Când e pur imaginară suma lui z1 și z2?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Adunarea și scăderea pe părți

Aduci întâi suma la forma $x + y i$ , apoi ceri ca partea reală să fie $0$ , iar partea imaginară să nu fie $0$ . Exemplu: $z_{1} = (m + 2) + 3 i$ și $z_{2} = (2 m - 8) - i$ , cu $m$ real. Suma este $(3 m - 6) + 2 i$ . Partea reală se anulează pentru $m = 2$ , iar partea imaginară, $2$ , nu e zero, deci suma este pur imaginară, egală cu $2 i$ . Condiția nu se pune separat pe termeni.

La adunare și la scădere, fiecare număr complex se desface în două bucăți independente: bucata fără $i$ și coeficientul lui $i$ . Bucățile de același fel se combină între ele, iar rezultatul se scrie din nou ca $x + y i$ , cu partea fără $i$ înainte.

Semnul este locul cu cele mai multe capcane. Un minus pus înaintea unei paranteze întoarce semnul ambilor termeni din ea, iar opusul lui $a + bi$ are ambele semne schimbate, $- a - bi$ ; adunat cu numărul de la care ai pornit, dă zero. Orice scădere poate fi citită ca o adunare cu acest opus.

Un număr real pus în fața unei paranteze se distribuie pe ambele bucăți, așa că o expresie ca $2 z_{1} - 3 z_{2}$ se lucrează în doi timpi: întâi cei doi multipli, apoi combinarea lor. Când apare un parametru real, calculezi totul până la forma algebrică și abia apoi ceri ca partea fără $i$ sau coeficientul lui $i$ să fie zero.

Dacă necunoscuta este chiar un număr complex, ea se obține scăzând termenul cunoscut. Un calcul lung se controlează recalculând separat fiecare coloană. În fizică, oscilațiile de aceeași frecvență care se suprapun se descriu prin suma numerelor lor complexe.

De reținut

$(a + bi) \pm (c + d i) = (a \pm c) + (b \pm d) i$
opusul lui $a + bi$ este $- a - bi$
condiția de real sau pur imaginar se pune pe rezultatul adus la forma $x + y i$

Greșeala tipică

Se cere ca fiecare termen să fie pur imaginar, ca suma să fie pur imaginară; condiția privește doar suma, iar $(m + 2) + 3 i$ și $(2 m - 8) - i$ nu sunt pur imaginare pentru $m = 2$ , deși suma lor este.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $(- 10 - 3 i) + (- 7 + i)$ ?
- a) $- 17 + 4 i$
- b) $- 3 - 2 i$
- c) $- 17 - 2 i$
- d) $- 17 - 4 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 17 - 2 i$

Se adună separat părțile reale și părțile imaginare: $(- 10 - 7) + (- 3 + 1) i = - 17 - 2 i$ .
Pentru ce număr complex $z$ are loc egalitatea $z + (- 7 - 9 i) = 0$ ?
- a) $7 + 9 i$
- b) $- 7 + 9 i$
- c) $7 - 9 i$
- d) $9 + 7 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $7 + 9 i$

$z$ este opusul lui $- 7 - 9 i$ , deci se schimbă semnul ambelor părți: $z = 7 + 9 i$ .
Diferența $(- 8 - 8 i) - (- 5 - 7 i)$ este egală cu:
- a) $- 13 - 15 i$
- b) $- 3 - i$
- c) $- 3 - 15 i$
- d) $- 13 - i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 3 - i$

Minusul schimbă semnul ambilor termeni din paranteză: $- 8 - 8 i + 5 + 7 i = - 3 - i$ .

Întrebări conexe

Cum calculez $2 z_{1} - 3 z_{2}$ pentru $z_{1} = 4 - i$ și $z_{2} = 1 + 2 i$ ?

Calculezi întâi multiplii: $2 z_{1} = 8 - 2 i$ și $3 z_{2} = 3 + 6 i$ . Apoi scazi pe coloane: $(8 - 3) + (- 2 - 6) i = 5 - 8 i$ . Factorul real se distribuie pe ambele părți ale fiecărui număr, iar minusul schimbă semnul ambelor părți ale lui $3 z_{2}$ .

Cum adun cu numere complexe două vibrații de aceeași frecvență?

Fiecare vibrație se descrie printr-un număr complex, iar suprapunerea lor se descrie prin sumă. Dacă vibrațiile au numerele $3 + i$ și $- 1 + 2 i$ , vibrația rezultată are $2 + 3 i$ . O vibrație descrisă de opusul, $- 3 - i$ , adăugată primei, dă $0$ : cele două se compensează complet.

Cum verific rezultatul unei scăderi de numere complexe?

Aduni rezultatul cu scăzătorul și trebuie să obții descăzutul. De exemplu, $(5 + 2 i) - (3 - 4 i) = 2 + 6 i$ . Verificare: $(2 + 6 i) + (3 - 4 i) = 5 + 2 i$ , adică exact descăzutul. Verificarea se face separat pe partea reală și pe coeficienții lui $i$ .

Este suma a două numere nereale întotdeauna nereală?

Nu. Coeficienții lui $i$ se pot anula reciproc: $(2 + 3 i) + (1 - 3 i) = 3$ , un număr real. Suma este reală exact când coeficienții lui $i$ ai termenilor sunt opuși. La fel, suma a două numere pur imaginare poate fi $0$ , ca în $5 i + (- 5 i)$ .

Care e partea imaginară a numărului $(1 + 2 i) + (3 - 5 i) - (2 - i)$ ?

Grupezi pe coloane: partea reală este $1 + 3 - 2 = 2$ , iar coeficientul lui $i$ este $2 - 5 + 1 = - 2$ , pentru că minusul din fața ultimei paranteze schimbă $- i$ în $+ i$ . Numărul este $2 - 2 i$ , cu partea imaginară $- 2$ . Proba: $(2 - 2 i) + (2 - i) = 4 - 3 i$ , adică exact suma primelor două paranteze.

Oamenii mai întreabă și: suma a două numere complexe pur imaginară · când e reală suma a două numere complexe · parametru real în suma a două numere complexe · suma numerelor complexe cu parametru m