Test: Supliment Bac M2: proprietatea lui Darboux și reprezentarea grafică (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Supliment Bac M2 2027–2029: ecuații matriceale, sisteme liniare, Darboux și reprezentarea grafică

Exerciții

Partea I – Proprietatea lui Darboux

Exercițiul 1 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+9x+50$. Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Calculează $f(-3)$. b) Calculează $f(-2)$. c) Ce semn are produsul $f(-3)\cdot f(-2)$? d) Justifică, într-o propoziție, continuitatea lui $f$ pe $[-3,-2]$. e) Scrie intervalul în care ecuația $f(x)=0$ are, conform proprietății lui Darboux, cel puțin o soluție. f) Calculează $f^{\prime }(x)$, precizează-i semnul și spune câte soluții reale are ecuația $f(x)=0$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-2x^2+7$. a) Calculează $f(0)$ și $f(3)$. (2 p) b) Arată că există $c\in (0,3)$ pentru care $f(c)=12$. (2 p) c) Poți afirma, cu același argument, că funcția ia valoarea $20$? Motivează. (2 p)

Exercițiul 3 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2^x+3x-12$. a) Arată că $f(2)=-2$. (2 p) b) Arată că ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(2,3)$. (3 p) c) Arată că ecuația $f(x)=0$ are exact o soluție reală. (3 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Într-o seră, apa se ține în două rezervoare. În primul, volumul de apă, în hectolitri, este $V_A(t)=18+3t$, iar în al doilea $V_B(t)=40-t^2$, unde $t$ este timpul în ore, $t\in [0,5]$. Ambele volume variază continuu. a) Calculează volumul din fiecare rezervor la momentele $t=0$ și $t=5$. (2 p) b) Arată că există un moment în care cele două rezervoare conțin aceeași cantitate de apă. (3 p) c) Arată că momentul este unic și determină două numere întregi consecutive între care se află. (3 p)

Partea a II-a – Schema în șapte pași

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{6\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x+3}{x-6}$. a) Scrie domeniul ca reuniune de intervale și determină intersecțiile graficului cu axele. (3 p) b) Scrie ecuațiile asimptotelor graficului. (2 p) c) Câte ramuri are graficul și de ce? (1 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+3x-10}{x-3}$. a) Arată, folosind împărțirea cu rest, că $f(x)=x+6+\frac{8}{x-3}$. (2 p) b) Scrie ecuațiile asimptotelor graficului. (2 p) c) Determină intersecțiile graficului cu axa $Ox$. (2 p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

Despre o funcție $f$ se cunoaște doar tabelul de variație de mai jos.

a) Scrie domeniul funcției și precizează numărul ramurilor graficului. (2 p) b) Scrie ecuațiile asimptotelor graficului. (2 p) c) Câte puncte comune are graficul cu axa $Ox$? (2 p)

Exercițiul 8 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+9x^2+24x+22$. a) Arată că $f^{\prime }(x)=3(x+2)(x+4)$, $x\in \mathbb{R}$. (2 p) b) Determină punctele de extrem ale graficului funcției $f$. (3 p) c) Determină punctul de inflexiune al graficului și intervalele de convexitate. (3 p)

Partea a III-a – Cele patru familii de funcții

Exercițiul 9 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Graficul unei funcții al cărei domeniu este $\mathbb{R}\setminus \{-5,1,6\}$ are: A. o ramură; B. două ramuri; C. trei ramuri; D. patru ramuri.

b) Asimptota orizontală a graficului funcției $f(x)=\frac{9x-4}{4x+3}$ este dreapta: A. $y=\frac{4}{9}$; B. $y=\frac{9}{4}$; C. $y=-\frac{3}{4}$; D. $y=0$.

c) Domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\sqrt{12-3x}$ este: A. $[4,+\infty )$; B. $(-\infty ,4]$; C. $[-4,4]$; D. $(-\infty ,-4]$.

Exercițiul 10 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,9]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3\sqrt{x}-x$. a) Calculează $f(0)$ și $f(9)$, apoi determină intersecțiile graficului cu axele. (2 p) b) Arată că $f^{\prime }(x)=\frac{3-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$, $x\in (0,9)$, și determină punctul de maxim al graficului. (3 p) c) Ce se întâmplă cu graficul în capătul $x=0$? (1 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{\mathrm{e}}^{-2x}$. a) Arată că $f^{\prime }(x)=(1-2x){\mathrm{e}}^{-2x}$, $x\in \mathbb{R}$. (3 p) b) Determină punctul de maxim al graficului funcției $f$. (3 p) c) Arată că dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ și precizează comportarea funcției spre $-\infty$. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{4\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-7x+6}{x-4}$. a) Arată că $f(x)=x-3-\frac{6}{x-4}$ și scrie ecuațiile asimptotelor graficului. (3 p) b) Determină intersecțiile graficului cu axele. (2 p) c) Calculează $f^{\prime }(x)$ și arată că graficul nu are puncte de extrem. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

