Test: Reperul în spațiu: distanțe, coplanaritate și volume (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Elemente de geometrie analitică în spațiu

Exerciții

Partea I – Reperul $Oxyz$: poziții, proiecții, simetrii

Exercițiul 1 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se dau punctele $A(4,-5,2)$, $B(0,7,0)$, $C(-3,0,6)$ și $D(0,0,-8)$. Răspunde scurt, cu o propoziție de justificare (câte 1 punct): a) Scrie tripletul de semne al coordonatelor lui $A$ și spune dacă $A$ se află în primul octant. b) Unde se află punctul $B$? c) Unde se află punctul $C$? d) Unde se află punctul $D$? e) Scrie proiecția lui $A$ pe planul $yOz$. f) Scrie simetricul lui $C$ față de origine.

Exercițiul 2 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră punctul $E(-6,3,-4)$. a) Determină proiecțiile lui $E$ pe cele trei axe de coordonate. (2 p) b) Determină proiecțiile lui $E$ pe cele trei plane de coordonate. (2 p) c) Determină simetricul lui $E$ față de axa $Oy$. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Determină, în fiecare caz, numărul real cerut (câte 2 puncte):

a) numărul $m$ pentru care punctul $P(2m-6,5,m+1)$ se află în planul $yOz$;

b) numărul $a$ pentru care punctul $Q(a-3,a^2-9,4)$ se află pe axa $Oz$;

c) numărul $t$ pentru care proiecția punctului $R(1,t-4,t+2)$ pe planul $xOy$ este $(1,-1,0)$.

Exercițiul 4 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Distanța dintre punctele $(1,-2,2)$ și $(5,1,-2)$ este: A. $\sqrt{29}$; B. $\sqrt{57}$; C. $\sqrt{41}$; D. $\sqrt{33}$.

b) Distanța de la punctul $M(-8,6,5)$ la axa $Oz$ este: A. $10$; B. $5$; C. $\sqrt{61}$; D. $8$.

c) Mijlocul segmentului cu capetele $(7,-3,4)$ și $(-1,5,-10)$ este: A. $(6,2,-6)$; B. $(4,1,-3)$; C. $(3,1,-3)$; D. $(3,1,7)$.

d) Volumul tetraedrului cu vârfurile $O(0,0,0)$, $(6,0,0)$, $(0,7,0)$ și $(0,0,10)$ este: A. $420$; B. $70$; C. $210$; D. $140$.

Partea a II-a – Distanțe, mijloc și centru de greutate

Exercițiul 5 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră punctele $A(3,-1,5)$ și $B(-1,4,7)$.

a) Calculează $A{B}^2$. (2 p) b) Scrie lungimea $AB$ în formă exactă, cu radicalul simplificat. (2 p) c) Determină distanțele de la $A$ la cele trei plane de coordonate. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră punctele $A(1,0,2)$, $B(5,4,2)$ și $C(3,-2,7)$. a) Calculează $A{B}^2$, $A{C}^2$ și $B{C}^2$. (3 p) b) Arată că triunghiul $ABC$ este dreptunghic și precizează vârful în care se află unghiul drept. (2 p) c) Scrie lungimea ipotenuzei în formă exactă. (1 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră punctele $A(3,-2,5)$, $B(-5,4,1)$ și $C(8,4,0)$.

a) Determină mijlocul segmentului $[AB]$. (2 p) b) Determină centrul de greutate al triunghiului $ABC$. (3 p) c) Un alt triunghi are vârfurile $A$, $B$ și un al treilea vârf necunoscut, iar centrul lui de greutate este $G(1,3,4)$. Determină al treilea vârf. (3 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră punctul $A(6,-2,3)$. a) Scrie forma generală a coordonatelor unui punct de pe axa $Oy$. (1 p) b) Determină toate punctele axei $Oy$ aflate la distanța $7$ de $A$. (3 p) c) Verifică prin calcul distanța de la $A$ la unul dintre punctele găsite. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică pe scurt (câte 2 puncte):

a) „Dacă două puncte au aceeași proiecție pe planul $xOy$ și aceeași proiecție pe planul $xOz$, atunci ele coincid." b) „Un triunghi din spațiu la care $A{B}^2=20$, $A{C}^2=45$ și $B{C}^2=65$ este dreptunghic în $A$." c) „Mijlocul unui segment ale cărui capete au toate coordonatele întregi are și el toate coordonatele întregi."

