Test: Supliment Bac M2: legi de compoziție și grupuri (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri

Exerciții

Partea I – Legea internă, tabla și proprietățile

Exercițiul 1 (6 puncte)

Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Este $x\ast y=5xy-2x-2y$ lege de compoziție internă pe $\mathbb{Z}$? b) Dar pe $\mathbb{N}$? c) Este $x\circ y=\frac{x+3}{y}$ lege de compoziție internă pe $\mathbb{R}$? d) Câte căsuțe are tabla unei legi definite pe o mulțime cu $5$ elemente? e) Ce anume verifici într-o tablă completată, ca să dai verdictul „lege internă"? f) Adevărat sau fals: „Dacă o lege internă pe o mulțime finită are element neutru, atunci în tabla ei fiecare element al mulțimii apare cel puțin o dată."

Exercițiul 2 (6 puncte)

Pe mulțimea $M=\{u,v,w\}$ se dă, parțial, tabla unei legi $\ast$. Se știe că $v$ este element neutru.

a) Completează cele cinci căsuțe marcate cu semnul întrebării. (2 p) b) Decide dacă legea este comutativă, cu justificarea citită din tablă. (2 p) c) Precizează elementele simetrizabile și arată de ce $(M,\ast )$ nu este grup. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Pe $M=\{1,4,11,14\}$ se definește $x\ast y$ ca fiind restul pe care îl dă produsul $xy$ la împărțirea cu $15$.

a) Scrie tabla legii și arată că $\ast$ este lege internă pe $M$. (2 p) b) Determină elementul neutru. (2 p) c) Arată că fiecare element al lui $M$ are simetric și precizează-l. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Pentru legea $x\ast y=3xy-12x-12y+52$, definită pe $\mathbb{R}$, valoarea lui $6\ast 5$ este: A. $10$; B. $16$; C. $4$; D. $-2$.

b) Mulțimea numerelor reale de forma $2^k$, cu $k$ număr întreg, împreună cu înmulțirea numerelor reale: A. nu este lege internă; B. formează grup, cu elementul neutru $1$; C. formează grup, cu elementul neutru $2$; D. este lege internă, dar niciun element nu are simetric.

c) În grupul $({\mathbb{Z}}_{26},+)$, opusul clasei $\widehat{21}$ este: A. $\hat{5}$; B. $\widehat{21}$; C. $\hat{6}$; D. $\widehat{26}$.

d) Se notează $C(a)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ a& 1\end{array}\right)$, cu $a$ număr real. Produsul $C(3)\cdot C(-5)$ este: A. $C(-15)$; B. $C(-2)$; C. $C(8)$; D. $C(0)$.

Partea a II-a – Grupuri numerice și clase de resturi

Exercițiul 5 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție $x\ast y=3xy-12x-12y+52$.

a) Arată că $x\ast y=3(x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $x$ și $y$. (2 p) b) Calculează $1\ast 7$ și arată că $4\ast y=4$, oricare ar fi numărul real $y$. (2 p) c) Deduce de ce numărul $4$ nu poate avea simetric față de legea $\ast$. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se știe că $(\mathbb{R}\setminus \{4\},\ast )$, cu legea $x\ast y=3xy-12x-12y+52$, este grup comutativ.

a) Determină elementul neutru al grupului. (3 p) b) Determină simetricul lui $5$. (2 p) c) Verifică rezultatul de la punctul b). (1 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Decide dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Dacă o lege de compoziție internă are element neutru, atunci acesta este unic." b) „Mulțimea $\{-1,1\}$ formează grup față de înmulțirea numerelor reale." c) „Dacă $f:(G,\ast )\to (G^{\prime },\circ )$ este morfism de grupuri și $G$ are $5$ elemente, atunci și $G^{\prime }$ are $5$ elemente." d) „Dacă tabla unei legi pe o mulțime finită este simetrică față de diagonala principală, atunci legea are element neutru."