Pentru fiecare dintre funcțiile de mai jos, precizează familia din care face parte, domeniul ei maxim de definiție și ecuațiile asimptotelor graficului, fără a trasa desenul (câte 2 puncte): a) $f_1(x)=\frac{x-11}{x^2-4x}$; b) $f_2(x)=\sqrt{x+5}-2$; c) $f_3(x)=\ln (x-1)+4$; d) $f_4(x)=x^3-7x^2+3$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) $f(-3)=-27-27+50=-4$. b) $f(-2)=-8-18+50=24$. c) Produsul este negativ: $f(-3)<0$ și $f(-2)>0$, deci $f(-3)\cdot f(-2)<0$. d) Funcția este polinomială, deci este continuă pe $\mathbb{R}$ și, în particular, pe $[-3,-2]$. e) Intervalul **deschis** $(-3,-2)$: capetele se exclud, fiindcă acolo funcția are valori nenule. f) $f^{\prime }(x)=3x^2+9>0$ pentru orice $x$ real, deci $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și ecuația are exact o soluție reală.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $f(0)=7$ (1 p) și $f(3)=27-18+7=16$ (1 p). b) (2 p) Funcția este polinomială, deci continuă pe intervalul $[0,3]$ (1 p). Numărul $12$ este cuprins între $f(0)=7$ și $f(3)=16$, deci, conform proprietății lui Darboux, există $c\in (0,3)$ cu $f(c)=12$ (1 p). c) (2 p) Nu. Valoarea $20$ nu este cuprinsă între $7$ și $16$, deci proprietatea lui Darboux nu spune nimic despre ea (1 p). Mai mult, pe $[0,3]$ cea mai mare valoare a funcției este $16$: din $f^{\prime }(x)=3x^2-4x=x(3x-4)$ rezultă că $f$ scade pe $\left(0,\frac{4}{3}\right)$ și crește pe $\left(\frac{4}{3},3\right)$, deci maximul se atinge într-un capăt, iar $\max \{7,16\}=16$. Valoarea $20$ nu este atinsă deloc (1 p).

Exercițiul 3. (8 p) a) (2 p) $f(2)=2^2+3\cdot 2-12=4+6-12=-2$, ceea ce trebuia arătat. b) (3 p) Funcția este sumă de funcții continue — exponențiala și o funcție de gradul I —, deci este continuă pe $\mathbb{R}$ și, în particular, pe $[2,3]$ (1 p). Avem $f(2)=-2<0$, de la punctul a), și $f(3)=8+9-12=5>0$ (1 p). Cum $f(2)\cdot f(3)<0$, conform proprietății lui Darboux ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(2,3)$ (1 p). c) (3 p) Funcția $x\mapsto 2^x$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, baza fiind supraunitară, iar $x\mapsto 3x-12$ este strict crescătoare, panta fiind pozitivă (2 p). Suma a două funcții strict crescătoare este strict crescătoare, deci $f$ nu poate lua aceeași valoare de două ori: soluția găsită la b) este singura pe toată dreapta (1 p).

Exercițiul 4. (8 p) a) (2 p) $V_A(0)=18$ hl și $V_A(5)=18+15=33$ hl (1 p); $V_B(0)=40$ hl și $V_B(5)=40-25=15$ hl (1 p). Amândouă volumele rămân pozitive pe tot intervalul $[0,5]$, deci modelul este valabil acolo. b) (3 p) Considerăm diferența $D(t)=V_A(t)-V_B(t)=18+3t-40+t^2=t^2+3t-22$, funcție polinomială, deci continuă pe $[0,5]$ (1 p). Avem $D(0)=-22<0$ și $D(5)=25+15-22=18>0$ (1 p). Conform proprietății lui Darboux, există $t_0\in (0,5)$ cu $D(t_0)=0$, adică un moment în care cele două rezervoare conțin aceeași cantitate de apă (1 p). c) (3 p) $D^{\prime }(t)=2t+3>0$ pentru orice $t\in [0,5]$, deci $D$ este strict crescătoare și se anulează cel mult o dată: momentul este unic (1 p). Căutăm intervalul prin încercări: $D(3)=9+9-22=-4<0$ și $D(4)=16+12-22=6>0$ (1 p), deci momentul căutat se află între $3$ și $4$ ore de la începutul măsurătorii (1 p).

