Test: Supliment Bac M2: ecuații algebrice și relațiile lui Viète (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ

Exerciții

Partea I – Relațiile lui Viète și rădăcinile raționale

Exercițiul 1 (6 puncte)

Răspunde scurt, cu o justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Pentru $f=X^3+5X^2-2X-7$, cât este suma rădăcinilor? b) Pentru același polinom, cât este produsul rădăcinilor? c) Pentru $g=X^4-9X^2+4$, cât este suma rădăcinilor? d) Câte valori are lista candidaților la soluții raționale ai ecuației $x^3-5x^2+2x-6=0$? e) Ce soluție are, fără nicio căutare, orice ecuație reciprocă de gradul al treilea? f) Adevărat sau fals: „o ecuație bipătrată la care o valoare a lui $t$ este pozitivă, iar cealaltă negativă, are patru soluții reale".

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-3X^2-40X+84$, cu rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3$. a) Scrie cele trei relații ale lui Viète. (3 p) b) Calculează $x_1^2+x_2^2+x_3^2$. (2 p) c) Calculează $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$. (1 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^4-2X^3-25X^2+26X+120$, cu rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. a) Calculează $S_1$ și $S_4$. (2 p) b) Calculează suma pătratelor rădăcinilor. (2 p) c) Calculează suma inverselor rădăcinilor. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Suma rădăcinilor polinomului $f=4X^3-10X^2+7X-3$ este: A. $10$; B. $\frac{5}{2}$; C. $-\frac{5}{2}$; D. $\frac{7}{4}$.

b) Produsul rădăcinilor polinomului $f=X^4+3X^3-8X+5$ este: A. $5$; B. $-5$; C. $-8$; D. $-3$.

c) Lista candidaților la soluții raționale ai ecuației $2x^3+5x^2-x-9=0$ are: A. $6$ valori; B. $12$ valori; C. $16$ valori; D. $18$ valori.

d) Ecuația $x^4+8x^2+15=0$ are: A. patru soluții reale; B. două soluții reale; C. nicio soluție reală; D. o singură soluție reală.

Partea a II-a – Rădăcini raționale, rădăcini conjugate și substituții

Exercițiul 5 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră ecuația $2x^3-3x^2-23x+12=0$. a) Scrie lista candidaților la soluții raționale. (2 p) b) Arată că $4$ este soluție și scrie câtul împărțirii membrului stâng la $x-4$. (2 p) c) Rezolvă ecuația în mulțimea numerelor reale. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră ecuația $x^3-10x^2-x+46=0$, despre care se știe că $6+\sqrt{13}$ este soluție. a) Scrie o altă soluție a ei și precizează ipoteza care îți dă dreptul s-o scrii. (2 p) b) Formează trinomul perechii, din suma și produsul ei. (2 p) c) Rezolvă ecuația și verifică rezultatul cu prima relație a lui Viète. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Există un polinom de gradul al treilea cu coeficienți reali pentru care suma rădăcinilor este $0$ și toate cele trei rădăcini sunt strict pozitive." b) „Dacă toate cele patru soluții ale ecuației $a{x}^4+b{x}^2+c=0$ sunt pur imaginare, atunci $a$ și $c$ au același semn." c) „O ecuație reciprocă de gradul al treilea cu coeficienți întregi nu poate avea trei soluții raționale distincte." d) „Dacă înmulțim o ecuație cu coeficienți întregi cu numărul $2$, lista candidaților la soluții raționale se poate lungi, deși soluțiile ecuației rămân aceleași."

Exercițiul 8 (6 puncte)

Se consideră ecuația $x^4-6x^2-27=0$. a) Scrie ecuația de gradul al doilea la care conduce notația $t=x^2$. (2 p) b) Rezolvă ecuația în mulțimea numerelor complexe. (2 p) c) Precizează câte soluții reale are ecuația și justifică folosind semnele valorilor lui $t$. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Se consideră ecuația $x^3=729$. a) Scrie descompunerea în factori a expresiei $x^3-729$. (2 p) b) Rezolvă ecuația în mulțimea numerelor complexe. (3 p) c) Precizează câte dintre soluții sunt reale. (1 p)

