă $\ln e=1$ și $\ln 1=0$. La scădere constanta se reduce: $F(e)-F(1)=2{\mathbf{e}}^2-17$, oricare ar fi primitiva aleasă.

Exercițiul 9. (6 p) a) (3 p) Primul termen este rândul lui $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, cu constanta $5$ în față, al doilea este rândul sinusului, a cărui primitivă poartă minus: $\int \left(\frac{5}{{\cos }^{2}x}+7\sin x\right)dx=5\mathrm{tg}\mathbf{x}-7\cos \mathbf{x}+\mathcal{C}$. b) (3 p) Sub radical se scade pătratul variabilei dintr-un număr, deci este rândul arcsinusului, cu $a=11$, fiindcă $121=11^2$; acolo nu apare niciun factor în față. Rezultă $\int \frac{1}{\sqrt{121-x^2}}dx=\arcsin \frac{\mathbf{x}}{11}+\mathcal{C}$, pe intervalul $(-11,11)$, deschis la amândouă capetele, unde radicalul de la numitor se anulează.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Numărătorul este o diferență de pătrate: $\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)=x-4$, fiindcă $\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}=x$ pe $(0,+\infty )$. Împărțind termen cu termen la $x$, care nu se anulează pe interval, obținem $f(x)=\frac{x-4}{x}=1-\frac{4}{x}$. b) (3 p) Rândul puterii cu $n=0$ și rândul logaritmului: $\int f(x)dx=\mathbf{x}-4\ln |\mathbf{x}|+\mathcal{C}$, pe $(0,+\infty )$. c) (2 p) Fie $F$ o primitivă oarecare. Atunci $F^{\prime }(x)=f(x)=1-\frac{4}{x}$, iar pentru $x>4$ avem $\frac{4}{x}<1$, deci $F^{\prime }(x)>0$. O funcție cu derivata strict pozitivă pe un interval este strict crescătoare acolo, iar concluzia nu depinde de constantă.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Debitul este ritmul volumului, deci $V^{\prime }(t)=q(t)$, iar $V$ este o primitivă a lui $q$. Am folosit rândul logaritmului, cu constanta $6$ în față: $\int \frac{6}{t}dt=6\ln |\mathbf{t}|+\mathcal{C}$, iar pe intervalul de lucru $t>0$, deci $V(t)=6\ln t+c$. Volumul se măsoară în mililitri, fiindcă debitul era dat în mililitri pe minut, iar timpul în minute. b) (3 p) $V(8)-V(2)=\left(6\ln 8+c\right)-\left(6\ln 2+c\right)=6\left(\ln 8-\ln 2\right)=6\ln 4=12\ln 2$ mililitri; constanta se reduce la scădere, deci rezultatul este același pentru orice funcție din familie. c) (2 p) Pentru $t\ge 1$ avem $q(t)=\frac{6}{t}>0$, deci volumul de filtrat crește pe tot intervalul; el nu poate scădea, ceea ce se și cuvine, fiindcă filtratul se adună în vas. Modelul rămâne valabil cât timp membrana lasă lichidul să treacă.

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Scriem numărătorul pornind de la numitor: $x^2+13=\left(x^2+4\right)+9$. Cum $x^2+4\ge 4>0$ pentru orice $x$ real, împărțirea este permisă pe tot $\mathbb{R}$ și $f(x)=\frac{\left(x^2+4\right)+9}{x^2+4}=1+\frac{9}{x^2+4}$. b) (3 p) Primul termen dă $x$, al doilea este rândul arctangentei cu $a=2$, fiindcă $4=2^2$, luat cu constanta $9$ în față: $9\cdot \frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x}{2}=\frac{9}{2}\mathrm{arctg}\frac{x}{2}$. Prin urmare $\int f(x)dx=\mathbf{x}+\frac{9}{2}\mathrm{arctg}\frac{\mathbf{x}}{2}+\mathcal{C}$. c) (2 p) Din punctul a), $4f(x)-4=4\left(1+\frac{9}{x^2+4}\right)-4=\frac{36}{x^2+4}$. Constanta $36$ este nenulă și se scoate în față, iar rândul arctangentei cu $a=2$ dă $36\cdot \frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x}{2}=18\mathrm{arctg}\frac{x}{2}$, ceea ce se verifică derivând.

