Exerciții rezolvate — Șiruri și caracterizarea progresiilor (clasa a IX-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Șiruri și caracterizarea progresiilor", clasa a IX-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Condiția ca trei numere reale $a$, $b$, $c$ (în această ordine) să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este:

   • a) $b^2=ac$
   • b) $2b=a+c$
   • c) $b=a+c$
   • d) $ac=2b$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $2b=a+c$

   Caracterizarea progresiei aritmetice spune că fiecare termen este media aritmetică a vecinilor: $2b=a+c$, echivalent cu $b=\frac{a+c}{2}$. Varianta a) este criteriul geometric, nu cel aritmetic.

   Lecția: Caracterizarea progresiilor: relația dintre trei termeni consecutivi →

2. Câte condiții trebuie verificate pentru ca $n$ numere reale ($n\ge 3$) să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice?

   • a) $n$
   • b) $n-1$
   • c) $n-2$
   • d) $n+1$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $n-2$

   Condițiile sunt de forma $2a_k=a_{k-1}+a_{k+1}$, cu $k$ de la $2$ la $n-1$ — deci exact $n-2$ condiții. Primul și ultimul termen nu au câte doi vecini, deci nu generează condiții proprii.

   Lecția: Condiția ca n numere să fie în progresie; formula aⁿ − bⁿ →

3. Un șir definit prin relație de recurență este complet determinat doar dacă, pe lângă regula de trecere, se dau și:

   • a) formula termenului general
   • b) termenii de pornire (atâția câți folosește regula)
   • c) limita șirului
   • d) rangul maxim al șirului
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) termenii de pornire (atâția câți folosește regula)

   Regula de recurență, singură, descrie o infinitate de șiruri diferite — de exemplu $a_{n+1}=2a_n$ e satisfăcută și de $1,2,4,\dots$, și de $5,10,20,\dots$. Doar termenii de pornire (atâția câți termeni anteriori folosește regula) aleg unul singur dintre ele.

   Lecția: Moduri de definire a unui șir; șiruri date prin recurență →

4. Condiția ca trei numere nenule $a$, $b$, $c$ să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este:

   • a) $2b=a+c$
   • b) $b^2=ac$
   • c) $b=a\cdot c$
   • d) $b=\frac{a+c}{2}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $b^2=ac$

   Caracterizarea progresiei geometrice, cu toți termenii nenuli, este $b^2=ac$ — pătratul termenului din mijloc egal cu produsul vecinilor. Variantele a) și d) descriu de fapt criteriul aritmetic.

   Lecția: Caracterizarea progresiilor: relația dintre trei termeni consecutivi →

5. Formula $a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +b^{n-1}\right)$ este valabilă:

   • a) doar pentru $n$ par
   • b) doar pentru $n$ impar
   • c) pentru orice $n\ge 1$, indiferent de paritate
   • d) doar pentru $n=2$ și $n=3$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) pentru orice $n\ge 1$, indiferent de paritate

   Demonstrația prin desfacerea parantezelor (reducere telescopică) nu folosește nicăieri paritatea lui $n$, deci formula este valabilă pentru orice $n\ge 1$. (Paritatea contează la o identitate diferită, cea pentru suma $a^n+b^n$.)

   Lecția: Condiția ca n numere să fie în progresie; formula aⁿ − bⁿ →

6. Șirul lui Fibonacci ($F_1=1$, $F_2=1$, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$) are nevoie de:

   • a) un singur termen de pornire
   • b) doi termeni de pornire, pentru că regula leagă fiecare termen de doi termeni anteriori
   • c) trei termeni de pornire
   • d) niciun termen de pornire
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) doi termeni de pornire, pentru că regula leagă fiecare termen de doi termeni anteriori

   Regula $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ folosește doi termeni anteriori pentru a calcula termenul următor, deci sunt necesari exact doi termeni de pornire, $F_1$ și $F_2$, ca lanțul să poată porni.

   Lecția: Moduri de definire a unui șir; șiruri date prin recurență →

7. Numerele $1,-2,4$ sunt în progresie geometrică, de rație $-2$. De ce formula $b=\sqrt{ac}$ NU se poate folosi aici pentru a găsi termenul din mijloc?

   • a) pentru că radicalul dă întotdeauna o valoare nenegativă, iar termenul din mijloc este negativ
   • b) pentru că numerele nu sunt, de fapt, în progresie geometrică
   • c) pentru că $a$ și $c$ sunt de semne diferite
   • d) pentru că formula $b=\sqrt{ac}$ este întotdeauna greșită
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) pentru că radicalul dă întotdeauna o valoare nenegativă, iar termenul din mijloc este negativ

   Relația corectă și general valabilă este $b^2=ac$: aici $(-2{)}^2=4=1\cdot 4$ ✓. Dar $\sqrt{1\cdot 4}=\sqrt{4}=2\ne -2$, pentru că rădăcina pătrată este, prin definiție, numărul nenegativ al cărui pătrat dă numărul de sub radical — deci formula cu radical „pierde” soluția negativă.

