Adunarea și scăderea numerelor complexe (M2, științe ale naturii)

Un senzor de vibrații lipit pe carcasa unei pompe înregistrează mișcarea produsă de motor și de rotor în același timp. Cele două oscilații au aceeași frecvență, iar inginerii o descriu pe fiecare printr-un număr complex; oscilația pe care o simte senzorul are drept număr suma lor, calculată separat pe partea reală și separat pe partea imaginară. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), adunarea și scăderea sunt primele operații cu numere complexe și, totodată, cele mai folosite: orice calcul mai lung se termină cu ele. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține operațiile cu numere complexe; în varianta-model pentru 2026, prima cerință a Subiectului I dă două numere complexe și cere să arăți că o expresie de forma $z_1+3i{z}_2$ are o valoare dată, adică îmbină o adunare cu o înmulțire.

Pornești de la scrierea $z=a+bi$ din lecția despre forma algebrică la M2 și de la criteriul din lecția M2 despre egalitatea a două numere complexe: două numere sunt egale exact când au aceleași părți. Reducerea termenilor asemenea, pe care o folosești aici fără să te gândești, ai exersat-o la operațiile cu polinoame din clasa a IX-a.

Ce vei învăța

• Vei face adunări și scăderi de numere complexe lucrând pe două coloane separate, a părților reale și a părților imaginare.
• Vei ști să scrii opusul unui număr complex și să transformi orice scădere într-o adunare cu opusul.
• Vei ști să calculezi combinații de forma $2z_1-3z_2$, inclusiv cu coeficienți fracționari, cum apar în cerințele scurte de examen.
• Vei ști să afli un termen necunoscut dintr-o sumă și să determini numere reale prin identificarea părților.
• Vei ști să hotărăști, cu un parametru real, când o sumă sau o diferență este reală ori pur imaginară.
• Vei ști să interpretezi suma a două numere complexe ca suprapunere a două oscilații cu aceeași frecvență.

Hai să descoperim împreună

1. Două coloane: partea reală și partea imaginară

Un număr complex scris sub forma algebrică are două „compartimente”: partea reală și partea imaginară. Adunarea le tratează independent, ca și cum ai aduna două coloane ale unui tabel.

Pentru $z_1=a+bi$ și $z_2=c+di$, cu $a$, $b$, $c$, $d$ numere reale, suma este numărul complex $$z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i.$$

Cu alte cuvinte, partea reală a sumei este suma părților reale, iar partea imaginară a sumei este suma părților imaginare. Regula nu e o convenție arbitrară: dacă desfaci parantezele și grupezi termenii asemenea, ca la orice expresie algebrică, obții exact această formă. Pe un obiect care nu mai apare în lecție: $$(-7+2i)+(5-9i)=(-7+5)+(2-9)i=-2-7i.$$

Numerele $a+c$ și $b+d$ sunt reale, așa că suma are din nou forma $x+yi$, cu $x$ și $y$ reale, și poate intra imediat într-un alt calcul. Pe o foaie de lucru, merită să scrii întâi coloana părților reale, apoi pe cea a părților imaginare, și abia la final să le alături. Obiceiul acesta te ferește de cele mai multe greșeli de semn.

2. Cum scazi fără o regulă nouă?

Opusul numărului $z=a+bi$ este numărul $-z=-a-bi$: semnul se schimbă la ambele părți. De exemplu, opusul lui $-\frac{3}{2}+5i$ este $\frac{3}{2}-5i$, iar suma lor este $0$, adică $0+0i$.

Scăderea nu cere o regulă nouă. A scădea un număr înseamnă a aduna opusul lui: $$z_1-z_2=z_1+(-z_2)=(a-c)+(b-d)i.$$

Pe paranteze, practic, scrii minusul din fața parantezei ca schimbare de semn pentru fiecare termen din ea. Astfel, $$(-9+4i)-(8-5i)=-9+4i-8+5i=-17+9i.$$

Observă că $-(8-5i)$ a devenit $-8+5i$: ambii termeni și-au schimbat semnul. Dacă o faci într-un singur pas, ajută să subliniezi paranteza precedată de minus înainte de a o desface.