Partea a III-a – Coplanaritate, volume și modele

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră punctele $A(0,0,4)$, $B(3,0,0)$ și $C(0,6,0)$.

a) Arată că punctele $A$, $B$ și $C$ nu sunt coliniare. (2 p) b) Arată că punctele $A$, $B$, $C$ și $D(2,2,0)$ sunt coplanare. (3 p) c) Determină numărul real $m$ pentru care punctul $E(2,m,2)$ este coplanar cu $A$, $B$ și $C$. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră punctele $A(2,5,1)$, $B(5,8,1)$, $C(1,10,0)$ și $D(3,6,7)$.

a) Arată că cele patru puncte nu sunt coplanare. (3 p) b) Calculează volumul tetraedrului $ABCD$. (2 p) c) Determină numerele reale $m$ pentru care tetraedrul $ABCE$, cu $E(3,6,m)$, are volumul $9$. (3 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Într-o instalație de tratare a apei, colțurile unui rezervor în formă de tetraedru se află, într-un reper cu unitatea de un decimetru, în punctele $R_1(0,0,0)$, $R_2(6,0,0)$, $R_3(0,7,2)$ și $R_4(4,2,8)$.

a) Arată că cele patru colțuri nu sunt coplanare. (3 p) b) Calculează capacitatea rezervorului, în litri. (2 p) c) Un senzor este montat la mijlocul muchiei $[R_2{R}_4]$. Scrie coordonatele lui și calculează distanța de la senzor la colțul $R_1$. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră punctele $A(4,0,0)$, $B(0,0,3)$, $C(0,6,0)$ și $D(3,3,9)$.

a) Calculează lungimile $AB$ și $AC$. (2 p) b) Arată că cele patru puncte nu sunt coplanare și calculează volumul tetraedrului $ABCD$. (3 p) c) Determină centrul de greutate al triunghiului $BCD$ și distanța de la el la originea reperului. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Tripletul de semne este $(+,-,+)$; punctul nu se află în primul octant, fiindcă acolo toate cele trei coordonate sunt pozitive, iar ordonata lui $A$ este $-5$. b) Punctul $B$ are abscisa și cota nule, adică două zerouri, deci se află pe axa $Oy$, pe semiaxa pozitivă. c) Punctul $C$ are numai ordonata nulă, adică un singur zero, deci se află în planul $xOz$, fără a fi pe vreo axă. d) Punctul $D$ are abscisa și ordonata nule, deci se află pe axa $Oz$, la cota $-8$. e) Proiecția pe planul $yOz$ se obține anulând abscisa, coordonata care lipsește din numele planului: $(0,-5,2)$. f) Simetricul față de origine schimbă semnele tuturor celor trei coordonate: $(3,0,-6)$.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) Pe fiecare axă se păstrează o singură coordonată și se anulează celelalte două: pe $Ox$ proiecția este $(-6,0,0)$, pe $Oy$ este $(0,3,0)$, pe $Oz$ este $(0,0,-4)$. b) (2 p) Pe fiecare plan de coordonate se anulează coordonata care lipsește din numele lui: pe $xOy$ proiecția este $(-6,3,0)$, pe $xOz$ este $(-6,0,-4)$, pe $yOz$ este $(0,3,-4)$. c) (2 p) Simetria față de axa $Oy$ schimbă semnele abscisei și cotei, adică al coordonatelor care nu sunt pe axă, iar ordonata rămâne: simetricul este $(6,3,4)$. Control: mijlocul segmentului dintre $E$ și simetricul lui este $(0,3,0)$, punct al axei $Oy$.

