Test: Supliment Bac M2: fracții simple și integrale raționale (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Supliment Bac M2 2027–2029: integrale de funcții raționale

Exerciții

Partea I – Forma descompunerii și coeficienții ei

Exercițiul 1 (6 puncte)

Răspunde scurt, cu o justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Ce formă are numărătorul fracției simple așezate peste un factor $x-a$? b) Dar peste un factor $x^2+c$, cu $c>0$? c) Ce faci înainte de descompunere dacă numărătorul are gradul al treilea, iar numitorul gradul al doilea? d) Care este primitiva funcției $\frac{1}{x-a}$ pe un interval situat la dreapta lui $a$? e) De ce nu se poate folosi valoarea $x=3$ ca probă a descompunerii lui $\frac{P(x)}{(x-3)(x+8)}$? f) Adevărat sau fals: „la o integrală definită, rezultatul se scrie cu constanta $\mathcal{C}$".

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:(8,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{5x-4}{(x-8)(x+1)}$. a) Scrie forma descompunerii și sistemul la care duce identificarea. (2 p) b) Determină cei doi coeficienți. (2 p) c) Fă proba, calculând ambii membri pentru $x=0$. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se consideră expresia $\frac{5x-11}{x^2-2x-35}$. a) Descompune numitorul în factori de gradul întâi. (2 p) b) Determină coeficienții descompunerii în fracții simple. (4 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Descompunerea în fracții simple a expresiei $\frac{2x+14}{(x-11)(x+1)}$ conține fracția: A. $\frac{3}{x-11}$; B. $\frac{2}{x-11}$; C. $\frac{14}{x-11}$; D. $\frac{1}{x-11}$.

b) O primitivă a funcției $\frac{5}{x^2+17}$ pe $\mathbb{R}$ este: A. $5\mathrm{arctg}\frac{x}{17}$; B. $\frac{5}{17}\mathrm{arctg}\frac{x}{17}$; C. $\frac{5}{\sqrt{17}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{17}}$; D. $5\ln \left(x^2+17\right)$.

c) Scrierea ${\int }_1^5\frac{dx}{(x-4)(x+6)}$ nu are sens, fiindcă: A. numitorul se anulează în $4$, care este în $[1,5]$; B. numitorul se anulează în $-6$, care este în $[1,5]$; C. numărătorul este constant; D. gradul numitorului este $2$.

d) O primitivă a funcției $\frac{6x}{x^2+19}$ pe $\mathbb{R}$ este: A. $6\ln \left(x^2+19\right)$; B. $3\ln \left(x^2+19\right)$; C. $\frac{6}{\sqrt{19}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{19}}$; D. $\frac{3}{\sqrt{19}}\ln \left(x^2+19\right)$.

Partea a II-a – Împărțirea și trinomul fără rădăcini reale

Exercițiul 5 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(9,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x^2-9x-33}{x^2-6x-27}$. a) Explică de ce descompunerea în fracții simple nu se poate face direct. (2 p) b) Efectuează împărțirea și scrie $f(x)$ ca sumă dintre o constantă și o fracție cu numărătorul de grad mai mic. (2 p) c) Descompune fracția rămasă în fracții simple. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră funcția $g:(2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{3x^2-4x+19}{(x-2)\left(x^2+19\right)}$. a) Câți coeficienți are descompunerea lui $g$ și de ce? (2 p) b) Determină-i. (3 p) c) Fă proba pentru $x=0$. (1 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „O fracție rațională cu numărătorul de gradul al treilea și cu numitorul $(x-a)(x-b)(x-c)$, unde $a$, $b$, $c$ sunt numere reale distincte, se scrie ca sumă dintre un număr nenul și trei fracții simple." b) „Există o funcție rațională cu valori strict pozitive în fiecare punct al intervalului $[a,b]$ a cărei integrală pe $[a,b]$ să fie negativă." c) „Dacă bucata așezată peste $x^2+c$ are numărătorul o constantă nenulă, primitiva ei nu conține niciun logaritm." d) „Dacă rezultatul unei integrale raționale conține un termen de forma $\frac{x^2}{2}$, atunci gradul numărătorului este cu cel puțin $2$ mai mare decât gradul numitorului."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $h:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $h(x)=\frac{2x^2+x+35}{(x+1)\left(x^2+17\right)}$. a) Scrie forma descompunerii lui $h$ și precizează câți coeficienți are. (2 p) b) Determină numerele reale $A$, $B$, $C$ pentru care $h(x)=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+17}$, oricare ar fi $x>-1$. (2 p) c) Fă proba, calculând ambii membri pentru $x=1$. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Se cere ${\int }_2^3\frac{28}{(x-10)(x+4)}dx$. a) Arată că scrierea are sens pe intervalul dat. (2 p) b) Descompune funcția de sub integrală în fracții simple. (2 p) c) Calculează integrala și verifică semnul rezultatului. (2 p)

