Test: Supliment Bac M2: polinoame, împărțire și divizibilitate (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ

Exerciții

Partea I – Forma algebrică, operațiile și gradul

Exercițiul 1 (6 puncte)

Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Scrie coeficientul dominant, termenul liber și gradul polinomului $f=X^3+\hat{2}X+\hat{2}$ din ${\mathbb{Z}}_3[X]$. b) Ce grad are produsul a două polinoame nenule din $\mathbb{Q}[X]$, unul de gradul $2$ și celălalt de gradul $3$? c) Ce valori poate lua gradul sumei a două polinoame de gradul $4$ din ${\mathbb{Z}}_3[X]$? d) Care este opusul clasei $\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_3$? e) Calculează $\hat{2}\cdot (X^2+\hat{2}X)$ în ${\mathbb{Z}}_3[X]$. f) Care este forma monică a polinomului $-5X+30$ din $\mathbb{Q}[X]$?

Exercițiul 2 (6 puncte)

În ${\mathbb{Z}}_3[X]$ se consideră $f=\hat{2}{X}^3+X+\hat{2}$ și $g=\hat{2}{X}^3+\hat{2}X+\hat{2}$.

a) Calculează $f+g$. (2 p) b) Calculează $f-g$. (2 p) c) Precizează gradul fiecăruia dintre cele două rezultate. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se lucrează în $\mathbb{Q}[X]$.

a) Calculează $(3X-4)(X^2+5)$. (2 p) b) Calculează $\frac{4}{7}h$, pentru $h=21X^2-14X+35$. (2 p) c) Precizează gradul fiecărui rezultat și explică de ce gradul de la punctul b) nu s-a schimbat. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Restul împărțirii polinomului $f=3X^3+X^2-8$ la $X+2$ este: A. $-28$; B. $-8$; C. $28$; D. $0$.

b) În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, pentru $g=X^4+\hat{2}{X}^2+X$, valoarea $g(\hat{1})$ este: A. $\hat{0}$; B. $\hat{1}$; C. $\hat{2}$; D. valoarea nu se poate calcula.

c) Restul împărțirii unui polinom la un împărțitor de gradul al doilea: A. este întotdeauna un număr; B. poate avea gradul $2$; C. este nul sau are gradul cel mult $1$; D. are gradul $1$ în toate cazurile.

d) Dacă $\mathrm{cmmdc}(f,g)=X-1$, atunci rădăcinile comune ale polinoamelor $f$ și $g$ sunt: A. niciuna; B. numai $1$; C. $1$ și $-1$; D. toate rădăcinile lui $f$.

Partea a II-a – Împărțirea cu rest și schema lui Horner

Exercițiul 5 (6 puncte)

În $\mathbb{Q}[X]$ se consideră $f=5X^3+2X^2-11$ și $g=X^2-4$.

a) Efectuează împărțirea lui $f$ la $g$ și scrie câtul. (2 p) b) Scrie restul și arată că gradul lui respectă teorema împărțirii cu rest. (2 p) c) Verifică rezultatul, calculând $g\cdot q+r$. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

În $\mathbb{Q}[X]$ se împarte $f=2X^3-9X^2+5$ la $X-4$, cu schema lui Horner.

a) Scrie toți coeficienții care intră în rândul de sus și explică de ce apare un zero printre ei. (2 p) b) Scrie câtul. (2 p) c) Scrie restul și verifică-l calculând $f(4)$. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Decide dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Există în ${\mathbb{Z}}_3[X]$ un polinom de gradul al treilea cu trei rădăcini distincte în ${\mathbb{Z}}_3$." b) „Dacă un polinom $f$ din $\mathbb{Q}[X]$ se divide cu $X-2$ și se divide cu $X+3$, atunci el se divide cu produsul $(X-2)(X+3)$." c) „Polinomul $X^4-1$ are patru rădăcini reale." d) „Cel mai mic multiplu comun a două polinoame monice de gradul al doilea are gradul $4$."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) În ${\mathbb{Z}}_3[X]$ se împarte $f=X^3+X^2+\hat{2}X$ la $X-\hat{2}$.