Exercițiul 3. (6 p) — câte 2 puncte. a) Apartenența la planul $yOz$ cere abscisa nulă: $2m-6=0$, deci $m=3$, iar punctul devine $(0,5,4)$. b) Apartenența la axa $Oz$ cere ca abscisa și ordonata să fie amândouă nule: $a-3=0$ și $a^2-9=0$. Prima dă $a=3$, iar a doua este îndeplinită tot de $a=3$ (și de $a=-3$, care însă nu verifică prima). Deci $a=3$, iar punctul devine $(0,0,4)$. c) Proiecția pe planul $xOy$ păstrează abscisa și ordonata, deci condiția este $t-4=-1$, adică $t=3$; punctul este atunci $(1,-1,5)$, iar proiecția lui, $(1,-1,0)$, cum se cerea.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) C — diferențele sunt $4$, $3$ și $-4$, iar $16+9+16=41$, deci distanța este $\sqrt{41}$. b) A — proiecția lui $M$ pe axa $Oz$ este $(0,0,5)$, iar pătratul distanței este $64+36=100$, deci distanța este $10$. c) C — mediile coordonatelor sunt $\frac{7-1}{2}=3$, $\frac{-3+5}{2}=1$ și $\frac{4-10}{2}=-3$. d) B — diferențele față de origine sunt chiar coordonatele celorlalte vârfuri, iar determinantul lor este $6\cdot 7\cdot 10=420$, deci volumul este $\frac{420}{6}=70$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) $A{B}^2=(-1-3{)}^2+(4+1{)}^2+(7-5{)}^2=16+25+4=45$. b) (2 p) Cum $45=9\cdot 5$, obținem $AB=3\sqrt{5}$. Forma exactă se păstrează, fiindcă o valoare zecimală ar fi doar o aproximare a ei. c) (2 p) Fiecare distanță este modulul coordonatei care lipsește din numele planului: până la $yOz$ avem $|3|=3$, până la $xOz$ avem $|-1|=1$, iar până la $xOy$ avem $|5|=5$.

Exercițiul 6. (6 p) a) (3 p) $A{B}^2=(5-1{)}^2+(4-0{)}^2+(2-2{)}^2=16+16+0=32$; $A{C}^2=(3-1{)}^2+(-2-0{)}^2+(7-2{)}^2=4+4+25=33$; $B{C}^2=(3-5{)}^2+(-2-4{)}^2+(7-2{)}^2=4+36+25=65$. b) (2 p) Punctele nu sunt coliniare: cea mai mare lungime este $BC=\sqrt{65}\approx 8,06$, iar $AB+AC=\sqrt{32}+\sqrt{33}\approx 11,40$ este mai mare decât ea. Cum $A{B}^2+A{C}^2=32+33=65=B{C}^2$, din reciproca teoremei lui Pitagora rezultă că unghiul drept se află în vârful $A$, cel comun laturilor $[AB]$ și $[AC]$. c) (1 p) Ipotenuza este latura opusă unghiului drept, adică $[BC]$, iar $BC=\sqrt{65}$, valoare care nu se mai simplifică.

Exercițiul 7. (8 p) a) (2 p) Mijlocul are drept coordonate mediile capetelor: $\frac{3-5}{2}=-1$, $\frac{-2+4}{2}=1$ și $\frac{5+1}{2}=3$, deci este punctul $(-1,1,3)$. b) (3 p) Centrul de greutate are drept coordonate mediile celor trei vârfuri: $\frac{3-5+8}{3}=2$, $\frac{-2+4+4}{3}=2$ și $\frac{5+1+0}{3}=2$, deci este punctul $(2,2,2)$. c) (3 p) Suma coordonatelor celor trei vârfuri este de trei ori coordonata corespunzătoare a centrului de greutate. Pe abscise: $3\cdot 1-3-(-5)=5$; pe ordonate: $3\cdot 3-(-2)-4=7$; pe cote: $3\cdot 4-5-1=6$. Al treilea vârf este $(5,7,6)$. Verificare: $\frac{3-5+5}{3}=1$, $\frac{-2+4+7}{3}=3$, $\frac{5+1+6}{3}=4$.

Exercițiul 8. (6 p) a) (1 p) Un punct al axei $Oy$ are abscisa și cota nule, deci forma $(0,y,0)$, cu $y$ număr real. b) (3 p) Condiția se scrie pe pătrate: $(0-6{)}^2+(y+2{)}^2+(0-3{)}^2=49$, adică $36+(y+2{)}^2+9=49$, deci $(y+2{)}^2=4$ și $y+2=\pm 2$. Obținem $y=0$ și $y=-4$, adică punctele $(0,0,0)$ și $(0,-4,0)$. Primul dintre ele este chiar originea reperului. c) (2 p) Pentru $(0,0,0)$: pătratul distanței este $36+4+9=49$, deci distanța este $7$, cum se cerea. (Pentru $(0,-4,0)$ iese $36+4+9=49$, tot $7$.)