Exercițiul 5. (6 p) a) (3 p) Domeniul este $D=(-\infty ,6)\cup (6,+\infty )$ (1 p). Pentru axa $Ox$: $4x+3=0$ dă $x=-\frac{3}{4}$, deci punctul $\left(-\frac{3}{4},0\right)$ (1 p). Pentru axa $Oy$: $f(0)=\frac{3}{-6}=-\frac{1}{2}$, deci punctul $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$ (1 p). b) (2 p) Numitorul se anulează în $6$, iar numărătorul valorează acolo $27\ne 0$, deci dreapta $x=6$ este asimptotă verticală (1 p). Gradele fiind egale, asimptota spre $\pm \infty$ este orizontala dată de câtul coeficienților dominanți, $y=\frac{4}{1}=4$ (1 p). c) (1 p) Două ramuri, fiindcă domeniul este reuniunea a două intervale, iar în $6$ funcția nici nu există.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Împărțim: $(x-3)(x+6)=x^2+3x-18$, iar $x^2+3x-10=(x-3)(x+6)+8$ (1 p). Împărțind prin $x-3$ obținem $f(x)=x+6+\frac{8}{x-3}$ (1 p). b) (2 p) Numitorul se anulează în $3$, unde numărătorul valorează $9+9-10=8\ne 0$, deci $x=3$ este asimptotă verticală (1 p). Cum $\frac{8}{x-3}\to 0$ la $\pm \infty$, dreapta $y=x+6$ este asimptotă oblică spre amândouă capetele (1 p). c) (2 p) Rezolvăm $x^2+3x-10=0$, adică $(x+5)(x-2)=0$, cu soluțiile $-5$ și $2$, amândouă în domeniu (1 p). Punctele sunt $(-5,0)$ și $(2,0)$ (1 p).

Exercițiul 7. (6 p) a) (2 p) Barele din coloanele lui $-1$ și $2$ arată că aceste două numere nu aparțin domeniului, deci $D=(-\infty ,-1)\cup (-1,2)\cup (2,+\infty )$, adică o reuniune de $3$ intervale (1 p). Fiecărui interval îi corespunde o bucată neîntreruptă de curbă, deci graficul are trei ramuri (1 p). b) (2 p) Dreptele $x=-1$ și $x=2$ sunt asimptote verticale, amândouă bilaterale, fiindcă de o parte și de alta limitele sunt infinite (1 p). În colțurile rândului lui $f$ apare valoarea $0$ la amândouă capetele, deci dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ și spre $+\infty$ (1 p). c) (2 p) Pe prima ramură funcția crește de la $0$ la $+\infty$, deci ia numai valori pozitive și nu se anulează. Pe a doua ramură urcă de la $-\infty$ la $5$, apoi coboară la $-\infty$, deci trece prin $0$ de două ori. Pe a treia coboară de la $+\infty$ la $0$, deci rămâne pozitivă. În total, graficul are două puncte comune cu axa $Ox$.

Exercițiul 8. (8 p) a) (2 p) $f^{\prime }(x)=3x^2+18x+24=3\left(x^2+6x+8\right)=3(x+2)(x+4)$, ceea ce trebuia arătat. b) (3 p) Derivata se anulează în $-4$ și în $-2$; semnele ei sunt plus pe $(-\infty ,-4)$, minus pe $(-4,-2)$ și plus pe $(-2,+\infty )$ (1 p). Rezultă un punct de maxim local în $-4$, cu $f(-4)=-64+144-96+22=6$, deci punctul $(-4,6)$ (1 p), și un punct de minim local în $-2$, cu $f(-2)=-8+36-48+22=2$, deci punctul $(-2,2)$ (1 p). c) (3 p) $f^{\prime \prime }(x)=6x+18$, care se anulează în $-3$ și își schimbă semnul acolo (1 p). Cum $f(-3)=-27+81-72+22=4$, punctul de inflexiune este $(-3,4)$ (1 p). Funcția este concavă pe $(-\infty ,-3)$ și convexă pe $(-3,+\infty )$ (1 p).

Exercițiul 9. (6 p) — câte 2 puncte. a) D — scoțând trei numere din $\mathbb{R}$ rămân patru intervale: $(-\infty ,-5)$, $(-5,1)$, $(1,6)$ și $(6,+\infty )$; fiecărui interval îi corespunde o ramură. Varianta C ar număra punctele scoase, nu intervalele rămase. b) B — gradele numărătorului și numitorului sunt egale, deci asimptota orizontală este câtul coeficienților dominanți, $y=\frac{9}{4}$. Varianta A răstoarnă raportul, iar C este abscisa asimptotei verticale. c) B — condiția $12-3x\ge 0$ dă $3x\le 12$, adică $x\le 4$, deci domeniul este $(-\infty ,4]$. Varianta A vine din schimbarea greșită a sensului inegalității.

