Adunarea și scăderea în ℂ: pe scurt

Numerele complexe se adună și se scad pe componente: fiecare parte cu partea ei, niciodată încrucișat. Pentru $z_1=a+bi$ și $z_2=c+di$,

$$z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i,z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i.$$

Scăderea este adunarea cu opusul: opusul lui $z=a+bi$ este $-z=-a-bi$, obținut schimbând semnul ambelor părți. Atenție la scădere: minusul din fața parantezei schimbă semnul la ambii termeni din ea.

$(\mathbb{C},+)$ este grup abelian: adunarea e comutativă, asociativă, are elementul neutru $0$ și fiecare număr are opus — toate proprietățile se demonstrează reducându-le la proprietățile corespunzătoare de pe $\mathbb{R}$, pe fiecare componentă.

O consecință importantă: suma a două numere nereale poate fi reală, dacă părțile imaginare se anulează reciproc, de exemplu $(2+3i)+(1-3i)=3$.

Geometric, adunarea numerelor complexe este exact adunarea vectorilor: $z_1+z_2$ se obține prin regula paralelogramului, iar $z_B-z_A$ este vectorul care duce din punctul $A$ în punctul $B$. Ecuațiile simple de tipul $z+z_1=z_2$ se rezolvă exact ca pe $\mathbb{R}$, izolând necunoscuta.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $(6-3i)+(-4+5i)$.

   • a) $2+2i$
   • b) $10-8i$
   • c) $-10+2i$
   • d) $2-8i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $2+2i$

   Adunăm separat părțile: $(6-4)+(-3+5)i=2+2i$. Varianta b) adună greșit încrucișat, iar c) și d) greșesc semnul la partea imaginară.

2. Calculați $(1+9i)-(5-2i)$.

   • a) $-4+7i$
   • b) $-4+11i$
   • c) $4-11i$
   • d) $6+11i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-4+11i$

   Scădem pe componente: $(1-5)+(9-(-2))i=-4+11i$. Varianta a) greșește semnul lui $-(-2)$; verifică mereu $-(-\dots )=+$.

3. Care este opusul numărului $z=-8+3i$?

   • a) $-8-3i$
   • b) $8+3i$
   • c) $8-3i$
   • d) $3-8i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $8-3i$

   Opusul se obține schimbând semnul ambelor părți: $-(-8+3i)=8-3i$. Variantele a) și b) schimbă doar unul dintre semne.