În fizică, opusul are un sens foarte concret: o oscilație descrisă de numărul $-z$ este exact „contrariul” celei descrise de $z$, iar suprapuse, cele două se anulează. Pe această idee funcționează dispozitivele de compensare activă a vibrațiilor și căștile care atenuează zgomotul; revenim în secțiunea 7.

3. De ce poți schimba ordinea și grupa termenii?

Adunarea numerelor complexe păstrează toate regulile de calcul pe care le ai la numerele reale, pentru că fiecare parte a sumei este o adunare de numere reale. Iată cum se vede asta pe litere, pentru $z_1=a+bi$, $z_2=c+di$ și $z_3=e+fi$:

• comutativitatea: $z_1+z_2=z_2+z_1$, fiindcă $a+c=c+a$ și $b+d=d+b$;
• asociativitatea: $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$, fiindcă, pe fiecare parte, asocierea numerelor reale nu schimbă rezultatul;
• elementul neutru: $z+0=z$, pentru orice $z$;
• opusul: $z+(-z)=0$, pentru orice $z$.

Consecința practică este că, într-o sumă cu mai mulți termeni, poți aduna în ce ordine vrei. De obicei e comod să aduni pe rând coloana din stânga, a numerelor fără $i$, și abia apoi coloana coeficienților lui $i$. Programa îți cere mai ales să folosești aceste reguli corect în calcul; nu ai de construit aici o teorie a lor.

4. Multipli reali și combinații de tipul $2z_1-3z_2$

Dacă aduni de trei ori același număr $z=a+bi$, obții $3a+3bi$. Mai general, pentru orice număr real $k$ se scrie $$k(a+bi)=ka+kbi,$$ adică numărul real $k$ înmulțește ambele părți. Pe un obiect propriu: $\frac{2}{3}(-9+6i)=-6+4i$. Ai folosit deja regula, cu $k=\frac{1}{d}$, când ai împărțit ambele părți la un numitor real, în lecția despre forma algebrică, secțiunea 5. Regula e un caz particular al înmulțirii numerelor complexe, pe care o studiezi pe larg în lecția următoare, despre înmulțirea numerelor complexe la M2; aici o folosești doar cu factori reali.

Cu ea poți calcula orice combinație de forma $p{z}_1+q{z}_2$, cu $p$ și $q$ reali. Drumul sigur are doi pași. Întâi calculezi separat $p{z}_1$ și $q{z}_2$, fiecare adus la forma $x+yi$. Apoi aduni sau scazi cele două rezultate, pe coloane. Dacă $p$ sau $q$ este negativ, semnul lui intră la ambele părți; aici se greșește cel mai des. Când coeficienții sunt fracții, lucrează cu fracțiile până la capăt, fără să le transformi în zecimale aproximative: un rezultat „aproape corect” nu mai e un număr complex exact.

5. Ce condiție pui pe un parametru ca rezultatul să fie real sau pur imaginar?

Programa de științe numește explicit două condiții pe care le vei folosi des: condiția ca un număr complex să fie real (partea imaginară zero) și condiția ca el să fie pur imaginar (partea reală zero, iar cea imaginară nenulă). Ambele sunt fixate în lecția M2 despre forma algebrică; aici le aplici unui rezultat care trebuie întâi calculat.

Când numerele depind de un parametru real $m$, calculezi întâi suma în formă algebrică și abia după aceea scrii condiția pentru partea care trebuie să se anuleze. Pentru numerele $z_1=(m-3)+(2m+1)i$ și $z_2=(5-m)+(m-4)i$: $$z_1+z_2=2+(3m-3)i.$$

Suma este reală când $3m-3=0$, adică pentru $m=1$, și atunci valoarea ei este $2$. În schimb, suma nu poate fi niciodată pur imaginară: partea ei reală este $2$ pentru orice $m$, fiindcă termenii în $m$ din părțile reale s-au redus. Merită să observi astfel de reduceri înainte să scrii ecuații inutile.