Partea a III-a – Integrale raționale, până la număr

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se cere ${\int }_0^1\frac{2x^2+x+35}{(x+1)\left(x^2+17\right)}dx$, folosind descompunerea obținută la itemul 8. a) Scrie o primitivă a funcției de sub integrală. (3 p) b) Calculează integrala. (3 p) c) Scrie valoarea aproximativă, cu patru zecimale. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se cere ${\int }_0^1\frac{x^3-10x^2-21x-8}{x^2-10x-24}dx$. a) Efectuează împărțirea și scrie funcția de sub integrală ca sumă dintre un polinom și o fracție. (3 p) b) Descompune fracția rămasă în fracții simple. (2 p) c) Calculează integrala. (3 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Dintr-un filtru de laborator se elimină un colorant cu viteza $r(t)=\frac{40}{(t+1)(t+6)}$, măsurată în miligrame pe oră, unde $t\ge 0$ este timpul, în ore. a) Descompune expresia lui $r$ în fracții simple. (3 p) b) Calculează ce cantitate de colorant se elimină în primele $4$ ore. (3 p) c) Arată, pe forma obținută la a), că viteza rămâne pozitivă pentru orice $t\ge 0$, și precizează unitatea de măsură a rezultatului de la b). (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(6,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x^2-13x-16}{x^3-3x^2-22x+24}$. a) Arată că $x^3-3x^2-22x+24=(x-1)(x+4)(x-6)$. (2 p) b) Determină numerele reale $A$, $B$, $C$ pentru care $f(x)=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+4}+\frac{C}{x-6}$, oricare ar fi $x>6$. (3 p) c) Calculează ${\int }_7^{8}f(x)dx$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) O constantă: numărătorul unei fracții simple are gradul strict mai mic decât numitorul ei, iar sub gradul $1$ rămâne doar gradul $0$. b) De gradul întâi, adică $Bx+C$: sub gradul $2$ intră gradele $1$ și $0$. c) Împărțirea, fiindcă descompunerea are sens numai când gradul numărătorului este mai mic decât al numitorului. d) $\ln (x-a)$ — pe un interval la dreapta lui $a$ avem $x-a>0$, deci barele de modul se pot scoate de la început. e) Fiindcă $x=3$ anulează numitorul: acolo niciuna dintre cele două scrieri nu are valoare. f) Fals. Constanta aparține integralei nedefinite; la integrala definită ea se simplifică la scădere și nu se mai scrie.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) Gradul numărătorului este $1$, al numitorului $2$, deci nu împărțim. Scriem $\frac{5x-4}{(x-8)(x+1)}=\frac{A}{x-8}+\frac{B}{x+1}$; aducând dreapta la același numitor, numărătorul devine $A(x+1)+B(x-8)=(A+B)x+(A-8B)$, deci sistemul este $\mathbf{A}+\mathbf{B}=5$ și $\mathbf{A}-8B=-4$. b) (2 p) Scăzând a doua ecuație din prima: $9B=9$, deci $B=1$ și $A=4$. Prin urmare $$\frac{5x-4}{(x-8)(x+1)}=\frac{4}{x-8}+\frac{1}{x+1}.$$ c) (2 p) Pentru $x=0$: membrul stâng dă $\frac{-4}{(-8)\cdot 1}=\frac{1}{2}$, iar membrul drept $\frac{4}{-8}+\frac{1}{1}=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$. Cele două valori coincid. (Valoarea $0$ nu aparține intervalului de lucru, dar egalitatea dintre cele două scrieri este o identitate între funcții raționale, deci se verifică oriunde amândouă au sens.)