a) Scrie toți coeficienții care intră în rândul de sus al schemei lui Horner. (2 p) b) Scrie câtul. (2 p) c) Scrie restul și verifică-l calculând $f(\hat{2})$. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Masa de precipitat obținută într-o reacție este aproximată de $M(t)=-2t^3+3t^2+32t+15$, măsurată în miligrame, unde $t$ este timpul în minute, iar modelul este valabil pentru $t\in [0;5]$.

a) Calculează $M(3)$ cu schema lui Horner și scrie unitatea de măsură. (2 p) b) Arată, tot cu schema lui Horner, că $M(5)=0$ și scrie câtul obținut. (2 p) c) Scrie $M(t)$ ca produs de doi factori și spune ce înseamnă rezultatul pentru experiment. (2 p)

Partea a III-a – Divizibilitate, rădăcini și cel mai mare divizor comun

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) În ${\mathbb{Z}}_3[X]$ se consideră $f=X^4+m{X}^3+\hat{2}X+\hat{1}$, cu $m\in {\mathbb{Z}}_3$.

a) Scrie condiția pe care trebuie să o îndeplinească $m$ pentru ca $f$ să se dividă cu $X+\hat{2}$ și precizează în ce clasă se face evaluarea. (3 p) b) Determină $m$. (3 p) c) Pentru valoarea găsită, determină câtul împărțirii lui $f$ la $X+\hat{2}$. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

În ${\mathbb{Z}}_3[X]$ se consideră $f=X^3+\hat{2}X+\hat{2}$.

a) Alcătuiește tabelul complet al valorilor lui $f$ pe cele trei clase din ${\mathbb{Z}}_3$. (3 p) b) Precizează rădăcinile lui $f$ în ${\mathbb{Z}}_3$. (2 p) c) Arată, cu teorema lui Bézout, că $f$ nu se divide cu niciun polinom de forma $X-a$, cu $a$ din ${\mathbb{Z}}_3$. (3 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

În $\mathbb{R}[X]$ se consideră $f=X^3-5X^2-18X+72$ și $g=X^2+5X-24$.

a) Determină restul împărțirii lui $f$ la $g$. (2 p) b) Determină $\mathrm{cmmdc}(f,g)$. (3 p) c) Precizează rădăcinile comune ale lui $f$ și $g$ și scrie $\mathrm{cmmmc}(f,g)$ ca produs de factori de gradul întâi. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se lucrează în $\mathbb{R}[X]$.

