Test: Supliment Bac M2: inele și corpuri (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Supliment Bac M2 2027–2029: inele și corpuri

Exerciții

Partea I – Cele șapte condiții și inelul ${\mathbb{Z}}_{12}$

Exercițiul 1 (6 puncte)

Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Care este elementul nul și care este elementul unitate în inelul $\mathbb{Q}$? b) Care dintre cele șapte condiții leagă între ele cele două operații și în câte scrieri se cere ea? c) În ${\mathbb{Z}}_{12}$, care este opusul clasei $\hat{5}$? d) Calculează $\hat{7}\cdot \hat{8}$ în ${\mathbb{Z}}_{12}$. e) Este ${\mathbb{Z}}_{12}$ corp? f) Adevărat sau fals: „Mulțimea numerelor reale de forma $a+b\sqrt{6}$, cu $a$ și $b$ numere întregi, este inel față de adunarea și înmulțirea obișnuite."

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se lucrează în inelul $({\mathbb{Z}}_{12},+,\cdot )$.

a) Calculează $\hat{9}\cdot \hat{5}+\hat{8}$. (2 p) b) Rezolvă ecuația $x+\hat{9}=\hat{2}$. (2 p) c) Arată că $\hat{9}\cdot \hat{9}=\hat{9}$. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se consideră mulțimea $D$ a numerelor întregi divizibile cu $6$, cu adunarea și înmulțirea obișnuite.

a) Arată că suma și produsul a două elemente din $D$ rămân în $D$. (2 p) b) Arată că elementul nul aparține lui $D$ și că opusul fiecărui element al lui $D$ rămâne în $D$. (2 p) c) Precizează care condiție din listă cade și scrie de ce $D$ nu este inel. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) În ${\mathbb{Z}}_{12}$, clasa $\widehat{11}\cdot \widehat{11}$ este: A. $\hat{1}$; B. $\widehat{11}$; C. $\hat{0}$; D. $\widehat{10}$.

b) Care dintre structurile următoare este corp: A. $\mathbb{Z}$; B. ${\mathbb{Z}}_{26}$; C. ${\mathbb{Z}}_{37}$; D. mulțimea matricelor pătratice de tipul $2\times 2$ cu elemente reale.

c) În inelul funcțiilor reale, produsul funcțiilor $p(x)=x-3$ și $q(x)=x+3$ este funcția: A. $2x$; B. $x^2-9$; C. $x^2+9$; D. $x^2-6x+9$.

d) În ${\mathbb{Z}}_{14}$, inversul clasei $\hat{9}$ este: A. $\hat{5}$; B. $\widehat{11}$; C. $\hat{3}$; D. clasa $\hat{9}$ nu are invers.

Partea a II-a – Inele de matrice și inele de funcții

Exercițiul 5 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea $N=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ b& a\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{R}\right\}$.

a) Calculează suma a două matrice din $N$ și arată că rezultatul rămâne în $N$. (2 p) b) Calculează produsul a două matrice din $N$ și arată că rezultatul rămâne în $N$. (2 p) c) Precizează elementul nul, elementul unitate și opusa unei matrice din $N$. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 4& 1\end{array}\right)$, din inelul matricelor pătratice de tipul $2\times 2$ cu elemente reale.

a) Calculează $A\cdot B$ și $B\cdot A$. (4 p) b) Scrie ce consecință are rezultatul asupra condiției C7. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Decide dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Dacă un inel are un număr finit de elemente, atunci el este corp." b) „Într-un corp, ecuația $x\cdot x=x$ are exact două soluții." c) „În inelul funcțiilor reale, funcția $f(x)=x^2+1$ are inversă." d) „În ${\mathbb{Z}}_{21}$, ecuația $\hat{3}x=\hat{5}$ are soluție."

