Test: Sisteme de ecuații liniare: rang și compatibilitate (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Sisteme de ecuații liniare

Exerciții

Partea I – Scrierea sistemelor, clasificarea și metoda lui Cramer

Exercițiul 1 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră sistemul

$$\{\begin{array}{l}x-3y+2z+4t=6\\ 5x+y-z+t=2\\ 2x+4y+3z-t=9\end{array}$$

Răspunde scurt, cu o propoziție de justificare (câte 1 punct): a) Câte ecuații și câte necunoscute are sistemul? b) Ce format are matricea $A$ a sistemului? c) Are matricea $A$ determinant? d) Cât este $a_{23}$? e) Poate sistemul să fie compatibil determinat? f) Adevărat sau fals: „adăugând sistemului o a patra ecuație, el poate deveni compatibil determinat".

Exercițiul 2 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră sistemul

$$\{\begin{array}{l}2x+3y-z=1\\ x-3y+4z=14\\ 4x+2y+z=12\end{array}$$

a) Calculează determinantul principal $\Delta$. (2 p) b) Arată că sistemul este de tip Cramer și calculează ${\Delta }_2$. (2 p) c) Rezolvă sistemul. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Stabilește tipul de compatibilitate al fiecăruia dintre sistemele de mai jos, fără să calculezi vreun determinant (câte 2 puncte):

a) $3x-2y+5z=4$, $6x-4y+10z=9$.

b) $5x+3y-2z=1$, $15x+9y-6z=3$.

c) $2x-y-z=0$, $4x+3y-z=0$; pentru acest sistem scrie și o soluție cu toate componentele nenule.

Exercițiul 4 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Determinantul principal al sistemului $4x+7y=13$, $9x-5y=2$ este: A. $83$; B. $-43$; C. $-83$; D. $43$.

b) Sistemul $7x-3y=8$, $mx+6y=9$ nu este de tip Cramer pentru: A. $m=-14$; B. $m=14$; C. $m=-2$; D. $m=2$.

c) Sistemul $x-5y+2z=4$, $2x-10y+4z=8$, $3x-15y+6z=11$ este: A. compatibil determinat; B. omogen; C. compatibil nedeterminat; D. incompatibil.

d) Sistemul $5x-3y=7$, $-15x+9y=-21$ are: A. o singură soluție; B. nicio soluție; C. o infinitate de soluții; D. exact două soluții.

Partea a II-a – Rangul unei matrice și compatibilitatea

Exercițiul 5 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră matricea $M=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& -2& 5\\ 1& 4& 3& -1\\ 4& 5& 1& 4\end{array}\right)$.

a) Calculează minorul format din liniile $1$, $2$ și coloanele $1$, $2$. (2 p) b) Arată că toți minorii de ordinul $3$ ai matricei $M$ sunt nuli. (2 p) c) Determină $\mathrm{rang}M$. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră sistemul

$$\{\begin{array}{l}2x+y-3z=4\\ x-2y+z=-3\\ 3x-y-2z=1\end{array}$$

a) Scrie matricea extinsă $\overline{A}$ și precizează formatul ei. (2 p) b) Arată că $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2$. (2 p) c) Precizează tipul de compatibilitate și gradul de nedeterminare. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră sistemul

$$\{\begin{array}{l}x+3y-2z=5\\ 2x-y+4z=3\\ 3x+2y+2z=12\end{array}$$

a) Arată că $\mathrm{rang}A=2$. (3 p) b) Calculează un minor de ordinul $3$ al matricei extinse care folosește coloana termenilor liberi și arată că $\mathrm{rang}\overline{A}=3$. (3 p) c) Precizează tipul de compatibilitate al sistemului. (2 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră sistemul

$$\{\begin{array}{l}3x+2y+z=9\\ 4x+3y+2z=13\\ 2x+y=5\end{array}$$

a) Arată că $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2$. (2 p) b) Alege un minor principal și precizează necunoscutele principale și pe cea secundară. (2 p) c) Scrie mulțimea soluțiilor. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică pe scurt (câte 2 puncte):

a) „Matricea extinsă a unui sistem cu patru ecuații și trei necunoscute poate avea rangul $4$." b) „Dacă matricea unui sistem are rangul $0$, atunci sistemul este compatibil." c) „Dacă adaugi unui sistem compatibil o ecuație care este suma a două dintre ecuațiile lui, tipul de compatibilitate nu se schimbă."