a) Descompune în factori, prin gruparea termenilor, polinomul $P=X^3+5X^2-2X-10$. (3 p) b) Descompune în factori polinomul $Q=X^3-4X^2+5X-20$ și precizează rădăcinile lui reale. (3 p) c) Explică de ce factorul de gradul al doilea obținut la punctul b) nu se mai desface peste numerele reale, în timp ce cel de la punctul a) se desface. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Coeficientul dominant este $\hat{1}$, termenul liber este $\hat{2}$, iar gradul este $3$; termenul de gradul al doilea lipsește, dar gradul se citește de la cea mai mare putere cu coeficient nenul. b) Gradul este $2+3=5$: la produs gradele se adună, fiindcă termenul de grad maxim vine din produsul coeficienților dominanți, iar într-un corp un astfel de produs nu poate fi nul. c) Gradul este cel mult $4$; el scade atunci când coeficienții dominanți se anulează reciproc, iar suma poate fi chiar polinomul nul, care nu are grad. d) $-\hat{2}=\hat{1}$, fiindcă $\hat{2}+\hat{1}=\hat{3}=\hat{0}$. e) $\hat{2}\cdot (X^2+\hat{2}X)=\hat{2}{X}^2+\hat{4}X=\hat{2}{\mathbf{X}}^2+\mathbf{X}$, fiindcă $\hat{4}=\hat{1}$. f) Se împarte la coeficientul dominant $-5$ și se obține $\mathbf{X}-6$.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) La $X^3$: $\hat{2}+\hat{2}=\hat{4}=\hat{1}$. La $X$: $\hat{1}+\hat{2}=\hat{3}=\hat{0}$, deci termenul dispare. Termenii liberi: $\hat{2}+\hat{2}=\hat{4}=\hat{1}$. Așadar $f+g={\mathbf{X}}^3+\hat{1}$. b) (2 p) Scădem adunând opusul, calculat în corp. La $X^3$: $\hat{2}-\hat{2}=\hat{0}$, deci termenul de gradul al treilea dispare. La $X$: $\hat{1}-\hat{2}=\hat{1}+\hat{1}=\hat{2}$. Termenii liberi: $\hat{2}-\hat{2}=\hat{0}$. Așadar $f-g=\hat{2}\mathbf{X}$. c) (2 p) $\mathrm{grad}(f+g)=3$, iar $\mathrm{grad}(f-g)=1$. La diferență gradul a scăzut cu două unități, fiindcă și coeficienții lui $X^3$, și termenii liberi s-au anulat.