Exercițiul 8 (6 puncte)

În inelul funcțiilor reale se consideră $u(x)=4x-7$ și $v(x)=x^2+6$.

a) Calculează $u+v$. (2 p) b) Calculează $uv$. (2 p) c) Determină opusa funcției $u$ și verifică, în punctul $x=3$, că $u+(-u)$ este elementul nul. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Într-un montaj, tensiunea pe un consumator scade după legea $U(t)=12-2t$, măsurată în volți, iar intensitatea crește după legea $I(t)=2+t$, în amperi, unde $t$ este timpul în minute, cu $t\in [0;4]$.

a) Scrie funcția $P=U\cdot I$ care dă puterea, în wați. (2 p) b) Calculează $P(0)$ și $P(3)$, cu unitatea de măsură. (2 p) c) Arată că $U$ și $I$ iau numai valori pozitive pe tot intervalul și precizează ce operație din inelul funcțiilor ai folosit la punctul a). (2 p)

Partea a III-a – Corpuri și clase de resturi

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea claselor de resturi ${\mathbb{Z}}_{19}$.

a) Arată că $\hat{4}\cdot \hat{5}=\hat{1}$. (2 p) b) Rezolvă ecuația $\hat{4}x=\hat{7}$. (3 p) c) Explică de ce ${\mathbb{Z}}_{19}$ este corp, iar ${\mathbb{Z}}_{21}$ nu este. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se lucrează în inelul ${\mathbb{Z}}_{21}$.

a) Arată că $\hat{6}$ nu are invers, pornind de la produsul $\hat{6}\cdot \hat{7}$. (3 p) b) Determină toate clasele $\hat{x}$ pentru care $\hat{6}\cdot \hat{x}=\hat{3}$. (3 p) c) Arată că $\hat{5}$ are invers și determină-l. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră mulțimea $S=\{\hat{0},\hat{7},\widehat{14}\}$, cu operațiile din ${\mathbb{Z}}_{21}$.

a) Arată că suma și produsul a două elemente din $S$ rămân în $S$. (3 p) b) Precizează elementul nul al lui $S$ și opusul fiecărui element. (2 p) c) Arată că elementul unitate al lui $S$ este $\hat{7}$, deși $\hat{1}$ nu aparține lui $S$. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se lucrează cu clasele de resturi.

a) Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_{19}$ ecuația $\hat{3}x+\hat{5}=\hat{2}$. (3 p) b) Arată că în ${\mathbb{Z}}_{21}$ ecuația $\hat{3}x=\hat{6}$ are trei soluții și scrie-le. (3 p) c) Explică, folosind noțiunea de corp, de ce ecuația de la punctul a) are soluție unică, iar cea de la punctul b) nu. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Elementul nul este $0$, iar elementul unitate este $1$ — numele vin de la rolul jucat: primul e neutru la adunare, al doilea la înmulțire. b) Condiția C7, distributivitatea, cerută în două scrieri: $x(y+z)=xy+xz$ și $(y+z)x=yx+zx$, fiindcă la inelele în care înmulțirea nu e comutativă cele două sunt afirmații diferite. c) $-\hat{5}=\widehat{12-5}=\hat{7}$; proba: $5+7=12$, deci $\hat{5}+\hat{7}=\widehat{12}=\hat{0}$. d) $\hat{7}\cdot \hat{8}=\widehat{56}=\hat{8}$, fiindcă $56=4\cdot 12+8$. e) Nu, fiindcă $12$ nu este număr prim: din $12=3\cdot 4$ rezultă $\hat{3}\cdot \hat{4}=\widehat{12}=\hat{0}$, cu ambii factori nenuli, deci $\hat{3}$ nu poate avea invers. f) Adevărat. Suma este $(a+c)+(b+d)\sqrt{6}$, iar produsul este $(ac+6bd)+(ad+bc)\sqrt{6}$ — amândouă de aceeași formă, cu coeficienți întregi; elementul nul este $0+0\sqrt{6}$, elementul unitate este $1+0\sqrt{6}$, iar opusul lui $a+b\sqrt{6}$ este $(-a)+(-b)\sqrt{6}$, tot în mulțime.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $\hat{9}\cdot \hat{5}=\widehat{45}=\hat{9}$, fiindcă $45=3\cdot 12+9$. Apoi $\hat{9}+\hat{8}=\widehat{17}=\hat{5}$, fiindcă $17=12+5$. b) (2 p) Adunăm în ambii membri opusul lui $\hat{9}$, care este $\hat{3}$: $x=\hat{2}+\hat{3}=\hat{5}$. Verificare: $\hat{5}+\hat{9}=\widehat{14}=\hat{2}$. c) (2 p) $\hat{9}\cdot \hat{9}=\widehat{81}$, iar $81=6\cdot 12+9$, deci $\widehat{81}=\hat{9}$. Clasa $\hat{9}$ se reproduce prin înmulțire cu ea însăși, fără să fie elementul unitate al lui ${\mathbb{Z}}_{12}$.