Exercițiul 8 (6 puncte)

Se consideră grupul aditiv $({\mathbb{Z}}_{26},+)$.

a) Calculează $\widehat{21}+\widehat{17}$. (2 p) b) Determină opusul clasei $\widehat{21}$ și fă proba. (2 p) c) Scrie clasa numărului $-45$ ca una dintre cele $26$ de clase. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Două forțe perpendiculare, de mărimi $x$ și $y$ măsurate în newtoni, se compun într-o forță de mărime $x\circ y=\sqrt{x^2+y^2}$, tot în newtoni. Mulțimea mărimilor posibile este $[0,+\infty )$.

a) Calculează $3\circ 4$ și $5\circ 12$, cu unitatea de măsură. (2 p) b) Arată că $0$ este element neutru pentru legea $\circ$ pe $[0,+\infty )$. (2 p) c) Arată că singurul element simetrizabil este $0$ și scrie ce condiție din definiția grupului cade. (2 p)

Partea a III-a – Matrice, morfisme și izomorfisme

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră matricele $C(a)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ a& 1\end{array}\right)$, cu $a$ număr real, și mulțimea $G=\{C(a)\mid a\in \mathbb{R}\}$.

a) Arată că $C(a)\cdot C(b)=C(a+b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$. (3 p) b) Determină elementul neutru al lui $G$ și simetricul matricei $C(a)$. (3 p) c) Arată că $(G,\cdot )$ este grup comutativ și calculează $\det C(a)$. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $t:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$, $t(k)=k^3$, privită între grupurile $(\mathbb{Z},+)$ și $(\mathbb{Z},+)$.

a) Calculează $t(0)$ și arată că funcția trece testul elementului neutru. (2 p) b) Arată, cu o pereche de numere întregi, că $t$ nu este morfism de grupuri. (3 p) c) Explică de ce trecerea testului de la punctul a) nu dovedește nimic. (3 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră grupul $(G,\ast )$, cu $G=\mathbb{R}\setminus \{4\}$ și $x\ast y=3xy-12x-12y+52$, și funcția $h:G\to {\mathbb{R}}^{\ast }$, $h(x)=3x-12$.

a) Arată că $h(x\ast y)=h(x)\cdot h(y)$, pentru orice $x$, $y$ din $G$. (3 p) b) Arată că $h$ este bijectivă, scriind funcția inversă și precizându-i domeniul. (3 p) c) Folosind funcția $h$, regăsește elementul neutru al grupului $(G,\ast )$. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

Se lucrează în grupul $(\mathbb{R}\setminus \{4\},\ast )$, cu $x\ast y=3xy-12x-12y+52$.

a) Rezolvă ecuația $6\ast x=13$. (3 p) b) Determină numerele reale $x$ pentru care $x\ast x=16$. (3 p) c) Arată că ecuația $4\ast x=7$ nu are soluție. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Da. Expresia $5xy-2x-2y$ este un polinom în două litere cu coeficienți întregi, deci are sens pentru orice pereche de numere întregi și dă tot un număr întreg. b) Nu. Pentru $x=0$ și $y=1$ obținem $0\ast 1=0-0-2=-2$, care nu este număr natural. c) Nu. Pentru $y=0$ expresia nu are sens, deci legea nu este definită pentru toate perechile — primul motiv de respingere. d) $5^2=25$ de căsuțe: fiecare pereche ordonată de elemente are căsuța ei. e) Se verifică dacă toate valorile scrise în căsuțe aparțin mulțimii de plecare; dacă apare un element străin, legea nu este internă pe acea mulțime. f) Adevărat. Linia elementului neutru reproduce antetul de sus, fiindcă $e\ast x=x$ pentru orice $x$; pe acea linie apar deci toate elementele mulțimii.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) Condiția „$v$ este element neutru" înseamnă $v\ast x=x$ și $x\ast v=x$ pentru orice $x$ din $M$. De aici: $u\ast v=u$, $v\ast u=u$, $v\ast v=v$, $v\ast w=w$, $w\ast v=w$. Tabla completă este:

b) (2 p) Da, legea este comutativă: tabla este simetrică față de diagonala principală. Perechile oglindite dau aceleași valori — $u\ast v=v\ast u=u$, $u\ast w=w\ast u=w$, $v\ast w=w\ast v=w$. c) (2 p) Căutăm elementul neutru $v$ în interiorul tablei. Pe linia lui $u$ valorile sunt $v,u,w$, iar $v$ stă în coloana lui $u$, deci $u$ este propriul său simetric. Pe linia lui $v$, $v$ stă în coloana lui $v$, deci $v$ este propriul său simetric. Pe linia lui $w$ valorile sunt $w,w,u$ — clasa $v$ nu apare, deci $\mathbf{w}$ nu are simetric. Sunt simetrizabile numai $u$ și $v$; cum definiția grupului cere simetric pentru fiecare element, $(M,\ast )$ nu este grup.

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Se calculează fiecare produs și se reține restul la împărțirea cu $15$: $4\cdot 4=16$, deci $1$; $4\cdot 11=44=15\cdot 2+14$, deci $14$; $4\cdot 14=56=15\cdot 3+11$, deci $11$; $11\cdot 11=121=15\cdot 8+1$, deci $1$; $11\cdot 14=154=15\cdot 10+4$, deci $4$; $14\cdot 14=196=15\cdot 13+1$, deci $1$; înmulțirile cu $1$ dau chiar celălalt factor.

Toate cele șaisprezece valori sunt în $M$, deci $\ast$ este lege internă pe $M$. b) (2 p) Elementul neutru este $1$: linia lui $1$ este $1,4,11,14$, adică antetul de sus, iar coloana lui $1$ este tot $1,4,11,14$; într-adevăr, restul lui $1\cdot x$ la împărțirea cu $15$ este chiar $x$, pentru fiecare element al mulțimii. c) (2 p) Căutăm $1$ pe fiecare linie. Pe linia lui $4$ el stă în coloana lui $4$, pe linia lui $11$ în coloana lui $11$, iar pe linia lui $14$ în coloana lui $14$. Fiecare element este deci propriul său simetric — probele sunt $4\cdot 4=16$, $11\cdot 11=121$ și $14\cdot 14=196$, toate cu restul $1$ la împărțirea cu $15$. Cum și $1$ este propriul său simetric, toate cele patru elemente sunt simetrizabile.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — $6\ast 5=3\cdot 6\cdot 5-12\cdot 6-12\cdot 5+52=90-72-60+52=10$. b) B — produsul $2^k\cdot 2^m=2^{k+m}$ rămâne în mulțime, înmulțirea este asociativă, $1=2^0$ aparține mulțimii și este element neutru, iar simetricul lui $2^k$ este $2^{-k}$, tot în mulțime. c) A — opusul este $\widehat{26-21}=\hat{5}$; proba: $21+5=26$, deci $\widehat{21}+\hat{5}=\widehat{26}=\hat{0}$. d) B — din formula produsului, $C(3)\cdot C(-5)=C(3+(-5))=C(-2)$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Desfacem membrul drept: $3(x-4)(y-4)+4=3(xy-4x-4y+16)+4=3xy-12x-12y+48+4$, adică exact $3xy-12x-12y+52$. b) (2 p) $1\ast 7=3\cdot 1\cdot 7-12-84+52=21-12-84+52=-23$; control cu forma factorizată: $3(1-4)(7-4)+4=3\cdot (-3)\cdot 3+4=-27+4=-23$. Apoi $4\ast y=3(4-4)(y-4)+4=3\cdot 0\cdot (y-4)+4=4$, oricare ar fi $y$ real. c) (2 p) Elementul neutru al legii este diferit de $4$ (el se determină la itemul $6$ și este $\frac{13}{3}$). Din b) rezultă $4\ast y=4$ pentru orice $y$, deci compusul lui $4$ cu orice element rămâne $4$ și nu ajunge niciodată la elementul neutru. Prin urmare $4$ nu are simetric și trebuie scos din mulțime.