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Desfacem: $3X\cdot X^2=3X^3$; $3X\cdot 5=15X$; $-4\cdot X^2=-4X^2$; $-4\cdot 5=-20$. Nu există coloane de adunat, deci rezultatul este $3{\mathbf{X}}^3-4{\mathbf{X}}^2+15X-20$. b) (2 p) Înmulțim fiecare coeficient cu $\frac{4}{7}$: $\frac{4}{7}\cdot 21=12$, $\frac{4}{7}\cdot (-14)=-8$, $\frac{4}{7}\cdot 35=20$. Deci $\frac{4}{7}h=12{\mathbf{X}}^2-8X+20$. c) (2 p) Rezultatul de la a) are gradul $3$, iar cel de la b) are gradul $2$. La b) gradul nu s-a schimbat fiindcă scalarul $\frac{4}{7}$ este nenul, iar într-un corp produsul dintre un scalar nenul și coeficientul dominant nenul rămâne nenul.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — din teorema restului, restul este $f(-2)=3\cdot (-8)+4-8=-24+4-8=-28$. Varianta B este termenul liber, adică restul împărțirii la $X$, nu la $X+2$, iar C este opusul restului — teorema restului dă valoarea $f(-2)$ cu semnul ei. b) B — în ${\mathbb{Z}}_3$ avem ${\hat{1}}^4=\hat{1}$ și ${\hat{1}}^2=\hat{1}$, deci $g(\hat{1})=\hat{1}+\hat{2}\cdot \hat{1}+\hat{1}=\hat{4}=\hat{1}$. c) C — teorema cere doar $\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}g=2$, deci restul poate fi nul, o constantă sau un polinom de gradul întâi. d) B — rădăcinile comune sunt exact zerourile celui mai mare divizor comun, iar $X-1=0$ dă $X=1$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) $5X^3:X^2=5X$; se scade $5X(X^2-4)=5X^3-20X$ și rămâne $2X^2+20X-11$. Apoi $2X^2:X^2=2$; se scade $2(X^2-4)=2X^2-8$. Câtul este $q=5X+2$. b) (2 p) Restul este $r=20X-3$, de gradul $1$, iar $1<2=\mathrm{grad}g$, deci teorema este respectată. c) (2 p) $(X^2-4)(5X+2)=5X^3+2X^2-20X-8$; adunând $20X-3$ obținem $5X^3+2X^2-11=f$.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Coeficienții sunt $2,-9,0,5$ — polinomul are gradul $3$, deci în rândul de sus intră $3+1=4$ numere, iar termenul de gradul întâi lipsește și se trece cu $0$. b) (2 p) Cu $a=4$: se coboară $2$; $-9+4\cdot 2=-1$; $0+4\cdot (-1)=-4$; $5+4\cdot (-4)=-11$. Câtul este $q=2{\mathbf{X}}^2-\mathbf{X}-4$. c) (2 p) Restul este ultima celulă, $r=-11$. Verificare: $f(4)=2\cdot 64-9\cdot 16+5=128-144+5=-11$, aceeași valoare.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Adevărat. Marginea „cel mult $n$" chiar se atinge: polinomul $X(X-\hat{1})(X-\hat{2})$ are gradul al treilea și se anulează în toate cele trei clase, prin construcție. b) Adevărat. Din $(X-2)\mid f$ scriem $f=(X-2)q$. Cum $f(-3)=0$, obținem $(-5)\cdot q(-3)=0$, deci $q(-3)=0$; prin teorema lui Bézout, $q=(X+3)h$, deci $f=(X-2)(X+3)h$. c) Fals. $X^4-1=(X^2-1)(X^2+1)$, iar $X^2+1$ nu se anulează pentru niciun număr real. Rădăcinile reale sunt numai $1$ și $-1$, deci două, nu patru. d) Fals. Afirmația e adevărată doar când cele două polinoame nu au factori comuni. Contraexemplu: pentru $(X-1)(X-2)$ și $(X-1)(X-3)$, cel mai mare divizor comun este $X-1$, iar cel mai mic multiplu comun este $(X-1)(X-2)(X-3)$, de gradul $3$.