6. Cum afli un termen necunoscut dintr-o sumă?

Dacă $z+w=u$, cu $w$ și $u$ cunoscute, atunci $z=u-w$: aduni opusul lui $w$ în ambii membri, exact ca la numerele reale. De exemplu, din $z+(6-7i)=-1+2i$ rezultă $$z=(-1+2i)-(6-7i)=-7+9i.$$

Verificarea durează câteva secunde și merită făcută de fiecare dată: $(-7+9i)+(6-7i)=-1+2i$.

Există și un al doilea fel de necunoscute: numere reale ascunse în părțile unui număr complex, ca $x$ și $y$ în $(x+2)+(y-3)i$. Atunci aduci membrul stâng la forma algebrică și identifici părțile cu cele din dreapta, după criteriul din lecția despre egalitate.

7. Oscilațiile suprapuse: suma pe părți în fizică

În fizică și în tehnică, o oscilație armonică de frecvență cunoscută se scrie ca $$x(t)=p\cos \omega t-q\sin \omega t,$$ unde $p$ și $q$ sunt numere reale, iar $\omega$ este pulsația. Convenția folosită de ingineri asociază acestei oscilații numărul complex $p+qi$, numit fazorul oscilației. Partea reală spune cât cântărește termenul cu cosinus, iar partea imaginară, termenul cu sinus.

De ce e util? Cât timp amplitudinile rămân mici, deplasările produse de două surse se adună (principiul suprapunerii). Dacă o sursă are fazorul $-2+4i$ și cealaltă $7-5i$, deplasările sunt $x_1(t)=-2\cos \omega t-4\sin \omega t$ și $x_2(t)=7\cos \omega t+5\sin \omega t$, în micrometri. Adunând termenii cu cosinus între ei și termenii cu sinus între ei, obții $x(t)=5\cos \omega t+\sin \omega t$, adică exact oscilația cu fazorul $(-2+4i)+(7-5i)=5-i$. Adunarea pe părți a numerelor complexe este, aici, chiar adunarea termenilor asemenea din cele două formule. Aceeași suprapunere ai întâlnit-o în suplimentul de clasa a IX-a despre transformarea sumelor în produse, unde o scriai ca produs cu formule trigonometrice; cu fazori o scrii ca sumă, fără nicio formulă nouă.

Figura A arată cele trei curbe pe o perioadă întreagă, pentru $\omega t$ între $0$ și $2\pi$. La $\omega t=0$ deplasările sunt $-2$, $7$ și $5$ micrometri, adică exact părțile reale ale celor trei fazori, iar a treia curbă este, în fiecare moment, suma primelor două. Desenul ilustrează; calculul fazorilor rămâne cel care decide. Dacă a doua sursă ar fi avut fazorul $2-4i$, opusul primului, suma ar fi fost $0$, iar senzorul nu ar fi înregistrat nimic.

8. Cum verifici un calcul lung fără să-l refaci?

Un calcul cu patru sau cinci paranteze are multe locuri în care se poate pierde un semn. Trei controale rapide prind aproape toate greșelile, fără să refaci tot drumul. Primul: recalculezi separat doar coloana părților reale, citind fiecare paranteză împreună cu semnul din fața ei, apoi, la fel, coloana părților imaginare. Al doilea, la scăderi: aduni scăzătorul la rezultat și trebuie să obții descăzutul. Al treilea, la combinațiile cu factori întregi: dacă numerele au părțile întregi, rezultatul nu poate conține fracții, deci o fracție apărută pe drum semnalează o împărțire făcută din greșeală.

Controalele nu înlocuiesc calculul, dar îți arată unde să te uiți. La o lucrare scrisă costă câteva secunde, iar câștigul e mare: un rezultat greșit la prima cerință a unei probleme se propagă, de obicei, în cerințele următoare, care îl folosesc ca dată.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei termeni, două paranteze cu minus

Calculați $(8-7i)-(-6+9i)+(-9-3i)$.