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Două elemente din $D$ se scriu $6k$ și $6m$, cu $k$ și $m$ numere întregi. Suma lor este $6(k+m)$, iar produsul $6(6km)$ — amândouă de forma $6\cdot (\text{numa˘r ıˆntreg})$, deci în $D$. Condiția C1 este îndeplinită pentru ambele operații. b) (2 p) Elementul nul este $0=6\cdot 0$, deci $0\in D$ (C3). Opusul lui $6k$ este $-6k=6(-k)$, tot în $D$ (C4). Condițiile C2, C5 și C7 se moștenesc din inelul $\mathbb{Z}$, în care $D$ este cuprinsă. c) (2 p) Cade C6: $D$ nu are element unitate. Un candidat $u=6k$ ar trebui să verifice $u\cdot 6=6$, adică $36k=6$, ceea ce nu se întâmplă pentru niciun număr întreg $k$; în particular $1\notin D$. Prin urmare $D$ nu este inel, deși trece de celelalte șase condiții.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — $\widehat{11}\cdot \widehat{11}=\widehat{121}$, iar $121=10\cdot 12+1$, deci rezultatul este $\hat{1}$. b) C — $37$ este număr prim, deci ${\mathbb{Z}}_{37}$ este corp. $\mathbb{Z}$ nu este (doar $1$ și $-1$ au invers întreg), ${\mathbb{Z}}_{26}$ nu este ($26=2\cdot 13$, iar $\hat{2}\cdot \widehat{13}=\widehat{26}=\hat{0}$ cu ambii factori nenuli), iar mulțimea matricelor conține matrice nenule fără inversă. c) B — produsul se face pe puncte: $(pq)(x)=(x-3)(x+3)=x^2-9$. d) B — $\hat{9}\cdot \widehat{11}=\widehat{99}$, iar $99=7\cdot 14+1$, deci $\widehat{99}=\hat{1}$. Varianta D este capcana: $14$ nu este prim, dar asta nu împiedică o clasă anume să aibă invers — o are exact atunci când reprezentantul ei este prim cu $14$, iar $9$ este.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ b& a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}c& 0\\ d& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+c& 0\\ b+d& a+c\end{array}\right)$ — are $0$ în colțul din dreapta-sus și aceleași două numere pe diagonală, deci este în $N$. b) (2 p) $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& 0\\ d& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac& 0\\ bc+ad& ac\end{array}\right)$, tot de forma cerută, cu parametrii $ac$ și $ad+bc$. c) (2 p) Elementul nul este $O_2$, obținut pentru $a=b=0$; elementul unitate este $I_2$, obținut pentru $a=1$ și $b=0$; opusa matricei $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ b& a\end{array}\right)$ este $\left(\begin{array}{cc}-a& 0\\ -b& -a\end{array}\right)$, tot în $N$.

