Test: Supliment Bac M2: ecuații matriceale și sisteme liniare (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — testele de mate-info, clasa a XI-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Supliment Bac M2 2027–2029: ecuații matriceale, sisteme liniare, Darboux și reprezentarea grafică

Exerciții

Partea I – Ecuații matriceale

Exercițiul 1 (6 puncte)

Se consideră matricea $A = (10775)$ . Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Calculează $det A$ . b) Scrie $A^{- 1}$ . c) În ecuația $A X = B$ , matricea $B$ are două linii și trei coloane. Ce format are $X$ ? d) În ecuația $X A = B$ , de care parte a celor doi membri se înmulțește cu $A^{- 1}$ ? e) În ecuația $A X - 5 X = B$ , pe care matrice se pune condiția de inversabilitate și cât este determinantul ei? f) Calculează $A^{- 1} (12)$ .

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră ecuația $A X = B$ , cu $A = (3446)$ și $B = (22321522)$ . a) Calculează $det A$ și scrie formatul matricei $X$ . (1 p) b) Determină $A^{- 1}$ . (2 p) c) Rezolvă ecuația. (2 p) d) Fă proba în ecuația din enunț. (1 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se consideră ecuația $X A = B$ , cu $A = (7495)$ și $B = (43255532)$ . a) Precizează de care parte se înmulțește cu $A^{- 1}$ și de ce. (1 p) b) Calculează $det A$ și $A^{- 1}$ . (2 p) c) Rezolvă ecuația. (2 p) d) Fă proba în ecuația din enunț. (1 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră matricea $A (m) = (m 1 8 m + 2)$ , unde $m$ este număr real. a) Arată că $det (A (m)) = m^{2} + 2 m - 8$ . (2 p) b) Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care matricea $A (m)$ nu este inversabilă. (2 p) c) Pentru $m = 3$ , rezolvă ecuația $A (m) X = (209)$ și fă proba. (4 p)

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră ecuația $A X + 3 X = B$ , cu $A = (6571)$ și $B = (30175933)$ . a) Adu ecuația la forma $(A + 3 I_{2}) X = B$ și scrie matricea pe care se pune condiția de inversabilitate. (2 p) b) Calculează determinantul acelei matrice și inversa ei. (2 p) c) Determină $X$ și fă proba în ecuația din enunț. (2 p)

Partea a II-a – Forma matriceală a sistemelor liniare

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră sistemul $⎩ ⎨ ⎧ 4 x + z = 13 2 x + 3 y = 12 y + 2 z = 4$ a) Scrie matricele $A$ , $X$ și $B$ ale sistemului. (2 p) b) Câte zerouri conține matricea sistemului și de unde vin ele? (1 p) c) Verifică, printr-un singur produs de matrice, că tripletul $(3, 2, 1)$ este soluție a sistemului. (3 p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

Se consideră sistemul $3 x + 7 = 2 y$ , $5 y - 3 = 2 x + z$ , $4 z = x - y + 6$ . a) Adu fiecare ecuație la forma standard, cu necunoscutele în stânga și termenul liber în dreapta. (3 p) b) Scrie matricea $A$ a sistemului și matricea $B$ a termenilor liberi. (2 p) c) Câte coloane are matricea sistemului și de ce? (1 p)

Exercițiul 8 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Dacă $A \in M_{3} (R)$ , iar $B$ are trei linii și o coloană, atunci matricea $X$ din ecuația $A X = B$ are: A. trei linii și trei coloane; B. o linie și trei coloane; C. trei linii și o coloană; D. nu există.

b) Determinantul matricei sistemului $⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y + 2 z = 9 2 x + y + z = 8 3 x + y + 2 z = 12$ este: A. $3$ ; B. $- 3$ ; C. $12$ ; D. $- 15$ .

c) Un sistem cu patru ecuații și trei necunoscute: A. este pătratic; B. are matricea sistemului cu patru linii și trei coloane; C. are matricea sistemului cu trei linii și patru coloane; D. nu poate avea soluții.

d) La un sistem cu trei necunoscute s-au obținut $Δ = 5$ , $Δ_{1} = - 15$ , $Δ_{2} = 0$ și $Δ_{3} = 20$ . Soluția lui este: A. $(- 3, 0, 4)$ ; B. $(3, 0, - 4)$ ; C. $(- 15, 0, 20)$ ; D. nu se poate determina.