Rezolvare. Desfacem parantezele; cea precedată de minus își schimbă ambele semne: $$8-7i+6-9i-9-3i.$$

Strângem coloana părților reale și coloana părților imaginare: $$(8-7i)-(-6+9i)+(-9-3i)=(8+6-9)+(-7-9-3)i=5-19i.$$

Controlul rapid: partea reală $5$ și partea imaginară $-19$ se pot recalcula separat, fiecare în câteva secunde, fără să mai privești celelalte numere.

Exemplul 2 — O combinație cu coeficienți fracționari

Se consideră $z_1=\frac{3}{2}-4i$ și $z_2=-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i$. Calculați $4z_1-6z_2$.

Rezolvare. Calculăm separat cei doi multipli, fiecare înmulțind ambele părți: $$4z_1=6-16i,6z_2=-3+15i.$$

Apoi scădem pe coloane: $$4z_1-6z_2=(6-16i)-(-3+15i)=9-31i.$$

Coeficienții $4$ și $6$ au fost aleși astfel încât fracțiile să dispară; dacă ai fi scris $z_1\approx 1,5-4i$ și $z_2\approx -0,5+2,5i$, rezultatul ar fi ieșit la fel, dar numai pentru că zecimalele erau exacte. Cu fracții ca $\frac{1}{3}$, aproximarea ar fi stricat rezultatul.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „$(5-8i)-(-4+6i)=5-8i+4+6i=9-2i$.” Verificați și corectați.

Rezolvare. Elevul a schimbat semnul primului termen din paranteză, dar nu și pe al celui de-al doilea: $-(-4+6i)$ înseamnă $+4-6i$, nu $+4+6i$. Calculul corect: $$(5-8i)-(-4+6i)=5-8i+4-6i=9-14i.$$

O verificare independentă prinde greșeala imediat: adunăm scăzătorul la rezultatul găsit. Cu $9-14i$, obținem $(9-14i)+(-4+6i)=5-8i$, deci descăzutul, cum trebuie. Cu rezultatul elevului, $(9-2i)+(-4+6i)=5+4i$, care nu este descăzutul.

Exemplul 4 — Pentru ce parametru suma este pur imaginară?

Fie $z_1=(2m-5)+(m+2)i$ și $z_2=(7-m)+(3-4m)i$, unde $m$ este real. Aflați valorile lui $m$ pentru care suma $z_1+z_2$ este un număr pur imaginar.

Rezolvare. Aducem suma la forma algebrică: $$z_1+z_2=(m+2)+(5-3m)i.$$

Suma este pur imaginară când partea reală este zero și partea imaginară nu este zero. Din $m+2=0$ rezultă $m=-2$. Pentru această valoare, partea imaginară este $5-3m=11$, diferită de zero, deci condiția a doua este îndeplinită și $z_1+z_2=11i$.

Observă de ce contează a doua condiție: dacă pentru valoarea găsită ar fi ieșit și partea imaginară zero, suma ar fi fost $0$, care nu se consideră pur imaginar, iar problema n-ar fi avut soluție.

Exemplul 5 — Vibrațiile pompei: ce produce rotorul?

Senzorul de pe carcasa unei pompe înregistrează o oscilație cu fazorul $Z=-1+9i$ (în micrometri). Motorul, măsurat separat când pompa merge în gol, produce oscilația cu fazorul $z_M=4+7i$. a) Ce fazor are oscilația produsă de rotor? b) Ce fazor trebuie să producă un dispozitiv de compensare ca senzorul să rămână nemișcat?

