Exerciții rezolvate — Funcții trigonometrice inverse și ecuații trigonometrice (clasa a IX-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Funcții trigonometrice inverse și ecuații trigonometrice", clasa a IX-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Care este mulțimea completă a soluțiilor ecuației $\sin x=\frac{1}{2}$?

   • a) $x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
   • b) $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
   • c) $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
   • d) $x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

   $\frac{1}{2}\in [-1,1]$ ✓ și $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$, deci $S=\left\{(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, echivalent $\left\{\frac{\pi }{6}+2k\pi \right\}\cup \left\{\frac{5\pi }{6}+2k\pi \right\}$. Varianta c) reține o singură familie (jumătate din soluții); varianta d) este formula (greșită aici) specifică ecuației $\cos x=a$.

   Lecția: Ecuații trigonometrice elementare →

2. Ecuația $\sin 3x=\sin x$ este echivalentă cu:

   • a) $3x=x+2k\pi$ sau $3x=\pi -x+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
   • b) $3x=x+2k\pi$
   • c) $x=\frac{k\pi }{3}$
   • d) $3x=x$ (simplificare prin sinus)
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $3x=x+2k\pi$ sau $3x=\pi -x+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

   Pentru $\sin f(x)=\sin g(x)$ trebuie scrise ambele familii: $f(x)=g(x)+2k\pi$ sau $f(x)=\pi -g(x)+2k\pi$. Aici $f=3x$, $g=x$, deci $3x=x+2k\pi$ (dă $x=k\pi$) sau $3x=\pi -x+2k\pi$ (dă $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$) — varianta a, cu ambele familii. Varianta b păstrează doar prima familie, pierzând jumătate din soluții. Varianta c nu corespunde niciunui calcul corect din ecuație. Varianta d este eroarea clasică: sinusul nu e un factor care se poate „simplifica”, fiindcă nu e injectiv.

   Lecția: Ecuații trigonometrice reductibile; a·sin x + b·cos x = c →

3. Cât este $\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$?

   • a) $\frac{\pi }{3}$
   • b) $\frac{\pi }{6}$
   • c) $\frac{2\pi }{3}$
   • d) $-\frac{\pi }{3}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{\pi }{3}$

   Căutăm $x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ cu $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Din tabelul valorilor remarcabile, $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar $\frac{\pi }{3}$ aparține intervalului principal. Deci $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}$. Varianta c) ar fi corectă pentru $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$, nu pentru $\arcsin$.

   Lecția: Funcțiile arcsinus și arccosinus →

4. Cât este $\mathrm{arctg}\sqrt{3}$?

   • a) $\frac{\pi }{3}$
   • b) $\frac{\pi }{6}$
   • c) $\frac{2\pi }{3}$
   • d) $-\frac{\pi }{3}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{\pi }{3}$

   Căutăm $x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ cu $\mathrm{tg}x=\sqrt{3}$. Din tabelul valorilor remarcabile, $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$, iar $\frac{\pi }{3}$ aparține intervalului principal. Deci $\mathrm{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$. Varianta c), $\frac{2\pi }{3}$, nu e în $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, deci nu poate fi rezultatul unui $\mathrm{arctg}$.

   Lecția: Funcțiile arctangentă și arccotangentă →

5. Care este mulțimea completă a soluțiilor ecuației $\cos x=-\frac{1}{2}$?

   • a) $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
   • b) $x=(-1{)}^k\frac{2\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
   • c) $x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
   • d) $x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

   $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\pi -\arccos \frac{1}{2}=\frac{2\pi }{3}$, iar formula pentru $\cos x=a$ este $x=\pm \arccos a+2k\pi$. Deci $S=\left\{\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Varianta b) folosește (greșit) forma compactă a ecuației cu sinus; varianta c) aplică incorect imparitatea, care nu există la $\arccos$.

   Lecția: Ecuații trigonometrice elementare →

6. Ecuația $\mathrm{tg}2x=\mathrm{tg}x$ trebuie rezolvată cu condiția suplimentară:

   • a) $x\in [-1,1]$
   • b) $\sin x\ne 0$
   • c) $\cos x\ne 0$ și $\cos 2x\ne 0$
   • d) Nicio condiție, tangenta e definită peste tot
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $\cos x\ne 0$ și $\cos 2x\ne 0$

   Pentru ca $\mathrm{tg}f(x)$ și $\mathrm{tg}g(x)$ să aibă sens trebuie $\cos f(x)\ne 0$ și $\cos g(x)\ne 0$; aici $f(x)=2x$ și $g(x)=x$, deci condițiile sunt $\cos 2x\ne 0$ și $\cos x\ne 0$ — varianta c. Formula $2x=x+k\pi$ dă $x=k\pi$, valori care respectă ambele condiții. Varianta a confundă cu restricția specifică substituției $t=\cos x$ sau $t=\sin x$ într-o ecuație algebrică, nu cu condiția de existență a tangentei. Varianta b e incompletă și greșit țintită: existența tangentei cere $\cos \ne 0$, nu $\sin \ne 0$. Varianta d ignoră exact punctul esențial al lecției: condițiile de existență nu sunt opționale, ele pot elimina jumătate din soluțiile formale.