Partea a III-a – Discuție după parametru, sisteme mari și modelare

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră sistemul

$$\{\begin{array}{l}2x+y-3z=-5\\ 3x+2y+z=10\\ x+y+mz=9\end{array}$$

cu $m$ număr real.

a) Calculează determinantul matricei sistemului, în funcție de $m$. (3 p) b) Determină valorile lui $m$ pentru care sistemul are soluție unică. (2 p) c) Rezolvă sistemul pentru $m=2$. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră sistemul

$$\{\begin{array}{l}2x+y-z+2t=9\\ 3x+2y+z+3t=14\\ 6x+4y+2z+6t=28\end{array}$$

a) Arată că $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2$. (3 p) b) Precizează gradul de nedeterminare și alege un minor principal. (2 p) c) Scrie mulțimea soluțiilor. (3 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Un atelier topește trei sorturi de sticlă măcinată ca să obțină un amestec de $20$ de kilograme. La kilogram, primul sort conține $600$ g de dioxid de siliciu și $100$ g de oxid de sodiu, al doilea $500$ g și $200$ g, iar al treilea $800$ g și $50$ g. Amestecul cerut trebuie să aibă $12600$ g de dioxid de siliciu și $2450$ g de oxid de sodiu.

a) Scrie sistemul, precizând ce reprezintă necunoscutele $p$, $q$, $r$ și în ce unitate de măsură. (3 p) b) Arată că sistemul obținut este de tip Cramer. (2 p) c) Determină masele luate din fiecare sort și spune dacă amestecul se poate prepara. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră sistemul

$$\{\begin{array}{l}3x+2y-z=4\\ x+2y+t=8\\ 2z+t=11\\ x+y+z+2t=11\end{array}$$

a) Scrie matricea $A$ a sistemului și arată că $\Delta =9$. (3 p) b) Calculează ${\Delta }_4$ și află necunoscuta $t$. (3 p) c) Verifică dacă grupul de numere $(1,3,5,1)$ este soluție a sistemului. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Trei ecuații și patru necunoscute, deci $m=3$ și $n=4$. b) Matricea $A$ este de tip $3\times 4$: are atâtea linii câte ecuații și atâtea coloane câte necunoscute. c) Nu: matricea nu este pătratică, iar determinantul se definește numai pentru matrice pătratice. d) $a_{23}$ stă pe linia a doua, coloana a treia, deci $a_{23}=-1$, coeficientul lui $z$ din ecuația a doua. e) Nu. Matricea $A$ are trei linii, deci $\mathrm{rang}A\le 3<4=n$; soluția unică ar cere $\mathrm{rang}A=n$. f) Adevărat. Cu o a patra ecuație, matricea sistemului are patru linii, iar rangul ei poate ajunge la $4$; atunci $r=n=4$ și sistemul devine compatibil determinat.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 1& -3& 4\\ 4& 2& 1\end{array}\right|=2(-3-8)-3(1-16)+(-1)(2+12)=-22+45-14=9$. b) (2 p) Sistemul are trei ecuații și trei necunoscute, iar $\Delta =9\ne 0$: ambele condiții fiind îndeplinite, sistemul este de tip Cramer. Înlocuind coloana a doua cu coloana termenilor liberi, ${\Delta }_2=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 14& 4\\ 4& 12& 1\end{array}\right|=2(14-48)-1(1-16)+(-1)(12-56)=-68+15+44=-9$. c) (2 p) Ceilalți auxiliari sunt ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}1& 3& -1\\ 14& -3& 4\\ 12& 2& 1\end{array}\right|=1(-3-8)-3(14-48)+(-1)(28+36)=-11+102-64=27$ și ${\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 1& -3& 14\\ 4& 2& 12\end{array}\right|=2(-36-28)-3(12-56)+1(2+12)=-128+132+14=18$. Împărțind la $\Delta =9$: $x=3$, $y=-1$, $z=2$. Verificare: $6-3-2=1$; $3+3+8=14$; $12-2+2=12$.