Exercițiul 6. (6 p) a) (3 p) Condiția $x\ast e=x$ se scrie, în forma factorizată, $3(x-4)(e-4)+4=x$, adică $3(x-4)(e-4)=x-4$ (1 p). Luând $x\ne 4$, împărțim la $x-4$ și obținem $3(e-4)=1$, deci $e-4=\frac{1}{3}$ (1 p). Așadar $e=4+\frac{1}{3}=\frac{13}{3}$, valoare care nu depinde de $x$ și este în $\mathbb{R}\setminus \{4\}$ (1 p). b) (2 p) Simetricul lui $5$ este numărul $x^{\prime }$ cu $5\ast x^{\prime }=\frac{13}{3}$, adică $3(5-4)(x^{\prime }-4)+4=\frac{13}{3}$, deci $3(x^{\prime }-4)=\frac{1}{3}$ și $x^{\prime }-4=\frac{1}{9}$. Obținem $x^{\prime }=4+\frac{1}{9}=\frac{37}{9}$. c) (1 p) Verificare: $5\ast \frac{37}{9}=3\cdot 1\cdot \left(\frac{37}{9}-4\right)+4=3\cdot \frac{1}{9}+4=\frac{1}{3}+4=\frac{13}{3}$, adică exact elementul neutru.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Adevărat. Dacă $e$ și $f$ ar fi amândouă elemente neutre, atunci $e\ast f=f$ (fiindcă $e$ e neutru) și $e\ast f=e$ (fiindcă $f$ e neutru), deci $e=f$. b) Adevărat. Produsul a două elemente din $\{-1,1\}$ este tot în mulțime, înmulțirea numerelor reale este asociativă, $1$ este element neutru și aparține mulțimii, iar fiecare element este propriul său simetric: $1\cdot 1=1$ și $(-1)\cdot (-1)=1$. c) Fals. Definiția morfismului cere o singură egalitate, nu bijectivitate; numărul de elemente se păstrează numai la izomorfisme. Contraexemplu: funcția care duce fiecare element al lui $G$ în $e^{\prime }$ este morfism spre orice grup $G^{\prime }$, oricâte elemente ar avea acesta. d) Fals. Simetria tablei arată doar comutativitatea. Contraexemplu: pe $M=\{0,1\}$, legea $x\ast y=0$ are tabla cu toate cele patru căsuțe egale cu $0$, deci simetrică, dar un element neutru $e$ ar trebui să verifice $1\ast e=1$, în timp ce toate compunerile dau $0$.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) $\widehat{21}+\widehat{17}=\widehat{38}$, iar $38=26\cdot 1+12$, deci rezultatul este $\widehat{12}$. b) (2 p) Din formula opusului, $-\widehat{21}=\widehat{26-21}=\hat{5}$. Proba: $21+5=26$, deci $\widehat{21}+\hat{5}=\widehat{26}=\hat{0}$. c) (2 p) Împărțim cu rest: $-45=26\cdot (-2)+7$, deci $\widehat{-45}=\hat{7}$. Restul rămâne în $\{0,1,\dots ,25\}$, chiar dacă numărul de la care pornim este negativ.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) $3\circ 4=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ newtoni, iar $5\circ 12=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ newtoni. b) (2 p) Pentru orice $x\ge 0$ avem $x\circ 0=\sqrt{x^2+0}=\sqrt{x^2}=x$, fiindcă $x$ este nenegativ; legea fiind comutativă (expresia nu se schimbă la interschimbarea literelor), și $0\circ x=x$. Cum $0\in [0,+\infty )$, elementul neutru este $0$. c) (2 p) Condiția $x\circ x^{\prime }=0$ se scrie $\sqrt{x^2+x^{\prime 2}}=0$, adică $x^2+x^{\prime 2}=0$; o sumă de două pătrate se anulează numai când amândouă sunt nule, deci $x=0$ și $x^{\prime }=0$. Singurul element simetrizabil este $0$, deci cade condiția „fiecare element are simetric" și $([0,+\infty ),\circ )$ nu este grup.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Înmulțim cele două matrice: $$C(a)\cdot C(b)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ a& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ b& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+0\cdot b& 1\cdot 0+0\cdot 1\\ a\cdot 1+1\cdot b& a\cdot 0+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ a+b& 1\end{array}\right)=C(a+b).$$ Cum $a+b$ este număr real, produsul rămâne în $G$. b) (3 p) Căutăm parametrul $s$ pentru care $C(a)\cdot C(s)=C(a)$ oricare ar fi $a$. Din formula produsului, condiția devine $a+s=a$, deci $s=0$ (2 p), iar elementul neutru este $C(0)=I_2$, care aparține lui $G$. Pentru simetric căutăm $r$ cu $C(a)\cdot C(r)=C(0)$, adică $a+r=0$, deci $r=-a$: simetricul lui $C(a)$ este $C(-a)$, tot în $G$ (1 p). c) (2 p) Asociativitatea se moștenește de la înmulțirea matricelor, iar pașii de mai sus dau celelalte trei condiții, deci $(G,\cdot )$ este grup. El este comutativ: $C(a)C(b)=C(a+b)=C(b+a)=C(b)C(a)$. În fine, $\det C(a)=1\cdot 1-0\cdot a=1$.