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) $\Delta =4+140=144$, iar $\sqrt{144}=12$, deci rădăcinile sunt $\frac{2\pm 12}{2}$, adică $7$ și $-5$: $x^2-2x-35=(\mathbf{x}-7)(\mathbf{x}+5)$. b) (4 p) Din $A(x+5)+B(x-7)=5x-11$ obținem $A+B=5$ și $5A-7B=-11$. Înlocuind $A=5-B$ în a doua: $25-12B=-11$, deci $B=3$ și $A=2$. Descompunerea este $$\frac{5x-11}{x^2-2x-35}=\frac{2}{x-7}+\frac{3}{x+5}.$$ Proba: $\frac{2(x+5)+3(x-7)}{(x-7)(x+5)}=\frac{5x-11}{x^2-2x-35}$.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — din $A(x+1)+B(x-11)=2x+14$ rezultă $A+B=2$ și $A-11B=14$; scăzând, $12B=-12$, deci $B=-1$ și $A=3$. b) C — la rândul arctangentei, numărul de la numitorul fracției din față este același cu cel de sub arctangentă, iar el este $\sqrt{17}$, nu $17$. c) A — rădăcinile numitorului sunt $4$ și $-6$; prima aparține intervalului $[1,5]$, deci funcția nu este definită în tot intervalul și formula Leibniz–Newton nu se poate folosi. (Rădăcina $-6$ nu deranjează: ea este în afara intervalului.) d) B — derivata numitorului este $2x$, iar $6x=3\cdot 2x$, deci primitiva este $3\ln \left(x^2+19\right)$; barele de modul lipsesc, fiindcă $x^2+19$ este strict pozitiv. Celelalte trei se resping prin derivare: ${\left(6\ln \left(x^2+19\right)\right)}^{\prime }=\frac{12x}{x^2+19}$ la A; C este rândul arctangentei, care cere numărător constant; la D, factorul $\frac{1}{\sqrt{19}}$ este luat tot de la rândul arctangentei, iar derivata iese $\frac{6x}{\sqrt{19}\left(x^2+19\right)}$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Gradul numărătorului și gradul numitorului sunt amândouă $2$, deci nu avem $\mathrm{grad}P<\mathrm{grad}Q$. O sumă de fracții simple se apropie de $0$ când $x$ crește nemărginit, pe când fracția dată se apropie de $2$; scrierea cu litere ar duce la un sistem fără soluție. b) (2 p) Scădem de două ori numitorul din numărător: $\left(2x^2-9x-33\right)-2\left(x^2-6x-27\right)=3x+21$, deci $$f(x)=2+\frac{3x+21}{x^2-6x-27}.$$ c) (2 p) $\Delta =36+108=144$, cu rădăcinile $\frac{6\pm 12}{2}$, adică $9$ și $-3$, deci $x^2-6x-27=(x-9)(x+3)$. Din $A(x+3)+B(x-9)=3x+21$ obținem $A+B=3$ și $3A-9B=21$, adică $A-3B=7$; scăzând, $4B=-4$, deci $B=-1$ și $A=4$. Rezultatul complet este $$f(x)=2+\frac{4}{x-9}-\frac{1}{x+3}.$$