Rezolvare. a) Deplasările se adună, deci $z_M+z_R=Z$, iar fazorul rotorului este $$z_R=Z-z_M=(-1+9i)-(4+7i)=-5+2i.$$

În formulă, rotorul produce $x_R(t)=-5\cos \omega t-2\sin \omega t$ micrometri.

b) Dispozitivul trebuie să adauge o oscilație care, suprapusă cu cea înregistrată, dă zero, deci fazorul lui este opusul lui $Z$: $$z_C=-Z=1-9i.$$

Modelul e valabil cât timp amplitudinile sunt mici și toate sursele au aceeași frecvență; o vibrație cu altă frecvență nu se poate compensa cu un singur fazor.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră numerele complexe $z_1=9-9i$ și $z_2=-3+5i$. a) Arătați că $z_1-2z_2=15-19i$. b) Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $a{z}_1+b{z}_2=15-13i$.

Rezolvare. a) $2z_2=-6+10i$, deci $$z_1-2z_2=(9-9i)-(-6+10i)=15-19i.$$

b) Pentru $a$ și $b$ reale, $a{z}_1+b{z}_2=(9a-3b)+(-9a+5b)i$. Identificând părțile cu cele ale lui $15-13i$, obținem sistemul $$\{\begin{array}{l}9a-3b=15\\ -9a+5b=-13\end{array}$$

Adunând cele două ecuații, $2b=2$, deci $b=1$. Din prima ecuație, $9a=15+3b=18$, deci $a=2$. Verificare, pe coloane: $2(9-9i)+(-3+5i)=15-13i$.

Să exersăm

Scrie fiecare rezultat sub forma $x+yi$, cu partea reală prima. La paranteze precedate de minus, schimbă semnul ambilor termeni.

1. Calculează: a) $(-8+5i)+(6-9i)$; b) $(7+5i)+(-5+7i)$; c) $(-9-i)+(4-5i)$; d) $\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{3}i\right)+\left(-\frac{1}{4}+\frac{2}{3}i\right)$.

2. Calculează: a) $(-3-7i)-(5-9i)$; b) $(9+i)-(-8-7i)$; c) $(-5-8i)-(-5+8i)$.

3. Pentru $z=8-9i$ și $w=-7+6i$, calculează $z-w$ și $w-z$. Ce legătură există între cele două rezultate? Ce număr trebuie adunat la $z$ ca să obții $w$?

4. Pentru $z_1=-6+2i$ și $z_2=5-6i$, calculează $3z_1+2z_2$ și $z_1-4z_2$.

5. Scrie sub formă algebrică: a) $\frac{3}{4}(8-12i)$; b) $-\frac{5}{2}(-2+4i)$; c) $2\left(3-\frac{1}{2}i\right)-\frac{1}{3}(6+9i)$.

6. Fără să calculezi întreaga sumă termen cu termen, scrie partea reală și partea imaginară a numărului $S=(-7+5i)-(9-7i)+(8+7i)-(-1-7i)$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $3z$ este un număr real, atunci $z$ este un număr real.

8. Rezolvă în mulțimea numerelor complexe: a) $z-(-6-5i)=2-9i$; b) $(7-8i)-z=-3+4i$.

9. Determină numerele reale $x$ și $y$ pentru care $(3x-4)+(5-y)i-(3+7i)=2-9i$.

10. Determină numărul complex $z$ pentru care $3z+(-8+5i)=z+(6-9i)$.

11. Fie $z_1=(m^2-2)+(3m-1)i$ și $z_2=4m+(m+7)i$, cu $m$ real. Determină $m$ pentru care $z_1-z_2$ este număr real și calculează, pentru acest $m$, valoarea diferenței.

12. Determină numerele reale $m$ și $n$ pentru care numerele $(m-1)+(n+2)i$ și $(2m+4)+(3-2n)i$ sunt opuse. Scrie apoi cele două numere.