Exercițiul 11. (8 p) a) (2 p) Elementul neutru al lui $(\mathbb{Z},+)$ este $0$, la plecare și la sosire, iar $t(0)=0^3=0$. Funcția duce deci elementul neutru în elementul neutru, adică trece testul. b) (3 p) Luăm $k=1$ și $l=2$. Membrul stâng: $t(1+2)=t(3)=27$ (1 p). Membrul drept: $t(1)+t(2)=1+8=9$ (1 p). Cum $27\ne 9$, egalitatea din definiția morfismului nu are loc pentru această pereche, deci $t$ nu este morfism (1 p). c) (3 p) Egalitatea $f(e)=e^{\prime }$ este o consecință a definiției morfismului, nu o definiție echivalentă cu ea: din ea nu rezultă că funcția păstrează operația. Testul poate, prin urmare, doar să respingă — când $f(e)\ne e^{\prime }$, funcția sigur nu e morfism —, dar trecerea lui nu confirmă nimic, iar funcția $t$ este chiar un exemplu în acest sens.

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Din forma factorizată, $x\ast y-4=3(x-4)(y-4)$ (1 p). Atunci membrul stâng este $h(x\ast y)=3(x\ast y)-12=3(x\ast y-4)=9(x-4)(y-4)$ (1 p), iar membrul drept este $h(x)\cdot h(y)=3(x-4)\cdot 3(y-4)=9(x-4)(y-4)$. Cele două expresii coincid pentru orice $x$, $y$ din $G$ (1 p). b) (3 p) Din $u=3x-12$ rezultă $x=4+\frac{u}{3}$, deci funcția inversă este $h^{-1}:{\mathbb{R}}^{\ast }\to G$, $h^{-1}(u)=4+\frac{u}{3}$ (2 p). Ea este definită pe tot ${\mathbb{R}}^{\ast }$, iar valoarea ei este diferită de $4$ exact când $u\ne 0$, deci chiar pentru orice $u$ din ${\mathbb{R}}^{\ast }$: $h$ este bijectivă, prin urmare izomorfism (1 p). c) (2 p) Elementul neutru al grupului $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$ este $1$, iar orice izomorfism duce elementul neutru în elementul neutru. Deci $e$ este preimaginea lui $1$: din $3e-12=1$ rezultă $e=\frac{13}{3}$, aceeași valoare ca la itemul $6$.