Partea a III-a – Ecuații reciproce, parametri și sinteză

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră ecuația $10x^3-19x^2-19x+10=0$. a) Arată că ecuația este reciprocă și scrie soluția pe care o are din oficiu. (2 p) b) Coboară gradul și rezolvă ecuația. (4 p) c) Verifică faptul că două dintre soluții sunt inverse una alteia. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se consideră ecuația $4x^4-39x^3+35x^2-39x+4=0$. a) Arată că $x=0$ nu este soluție și scrie ecuația în $y$ la care conduce substituția $y=x+\frac{1}{x}$. (3 p) b) Rezolvă ecuația în mulțimea numerelor complexe. (3 p) c) Precizează câte soluții reale are ecuația și justifică folosind valorile lui $y$. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră ecuația $x^3-17x^2+105x-89=0$, despre care se știe că $8+5i$ este soluție. a) Scrie perechea lui $8+5i$ și trinomul care le are pe amândouă ca rădăcini. (2 p) b) Rezolvă ecuația în mulțimea numerelor complexe. (4 p) c) Calculează produsul soluțiilor și confruntă-l cu ultima relație a lui Viète. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f=2X^3+m{X}^2+2X+15$, cu $m$ număr real. a) Determină $m$, știind că suma rădăcinilor lui $f$ este $\frac{11}{2}$. (2 p) b) Pentru valoarea găsită a lui $m$, rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $f(x)=0$. (4 p) c) Verifică produsul soluțiilor cu ultima relație a lui Viète. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) $S_1=-\frac{5}{1}=-5$, fiindcă suma rădăcinilor este $-\frac{a_2}{a_3}$. b) $S_3=-\frac{-7}{1}=7$ — la gradul al treilea produsul rădăcinilor este $-\frac{a_0}{a_3}$. c) Coeficientul lui $X^3$ lipsește, deci este $0$, iar $S_1=-\frac{0}{1}=0$. d) Coeficientul dominant este $1$, deci candidații sunt divizorii întregi ai lui $-6$: $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 6$ — 8 valori. e) Soluția $-1$: la forma $a{x}^3+b{x}^2+bx+a$, înlocuirea lui $x$ cu $-1$ anulează termenii doi câte doi. f) Fals. O valoare pozitivă a lui $t$ dă două soluții reale, iar una negativă dă două soluții pur imaginare; ies deci două soluții reale, nu patru.

Exercițiul 2. (6 p) a) (3 p) Coeficienții sunt $a_3=1$, $a_2=-3$, $a_1=-40$, $a_0=84$, deci $$S_1=-\frac{-3}{1}=3,S_2=\frac{-40}{1}=-40,S_3=-\frac{84}{1}=-84.$$ b) (2 p) $x_1^2+x_2^2+x_3^2=S_1^2-2S_2=9-2\cdot (-40)=9+80=89$. c) (1 p) Cum $S_3=-84\ne 0$, suma inverselor este $\frac{S_2}{S_3}=\frac{-40}{-84}=\frac{10}{21}$. (Control: rădăcinile sunt $2$, $7$ și $-6$, iar $4+49+36=89$ și $\frac{1}{2}+\frac{1}{7}-\frac{1}{6}=\frac{21+6-7}{42}=\frac{10}{21}$.)

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) $a_4=1$, $a_3=-2$, $a_2=-25$, $a_1=26$, $a_0=120$, deci $S_1=-\frac{-2}{1}=2$ și $S_4=\frac{120}{1}=120$. b) (2 p) Mai trebuie $S_2=\frac{-25}{1}=-25$; atunci suma pătratelor este $S_1^2-2S_2=4+50=54$. c) (2 p) Mai trebuie $S_3=-\frac{26}{1}=-26$; cum $S_4=120\ne 0$, suma inverselor este $\frac{S_3}{S_4}=\frac{-26}{120}=-\frac{13}{60}$. (Control: rădăcinile sunt $-4$, $-2$, $3$ și $5$, iar $16+4+9+25=54$.)