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Trei coeficienți, fiindcă numitorul are gradul al treilea: unul peste factorul $x-2$ și doi peste trinomul $x^2+19$, care nu are rădăcini reale ($x^2+19\ge 19>0$) și cere un numărător de forma $Bx+C$. b) (3 p) Din $A\left(x^2+19\right)+(Bx+C)(x-2)=3x^2-4x+19$, adică $(A+B)x^2+(C-2B)x+(19A-2C)=3x^2-4x+19$, obținem $A+B=3$, $C-2B=-4$ și $19A-2C=19$. Din prima, $A=3-B$; din a doua, $C=2B-4$; înlocuind în a treia: $19(3-B)-2(2B-4)=19$, adică $57-19B-4B+8=19$, deci $23B=46$ și $B=2$, apoi $C=0$ și $A=1$: $$g(x)=\frac{1}{x-2}+\frac{2x}{x^2+19}.$$ c) (1 p) Pentru $x=0$: membrul stâng dă $\frac{19}{(-2)\cdot 19}=-\frac{1}{2}$, iar membrul drept $\frac{1}{-2}+0=-\frac{1}{2}$.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Gradele fiind egale, câtul împărțirii este o constantă, egală cu raportul coeficienților dominanți, deci nenulă. Restul are gradul cel mult $2$, mai mic decât al numitorului, iar numitorul are trei factori de gradul întâi, distincți doi câte doi, deci descompunerea restului se scrie cu exact trei bucăți de forma $\frac{A}{x-a}$ — câte una peste fiecare factor, unele dintre ele putând avea numărătorul nul. b) F. O primitivă a unei funcții cu valori strict pozitive are derivata strict pozitivă, deci este strict crescătoare pe interval; atunci valoarea ei în $b$ este mai mare decât cea în $a$, iar diferența dintre ele — adică integrala — este pozitivă. c) A. Numărătorul constant duce la bucata $\frac{C}{x^2+c}$, a cărei primitivă este $\frac{C}{\sqrt{c}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{c}}$ — o arctangentă, fără niciun logaritm. Logaritmul ar apărea numai dacă numărătorul ar fi proporțional cu derivata numitorului, adică de forma $Bx$. d) F. Termenul $\frac{x^2}{2}$ vine din partea polinomială, iar el apare deja când câtul are gradul $1$, adică atunci când gradul numărătorului este cu exact $1$ mai mare decât al numitorului. Contraexemplu: un numărător de gradul al treilea peste un numitor de gradul al doilea dă un cât de gradul întâi, deci un termen $\frac{x^2}{2}$ în rezultat, deși diferența gradelor este $1$.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Numitorul are gradul al treilea, deci descompunerea are trei coeficienți: $$h(x)=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+17}.$$ b) (2 p) Aducând la același numitor: $A\left(x^2+17\right)+(Bx+C)(x+1)=(A+B)x^2+(B+C)x+(17A+C)$. Identificarea cu $2x^2+x+35$ dă $A+B=2$, $B+C=1$ și $17A+C=35$. Din primele două, $A=2-B$ și $C=1-B$; a treia devine $17(2-B)+1-B=35$, adică $35-18B=35$, deci $B=0$, apoi $C=1$ și $A=2$: $$h(x)=\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x^2+17}.$$ c) (2 p) Pentru $x=1$: membrul stâng dă $\frac{2+1+35}{2\cdot 18}=\frac{38}{36}=\frac{19}{18}$, iar membrul drept $\frac{2}{2}+\frac{1}{18}=1+\frac{1}{18}=\frac{19}{18}$.