Exercițiul 9 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră sistemul $⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y + z = 12 2 x + 3 y + z = 17 x + y + 2 z = 13$ a) Scrie matricea $A$ a sistemului și matricea $B$ a termenilor liberi. (2 p) b) Arată că $det A = - 2$ . (2 p) c) Verifică faptul că tripletul $(2, 3, 4)$ este soluție a sistemului. (2 p)

Partea a III-a – Metoda lui Cramer și matricea inversă

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră sistemul $⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y + 2 z = 11 3 x + y + z = 8 2 x + 3 y + z = 11$ a) Calculează determinantul principal și arată că sistemul este de tip Cramer. (2 p) b) Calculează determinanții auxiliari $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ și $Δ_{3}$ . (4 p) c) Scrie soluția sistemului și verific-o în toate cele trei ecuații. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se consideră sistemul ${2 x + 3 y = 5 6 x + m y = 11$ , unde $m$ este număr real. a) Calculează determinantul principal al sistemului, în funcție de $m$ . (2 p) b) Determină valorile lui $m$ pentru care sistemul este de tip Cramer. (2 p) c) Pentru $m = 5$ , rezolvă sistemul cu regula lui Cramer și verifică soluția în ambele ecuații. (4 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră sistemul ${8 x + 5 y = 31 11 x + 7 y = 43$ a) Scrie matricea $A$ a sistemului, calculează $det A$ și determină $A^{- 1}$ . (3 p) b) Rezolvă sistemul folosind egalitatea $X = A^{- 1} B$ și fă proba în ambele ecuații. (3 p) c) Folosind aceeași inversă, rezolvă sistemul care are aceeași matrice și coloana termenilor liberi $B_{2} = (1318)$ . (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

Într-o pepinieră se folosesc trei amestecuri de pământ. Un sac din primul amestec conține $3$ kg de turbă, $1$ kg de nisip și $2$ kg de perlit; unul din al doilea conține $1$ kg de turbă, $4$ kg de nisip și $1$ kg de perlit; unul din al treilea conține $2$ kg de turbă, $1$ kg de nisip și $5$ kg de perlit. Într-o zi s-au consumat $11$ kg de turbă, $15$ kg de nisip și $12$ kg de perlit. a) Notează cu $x$ , $y$ și $z$ numărul de saci folosiți din fiecare amestec, scrie sistemul și matricea lui. (3 p) b) Calculează determinantul principal și spune ce concluzie tragi despre numărul soluțiilor. (2 p) c) Rezolvă sistemul, scrie răspunsul în limbajul problemei și verifică-l pe toate cele trei ingrediente. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) $det A = 10 \cdot 5 - 7 \cdot 7 = 50 - 49 = 1$ . b) Cum determinantul este $1$ , $A^{- 1} = (5 - 7 - 7 10)$ . c) Matricea $X$ are două linii și trei coloane, adică exact formatul lui $B$ ; altfel produsul $A X$ nici nu s-ar putea efectua. d) La dreapta: necunoscuta stă înaintea lui $A$ , iar inversa trebuie adusă lipită de $A$ , ca să se simplifice cu el. e) Condiția se pune pe matricea care înmulțește efectiv necunoscuta, adică pe $A - 5 I_{2} = (5770)$ , al cărei determinant este $0 - 49 = - 49$ . f) $A^{- 1} (12) = (5 - 14 - 7 + 20) = (- 9 13)$ .