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B — $S_1=-\frac{-10}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$; fiecare relație se împarte la coeficientul dominant. b) A — la gradul al patrulea produsul rădăcinilor este $\frac{a_0}{a_4}=\frac{5}{1}=5$, cu semnul plus. c) B — $a_0=-9$ dă $p\in \{1,3,9\}$, iar $a_3=2$ dă $q\in \{1,2\}$; după simplificări rămân valorile absolute $1$, $\frac{1}{2}$, $3$, $\frac{3}{2}$, $9$, $\frac{9}{2}$, fiecare cu două semne: $12$. d) C — cu $t=x^2$ ecuația devine $t^2+8t+15=0$, cu soluțiile $t_1=-3$ și $t_2=-5$; amândouă fiind negative, toate cele patru soluții sunt pur imaginare.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) $a_0=12$ dă $p\in \{1,2,3,4,6,12\}$, iar $a_3=2$ dă $q\in \{1,2\}$. Lista, după simplificări, are $16$ valori: $\pm 1$, $\pm \frac{1}{2}$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm \frac{3}{2}$, $\pm 4$, $\pm 6$, $\pm 12$. b) (2 p) $2\cdot 64-3\cdot 16-23\cdot 4+12=128-48-92+12=0$, deci $4$ este soluție. Cu schema lui Horner, pe coeficienții $2,-3,-23,12$ și $a=4$: $2$; $-3+8=5$; $-23+20=-3$; $12-12=0$. Câtul este $2{\mathbf{x}}^2+5x-3$. c) (2 p) Din $2x^2+5x-3=0$: $\Delta =25+24=49$, deci $x=\frac{-5\pm 7}{4}$, adică $\frac{1}{2}$ și $-3$. Mulțimea soluțiilor este $\left\{-3,\frac{1}{2},4\right\}$.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Și $6-\sqrt{13}$ este soluție. Ipoteza folosită: coeficienții ecuației, $1$, $-10$, $-1$, $46$, sunt întregi, deci raționali — dacă ar fi doar reali, printre ei s-ar putea ascunde un radical, iar perechea nu ar mai fi garantată. b) (2 p) Suma perechii este $12$, iar produsul $36-13=23$, deci trinomul este ${\mathbf{x}}^2-12x+23$. c) (2 p) Câtul împărțirii este de gradul întâi și monic, iar termenul lui liber $q$ iese din termenul liber: $23q=46$, deci $q=2$ și câtul este $x+2$. Proba, prin înmulțire: $\left(x^2-12x+23\right)(x+2)=x^3-10x^2-x+46$. A treia soluție este $-2$, iar mulțimea soluțiilor este $\left\{-2,6+\sqrt{13},6-\sqrt{13}\right\}$. Control cu Viète: suma lor este $-2+12=10$, iar $-\frac{-10}{1}=10$.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Suma a trei numere strict pozitive este strict pozitivă, deci nu poate fi $0$. Cele două condiții nu pot fi îndeplinite deodată. b) A. Toate soluțiile fiind pur imaginare, amândouă valorile lui $t$ sunt negative, deci produsul lor este pozitiv. Relația lui Viète pentru $a{t}^2+bt+c=0$ dă $t_1{t}_2=\frac{c}{a}>0$, adică $a$ și $c$ au același semn. c) F. Soluțiile unei reciproce de gradul al treilea sunt $-1$, $k$ și $\frac{1}{k}$. Pentru orice număr rațional $k=\frac{p}{q}$, scris cu $p$ și $q$ întregi nenuli și cu $|k|\ne 1$, polinomul $(pq{x}^2-\left(p^2+q^2\right)x+pq)(x+1)$ are coeficienți întregi, șirul lor este simetric, iar cele trei soluții sunt raționale și distincte. d) A. Înmulțirea cu $2$ nu schimbă mulțimea soluțiilor, dar dublează coeficientul dominant, deci numitorul $q$ capătă un divizor în plus. Exemplu: $x^2-1=0$ are candidații $\pm 1$, pe când $2x^2-2=0$ îi are pe $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm \frac{1}{2}$ — aceleași soluții, listă mai lungă.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Ecuația conține numai puteri pare ale necunoscutei, deci este bipătrată; cu $t=x^2$ obținem ${\mathbf{t}}^2-6t-27=0$. b) (2 p) $\Delta =36+108=144$, iar $\sqrt{144}=12$, deci $t=\frac{6\pm 12}{2}$: $t_1=9$ și $t_2=-3$. Din $x^2=9$ rezultă $x=\pm 3$; din $x^2=-3=3i^2$ rezultă $x=\pm i\sqrt{3}$. Mulțimea soluțiilor este $\left\{3,-3,i\sqrt{3},-i\sqrt{3}\right\}$. c) (2 p) Două soluții reale. Valorile lui $t$ au semne contrare — se vedea și fără calcul, din produsul lor $\frac{-27}{1}<0$ —, iar o valoare pozitivă a lui $t$ dă două soluții reale, pe când una negativă dă două soluții pur imaginare.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Cum $729=9^3$, avem $x^3-729=x^3-9^3=(\mathbf{x}-9)\left({\mathbf{x}}^2+9x+81\right)$. b) (3 p) Primul factor dă $x=9$. Pentru al doilea, $\Delta =81-324=-243$; cum $243=81\cdot 3$, avem $\sqrt{243}=9\sqrt{3}$ și $x=\frac{-9\pm 9i\sqrt{3}}{2}$. Mulțimea soluțiilor este $\left\{9,\frac{-9+9i\sqrt{3}}{2},\frac{-9-9i\sqrt{3}}{2}\right\}$. c) (1 p) Una singură, $x=9$; celelalte două sunt nereale și conjugate una alteia, cum se întâmplă la orice ecuație de forma $x^3=a$.