Exercițiul 3. (6 p) — câte 2 puncte. a) Incompatibil. Membrul stâng al ecuației a doua este dublul celui din prima, iar dublul lui $4$ este $8$, nu $9$: aceeași expresie nu poate valora și $8$, și $9$. b) Compatibil nedeterminat. A doua ecuație este prima înmulțită cu $3$, termenul liber inclusiv ($3\cdot 1=3$), deci nu aduce nicio condiție nouă; rămâne o singură condiție pentru trei necunoscute. c) Compatibil, fiind omogen: tripletul $(0,0,0)$ îl verifică. Scăzând prima ecuație din a doua obținem $2x+4y=0$, adică $x=-2y$; pentru $y=-1$ avem $x=2$, iar prima ecuație dă $4+1-z=0$, deci $z=5$. O soluție cu toate componentele nenule este $(2,-1,5)$: $4+1-5=0$ și $8-3-5=0$. Având și o soluție nebanală, sistemul este compatibil nedeterminat.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) C — $\Delta =4\cdot (-5)-7\cdot 9=-20-63=-83$. b) A — determinantul este $7\cdot 6-(-3)\cdot m=42+3m$, iar el se anulează pentru $3m=-42$, deci $m=-14$. c) D — primele două ecuații sunt în acord ($2\cdot 4=8$), dar a treia cere ca aceeași expresie înmulțită cu $3$ să dea $11$, în timp ce $3\cdot 4=12$. d) C — a doua ecuație este prima înmulțită cu $-3$, termenul liber inclusiv ($-3\cdot 7=-21$), deci rămâne o singură condiție pentru două necunoscute.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) $d_2=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 4\end{array}\right|=12-1=11\ne 0$, deci $\mathrm{rang}M\ge 2$. b) (2 p) Linia a treia este suma primelor două: $3+1=4$, $1+4=5$, $-2+3=1$ și $5-1=4$. Un minor de ordinul $3$ al unei matrice cu trei linii le folosește pe toate trei, iar în orice astfel de tablou linia a treia rămâne suma primelor două, deci determinantul este nul. Cei $C_3^3\cdot C_4^3=4$ minori de ordinul $3$ sunt așadar toți nuli. c) (2 p) De la a) avem $\mathrm{rang}M\ge 2$, de la b) rangul nu poate fi $3$, iar minori de ordinul $4$ nu există, matricea având doar trei linii. Prin urmare $\mathrm{rang}M=2$.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) $\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& -3& 4\\ 1& -2& 1& -3\\ 3& -1& -2& 1\end{array}\right)$, de format $3\times 4$: trei linii, câte ecuații, și $3+1=4$ coloane. b) (2 p) Minorul $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -2\end{array}\right|=-4-1=-5\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A\ge 2$. Linia a treia este suma primelor două, și la coeficienți ($2+1=3$, $1-2=-1$, $-3+1=-2$), și la termenii liberi ($4-3=1$); prin urmare orice minor de ordinul $3$, fie al lui $A$, fie al lui $\overline{A}$, are linia a treia egală cu suma primelor două și se anulează. Așadar $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2$. c) (2 p) Rangurile fiind egale, sistemul este compatibil; cum valoarea comună $r=2$ este mai mică decât $n=3$, el este compatibil nedeterminat, cu gradul de nedeterminare $3-2=1$.