Exercițiul 10. (6 p) a) (2 p) $f(0)=0$ și $f(9)=3\cdot 3-9=0$ (1 p). Ecuația $3\sqrt{x}=x$ are soluțiile $x=0$ și $\sqrt{x}=3$, adică $x=9$, deci graficul taie axa $Ox$ în $(0,0)$ și în $(9,0)$; punctul $(0,0)$ este și intersecția cu axa $Oy$ (1 p). b) (3 p) $f^{\prime }(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}-1=\frac{3-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$ (1 p). Numitorul fiind pozitiv, semnul derivatei este cel al lui $3-2\sqrt{x}$: pozitiv pentru $\sqrt{x}<\frac{3}{2}$, adică $x<\frac{9}{4}$, și negativ după (1 p). Maximul se atinge deci în $x=\frac{9}{4}$, cu $f\left(\frac{9}{4}\right)=3\cdot \frac{3}{2}-\frac{9}{4}=\frac{9}{2}-\frac{9}{4}=\frac{9}{4}$; punctul este $\left(\frac{9}{4},\frac{9}{4}\right)$ (1 p). c) (1 p) În capătul $x=0$ funcția are valoarea $0$, dar nu este derivabilă acolo, fiindcă $\sqrt{x}$ apare la numitorul derivatei; graficul pornește din origine cu semitangentă verticală și se oprește în $(9,0)$, fără săgeată de continuare.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Derivăm produsul: $f^{\prime }(x)=1\cdot {\mathrm{e}}^{-2x}+x\cdot {\left({\mathrm{e}}^{-2x}\right)}^{\prime }$ (1 p). Cu regula lanțului, ${\left({\mathrm{e}}^{-2x}\right)}^{\prime }=-2{\mathrm{e}}^{-2x}$ (1 p), deci $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-2x}-2x{\mathrm{e}}^{-2x}=(1-2x){\mathrm{e}}^{-2x}$ (1 p). b) (3 p) Cum ${\mathrm{e}}^{-2x}>0$ pentru orice $x$ real, semnul derivatei este cel al factorului $1-2x$: pozitiv pentru $x<\frac{1}{2}$, negativ pentru $x>\frac{1}{2}$ (2 p). Punctul de maxim are deci abscisa $\frac{1}{2}$ și ordonata $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-1}=\frac{1}{2\mathrm{e}}$, adică punctul $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2\mathrm{e}}\right)$ (1 p). c) (2 p) Spre $+\infty$ avem cazul exceptat $\infty \cdot 0$, pe care îl aducem la forma $\frac{\infty }{\infty }$ și îl tratăm cu regula lui l'Hospital: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{{\mathrm{e}}^{2x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2{\mathrm{e}}^{2x}}=0$, deci dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ (1 p). Spre $-\infty$ ambii factori duc funcția în jos, $x\to -\infty$ și ${\mathrm{e}}^{-2x}\to +\infty$, deci $f(x)\to -\infty$ și acolo nu există asimptotă orizontală (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Împărțim: $(x-4)(x-3)=x^2-7x+12$, iar $x^2-7x+6=(x-4)(x-3)-6$, deci $f(x)=x-3-\frac{6}{x-4}$ (1 p). Numitorul se anulează în $4$, unde numărătorul valorează $16-28+6=-6\ne 0$, deci $x=4$ este asimptotă verticală (1 p). Fracția rămasă tinde la $0$ la $\pm \infty$, deci $y=x-3$ este asimptotă oblică spre amândouă capetele (1 p). b) (2 p) Pentru axa $Ox$: $x^2-7x+6=0$ se scrie $(x-1)(x-6)=0$, cu soluțiile $1$ și $6$, deci punctele $(1,0)$ și $(6,0)$ (1 p). Pentru axa $Oy$: $f(0)=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}$, deci punctul $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ (1 p). c) (3 p) Din forma de la a), $f^{\prime }(x)=1+\frac{6}{(x-4{)}^2}$ (2 p). Al doilea termen este strict pozitiv pe tot domeniul, deci $f^{\prime }(x)>0$ peste tot: funcția este strict crescătoare pe fiecare dintre cele două intervale, derivata nu se anulează nicăieri și graficul nu are puncte de extrem (1 p).