Exercițiul 6. (6 p) a) (4 p) $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 4& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0+4& 12+1\\ 0+12& 0+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 13\\ 12& 3\end{array}\right)$ (2 p), iar $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 4& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0+0& 0+9\\ 16+0& 4+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 9\\ 16& 7\end{array}\right)$ (2 p). Cele două rezultate sunt diferite. b) (2 p) Înmulțirea matricelor nu este comutativă, deci $A(B+C)=AB+AC$ și $(B+C)A=BA+CA$ sunt afirmații diferite; de aceea condiția C7 se cere în amândouă scrierile, iar într-o rezolvare fiecare dintre ele se verifică separat.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Fals. Inelul ${\mathbb{Z}}_{20}$ are douăzeci de elemente, deci este finit, și totuși nu este corp: clasa $\hat{4}$ este nenulă și nu are invers, fiindcă $\hat{4}\cdot \widehat{10}=\widehat{40}=\hat{0}$, iar dacă $\hat{4}$ ar avea inversul $\hat{c}$, înmulțind egalitatea cu $\hat{c}$ am obține $\widehat{10}=\hat{0}$, fals. b) Adevărat. Elementele $0$ și $1$ verifică egalitatea. Dacă $x\ne 0$, atunci $x$ are invers, iar înmulțind $x\cdot x=x$ cu $x^{-1}$ obținem $x=1$; alte soluții nu există. c) Adevărat. Funcția $g(x)=\frac{1}{x^2+1}$ este definită pe tot $\mathbb{R}$, fiindcă $x^2+1>0$ pentru orice $x$, iar $(fg)(x)=1$ în fiecare punct, adică produsul este chiar elementul unitate al inelului. d) Fals. Produsele lui $\hat{3}$ cu clasele lui ${\mathbb{Z}}_{21}$ sunt de forma $\widehat{3x}$, iar o astfel de clasă are reprezentantul divizibil cu $3$; cum $3x-5$ nu se divide niciodată cu $3$, nu poate fi divizibil cu $21$. Ecuația nu are soluție.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) $(u+v)(x)=(4x-7)+(x^2+6)={\mathbf{x}}^2+4x-1$. b) (2 p) $(uv)(x)=(4x-7)(x^2+6)=4x^3+24x-7x^2-42=4{\mathbf{x}}^3-7{\mathbf{x}}^2+24x-42$. c) (2 p) Opusa este $(-u)(x)=-4x+7$. În punctul $x=3$: $u(3)=12-7=5$ și $(-u)(3)=-12+7=-5$, iar suma valorilor este $5+(-5)=0$ — adică valoarea funcției constante nule, elementul nul al inelului.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Puterea este produsul pe puncte al celor două funcții: $P(t)=(12-2t)(2+t)=24+12t-4t-2t^2=24+8t-2{\mathbf{t}}^2$ wați. b) (2 p) $P(0)=24$ wați, iar $P(3)=24+24-18=30$ wați. c) (2 p) Pe intervalul $[0;4]$, funcția $U$ este descrescătoare, iar valoarea ei cea mai mică se atinge în capătul din dreapta: $U(4)=12-8=4>0$; funcția $I$ este crescătoare, iar valoarea ei cea mai mică este $I(0)=2>0$. Amândouă rămân deci pozitive, iar produsul lor este pozitiv pe tot intervalul, cum se cuvine unei puteri. Operația folosită este înmulțirea pe puncte din inelul funcțiilor reale, $(UI)(t)=U(t)\cdot I(t)$.