Exercițiul 7. (8 p) a) (3 p) Linia a treia de coeficienți, $(3,2,2)$, este suma primelor două: $1+2=3$, $3-1=2$, $-2+4=2$ (1 p). Prin urmare $\det A=0$ și $\mathrm{rang}A\le 2$ (1 p). Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& -1\end{array}\right|=-1-6=-7\ne 0$ ridică marginea de jos, deci $\mathrm{rang}A=2$ (1 p). b) (3 p) Luăm minorul lui $\overline{A}$ din coloanele lui $x$, ale lui $y$ și din cea a termenilor liberi: $$\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& -1& 3\\ 3& 2& 12\end{array}\right|=1(-12-6)-3(24-9)+5(4+3)=-18-45+35=-28$$ nenul (2 p). Matricea $\overline{A}$ are trei linii, deci rangul ei nu poate depăși $3$; având un minor nenul de ordinul $3$, $\mathrm{rang}\overline{A}=3$ (1 p). c) (2 p) Cum $\mathrm{rang}A=2\ne 3=\mathrm{rang}\overline{A}$, sistemul este incompatibil. Contradicția se citește și direct: adunând primele două ecuații ar rezulta $3x+2y+2z=8$, iar a treia cere $12$.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Aici linia a treia nu este suma primelor două, ci combinația $2L_1-L_2$: $2\cdot 3-4=2$, $2\cdot 2-3=1$, $2\cdot 1-2=0$ la coeficienți și $2\cdot 9-13=5$ la termenii liberi. Prin urmare orice minor de ordinul $3$ al lui $A$ sau al lui $\overline{A}$ are linia a treia egală cu aceeași combinație a primelor două și se anulează. Minorul $\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right|=9-8=1\ne 0$ dă marginea de jos, deci $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2$. b) (2 p) Minorul principal este $\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right|=1$, format cu liniile $1$, $2$ și cu coloanele lui $x$ și $y$. Necunoscutele principale sunt $x$ și $y$, ecuațiile principale sunt primele două, iar necunoscuta secundară este $z$; numărul lor este $n-r=3-2=1$. c) (2 p) Cu $z=\alpha$, sistemul redus este $3x+2y=9-\alpha$ și $4x+3y=13-2\alpha$. Rezolvându-l, $x=3(9-\alpha )-2(13-2\alpha )=1+\alpha$ și $y=-4(9-\alpha )+3(13-2\alpha )=3-2\alpha$. Așadar $S=\{(1+\alpha ,3-2\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Control în ecuația lăsată deoparte: $2(1+\alpha )+(3-2\alpha )=2+2\alpha +3-2\alpha =5$.