Exercițiul 2. (6 p) a) (1 p) $det A = 18 - 16 = 2 \neq = 0$ , deci $A$ este inversabilă; matricea $X$ are formatul lui $B$ , adică două linii și două coloane. b) (2 p) Determinantul nu mai este $1$ , deci factorul $\frac{1}{det A}$ rămâne în față: $A^{- 1} = \frac{1}{2} (6 - 4 - 4 3)$ . c) (2 p) Necunoscuta stă la dreapta lui $A$ , deci se înmulțește la stânga, iar factorul $\frac{1}{2}$ se aplică o singură dată, la sfârșit: $X = A^{- 1} B = \frac{1}{2} (6 - 4 - 4 3) (22321522) = \frac{1}{2} (132 - 128 - 88 + 96 90 - 88 - 60 + 66) = \frac{1}{2} (4826) = (2413) .$ d) (1 p) $A X = (6 + 16 8 + 24 3 + 12 4 + 18) = (22321522)$ , adică matricea $B$ din enunț.

Exercițiul 3. (6 p) a) (1 p) La dreapta. Necunoscuta stă în stânga lui $A$ , deci inversa trebuie așezată după $A$ , ca produsul $A A^{- 1}$ să dea matricea unitate; scrisă în față, ea n-ar avea pe cine simplifica. b) (2 p) $det A = 35 - 36 = - 1$ , deci $A^{- 1} = \frac{1}{- 1} (5 - 4 - 9 7) = (- 5 4 9 - 7)$ : determinantul negativ schimbă semnul fiecărui element al adjunctei. c) (2 p) $X = B A^{- 1} = (43255532) (- 5 4 9 - 7) = (- 215 + 220 - 125 + 128 387 - 385 225 - 224) = (5321) .$ d) (1 p) $X A = (35 + 8 21 + 4 45 + 10 27 + 5) = (43255532)$ , adică matricea $B$ .

Exercițiul 4. (8 p) a) (2 p) Determinantul unei matrice de ordinul $2$ este diferența produselor de pe cele două diagonale: $m (m + 2) - 8 \cdot 1 = m^{2} + 2 m - 8$ . b) (2 p) Matricea nu este inversabilă exact când determinantul se anulează: $m^{2} + 2 m - 8 = 0$ se scrie $(m + 4) (m - 2) = 0$ , deci $m \in {- 4, 2}$ . c) (4 p) Pentru $m = 3$ avem $A (3) = (3185)$ , cu $det (A (3)) = 9 + 6 - 8 = 7 \neq = 0$ (1 p). Atunci $A (3)^{- 1} = \frac{1}{7} (5 - 1 - 8 3), X = \frac{1}{7} (5 - 1 - 8 3) (209) = \frac{1}{7} (100 - 72 - 20 + 27) = \frac{1}{7} (287) = (41)$ (2 p). Proba: $3 \cdot 4 + 8 \cdot 1 = 20$ și $1 \cdot 4 + 5 \cdot 1 = 9$ , adică exact coloana din enunț (1 p). Factorul $\frac{1}{7}$ se ține în fața tabloului până la capăt și se aplică o singură dată.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Scriem $3 X = 3 I_{2} X$ și dăm factor comun la stânga: $(A + 3 I_{2}) X = B$ . Condiția de inversabilitate se pune pe $A + 3 I_{2} = (9574)$ , nu pe $A$ . b) (2 p) $det (A + 3 I_{2}) = 36 - 35 = 1 \neq = 0$ , deci $(A + 3 I_{2})^{- 1} = (4 - 5 - 7 9)$ . c) (2 p) $X = (4 - 5 - 7 9) (30175933) = (120 - 119 - 150 + 153 236 - 231 - 295 + 297) = (1352) .$ Proba în ecuația din enunț: $A X = (6 + 21 5 + 3 30 + 14 25 + 2) = (2784427)$ și $3 X = (39156)$ , iar suma lor este $(30175933) = B$ .