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Coeficienții sunt $\hat{1},\hat{1},\hat{2},\hat{0}$ — patru numere, fiindcă gradul este $3$, iar termenul liber lipsește și se trece cu $\hat{0}$. Împărțitorul este deja scris sub forma $X-a$, cu $a=\hat{2}$. b) (2 p) Cu $a=\hat{2}$: se coboară $\hat{1}$; $\hat{1}+\hat{2}\cdot \hat{1}=\hat{3}=\hat{0}$; $\hat{2}+\hat{2}\cdot \hat{0}=\hat{2}$; $\hat{0}+\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}=\hat{1}$. Câtul este $q={\mathbf{X}}^2+\hat{2}$, fiindcă celula din mijloc, $\hat{0}$, face să lipsească termenul de gradul întâi. c) (2 p) Restul este ultima celulă, $r=\hat{1}$. Verificare: $f(\hat{2})={\hat{2}}^3+{\hat{2}}^2+\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{2}+\hat{1}+\hat{1}=\hat{4}=\hat{1}$, aceeași clasă.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Coeficienții sunt $-2,3,32,15$, iar $a=3$: se coboară $-2$; $3+3\cdot (-2)=-3$; $32+3\cdot (-3)=23$; $15+3\cdot 23=84$. Deci $M(3)=84$ miligrame. b) (2 p) Cu $a=5$: se coboară $-2$; $3+5\cdot (-2)=-7$; $32+5\cdot (-7)=-3$; $15+5\cdot (-3)=0$. Ultima celulă este $0$, deci $M(5)=0$, iar câtul este $-2{\mathbf{t}}^2-7t-3$. c) (2 p) Din restul nul rezultă $M(t)=(t-5)(-2t^2-7t-3)$. La $t=5$ minute masa de precipitat este $0$ miligrame — precipitatul s-a consumat exact la capătul intervalului pe care formula este declarată valabilă. Până acolo masa rămâne pozitivă, fiindcă amândoi factorii sunt negativi pe $[0;5)$: de pildă $M(0)=15$ și $M(4)=63$ miligrame.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Teorema lui Bézout cere ca divizorul să fie scris sub forma $X-a$ (1 p). Cum $-\hat{2}=\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_3$, avem $X+\hat{2}=X-\hat{1}$ (1 p), deci evaluarea se face în clasa $\hat{1}$, iar condiția este $f(\hat{1})=\hat{0}$ (1 p). b) (3 p) $f(\hat{1})=\hat{1}+m+\hat{2}+\hat{1}=m+\hat{4}=m+\hat{1}$ (2 p). Din $m+\hat{1}=\hat{0}$ rezultă $m=\hat{2}$ (1 p). Verificare: pentru $m=\hat{2}$ avem $f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{2}+\hat{2}+\hat{1}=\hat{6}=\hat{0}$. c) (2 p) Pentru $m=\hat{2}$, coeficienții lui $f$ sunt $\hat{1},\hat{2},\hat{0},\hat{2},\hat{1}$ — cinci numere. Cu $a=\hat{1}$: se coboară $\hat{1}$; $\hat{2}+\hat{1}=\hat{0}$; $\hat{0}+\hat{0}=\hat{0}$; $\hat{2}+\hat{0}=\hat{2}$; $\hat{1}+\hat{2}=\hat{0}$. Restul este $\hat{0}$, cum cerea condiția, iar câtul este $q={\mathbf{X}}^3+\hat{2}$.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Calculăm, reducând la fiecare pas. $f(\hat{0})$ este chiar termenul liber, adică $\hat{2}$ (1 p). $f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{2}+\hat{2}=\hat{5}=\hat{2}$ (1 p). Pentru $\hat{2}$ folosim ${\hat{2}}^3=\hat{8}=\hat{2}$: $f(\hat{2})=\hat{2}+\hat{2}\cdot \hat{2}+\hat{2}=\hat{2}+\hat{1}+\hat{2}=\hat{5}=\hat{2}$ (1 p).