Exercițiul 10. (8 p) a) (2 p) $\hat{4}\cdot \hat{5}=\widehat{20}$, iar $20=19+1$, deci $\widehat{20}=\hat{1}$. Așadar $\hat{5}$ este inversul lui $\hat{4}$. b) (3 p) Înmulțim ambii membri cu $\hat{5}$, inversul lui $\hat{4}$ (1 p): $x=\hat{5}\cdot \hat{7}=\widehat{35}$, iar $35=19+16$, deci $x=\widehat{16}$ (1 p). Verificare: $\hat{4}\cdot \widehat{16}=\widehat{64}$, iar $64=3\cdot 19+7$, deci rezultatul este $\hat{7}$ (1 p). c) (3 p) $19$ este număr prim, deci, după regula din lecție, ${\mathbb{Z}}_{19}$ este corp: orice clasă nenulă are invers (1 p). În schimb $21=3\cdot 7$ nu este prim: clasele $\hat{3}$ și $\hat{7}$ sunt nenule, dar $\hat{3}\cdot \hat{7}=\widehat{21}=\hat{0}$ (1 p); dacă $\hat{3}$ ar avea inversul $\hat{c}$, înmulțind egalitatea cu $\hat{c}$ am obține $\hat{7}=\hat{0}$, fals. Deci ${\mathbb{Z}}_{21}$ nu este corp (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) $\hat{6}\cdot \hat{7}=\widehat{42}=\hat{0}$, fiindcă $42=2\cdot 21$ (1 p), iar $\hat{7}$ este o clasă nenulă (1 p). Dacă $\hat{6}$ ar avea inversul $\hat{c}$, înmulțind egalitatea cu $\hat{c}$ am obține $\hat{7}=\hat{c}\cdot \hat{0}=\hat{0}$, ceea ce este fals; deci $\hat{6}$ nu are invers (1 p). b) (3 p) Condiția $\widehat{6x}=\hat{3}$ înseamnă că $21$ divide $6x-3=3(2x-1)$, adică $7$ divide $2x-1$ (1 p). Înmulțind cu $4$ (inversul lui $2$ modulo $7$), obținem că $7$ divide $8x-4$, adică $x-4$ (1 p). Soluțiile din ${\mathbb{Z}}_{21}$ sunt deci $\hat{4}$, $\widehat{11}$ și $\widehat{18}$ (1 p). Verificare: $6\cdot 4=24=21+3$; $6\cdot 11=66=3\cdot 21+3$; $6\cdot 18=108=5\cdot 21+3$. c) (2 p) $\hat{5}\cdot \widehat{17}=\widehat{85}$, iar $85=4\cdot 21+1$, deci $\widehat{85}=\hat{1}$: inversul lui $\hat{5}$ este $\widehat{17}$. Deosebirea față de $\hat{6}$ vine din faptul că $5$ și $21$ nu au divizori comuni în afară de $1$.