Exercițiul 10. (8 p) a) (2 p) Șirul coeficienților este $10,-19,-19,10$: citit invers este același, deci ecuația este reciprocă. Fiind de grad impar, are din oficiu soluția $-1$; într-adevăr, $-10-19+19+10=0$. b) (4 p) Cu schema lui Horner, pe coeficienții $10,-19,-19,10$ și $a=-1$: $10$; $-19-10=-29$; $-19+29=10$; $10-10=0$. Câtul este $10x^2-29x+10$, cu primul și ultimul coeficient egali, cum trebuie la o reciprocă. Discriminantul este $841-400=441$, iar $\sqrt{441}=21$, deci $x=\frac{29\pm 21}{20}$, adică $\frac{5}{2}$ și $\frac{2}{5}$. Mulțimea soluțiilor este $\left\{-1,\frac{5}{2},\frac{2}{5}\right\}$. c) (2 p) $\frac{5}{2}\cdot \frac{2}{5}=1$, deci $\frac{5}{2}$ și $\frac{2}{5}$ sunt inverse una alteia; a treia soluție, $-1$, își este propriul invers.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Valoarea membrului stâng în $0$ este termenul liber, adică $4\ne 0$, deci $x=0$ nu este soluție și împărțirea cu $x^2$ este permisă. După împărțire și grupare, $4\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-39\left(x+\frac{1}{x}\right)+35=0$; cu $y=x+\frac{1}{x}$ și $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$ obținem $4\left(y^2-2\right)-39y+35=0$, adică $4{\mathbf{y}}^2-39y+27=0$. b) (3 p) $\Delta =1521-432=1089$, iar $\sqrt{1089}=33$, deci $y=\frac{39\pm 33}{8}$: $y_1=9$ și $y_2=\frac{3}{4}$. Pentru $y_1=9$: $x^2-9x+1=0$, cu $\Delta =81-4=77$, deci $x=\frac{9\pm \sqrt{77}}{2}$. Pentru $y_2=\frac{3}{4}$: $x^2-\frac{3}{4}x+1=0$, adică $4x^2-3x+4=0$, cu $\Delta =9-64=-55$, deci $x=\frac{3\pm i\sqrt{55}}{8}$. Mulțimea soluțiilor este $\left\{\frac{9+\sqrt{77}}{2},\frac{9-\sqrt{77}}{2},\frac{3+i\sqrt{55}}{8},\frac{3-i\sqrt{55}}{8}\right\}$. c) (2 p) Două soluții reale: ramura lui $y_1=9$ are $|y|>2$, deci discriminantul $y^2-4$ este pozitiv și ies două soluții reale; ramura lui $y_2=\frac{3}{4}$ are $|y|<2$, deci $y^2-4<0$ și ies două soluții nereale.

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) Coeficienții $1$, $-17$, $105$, $-89$ sunt reali, deci și $8-5i$ este soluție. Suma perechii este $16$, produsul este $64+25=89$, deci trinomul este ${\mathbf{x}}^2-16x+89$. b) (4 p) Câtul împărțirii este de gradul întâi și monic, de forma $x+q$, cu $89q=-89$, deci $q=-1$ și câtul este $x-1$. Proba, prin înmulțire: $$\left(x^2-16x+89\right)(x-1)=x^3-x^2-16x^2+16x+89x-89=x^3-17x^2+105x-89.$$ A treia soluție este $1$, iar mulțimea soluțiilor este $\{1,8+5i,8-5i\}$ — o soluție reală și o pereche, cum trebuie la grad impar cu coeficienți reali. c) (2 p) Produsul este $1\cdot (8+5i)(8-5i)=64+25=89$, iar ultima relație a lui Viète cere $-\frac{-89}{1}=89$.