Exercițiul 9. (6 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Adevărat. Proiecția pe $xOy$ păstrează abscisa și ordonata, deci cele două puncte au $x$ și $y$ egale; proiecția pe $xOz$ păstrează abscisa și cota, deci au și $z$ egal. Toate trei coordonatele coincid, deci punctele coincid. b) Adevărat. Punctele nu sunt coliniare, fiindcă $AB+AC=2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}=\sqrt{125}$, mai mare decât $BC=\sqrt{65}$. Cum $A{B}^2+A{C}^2=20+45=65=B{C}^2$, reciproca teoremei lui Pitagora dă unghi drept în vârful comun laturilor $[AB]$ și $[AC]$, adică în $A$. c) Fals. Coordonatele mijlocului sunt semisume, iar semisuma a două numere întregi este întreagă doar când suma lor este pară. Contraexemplu: capetele $(0,0,0)$ și $(1,0,0)$ au mijlocul $\left(\frac{1}{2},0,0\right)$.

Exercițiul 10. (8 p) a) (2 p) Mergând de la $A$ la $B$, variațiile coordonatelor sunt $3$, $0$ și $-4$; de la $A$ la $C$ ele sunt $0$, $6$ și $-4$. Cele două triplete nu sunt proporționale: prima poziție ar cere raportul $0$, iar a doua un raport nenul. Punctele nu sunt deci coliniare. b) (3 p) Scădem linia lui $A$ din celelalte trei și calculăm determinantul diferențelor: $${\Delta }^{\prime }=\left|\begin{array}{ccc}3& 0& -4\\ 0& 6& -4\\ 2& 2& -4\end{array}\right|=3(-24+8)-0(0+8)+(-4)(0-12)=-48+48=0$$ Determinantul fiind nul, cele patru puncte sunt coplanare. c) (3 p) Cu $E(2,m,2)$ în locul lui $D$, ultima linie a determinantului diferențelor devine $(2,m,-2)$: $$\left|\begin{array}{ccc}3& 0& -4\\ 0& 6& -4\\ 2& m& -2\end{array}\right|=3(-12+4m)-0(0+8)+(-4)(0-12)=12m-36+48$$ Condiția de coplanaritate $12m+12=0$ dă $m=-1$; pentru această valoare punctul devine $(2,-1,2)$, diferit de $D$.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Scădem coordonatele lui $A$ din ale celorlalte trei: $B-A$ dă $(3,3,0)$, $C-A$ dă $(-1,5,-1)$, iar $D-A$ dă $(1,1,6)$ (1 p). Determinantul diferențelor este $${\Delta }^{\prime }=\left|\begin{array}{ccc}3& 3& 0\\ -1& 5& -1\\ 1& 1& 6\end{array}\right|=3(30+1)-3(-6+1)+0(-1-5)=93+15=108$$ (1 p). Cum ${\Delta }^{\prime }=108\ne 0$, punctele nu sunt coplanare (1 p). b) (2 p) ${\mathcal{V}}_{ABCD}=\frac{1}{6}|108|=18$. c) (3 p) Cu $E(3,6,m)$ în locul lui $D$, ultima linie devine $E-A=(1,1,m-1)$, iar $$\left|\begin{array}{ccc}3& 3& 0\\ -1& 5& -1\\ 1& 1& m-1\end{array}\right|=3(5(m-1)+1)-3(-(m-1)+1)=15m-12-6+3m=18m-18$$ (1 p). Condiția $\frac{1}{6}|18m-18|=9$ se scrie $3|m-1|=9$, deci $|m-1|=3$ (1 p) și $m\in \{-2,4\}$. Ambele valori sunt bune; ele dau două poziții ale lui $E$, de o parte și de alta a planului lui $A$, $B$, $C$ (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Scădem linia lui $R_1$, ale cărui coordonate sunt toate nule, deci diferențele sunt chiar coordonatele celorlalte trei colțuri (1 p): $${\Delta }^{\prime }=\left|\begin{array}{ccc}6& 0& 0\\ 0& 7& 2\\ 4& 2& 8\end{array}\right|=6(56-4)=312$$ (1 p). Cum ${\Delta }^{\prime }=312\ne 0$, colțurile nu sunt coplanare, deci ele chiar închid un tetraedru (1 p). b) (2 p) $\mathcal{V}=\frac{312}{6}=52{\text{dm}}^3$, adică 52 de litri, fiindcă un decimetru cub este un litru. c) (3 p) Mijlocul muchiei $[R_2{R}_4]$ are drept coordonate mediile capetelor: $\frac{6+4}{2}=5$, $\frac{0+2}{2}=1$ și $\frac{0+8}{2}=4$, deci senzorul se află în $(5,1,4)$ (2 p). Pătratul distanței până la $R_1(0,0,0)$ este $25+1+16=42$, deci distanța este $\sqrt{42}$ decimetri, ceva mai mult de $6$ decimetri (1 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) $A{B}^2=(0-4{)}^2+0+(3-0{)}^2=16+9=25$, deci $AB=5$. $A{C}^2=(0-4{)}^2+(6-0{)}^2+0=16+36=52=4\cdot 13$, deci $AC=2\sqrt{13}$. b) (3 p) Diferențele față de $A$ sunt $B-A=(-4,0,3)$, $C-A=(-4,6,0)$ și $D-A=(-1,3,9)$ (1 p), iar $${\Delta }^{\prime }=\left|\begin{array}{ccc}-4& 0& 3\\ -4& 6& 0\\ -1& 3& 9\end{array}\right|=-4(54-0)-0(-36-0)+3(-12+6)=-216-18=-234$$ (1 p). Cum ${\Delta }^{\prime }\ne 0$, punctele nu sunt coplanare, iar ${\mathcal{V}}_{ABCD}=\frac{234}{6}=39$ (1 p). c) (3 p) Centrul de greutate al triunghiului $BCD$ are drept coordonate mediile celor trei vârfuri: $\frac{0+0+3}{3}=1$, $\frac{0+6+3}{3}=3$ și $\frac{3+0+9}{3}=4$, deci este punctul $G(1,3,4)$ (2 p). Pătratul distanței de la origine este $1+9+16=26$, deci $OG=\sqrt{26}$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică prima jumătate a unității de geometrie analitică în spațiu: reperul $Oxyz$ și coordonatele unui punct, proiecțiile și simetricele, distanța dintre două puncte, mijlocul unui segment, centrul de greutate al unui triunghi, condiția de coplanaritate a patru puncte și volumul tetraedrului. Planele — ecuația generală, planele particulare, pozițiile relative — se verifică în testul următor al aceleiași unități; aici nu se cere și nu se folosește nicio ecuație de plan, iar coplanaritatea se decide numai prin determinantul de ordinul $4$.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Se lucrează cu pătratul distanței până la ultimul pas, iar rezultatul se lasă în formă exactă, cu radicalul simplificat, nu cu zecimale rotunjite.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau lecțiile unității, în special deosebirea dintre proiecție și simetric și numărarea zerourilor dintr-un triplet.
• Formule de reținut: un punct se scrie $M(x,y,z)$, cu $x$ abscisă, $y$ ordonată, $z$ cotă; două coordonate nule înseamnă că punctul e pe o axă, una singură nulă înseamnă că e într-un plan de coordonate; proiecția anulează coordonatele care nu aparțin obiectului pe care proiectezi, simetria doar le schimbă semnul (unul la un plan de coordonate, două la o axă, trei la origine); $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}$; distanța de la $M(x,y,z)$ la un plan de coordonate e modulul coordonatei care lipsește din numele planului, iar până la axa $Oz$ e $\sqrt{x^2+y^2}$; mijlocul unui segment are drept coordonate mediile a două numere, centrul de greutate al unui triunghi mediile a trei; patru puncte sunt coplanare exact când determinantul de ordinul $4$ format cu coordonatele lor și cu o coloană de $1$ este nul, iar volumul tetraedrului lor este $\mathcal{V}=\frac{1}{6}|\Delta |$; practic se scade linia unui vârf din celelalte trei și se calculează determinantul de ordinul $3$ al diferențelor.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Geometrie. Trigonometrie, la unitatea XII.2 „Elemente de geometrie analitică în spațiu", cu rândurile „Reperul cartezian tridimensional $Oxyz$; coordonatele unui punct în spațiu, distanța dintre două puncte în spațiu", „Condiția de coplanaritate a $4$ puncte" și „Volumul tetraedrului". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, pe programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), care conține numai geometria analitică din plan și determinanți de ordin cel mult $3$: geometria analitică în spațiu nu apare acolo la niciun capitol. Prin urmare întreaga materie a acestui test intră în probă abia din 2030, iar toți itemii lui poartă, de aceea, mențiunea MAT_P2 2030. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".