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Sumele: $\hat{7}+\hat{7}=\widehat{14}$; $\hat{7}+\widehat{14}=\widehat{21}=\hat{0}$; $\widehat{14}+\widehat{14}=\widehat{28}=\hat{7}$; adunările cu $\hat{0}$ nu schimbă nimic (1 p). Produsele: $\hat{7}\cdot \hat{7}=\widehat{49}=\hat{7}$, fiindcă $49=2\cdot 21+7$; $\hat{7}\cdot \widehat{14}=\widehat{98}=\widehat{14}$, fiindcă $98=4\cdot 21+14$; $\widehat{14}\cdot \widehat{14}=\widehat{196}=\hat{7}$, fiindcă $196=9\cdot 21+7$; produsele cu $\hat{0}$ dau $\hat{0}$ (2 p). Toate rezultatele sunt în $S$. b) (2 p) Elementul nul este $\hat{0}$. Opusele: $-\hat{7}=\widehat{14}$ și $-\widehat{14}=\hat{7}$, fiindcă $7+14=21$; iar $-\hat{0}=\hat{0}$. Toate rămân în $S$. c) (3 p) Verificăm cele trei produse cu $\hat{7}$: $\hat{7}\cdot \hat{0}=\hat{0}$, $\hat{7}\cdot \hat{7}=\hat{7}$ și $\hat{7}\cdot \widehat{14}=\widehat{14}$ (2 p). Fiecare element al lui $S$ rămâne neschimbat, deci $\hat{7}$ joacă în $S$ rolul elementului unitate, deși în ${\mathbb{Z}}_{21}$ acest rol îl are $\hat{1}$, care nu aparține lui $S$. Numele „element unitate" arată rolul, nu cifra (1 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) Adunăm opusul lui $\hat{5}$, adică $\widehat{14}$: $\hat{3}x=\hat{2}+\widehat{14}=\widehat{16}$ (1 p). Inversul lui $\hat{3}$ în ${\mathbb{Z}}_{19}$ este $\widehat{13}$, fiindcă $3\cdot 13=39=2\cdot 19+1$ (1 p). Înmulțim: $x=\widehat{13}\cdot \widehat{16}=\widehat{208}$, iar $208=10\cdot 19+18$, deci $x=\widehat{18}$ (1 p). Verificare: $\hat{3}\cdot \widehat{18}=\widehat{54}=\widehat{16}$, iar $\widehat{16}+\hat{5}=\widehat{21}=\hat{2}$. b) (3 p) Condiția $\widehat{3x}=\hat{6}$ înseamnă că $21$ divide $3x-6=3(x-2)$, adică $7$ divide $x-2$ (2 p). Soluțiile din ${\mathbb{Z}}_{21}$ sunt $\hat{2}$, $\hat{9}$ și $\widehat{16}$ (1 p). Verificare: $3\cdot 9=27=21+6$ și $3\cdot 16=48=2\cdot 21+6$. c) (2 p) În ${\mathbb{Z}}_{19}$, care este corp, coeficientul $\hat{3}$ este nenul, deci are invers; dacă două clase ar fi soluții, înmulțind egalitatea lor cu acel invers am obține că sunt egale — de aici unicitatea. În ${\mathbb{Z}}_{21}$, care nu este corp, clasa $\hat{3}$ nu are invers, pasul acela este interzis, iar ecuația poate avea mai multe soluții, cum s-a văzut la punctul b).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică întreaga unitate de inele și corpuri a suplimentului: cele trei lecții ale ei — Inelul: definiție și exemple, Inele de matrice și inele de funcții reale și Corpul: corpuri numerice și clase modulo $p$. Legile de compoziție și grupurile au fost verificate în testul de supliment anterior, iar polinoamele peste un corp se verifică în cel următor; aici nu se cere nimic despre morfisme și nimic despre polinoame.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La clasele de resturi, fiecare rezultat se aduce la una dintre cele $n$ clase; la o mulțime despre care se cere verdictul „este inel", verificarea se scrie condiție cu condiție, iar dacă verdictul e „nu", se numește condiția care cade și elementul care o strică.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele trei lecții, în special lista celor șapte condiții și regula „${\mathbb{Z}}_n$ este corp exact când $n$ este număr prim".
• Formule de reținut: un inel $(A,+,\cdot )$ îndeplinește cele șapte condiții — C1 ambele operații rămân în $A$; C2 adunarea e asociativă; C3 există elementul nul $0$; C4 fiecare element are opus; C5 adunarea e comutativă; C6 înmulțirea e asociativă și are element unitate $1$; C7 înmulțirea se distribuie peste adunare, în ambele scrieri, $x(y+z)=xy+xz$ și $(y+z)x=yx+zx$; inelul se numește comutativ când și înmulțirea e comutativă; un corp este un inel cu $1\ne 0$ în care orice element diferit de elementul nul are invers; corpurile cerute de programa de examen sunt $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ și ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ prim, iar ${\mathbb{Z}}_n$ este corp exact atunci când $n$ este număr prim; în ${\mathbb{Z}}_n$, opusul este $-\hat{a}=\widehat{n-a}$; în inelul matricelor pătratice de tipul $2\times 2$ elementul nul este $O_2$ și elementul unitate este $I_2$; în inelul funcțiilor reale operațiile se fac pe puncte, elementul nul este funcția constantă $0$, iar elementul unitate este funcția constantă $1$.
• Programa și examenul. Testul face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: inelele și corpurile sunt cerute de programa de examen aprobată prin OMEN 4430/2014, în secțiunea pentru științe ale naturii, la rândurile „Inel, exemple: inele numerice ($\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$), ${\mathbb{Z}}_n$, inele de matrice, inele de funcții reale" și „Corp, exemple: corpuri numerice ($\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$), ${\mathbb{Z}}_p$, $p$ prim", din capitolul de algebră al clasei a XII-a; partea de algebră a probei se rezolvă la Subiectul al II-lea. Programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu mai cuprinde structurile algebrice la clasa a XII-a, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema nu figurează în programa de examen: pentru acea generație materia de aici rămâne lectură suplimentară, nu materie de probă. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".