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) Coeficientul dominant este $2$, deci $S_1=-\frac{m}{2}$. Condiția $S_1=\frac{11}{2}$ dă $-\frac{m}{2}=\frac{11}{2}$, adică $m=-11$. Verificare: pentru $m=-11$, $-\frac{-11}{2}=\frac{11}{2}$. b) (4 p) Ecuația devine $2x^3-11x^2+2x+15=0$. Aici $a_0=15$ dă $p\in \{1,3,5,15\}$, iar $a_3=2$ dă $q\in \{1,2\}$. Încercăm $5$: $250-275+10+15=0$, deci $5$ este soluție. Cu schema lui Horner, pe $2,-11,2,15$ și $a=5$: $2$; $-11+10=-1$; $2-5=-3$; $15-15=0$. Rămâne $2x^2-x-3=0$, cu $\Delta =1+24=25$ și $x=\frac{1\pm 5}{4}$, adică $\frac{3}{2}$ și $-1$. Mulțimea soluțiilor este $\left\{-1,\frac{3}{2},5\right\}$. c) (2 p) Produsul soluțiilor este $5\cdot (-1)\cdot \frac{3}{2}=-\frac{15}{2}$, iar ultima relație a lui Viète cere $-\frac{a_0}{a_3}=-\frac{15}{2}$. Cele două numere coincid.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică al doilea strat al capitolului de polinoame: rezolvarea ecuațiilor. Sunt acoperite cinci lecții — Relațiile lui Viète, până la gradul 4 (cele trei, respectiv patru legături dintre rădăcini și coeficienți, coeficientul dominant, termenii lipsă, suma pătratelor și suma inverselor), Rădăcinile raționale ale unei ecuații algebrice (lista candidaților, testarea, coborârea gradului), Rădăcini conjugate: raționali și reali (perechea, trinomul ei, împărțirea), Ecuații binome și ecuații bipătrate (substituția $t=x^2$, soluțiile pur imaginare) și Ecuații reciproce de gradul 3 și 4 (soluția $-1$, substituția $y=x+\frac{1}{x}$). Forma algebrică a polinomului, împărțirea cu rest, schema lui Horner, teorema lui Bézout și c.m.m.d.c. au fost verificate în testul anterior al unității — aici schema lui Horner apare doar ca unealtă de lucru, niciodată ca cerință. Descompunerea în fracții simple și integralele raționale se verifică în testul unității următoare.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — toate numerele sunt alese astfel încât discriminanții să fie pătrate perfecte sau radicali simpli. La ecuațiile cu parametru se cere și verificarea valorii găsite; la ecuațiile reciproce se cere numărătoarea finală a soluțiilor.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele cinci lecții, în special completarea coeficienților nuli înainte de relațiile lui Viète și întoarcerea substituției până la $x$.
• Formule de reținut: pentru un polinom de grad $n\le 4$ cu coeficientul dominant $a_n\ne 0$, relațiile lui Viète dau $S_k=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$, unde $S_k$ este suma tuturor produselor de câte $k$ rădăcini; de aici $x_1^2+\cdots +x_n^2=S_1^2-2S_2$ și $\frac{1}{x_1}+\cdots +\frac{1}{x_n}=\frac{S_{n-1}}{S_n}$, ultima cu condiția $S_n\ne 0$; teorema rădăcinilor raționale: dacă $\frac{p}{q}$, cu $p$ și $q$ întregi prime între ele, este rădăcină a unui polinom cu coeficienți întregi, atunci $p\mid a_0$ și $q\mid a_n$; perechile conjugate: la coeficienți raționali, $a+b\sqrt{c}$ vine împreună cu $a-b\sqrt{c}$, iar la coeficienți reali, $a+bi$ vine împreună cu $a-bi$, trinomul perechii fiind $x^2-Sx+P$ cu $S$ suma și $P$ produsul; ecuația bipătrată $a{x}^4+b{x}^2+c=0$ se rezolvă cu $t=x^2$, iar fiecare valoare a lui $t$ se întoarce în $x^2=t$; ecuația reciprocă are șirul coeficienților simetric, la gradul al treilea are soluția $-1$, iar la gradul al patrulea se împarte cu $x^2$ și se notează $y=x+\frac{1}{x}$, cu $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$, de unde $a{y}^2+by+(c-2a)=0$ și, pentru fiecare $y$, ecuația $x^2-yx+1=0$.
• Programa și examenul. Testul face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: temele lui sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), la capitolul „Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ", prin rândurile „Rădăcini ale polinoamelor, relațiile lui Viète pentru polinoame de grad cel mult 4" și „Rezolvarea ecuațiilor algebrice având coeficienți în $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, ecuații binome, ecuații bipătrate, ecuații reciproce". Programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu mai are capitolul de polinoame al clasei a XII-a, deci elevii primei promoții nu au temele nici la clasă; singura dintre ele care rămâne în programa probei MAT_P2 din 2030 este ecuația bipătrată, trecută acolo la clasa a X-a, în domeniul Algebră, lângă rezolvarea ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027, 2028 și 2029, unde temele apar la Subiectul al II-lea, cu plafonul explicit „grad cel mult 4". Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".