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Ordinea necunoscutelor este $x$ , $y$ , $z$ în toate cele trei ecuații, iar coeficienții absenți se scriu cu $0$ : $A = 420031102, X = x y z, B = 13124 .$ b) (1 p) Matricea conține trei zerouri: pe locul lui $y$ din prima ecuație, pe locul lui $z$ din a doua și pe locul lui $x$ din a treia. Numărul coloanelor rămâne $3$ , cât numărul necunoscutelor din sistem. c) (3 p) Cu $X_{0} = 321$ , $A X_{0} = 12 + 0 + 1 6 + 6 + 0 0 + 2 + 2 = 13124,$ adică exact coloana $B$ ; toate cele trei ecuații sunt îndeplinite deodată, deci tripletul este soluție.

Exercițiul 7. (6 p) a) (3 p) Trecem necunoscutele în stânga și termenii liberi în dreapta, cu schimbarea semnului la mutare: din $3 x + 7 = 2 y$ rezultă $3 x - 2 y = - 7$ (1 p); din $5 y - 3 = 2 x + z$ rezultă $- 2 x + 5 y - z = 3$ (1 p); din $4 z = x - y + 6$ rezultă $- x + y + 4 z = 6$ (1 p). b) (2 p) $A = 3 - 2 - 1 - 2 51 0 - 1 4$ și $B = - 7 36$ . Semnele se păstrează, iar coeficientul lui $z$ din prima ecuație este $0$ . c) (1 p) Trei coloane, pentru că sistemul are trei necunoscute; numărul coloanelor este dat de numărul necunoscutelor din sistem, nu de câte apar în fiecare ecuație.

Exercițiul 8. (8 p) — câte 2 puncte. a) C — la $A X = B$ cu $A$ pătratică, matricea $X$ are exact formatul lui $B$ : trei linii și o coloană. b) B — cu regula lui Sarrus, $det A = (1 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 \cdot 1) - (3 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot 2) = (2 + 6 + 4) - (6 + 1 + 8) = 12 - 15 = - 3$ . c) B — matricea sistemului are atâtea linii câte ecuații și atâtea coloane câte necunoscute, deci patru linii și trei coloane; nefiind pătratică, ea nu are determinant, iar sistemul nu este pătratic. d) A — $x = \frac{- 15}{5} = - 3$ , $y = \frac{0}{5} = 0$ , $z = \frac{20}{5} = 4$ . Determinantul principal stă la numitor, iar un auxiliar nul spune doar că necunoscuta respectivă este zero.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) $A = 121231112$ și $B = 121713$ . b) (2 p) Cu regula lui Sarrus, $det A = (1 \cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 1) - (1 \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot 2) = (6 + 2 + 2) - (3 + 1 + 8) = 10 - 12 = - 2$ . c) (2 p) Înlocuim $x = 2$ , $y = 3$ , $z = 4$ în fiecare ecuație: $2 + 6 + 4 = 12$ ; $4 + 9 + 4 = 17$ ; $2 + 3 + 8 = 13$ . Toate trei se verifică, deci tripletul este soluție; cum $det A \neq = 0$ , este chiar singura.