Exercițiul 13. (8 p) — câte 2 puncte. a) Familia rațională. Numitorul $x^2-4x=x(x-4)$ se anulează în $0$ și în $4$, iar numărătorul valorează acolo $-11$, respectiv $-7$, amândouă nenule, deci domeniul maxim este $\mathbb{R}\setminus \{0,4\}$, iar dreptele $x=0$ și $x=4$ sunt asimptote verticale. Gradul numărătorului fiind mai mic decât al numitorului, asimptota spre $\pm \infty$ este orizontala $y=0$. b) Familia cu radical. Condiția $x+5\ge 0$ dă domeniul maxim $[-5,+\infty )$. Graficul are un capăt închis în $(-5,-2)$, unde curba se oprește, iar spre $+\infty$ funcția crește nemărginit, fără să se apropie de vreo dreaptă: nicio asimptotă. c) Familia cu logaritm. Condiția $x-1>0$ dă domeniul maxim $(1,+\infty )$, iar $\ln (x-1)\to -\infty$ când $x\to 1$ prin valori mai mari, deci dreapta $x=1$ este asimptotă verticală. Spre $+\infty$ funcția crește nemărginit, deci acolo nu există asimptotă. d) Familia polinomială, de gradul al treilea. Domeniul maxim este $\mathbb{R}$, graficul are o singură ramură și, fiind vorba de un polinom de grad cel puțin $2$, nicio asimptotă: nici verticală, fiindcă funcția e definită peste tot, nici orizontală sau oblică, fiindcă raportul $\frac{f_4(x)}{x}$ nu are limită finită la infinit.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică a doua jumătate a suplimentului de examen: partea de analiză matematică. Sunt acoperite trei lecții — Proprietatea lui Darboux (enunțul cu cele două ipoteze, consecința de semn, trecerea de la „cel puțin o soluție" la „exact o soluție", pragurile din științe), Reprezentarea grafică: schema în șapte pași (domeniul și punctele de reper, asimptotele scrise ca ecuații, traducerea tabelului în arce, controalele finale) și Graficele celor patru familii de funcții (polinomială, rațională, cu radical, cu exponențială sau logaritm). Prima jumătate a suplimentului — ecuațiile matriceale, forma matriceală a sistemelor, metoda lui Cramer și rezolvarea cu matricea inversă — s-a verificat în testul dinaintea acestuia; aici nu se cere nicio matrice și niciun sistem.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La fiecare cerință de existență se cere redactarea în trei pași — continuitatea justificată, cele două valori de la capete scrise cu semnul lor, concluzia pe intervalul deschis. La fiecare asimptotă se cere ecuația dreptei, nu un număr.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele trei lecții, în special justificarea continuității înaintea concluziei și legătura dintre numărul intervalelor domeniului și numărul ramurilor.
• Formule de reținut: proprietatea lui Darboux — dacă $f$ este continuă pe un interval $I$ și $a,b\in I$, atunci fiecare număr $\lambda$ cuprins între $f(a)$ și $f(b)$ este atins: există $c$ între $a$ și $b$ cu $f(c)=\lambda$; consecința de semn — $f$ continuă pe $[a,b]$ cu $f(a)\cdot f(b)<0$ dă cel puțin o soluție a ecuației $f(x)=0$ în intervalul deschis $(a,b)$; unicitatea se adaugă cu stricta monotonie; asimptota verticală $x=a$ apare unde numitorul se anulează, iar numărătorul nu; la un raport de polinoame, orizontala este $y=0$ dacă gradul de sus e mai mic, respectiv câtul coeficienților dominanți dacă gradele sunt egale, iar dacă gradul de sus e cu $1$ mai mare apare o oblică $y=mx+n$, citită din împărțirea cu rest; numărul ramurilor graficului este numărul intervalelor din domeniu; cele patru arce sunt $\nearrow \cup$, $\nearrow \cap$, $\searrow \cap$, $\searrow \cup$.
• Programa și examenul. Acest test face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere explicit, la clasa a XI-a, „Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcții continue pe un interval de numere reale" (capitolul „Funcții continue") și „Reprezentarea grafică a funcțiilor" (capitolul „Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor"); la proba scrisă, locul lor este Subiectul al III-lea, partea de analiză matematică. În programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) enunțul general al proprietății lui Darboux nu mai apare — a rămas numai semnul unei funcții continue pe un interval —, iar studiul funcțiilor se oprește la tabelul de variație, ale cărui informații se coroborează cu reprezentări grafice obținute prin mijloace digitale. Cu alte cuvinte, pe programa nouă elevul citește grafice, pe programa de examen le trasează el. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".