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Rădăcinile numitorului sunt $10$ și $-4$; niciuna nu aparține intervalului $[2,3]$, deci funcția este raport de două funcții polinomiale cu numitorul nenul pe $[2,3]$, prin urmare este continuă acolo și scrierea are sens. b) (2 p) Din $A(x+4)+B(x-10)=28$ obținem $A+B=0$ și $4A-10B=28$; cu $B=-A$ rezultă $14A=28$, deci $A=2$ și $B=-2$: $$\frac{28}{(x-10)(x+4)}=\frac{2}{x-10}-\frac{2}{x+4}.$$ c) (2 p) Pe $[2,3]$ avem $x-10<0$ și $x+4>0$, deci $${\int }_2^3\frac{28dx}{(x-10)(x+4)}=(2\ln |x-10|-2\ln (x+4)){|}_2^3=(2\ln 7-2\ln 7)-(2\ln 8-2\ln 6)=-2\ln \frac{4}{3}\approx -0,5754.$$ Semnul se potrivește: numărătorul este pozitiv, $x-10$ negativ și $x+4$ pozitiv pe tot intervalul, deci funcția de sub integrală are valori negative, iar rezultatul a ieșit negativ.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Rădăcina reală a numitorului este $-1$, iar $x^2+17$ nu se anulează nicăieri; cum $-1\notin [0,1]$, scrierea are sens. Cu descompunerea de la itemul 8 și cu $\sqrt{c}=\sqrt{17}$, o primitivă este $$2\ln (x+1)+\frac{1}{\sqrt{17}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{17}}$$ (pe $[0,1]$ avem $x+1>0$, deci barele de modul se scot). b) (3 p) Evaluăm între limite: $${\int }_0^{1}h(x)dx=\left(2\ln 2+\frac{1}{\sqrt{17}}\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{17}}\right)-\left(2\ln 1+\frac{1}{\sqrt{17}}\mathrm{arctg}0\right)=2\ln 2+\frac{1}{\sqrt{17}}\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{17}},$$ fiindcă $\ln 1=0$ și $\mathrm{arctg}0=0$. c) (2 p) Numeric, $2\ln 2\approx 1,3863$ și $\frac{1}{\sqrt{17}}\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{17}}\approx 0,0577$, deci rezultatul este $\approx 1,4440$. Este pozitiv, cum trebuie: pe $[0,1]$ numărătorul și numitorul sunt amândoi pozitivi.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Numitorul are $\Delta =100+96=196$, cu rădăcinile $\frac{10\pm 14}{2}$, adică $12$ și $-2$; niciuna nu aparține lui $[0,1]$, deci scrierea are sens. Gradul numărătorului este $3$, al numitorului $2$, deci împărțim: $x\left(x^2-10x-24\right)=x^3-10x^2-24x$, iar diferența față de numărător este $3x-8$. Prin urmare $$\frac{x^3-10x^2-21x-8}{x^2-10x-24}=x+\frac{3x-8}{(x-12)(x+2)}.$$ b) (2 p) Din $A(x+2)+B(x-12)=3x-8$ obținem $A+B=3$ și $2A-12B=-8$, adică $A-6B=-4$; scăzând, $7B=7$, deci $B=1$ și $A=2$: $$\frac{3x-8}{(x-12)(x+2)}=\frac{2}{x-12}+\frac{1}{x+2}.$$ c) (3 p) Pe $[0,1]$ avem $x-12<0$ și $x+2>0$, deci $${\int }_0^1\frac{x^3-10x^2-21x-8}{x^2-10x-24}dx=\left(\frac{x^2}{2}+2\ln |x-12|+\ln (x+2)\right){|}_0^1=\left(\frac{1}{2}+2\ln 11+\ln 3\right)-\left(2\ln 12+\ln 2\right).$$ Grupând, rezultatul este $\frac{1}{2}+2\ln \frac{11}{12}+\ln \frac{3}{2}\approx 0,7314$. Termenul liber $\frac{1}{2}$ vine din partea polinomială — urma împărțirii.