Exercițiul 9. (6 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Adevărat. Matricea extinsă are $m=4$ linii și $n+1=4$ coloane, deci este pătratică de ordinul $4$; rangul ei poate atinge valoarea $\min (4,4)=4$, iar atunci sistemul este incompatibil, fiindcă $\mathrm{rang}A\le 3$. b) Fals. Rangul $0$ înseamnă că $A$ este matricea nulă, deci fiecare ecuație se scrie $0=b_i$; dacă măcar un termen liber este nenul, coloana lui urcă rangul lui $\overline{A}$ la $1$ și sistemul este incompatibil. Contraexemplu: $0\cdot x+0\cdot y=5$. c) Adevărat. Ecuația adăugată are linia de coeficienți egală cu suma a două linii ale lui $A$ și termenul liber egal cu suma termenilor liberi corespunzători, deci nu urcă nici $\mathrm{rang}A$, nici $\mathrm{rang}\overline{A}$; numărul necunoscutelor rămâne același, deci și $r$, și $n$ rămân neschimbate.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Dezvoltăm după linia a treia: $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}2& 1& -3\\ 3& 2& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right|=1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& -3\\ 2& 1\end{array}\right|-1\cdot \left|\begin{array}{cc}2& -3\\ 3& 1\end{array}\right|+m\cdot \left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right|=7-11+m=\mathbf{m}-4$$ b) (2 p) Sistemul este pătratic, deci are soluție unică exact când este de tip Cramer, adică atunci când $\Delta \ne 0$: pentru $m\ne 4$. c) (3 p) Pentru $m=2$ avem $\Delta =-2\ne 0$ (1 p). Auxiliarii sunt ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}-5& 1& -3\\ 10& 2& 1\\ 9& 1& 2\end{array}\right|=-5(4-1)-1(20-9)+(-3)(10-18)=-15-11+24=-2$, ${\Delta }_2=\left|\begin{array}{ccc}2& -5& -3\\ 3& 10& 1\\ 1& 9& 2\end{array}\right|=2(20-9)+5(6-1)+(-3)(27-10)=22+25-51=-4$ și ${\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& -5\\ 3& 2& 10\\ 1& 1& 9\end{array}\right|=2(18-10)-1(27-10)+(-5)(3-2)=16-17-5=-6$ (1 p). Împărțind la $\Delta$: $x=1$, $y=2$, $z=3$. Verificare: $2+2-9=-5$; $3+4+3=10$; $1+2+6=9$ (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Aici dependența nu vine dintr-o sumă, ci dintr-o proporționalitate: linia a treia este dublul liniei a doua, și la coeficienți ($6=2\cdot 3$, $4=2\cdot 2$, $2=2\cdot 1$, $6=2\cdot 3$), și la termenii liberi ($28=2\cdot 14$) (1 p). Un minor de ordinul $3$ al unei matrice cu trei linii le folosește pe toate trei, deci conține două linii proporționale și se anulează; minori de ordin mai mare nu există (1 p). Minorul $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right|=4-3=1\ne 0$ ridică marginea de jos, deci $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2$ (1 p). b) (2 p) Gradul de nedeterminare este $n-r=4-2=2$. Minorul principal este $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right|=1$, format cu primele două linii și cu coloanele lui $x$ și $y$; principale sunt $x$ și $y$, secundare $z$ și $t$. c) (3 p) Cu $z=\alpha$ și $t=\beta$, sistemul redus este $2x+y=9-2\beta +\alpha$ și $3x+2y=14-3\beta -\alpha$ (1 p). Rezolvându-l, $x=2(9+\alpha -2\beta )-(14-\alpha -3\beta )=4+3\alpha -\beta$ și $y=-3(9+\alpha -2\beta )+2(14-\alpha -3\beta )=1-5\alpha$ (1 p). Așadar $S=\{(4+3\alpha -\beta ,1-5\alpha ,\alpha ,\beta )\mid \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\}$. Control în ecuația a treia: $6(4+3\alpha -\beta )+4(1-5\alpha )+2\alpha +6\beta =24+18\alpha -6\beta +4-20\alpha +2\alpha +6\beta =28$ (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Fie $p$, $q$, $r$ masele luate din cele trei sorturi, în kilograme. Se conservă masa totală, masa de dioxid de siliciu și masa de oxid de sodiu: $$\{\begin{array}{l}p+q+r=20\\ 600p+500q+800r=12600\\ 100p+200q+50r=2450\end{array}$$ Proba unităților: în ecuația a doua, grame pe kilogram înmulțite cu kilograme dau grame, de amândouă părțile. Împărțind ecuația a doua la $100$ și pe a treia la $50$ rămâne $6p+5q+8r=126$ și $2p+4q+r=49$. b) (2 p) Sistemul are trei ecuații și trei necunoscute, iar $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 6& 5& 8\\ 2& 4& 1\end{array}\right|=1(5-32)-1(6-16)+1(24-10)=-27+10+14=-3\ne 0,$$ deci este de tip Cramer. c) (3 p) Auxiliarii, construiți fiecare din $\Delta$ prin înlocuirea unei coloane cu coloana termenilor liberi $20$, $126$, $49$, sunt $${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}20& 1& 1\\ 126& 5& 8\\ 49& 4& 1\end{array}\right|=-15,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{ccc}1& 20& 1\\ 6& 126& 8\\ 2& 49& 1\end{array}\right|=-24,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 