Exercițiul 13. (8 p) a) (4 p) Funcția $F$ este derivabilă pe $(0,+\infty )$, iar $F^{\prime }(x)=\frac{a}{x}-\frac{2b}{x^3}$ (2 p). Condiția $F^{\prime }(x)=f(x)$ pe tot intervalul cere egalitatea coeficienților celor două fracții: $a=1$ și $-2b=1$, deci $b=-\frac{1}{2}$ (2 p). b) (2 p) Pentru $a=1$ și $b=-\frac{1}{2}$ avem $F(x)=\ln x-\frac{1}{2x^2}$, iar $\ln 1=0$, deci $F(1)=-\frac{1}{2}$. c) (2 p) Diferența este $F(x)-\ln x=-\frac{1}{2x^2}$, iar pe $(0,+\infty )$ avem $2x^2>0$, deci $-\frac{1}{2x^2}<0$. Prin urmare $F(x)<\ln x$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică primul strat al unității de primitive: noțiunea și calculul. Sunt acoperite șase lecții — Primitive: problema inversă a derivării (definiția, verificarea prin derivare, construirea unei primitive de polinom), Mulțimea primitivelor. Integrala nedefinită (familia de funcții, rolul lui $\mathcal{C}$, rolul lui $dx$), Liniaritatea integralei nedefinite (suma se desface, constanta nenulă iese în față), Tabelul primitivelor uzuale: puteri și radicali, Primitive cu exponențială și logaritm și Primitive trigonometrice și cu arctangentă. Existența primitivelor, primitiva determinată de o condiție și modelările din științe se verifică în testul următor al unității — aici nu se cere nicio constantă determinată dintr-un punct și nicio discuție despre funcții definite pe ramuri. Metodele de integrare (prin părți și prin schimbare de variabilă) nu intră la acest profil în capitolul de primitive, deci nu apar în test.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Toate rezultatele se lasă în formă exactă — $\ln 2$, $e^2$, $\pi$ și radicalii nu se aproximează. La fiecare răspuns care cere „mulțimea primitivelor" se așteaptă $+\mathcal{C}$, iar la funcțiile care nu sunt definite pe toată axa se cere și intervalul de lucru.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele șase lecții, în special prelucrarea algebrică dinaintea tabelului și proba prin derivare.
• Formule de reținut: $F$ este o primitivă a lui $f$ pe intervalul $I$ dacă $F$ e derivabilă pe $I$ și $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$; integrala nedefinită $\int f(x)dx=F(x)+\mathcal{C}$ este familia tuturor primitivelor, iar $\mathcal{C}$ este mulțimea funcțiilor constante; liniaritatea: $\int (\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int f(x)dx+\beta \int g(x)dx$, cu $\alpha$ și $\beta$ nenule; tabelul: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C}$; $\int \frac{1}{x^n}dx=-\frac{1}{(n-1)x^{n-1}}+\mathcal{C}$ pentru $n\ge 2$; $\int \sqrt{x}dx=\frac{2x\sqrt{x}}{3}+\mathcal{C}$; $\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+\mathcal{C}$; $\int \sqrt[3]{x}dx=\frac{3x\sqrt[3]{x}}{4}+\mathcal{C}$; $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+\mathcal{C}$; $\int e^{x}dx=e^x+\mathcal{C}$; $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+\mathcal{C}$; $\int \sin xdx=-\cos x+\mathcal{C}$; $\int \cos xdx=\sin x+\mathcal{C}$; $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\mathrm{tg}x+\mathcal{C}$; $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\mathrm{ctg}x+\mathcal{C}$; $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+\mathcal{C}$; $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+\mathcal{C}$ pe $(-a,a)$.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.3. Primitivele unei funcții continue, la conținuturile „Noțiunea de primitivă, mulțimea primitivelor unei funcții continue, integrala nedefinită", „Tabelul primitivelor uzuale" și „Proprietăți ale integralei nedefinite: liniaritate". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde, la elementele de analiză matematică, rândurile „Primitivele unei funcții definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcții continue, proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. Primitive uzuale", iar analiza matematică se dă la Subiectul al III-lea. Tema se cere, așadar, la amândouă examenele.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".