Exercițiul 10. (8 p) a) (2 p) Matricea sistemului este $A = 132213211$ , iar cu regula lui Sarrus $Δ = (1 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 \cdot 3) - (2 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \cdot 2) = (1 + 4 + 18) - (4 + 3 + 6) = 23 - 13 = 10.$ Sistemul are trei ecuații și trei necunoscute, iar $Δ = 10 \neq = 0$ , deci este de tip Cramer și are soluție unică. b) (4 p) Fiecare auxiliar se construiește pornind din tabloul lui $Δ$ , înlocuind o singură coloană cu coloana termenilor liberi, luată în ordinea ecuațiilor: $Δ_{1} = 11811213211 = (11 + 22 + 48) - (22 + 33 + 16) = 81 - 71 = 10,$ $Δ_{2} = 13211811211 = (8 + 22 + 66) - (32 + 11 + 33) = 96 - 76 = 20,$ $Δ_{3} = 13221311811 = (11 + 32 + 99) - (22 + 24 + 66) = 142 - 112 = 30.$ c) (2 p) $x = \frac{10}{10} = 1$ , $y = \frac{20}{10} = 2$ , $z = \frac{30}{10} = 3$ . Verificare: $1 + 4 + 6 = 11$ ; $3 + 2 + 3 = 8$ ; $2 + 6 + 3 = 11$ — toate trei se potrivesc, deci soluția este $(1, 2, 3)$ .

Exercițiul 11. (8 p) a) (2 p) $Δ = 26 3 m = 2 m - 18$ . b) (2 p) Sistemul are două ecuații și două necunoscute, deci mai rămâne condiția $Δ \neq = 0$ : $2 m - 18 \neq = 0$ , adică $m \neq = 9$ . Prin urmare sistemul este de tip Cramer pentru orice $m \in R ∖ {9}$ . c) (4 p) Pentru $m = 5$ avem $Δ = 10 - 18 = - 8 \neq = 0$ (1 p). Auxiliarii, construiți fiecare din tabloul lui $Δ$ : $Δ_{1} = 51135 = 25 - 33 = - 8, Δ_{2} = 26511 = 22 - 30 = - 8$ (2 p), deci $x = \frac{- 8}{- 8} = 1$ și $y = \frac{- 8}{- 8} = 1$ . Verificare: $2 + 3 = 5$ și $6 + 5 = 11$ (1 p). Determinantul negativ nu strică nimic: el stă la numitor, iar semnele se simplifică.

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) $A = (81157)$ , cu $det A = 56 - 55 = 1 \neq = 0$ (1 p), deci metoda se aplică, iar $A^{- 1} = (7 - 11 - 5 8)$ (2 p). b) (3 p) Coloana termenilor liberi este $B = (3143)$ , iar inversa se așază la stânga ei: $X = A^{- 1} B = (7 - 11 - 5 8) (3143) = (217 - 215 - 341 + 344) = (23)$ (2 p). Proba în ambele ecuații: $8 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = 16 + 15 = 31$ și $11 \cdot 2 + 7 \cdot 3 = 22 + 21 = 43$ , deci soluția este $x = 2$ , $y = 3$ (1 p). c) (2 p) Matricea sistemului nu s-a schimbat, deci inversa rămâne aceeași și se face doar un produs nou: $X_{2} = (7 - 11 - 5 8) (1318) = (91 - 90 - 143 + 144) = (11) .$ Proba: $8 + 5 = 13$ și $11 + 7 = 18$ . Aici se vede câștigul metodei: munca grea, inversa, s-a făcut o singură dată.