   Lecția: Caracterizarea progresiilor: relația dintre trei termeni consecutivi →

8. Din formula $a^n-b^n$, luând $b=1$ și $a=q$, se obține:

   • a) formula sumei unei progresii aritmetice
   • b) formula sumei unei progresii geometrice: $1+q+\cdots +q^{n-1}=\frac{q^n-1}{q-1}$
   • c) teorema lui Pitagora
   • d) inegalitatea lui Bernoulli
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) formula sumei unei progresii geometrice: $1+q+\cdots +q^{n-1}=\frac{q^n-1}{q-1}$

   Cu $b=1$, formula devine $q^n-1=(q-1)(q^{n-1}+\cdots +q+1)$; împărțind la $q-1\ne 0$, obținem exact formula sumei progresiei geometrice $1+q+\cdots +q^{n-1}=\frac{q^n-1}{q-1}$.

   Lecția: Condiția ca n numere să fie în progresie; formula aⁿ − bⁿ →

9. Pentru șirul $a_1=1$, $a_{n+1}=2a_n+3$, formula explicită demonstrată prin inducție este:

   • a) $a_n=2^n-3$
   • b) $a_n=2^{n+1}-3$
   • c) $a_n=2^n+3$
   • d) $a_n=3\cdot 2^n-3$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $a_n=2^{n+1}-3$

   Verificăm: pentru $n=1$, formula dă $2^2-3=1=a_1$ ✓. Pentru $n=2$: $a_2=2\cdot 1+3=5$, iar formula dă $2^3-3=8-3=5$ ✓. Formula se obține prin substituția $b_n=a_n+3$, care transformă recurența într-o progresie geometrică de rație $2$.

   Lecția: Moduri de definire a unui șir; șiruri date prin recurență →

10. Pentru șirul $1,3,5,9$, prima condiție de progresie aritmetică se verifică ($2\cdot 3=1+5$), dar a doua nu ($2\cdot 5\ne 3+9$). Concluzia corectă este:

    • a) șirul este progresie aritmetică, pentru că prima condiție e adevărată
    • b) șirul NU este progresie aritmetică, pentru că trebuie verificate toate condițiile, pentru orice $n$
    • c) șirul este progresie geometrică
    • d) nu se poate decide fără mai multe informații
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) șirul NU este progresie aritmetică, pentru că trebuie verificate toate condițiile, pentru orice $n$

    Teorema de caracterizare cere relația $2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$ pentru orice $n$, nu doar pentru un triplet. Cum al doilea triplet ($3,5,9$) nu respectă relația ($2\cdot 5=10\ne 3+9=12$), șirul întreg nu este progresie aritmetică, deși primele trei numere sunt.

    Lecția: Caracterizarea progresiilor: relația dintre trei termeni consecutivi →

11. Pentru a intercala $k$ numere între $A$ și $B$ astfel încât toate cele $k+2$ numere să fie în progresie geometrică, rația $q$ verifică:

    • a) $q^{k+1}=\frac{B}{A}$
    • b) $q^k=B-A$
    • c) $qk=\frac{B}{A}$
    • d) $q=\frac{B-A}{k+1}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $q^{k+1}=\frac{B}{A}$

    Progresia are $k+2$ termeni, cu $b_1=A$ și $b_{k+2}=B$. Din formula termenului general $B=A{q}^{k+1}$, rezultă $q^{k+1}=\frac{B}{A}$. Varianta d) este de fapt formula ratiei aritmetice, folosită la intercalarea aritmetică.

    Lecția: Condiția ca n numere să fie în progresie; formula aⁿ − bⁿ →

12. Progresia aritmetică, definită prin $a_{n+1}=a_n+r$, este:

    • a) un caz particular de șir definit descriptiv
    • b) un caz particular de șir definit prin recurență
    • c) un șir care nu poate fi scris ca recurență
    • d) un șir care are nevoie de doi termeni de pornire
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) un caz particular de șir definit prin recurență

    Relația $a_{n+1}=a_n+r$ este exact o relație de recurență (folosește un singur termen anterior), cu un singur termen de pornire, $a_1$. Progresiile aritmetică și geometrică sunt, citite corect, cazuri particulare de șiruri recurente.

    Lecția: Moduri de definire a unui șir; șiruri date prin recurență →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.