   Lecția: Ecuații trigonometrice reductibile; a·sin x + b·cos x = c →

7. Cât este $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$?

   • a) $\frac{\pi }{3}$
   • b) $\frac{\pi }{6}$
   • c) $\frac{2\pi }{3}$
   • d) $\frac{5\pi }{6}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $\frac{2\pi }{3}$

   Folosim $\arccos (-a)=\pi -\arccos a$: $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\pi -\arccos \frac{1}{2}=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$. Verificare: $\frac{2\pi }{3}\in [0,\pi ]$ ✓ și $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ ✓. Nu se aplică imparitatea la $\arccos$ (aceea ar da greșit $-\frac{\pi }{3}$).

   Lecția: Funcțiile arcsinus și arccosinus →

8. Cât este $\mathrm{arcctg}(-1)$?

   • a) $-\frac{\pi }{4}$
   • b) $\frac{\pi }{4}$
   • c) $\frac{3\pi }{4}$
   • d) $\frac{5\pi }{4}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $\frac{3\pi }{4}$

   Folosim $\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\mathrm{arcctg}a$: $\mathrm{arcctg}(-1)=\pi -\mathrm{arcctg}1=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$. Varianta a) e greșeala tipică: arccotangenta nu este impară și nu ia niciodată valori negative (imaginea ei e $(0,\pi )$).

   Lecția: Funcțiile arctangentă și arccotangentă →

9. Câte soluții reale are ecuația $\cos x=\frac{3}{2}$?

   • a) O infinitate
   • b) Exact două
   • c) Nicio soluție
   • d) Exact o soluție
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) Nicio soluție

   Imaginea funcției cosinus este $[-1,1]$, iar $\frac{3}{2}>1$, deci nu există niciun $x$ real cu $\cos x=\frac{3}{2}$. Condiția de existență $a\in [-1,1]$ trebuie verificată înaintea oricărui calcul: mulțimea soluțiilor este $S=\varnothing$.

   Lecția: Ecuații trigonometrice elementare →

10. Pentru ecuația $a\sin x+b\cos x=c$ (cu $a,b$ nenuli), condiția de existență a soluțiilor este:

    • a) $a+b\ge c$
    • b) $a^2+b^2=c^2$
    • c) $|a|,|b|\le 1$
    • d) $a^2+b^2\ge c^2$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: d) $a^2+b^2\ge c^2$

    Ecuația devine $R\sin (x+\phi )=c$, cu $R=\sqrt{a^2+b^2}$, adică $\sin (x+\phi )=\frac{c}{R}$. Aceasta are soluții exact când $\left|\frac{c}{R}\right|\le 1$, adică $c^2\le a^2+b^2$, adică $a^2+b^2\ge c^2$ — varianta d. Varianta b descrie doar cazul-limită (o singură familie de soluții, la maximul sau minimul expresiei), nu condiția generală de existență. Varianta a amestecă greșit $a+b$ cu $a^2+b^2$ — exact greșeala frecventă a „amplitudinii” semnalată în lecție ($R=\sqrt{a^2+b^2}$, nu $a+b$). Varianta c nu are nicio justificare în demonstrație.

    Lecția: Ecuații trigonometrice reductibile; a·sin x + b·cos x = c →

11. Cât este $\arcsin \left(\sin \frac{5\pi }{6}\right)$?

    • a) $\frac{5\pi }{6}$
    • b) $\frac{\pi }{6}$
    • c) $-\frac{\pi }{6}$
    • d) $\frac{\pi }{3}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $\frac{\pi }{6}$

    $\frac{5\pi }{6}\notin \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, deci nu putem „simplifica direct". Calculăm $\sin \frac{5\pi }{6}=\sin \left(\pi -\frac{5\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, deci $\arcsin \left(\sin \frac{5\pi }{6}\right)=\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$. Varianta a) e capcana clasică: rezultatul unui $\arcsin$ nu poate depăși niciodată $\frac{\pi }{2}$ în valoare absolută.

    Lecția: Funcțiile arcsinus și arccosinus →

12. Cât este $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{5\pi }{6}\right)$?

    • a) $\frac{5\pi }{6}$
    • b) $-\frac{\pi }{6}$
    • c) $\frac{\pi }{6}$
    • d) $\frac{\pi }{3}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $-\frac{\pi }{6}$

    $\frac{5\pi }{6}\notin \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, deci reducem cu un multiplu de $\pi$ (perioada tangentei): $\frac{5\pi }{6}-\pi =-\frac{\pi }{6}$, care e în intervalul principal. Deci $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{5\pi }{6}\right)=-\frac{\pi }{6}$. Varianta a) ar fi „simplificarea oarbă", greșeala cea mai frecventă din lecție.

    Lecția: Funcțiile arctangentă și arccotangentă →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.