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Din $A(t+6)+B(t+1)=40$ obținem $A+B=0$ și $6A+B=40$; cu $B=-A$ rezultă $5A=40$, deci $A=8$ și $B=-8$: $$r(t)=\frac{8}{t+1}-\frac{8}{t+6}\text{miligrame pe ora˘}.$$ b) (3 p) Rădăcinile numitorului sunt $-1$ și $-6$, amândouă în afara lui $[0,4]$, deci scrierea are sens, iar pe interval $t+1>0$ și $t+6>0$: $${\int }_0^{4}r(t)dt=8(\ln (t+1)-\ln (t+6)){|}_0^4=8[(\ln 5-\ln 10)-(\ln 1-\ln 6)]=8\left(\ln \frac{1}{2}+\ln 6\right)=8\ln 3\approx 8,7889.$$ c) (2 p) Pentru $t\ge 0$ avem $0<t+1<t+6$, deci $\frac{8}{t+1}>\frac{8}{t+6}$ și diferența este strict pozitivă — cum și trebuie să fie o viteză de eliminare. Rezultatul de la b) se măsoară în miligrame: viteza este în miligrame pe oră, iar timpul în ore.

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) Rădăcinile întregi se caută printre divizorii termenului liber $24$. Pentru $x=1$ obținem $1-3-22+24=0$, deci $1$ este rădăcină. Cu schema lui Horner, pe coeficienții $1,-3,-22,24$ și $a=1$: $1$; $-3+1=-2$; $-22-2=-24$; $24-24=0$, deci $x^3-3x^2-22x+24=(x-1)\left(x^2-2x-24\right)$. Trinomul are $\Delta =4+96=100$, cu rădăcinile $\frac{2\pm 10}{2}$, adică $6$ și $-4$, deci se desface în $(x-6)(x+4)$. Rezultă $x^3-3x^2-22x+24=(x-1)(x+4)(x-6)$. b) (3 p) Aducem la același numitor: $A(x+4)(x-6)+B(x-1)(x-6)+C(x-1)(x+4)$, adică $A\left(x^2-2x-24\right)+B\left(x^2-7x+6\right)+C\left(x^2+3x-4\right)$. Identificând cu $4x^2-13x-16$ obținem $A+B+C=4$, $-2A-7B+3C=-13$ și $-24A+6B-4C=-16$. Adunând de trei ori prima la a doua: $A-4B+6C=-1$; adunând de patru ori prima la a treia: $-20A+10B=0$, deci $B=2A$. Din prima, $C=4-3A$; înlocuind în $A-4B+6C=-1$: $A-8A+24-18A=-1$, adică $-25A=-25$, deci $A=1$, apoi $B=2$ și $C=1$: $$f(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+4}+\frac{1}{x-6}.$$ c) (3 p) Rădăcinile numitorului sunt $1$, $-4$ și $6$; niciuna nu aparține lui $[7,8]$, deci scrierea are sens, iar pe interval toate cele trei paranteze sunt pozitive: $${\int }_7^{8}f(x)dx=(\ln (x-1)+2\ln (x+4)+\ln (x-6)){|}_7^8=\left(\ln 7+2\ln 12+\ln 2\right)-\left(\ln 6+2\ln 11+\ln 1\right).$$ Grupând, rezultatul este $\ln \frac{336}{121}\approx 1,0213$. Este pozitiv, cum trebuie: pe $[7,8]$ numărătorul $4x^2-13x-16$ și numitorul sunt amândoi pozitivi.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică întreaga unitate de integrale raționale a suplimentului: cele două lecții ale ei — Descompunerea în fracții simple (compararea gradelor, împărțirea, numărul de coeficienți, metoda identificării, proba) și Integrale raționale: numitor de grad cel mult 4 (rădăcinile numitorului față de intervalul de integrare, cele trei feluri de bucăți și primitivele lor, modulul, partea polinomială, controlul prin semn și prin derivare). Unitatea nu are alt test în traseul clasei, deci aici se cere tot: nu rămâne nimic pentru un test vecin. Tabelul primitivelor, formula Leibniz–Newton, integrarea prin părți și schimbarea de variabilă au fost verificate în testele unităților 3 și 5; aici ele apar numai ca unelte de lucru. Cazul unui numitor cu rădăcină dublă nu se cere: el nu face parte din ce predă lecția la acest profil.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — toate sistemele de coeficienți au soluții întregi, iar rezultatele se lasă scrise cu logaritmi și cu $\mathrm{arctg}$. Unde se cere o aproximare, ea are patru zecimale. La fiecare integrală se cere mai întâi propoziția despre rădăcinile numitorului și intervalul de integrare.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele două lecții, în special compararea gradelor înainte de descompunere și scăderea corectă din capătul de jos al intervalului.
• Formule de reținut: la acest profil fracțiile simple sunt $\frac{A}{x-a}$, peste un factor de gradul întâi, și $\frac{Bx+C}{x^2+c}$, cu $c>0$, peste un factor de gradul al doilea fără rădăcini reale; numărul coeficienților este egal cu gradul numitorului; descompunerea are sens numai când $\mathrm{grad}P<\mathrm{grad}Q$, altfel se împarte întâi și câtul rămâne ca parte polinomială; coeficienții se află prin identificare, adică aducând totul la același numitor și egalând coeficienții celor două numărătoare; primitivele bucăților sunt $\int \frac{A}{x-a}dx=A\ln |x-a|+\mathcal{C}$, $\int \frac{C}{x^2+c}dx=\frac{C}{\sqrt{c}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{c}}+\mathcal{C}$ și $\int \frac{Bx}{x^2+c}dx=\frac{B}{2}\ln \left(x^2+c\right)+\mathcal{C}$; la integrala definită se cere ca numitorul să nu se anuleze în niciun punct al intervalului $[a,b]$, iar constanta nu se mai scrie.
• Programa și examenul. Testul face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: tema lui este cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), care conține, la metodele de calcul al integralelor definite, rândul „Calculul integralelor de forma ${\int }_a^b\frac{P(x)}{Q(x)}dx$, grad $Q\le 4$ prin metoda descompunerii în fracții simple" — de acolo vine și plafonul gradului numitorului. Programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu mai are funcțiile raționale în capitolul de primitive și nici în cel al integralei definite, iar în programa probei MAT_P2 din 2030 tema nu figurează la nicio clasă: pentru prima promoție a programei noi ea rămâne lectură suplimentară. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027, 2028 și 2029, unde tema apare la Subiectul al III-lea, singurul care conține materie de analiză matematică. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".