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) Fiecare ingredient dă câte o ecuație, cu ingredientele pe linii și amestecurile pe coloane: $⎩ ⎨ ⎧ 3 x + y + 2 z = 11 x + 4 y + z = 15 2 x + y + 5 z = 12 A = 312141215, B = 111512 .$ b) (2 p) Cu regula lui Sarrus, $Δ = (3 \cdot 4 \cdot 5 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 1) - (2 \cdot 4 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 3 + 5 \cdot 1 \cdot 1) = (60 + 2 + 2) - (16 + 3 + 5) = 64 - 24 = 40$ . Sistemul este pătratic și are determinantul nenul, deci are o singură soluție. c) (3 p) Auxiliarii, fiecare pornit din tabloul lui $Δ$ : $Δ_{1} = 111512141215 = (220 + 12 + 30) - (96 + 11 + 75) = 80,$ $Δ_{2} = 312111512215 = (225 + 22 + 24) - (60 + 36 + 55) = 120,$ $Δ_{3} = 312141111512 = (144 + 30 + 11) - (88 + 45 + 12) = 40$ (1 p), deci $x = \frac{80}{40} = 2$ , $y = \frac{120}{40} = 3$ și $z = \frac{40}{40} = 1$ : s-au folosit 2 saci din primul amestec, 3 saci din al doilea și 1 sac din al treilea (1 p). Verificare pe cele trei ingrediente: turbă $3 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 11$ kg; nisip $1 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = 15$ kg; perlit $2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 5 \cdot 1 = 12$ kg. Numerele au ieșit întregi și pozitive, deci și citirea în context este corectă (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică prima jumătate a suplimentului de examen: partea de algebră. Sunt acoperite patru lecții — Ecuații matriceale: AX = B și XA = B (partea din care se înmulțește cu inversa, condiția pusă pe matricea care înmulțește efectiv necunoscuta, formatul lui $X$ , proba), Forma matriceală a unui sistem cu 3 necunoscute (cele trei tablouri, zerourile coeficienților absenți, forma standard, verificarea unei soluții printr-un singur produs), Metoda lui Cramer (determinantul principal și cei auxiliari, discuția după un parametru) și Sistemul rezolvat cu X = A⁻¹B (aceeași inversă pentru mai multe coloane de termeni liberi). Partea a doua a suplimentului — proprietatea lui Darboux și reprezentarea grafică a funcțiilor — se verifică în testul următor al unității; aici nu se cere nicio noțiune de analiză.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La fiecare ecuație matriceală se scriu, înaintea calculului, matricea care se inversează și partea din care se înmulțește; la fiecare soluție se cere proba în ecuația sau în sistemul din enunț.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele patru lecții, în special alegerea părții la ecuațiile matriceale și construirea fiecărui determinant auxiliar pornind din tabloul lui $Δ$ .
Formule de reținut: ecuațiile matriceale — $A X = B$ dă $X = A^{- 1} B$ (inversa la stânga), $X A = B$ dă $X = B A^{- 1}$ (inversa la dreapta), iar $A X B = C$ dă $X = A^{- 1} C B^{- 1}$ , toate valabile numai când matricele inversate au determinantul nenul; la $A X + k X = B$ condiția se pune pe $A + k I_{n}$ , nu pe $A$ ; inversa de ordinul 2 — pentru $A = (a c b d)$ cu $det A \neq = 0$ , $A^{- 1} = \frac{1}{det A} (d - c - b a)$ ; forma matriceală a unui sistem este $A X = B$ , unde numărul de coloane ale lui $A$ este numărul necunoscutelor din sistem, iar coeficientul absent este $0$ și se scrie; regula lui Cramer — la un sistem cu tot atâtea ecuații câte necunoscute și cu $Δ \neq = 0$ , soluția este unică și $x = \frac{Δ _{1}}{Δ}$ , $y = \frac{Δ _{2}}{Δ}$ , $z = \frac{Δ _{3}}{Δ}$ , fiecare auxiliar construindu-se din tabloul lui $Δ$ , prin înlocuirea unei singure coloane cu coloana termenilor liberi.
Programa și examenul. Acest test face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere explicit, la clasa a XI-a, în capitolul „Elemente de calcul matriceal și sisteme de ecuații liniare": „Matrice inversabile din $M_{n}$ , $n = 2, 3$ ", „Ecuații matriceale", „Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar" și „Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare"; la proba scrisă, locul acestui capitol este prima problemă a Subiectului al II-lea. În programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) temele acestea nu mai apar în lista de conținuturi a clasei a XI-a, care se încheie cu inversa unei matrice; sistemele de ecuații liniare au coborât la clasa a XII-a, în domeniul Algebră, iar ecuațiile matriceale nu figurează în programa de examen MAT_P2 din 2030. Elevul de azi învață deci temele acestea pentru examenul pe care îl dă, nu pentru manualul nou. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".