b) (2 p) Niciuna dintre cele trei valori nu este $\hat{0}$, deci $f$ nu are nicio rădăcină în ${\mathbb{Z}}_3$. Răspunsul este complet, fiindcă tabelul epuizează corpul. c) (3 p) Un divizor $X-a$ ar obliga, prin teorema lui Bézout, la $f(a)=\hat{0}$ (2 p). Cum niciuna dintre cele trei clase nu îndeplinește condiția, un astfel de divizor nu există (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) Gradele fiind $3$ și $2$, câtul are gradul întâi: $X^3-5X^2-18X+72=(X^2+5X-24)(X-10)+(56X-168)$. Restul este $56X-168$. b) (3 p) Restul se simplifică prin $56$ și devine $X-3$ (1 p); divizorii comuni nu se schimbă la înmulțirea restului cu un număr nenul. Împărțim apoi pe $g$ la $X-3$: $X^2+5X-24=(X-3)(X+8)+0$ (1 p). Restul fiind nul, algoritmul se oprește, iar răspunsul este restul dinaintea lui, adus monic: $\mathrm{cmmdc}(f,g)=\mathbf{X}-3$ (1 p). c) (3 p) Rădăcinile comune sunt zerourile celui mai mare divizor comun, deci singura rădăcină comună este $3$; control: $f(3)=27-45-54+72=0$ și $g(3)=9+15-24=0$ (1 p). Din $f=(X-3)(X^2-2X-24)=(X-3)(X-6)(X+4)$ și $g=(X-3)(X+8)$ (1 p) rezultă $\mathrm{cmmmc}(f,g)=(\mathbf{X}-3)(\mathbf{X}-6)(\mathbf{X}+4)(\mathbf{X}+8)$, fiecare factor luat o singură dată (1 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) Grupăm primii doi termeni și ultimii doi: $X^3+5X^2-2X-10=X^2(X+5)-2(X+5)=(X+5)(X^2-2)$ (2 p). Factorul $X^2-2$ se mai desface peste numerele reale, fiindcă $X^2=2$ are soluțiile $\pm \sqrt{2}$, deci $P=(X+5)(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})$ (1 p). b) (3 p) $X^3-4X^2+5X-20=X^2(X-4)+5(X-4)=(X-4)(X^2+5)$ (2 p). Singura rădăcină reală este $4$, fiindcă al doilea factor nu se anulează pentru niciun număr real (1 p). c) (2 p) Se compară discriminanții celor doi trinoame. Pentru $X^2+5$ avem $0-4\cdot 5=-20<0$, deci el nu se sparge în factori de gradul întâi cu coeficienți reali. Pentru $X^2-2$ avem $0-4\cdot (-2)=8>0$, deci acela se sparge. Semnul discriminantului este argumentul, nu lipsa de idei.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică primul strat al unității de polinoame a suplimentului: patru lecții — Polinoame peste un corp: formă și operații, Teorema împărțirii cu rest și schema lui Horner, Teorema lui Bézout și rădăcinile polinomului și C.m.m.d.c. și descompunerea în factori. Relațiile lui Viète, ecuațiile algebrice cu rădăcini raționale sau conjugate și ecuațiile binome, bipătrate și reciproce se verifică în testul următor al unității — aici nu se cere nicio rădăcină găsită prin căutare printre divizorii termenului liber, iar toate rădăcinile ies fie dintr-un tabel complet peste ${\mathbb{Z}}_3$, fie dintr-o grupare a termenilor, fie dintr-un cel mai mare divizor comun.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Peste ${\mathbb{Z}}_3$, fiecare coeficient obținut se reduce pe parcurs, nu la final; înaintea fiecărui tabel se numără coeficienții, care trebuie să fie $\mathrm{grad}f+1$; fiecare împărțire se încheie cu proba prin înmulțire înapoi.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele patru lecții, în special citirea numărului $a$ din forma $X-a$ și oprirea corectă a algoritmului lui Euclid.
• Formule de reținut: teorema împărțirii cu rest în $K[X]$ — pentru $g$ nenul există și sunt unice $q$ și $r$ cu $f=g\cdot q+r$, unde $r$ este nul sau $\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}g$; la produs gradele se adună, iar la sumă are loc numai $\mathrm{grad}(f+g)\le \max (\mathrm{grad}f,\mathrm{grad}g)$; schema lui Horner pentru împărțirea la $X-a$ — primul coeficient se coboară, iar fiecare celulă nouă se obține adunând la coeficientul de deasupra produsul dintre $a$ și vecina din stânga, ultima celulă fiind restul, adică $f(a)$; teorema lui Bézout — $X-a$ divide $f$ dacă și numai dacă $f(a)=0$; un polinom nenul de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte în corpul coeficienților; algoritmul lui Euclid — se împarte $f$ la $g$, apoi $g$ la rest, și tot așa până la primul rest nul, iar răspunsul este restul dinaintea lui, adus la coeficient dominant $1$; în ${\mathbb{Z}}_3$ avem $-\hat{1}=\hat{2}$, $-\hat{2}=\hat{1}$, iar fiecare clasă nenulă este propria ei inversă.
• Programa și examenul. Testul face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: polinoamele cu coeficienți într-un corp comutativ sunt cerute de programa de examen aprobată prin OMEN 4430/2014, în secțiunea pentru științe ale naturii, la rândurile „Forma algebrică a unui polinom, operații (adunarea, înmulțirea, înmulțirea cu un scalar)", „Teorema împărțirii cu rest; împărțirea polinoamelor, împărțirea cu $X-a$, schema lui Horner" și „Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bézout; c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al unor polinoame", din capitolul „Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ" al clasei a XII-a; partea de algebră a probei se rezolvă la Subiectul al II-lea. În programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) polinoamele se studiază la clasa a IX-a, numai cu coeficienți reali: la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) apar acolo forma algebrică, operațiile, teorema împărțirii cu rest, schema lui Horner, divizibilitatea și teorema lui Bézout, în domeniul Algebră, în timp ce lucrul peste ${\mathbb{Z}}_p$, cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al unor polinoame nu mai figurează în programa acelei probe. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".