20\\ 6& 5& 126\\ 2& 4& 49\end{array}\right|=-21$$ (1 p). Împărțind la $\Delta =-3$ obținem $p=5$ kg, $q=8$ kg și $r=7$ kg (1 p). Verificare în enunț: $5+8+7=20$ kg; $3000+4000+5600=12600$ g de dioxid de siliciu; $500+1600+350=2450$ g de oxid de sodiu. Toate trei masele au ieșit pozitive, deci amestecul se poate prepara (1 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) $A=\left(\begin{array}{cccc}3& 2& -1& 0\\ 1& 2& 0& 1\\ 0& 0& 2& 1\\ 1& 1& 1& 2\end{array}\right)$ (1 p). Dezvoltăm după linia a treia, care are două zerouri. Elementul $2$ stă pe poziția $(3,3)$, cu semnul $(-1{)}^{3+3}=+1$, iar minorul lui este $\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 0\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|=3(4-1)-2(2-1)+0=7$ (1 p). Elementul $1$ stă pe poziția $(3,4)$, cu semnul $(-1{)}^{3+4}=-1$, iar minorul lui este $\left|\begin{array}{ccc}3& 2& -1\\ 1& 2& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=3(2-0)-2(1-0)+(-1)(1-2)=5$. Adunând, $\Delta =2\cdot 7-1\cdot 5=14-5=9$ (1 p). b) (3 p) În ${\Delta }_4$ pleacă coloana a patra și pe locul ei vin termenii liberi $4$, $8$, $11$, $11$, în ordinea ecuațiilor. Dezvoltând tot după linia a treia, formată acum din $0$, $0$, $2$, $11$: minorul poziției $(3,3)$ este $\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 4\\ 1& 2& 8\\ 1& 1& 11\end{array}\right|=3(22-8)-2(11-8)+4(1-2)=42-6-4=32$, iar minorul poziției $(3,4)$ este tot $5$, ca la punctul a). Rezultă ${\Delta }_4=2\cdot 32-11\cdot 5=64-55=9$, deci $t=\frac{9}{9}=1$. c) (2 p) Înlocuim $x=1$, $y=3$, $z=5$, $t=1$ în toate cele patru ecuații: $3+6-5=4$; $1+6+1=8$; $10+1=11$; $1+3+5+2=11$. Toate patru egalitățile sunt adevărate, deci grupul este soluție; fiind $\Delta \ne 0$, el este chiar singura soluție.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică toată unitatea 1: scrierea unui sistem sub forma $AX=B$ și clasificarea lui după numărul soluțiilor, metoda lui Cramer la trei și la patru necunoscute, rangul unei matrice, criteriul de compatibilitate prin rang, reducerea la un sistem de tip Cramer și modelarea unei situații practice printr-un sistem. Testul următor al clasei trece în geometria analitică din spațiu, deci aici nu se cere nimic despre puncte, plane sau volume.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — toate numerele sunt alese astfel încât determinanții să se calculeze în scris. La fiecare rang se cer două afirmații: minorul nenul care îl atinge și motivul pentru care cei de ordin imediat superior se anulează.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau lecțiile unității, în special deosebirea dintre „determinant nul" și „fără soluții".
• Formule de reținut: un sistem liniar are $m$ ecuații și $n$ necunoscute, cu $m\le 4$ și $n\le 4$, iar matricea lui are determinant numai când $m=n$; regula lui Cramer — dacă sistemul e pătratic și $\Delta \ne 0$, soluția e unică, iar necunoscutele sunt $\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$, cu ${\Delta }_k$ obținut din $\Delta$ înlocuind coloana $k$ cu coloana termenilor liberi; rangul unei matrice e ordinul $r$ pentru care există un minor nenul de ordinul $r$, iar toți minorii de ordinul $r+1$ sunt nuli, cu $0\le \mathrm{rang}A\le \min (m,n)$; criteriul de compatibilitate — sistemul are soluții exact când $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$, unde $\overline{A}$ e matricea extinsă, de tip $m\times (n+1)$; când rangurile sunt egale cu $r$, sistemul e determinat pentru $r=n$ și nedeterminat pentru $r<n$, cu gradul de nedeterminare $n-r$; un sistem omogen e întotdeauna compatibil, având soluția banală.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la unitatea XII.1 „Sisteme de ecuații liniare", cu nota care limitează capitolul la cel mult $4$ ecuații și $4$ necunoscute. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, la capitolul de calcul matriceal, „Sisteme liniare cu cel mult $3$ necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar" și „Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare", dar nu conține rangul unei matrice, studiul compatibilității prin rang, reducerea la tip Cramer și nici determinanți de ordin mai mare decât $3$. De aceea marcajul urmează obiectul, item cu item: cerințele care se opresc la un sistem de cel mult trei necunoscute rezolvat cu determinanți poartă mențiunea obișnuită, iar cele care folosesc rangul sau patru necunoscute poartă mențiunea MAT_P2 2030. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".