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) Ecuația se scrie $3(6-4)(x-4)+4=13$ (1 p), adică $6(x-4)=9$, deci $x-4=\frac{3}{2}$ (1 p) și $x=\frac{11}{2}$, care aparține lui $\mathbb{R}\setminus \{4\}$. Verificare: $6\ast \frac{11}{2}=3\cdot 2\cdot \frac{3}{2}+4=9+4=13$ (1 p). b) (3 p) Condiția devine $3(x-4{)}^2+4=16$ (1 p), adică $(x-4{)}^2=4$, deci $x-4=2$ sau $x-4=-2$ (1 p). Obținem $x=6$ sau $x=2$, amândouă diferite de $4$. Verificare pentru $x=2$: $2\ast 2=3\cdot 4-24-24+52=12-48+52=16$ (1 p). c) (2 p) La itemul $5$ s-a arătat că $4\ast x=4$ pentru orice număr real $x$. Cum $4\ne 7$, nu există niciun $x$ pentru care $4\ast x=7$: ecuația nu are soluție. Este exact motivul pentru care $4$ a fost scos din mulțime.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică întreaga unitate de grupuri a suplimentului: cele șase lecții ale ei — Legea de compoziție internă și tabla operației, Proprietățile unei legi de compoziție, Grupul: definiție și grupuri numerice, Grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$, Grupuri de matrice și Morfisme și izomorfisme de grupuri. Inelele, corpurile și polinoamele se verifică în celelalte două teste de supliment ale clasei, deci aici nu se cere nimic despre a doua operație a unei mulțimi și nimic despre polinoame.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La fiecare verdict se scrie mulțimea pe care s-a lucrat; la fiecare tablă se scriu toate căsuțele; la clasele de resturi, fiecare rezultat se aduce la una dintre cele $n$ clase.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele șase lecții, în special cei patru pași de verificare a structurii de grup și căutarea elementului neutru.
• Formule de reținut: o lege de compoziție internă pe mulțimea nevidă $M$ este o funcție $\ast :M\times M\to M$; perechea $(G,\ast )$ este grup dacă legea e internă, e asociativă, are element neutru $e$ în $G$ și fiecare element al lui $G$ are simetric în $G$; într-un grup, ecuația $a\ast x=b$ are soluția unică $x=a^{\prime }\ast b$; în tabla unei legi, elementul neutru se recunoaște după linia și coloana care reproduc antetele, iar simetricii după căsuțele în care apare $e$; $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_n=n$, elementul neutru al lui $({\mathbb{Z}}_n,+)$ este $\hat{0}$, iar opusul este $-\hat{a}=\widehat{n-a}$; la o familie de matrice cu parametru totul pornește de la formula produsului, iar elementul neutru se caută, nu se presupune; o funcție $f:(G,\ast )\to (G^{\prime },\circ )$ este morfism dacă $f(x\ast y)=f(x)\circ f(y)$, iar izomorfism dacă este morfism bijectiv; orice morfism duce elementul neutru în elementul neutru, $f(e)=e^{\prime }$.
• Programa și examenul. Testul face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: legea de compoziție, tabla operației, grupurile și morfismele sunt cerute de programa de examen aprobată prin OMEN 4430/2014, în secțiunea pentru științe ale naturii, la rândurile „Lege de compoziție internă, tabla operației", „Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$" și „Morfism și izomorfism de grupuri", din capitolul de algebră al clasei a XII-a; partea de algebră a probei se rezolvă la Subiectul al II-lea. Programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu mai cuprinde structurile algebrice la clasa a XII-a, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema nu figurează în programa de examen: pentru acea generație materia de aici rămâne lectură suplimentară, nu materie de probă. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".