13. (Problemă aplicată.) Un punct al unei plăci este pus în vibrație de trei surse cu aceeași frecvență, cu fazorii $z_A=9+3i$, $z_B=-4-6i$ și $z_C=-5+3i$, în micrometri. a) Calculează fazorul oscilației rezultante și interpretează rezultatul. b) Sursa $C$ se oprește. Scrie fazorul noii oscilații, formula deplasării $x(t)$ și deplasarea la momentul $\omega t=0$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră numerele complexe $z_1=8+9i$ și $z_2=-5-6i$. Arătați că $2z_1+3z_2=1$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați numărul complex $z$ pentru care $2z+(7+8i)=-5-2i$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră numerele complexe $z=-6-7i$ și $w=2+\frac{5}{2}i$. Arătați că numărul $z+2w$ are partea reală egală cu partea imaginară.

17. Un elev calculează $4z_1-z_2$ pentru $z_1=-2+5i$ și $z_2=7-3i$ astfel: „$4z_1-z_2=3(z_1-z_2)=3(-9+8i)=-27+24i$.” Găsește greșeala și scrie rezultatul corect.

18. (Provocare.) a) Găsește toate numerele complexe $z$ pentru care $z+(6+i)$ este real, iar $z-(-2+7i)$ este pur imaginar. b) Există numere complexe $z$ pentru care atât $z+(6+i)$, cât și $z+(-4+9i)$ sunt reale? Justifică.

Răspunsuri și explicații

1. a) $(-8+5i)+(6-9i)=-2-4i$. b) $(7+5i)+(-5+7i)=2+12i$. c) $(-9-i)+(4-5i)=-5-6i$. d) $\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{3}i\right)+\left(-\frac{1}{4}+\frac{2}{3}i\right)=\frac{1}{2}+i$: pe fiecare coloană fracțiile au același numitor.

2. a) $(-3-7i)-(5-9i)=-3-7i-5+9i=-8+2i$. b) $(9+i)-(-8-7i)=17+8i$. c) $(-5-8i)-(-5+8i)=-16i$, un număr pur imaginar, fiindcă părțile reale sunt egale.

3. $z-w=(8-9i)-(-7+6i)=15-15i$ și $w-z=(-7+6i)-(8-9i)=-15+15i$. Cele două diferențe sunt numere opuse: $(15-15i)+(-15+15i)=0$. Numărul care, adunat la $z$, dă $w$ este $w-z=-15+15i$; verificare: $(8-9i)+(-15+15i)=-7+6i$.

4. $3z_1=3(-6+2i)=-18+6i$ și $2z_2=2(5-6i)=10-12i$, deci $3z_1+2z_2=-8-6i$. Apoi $4z_2=4(5-6i)=20-24i$, deci $z_1-4z_2=(-6+2i)-(20-24i)=-26+26i$.

5. a) $\frac{3}{4}(8-12i)=6-9i$. b) $-\frac{5}{2}(-2+4i)=5-10i$: factorul negativ schimbă semnul ambelor părți. c) $2\left(3-\frac{1}{2}i\right)=6-i$ și $\frac{1}{3}(6+9i)=2+3i$, deci rezultatul este $(6-i)-(2+3i)=4-4i$.

6. Partea reală: $-7-9+8+1=-7$. Partea imaginară: $5+7+7+7=26$, fiindcă fiecare paranteză precedată de minus contribuie cu partea ei imaginară schimbată de semn. Deci $S=(-7+5i)-(9-7i)+(8+7i)-(-1-7i)=-7+26i$.

7. Adevărat. Cu $z=a+bi$, $3z=3a+3bi$, iar acesta este real exact când $3b=0$, adică $b=0$. Așadar $z=a$ este real. Factorul $3$ nu poate anula singur partea imaginară, fiindcă nu este zero.

8. a) Adunăm $-6-5i$ în ambii membri: $z=(2-9i)+(-6-5i)=-4-14i$. b) Aici necunoscuta este scăzătorul, deci $z=(7-8i)-(-3+4i)=10-12i$. Verificare: $(7-8i)-(10-12i)=-3+4i$.

9. Membrul stâng devine $(3x-7)+(-2-y)i$. Identificând părțile: $3x-7=2$, deci $x=3$, și $-2-y=-9$, deci $y=7$. Verificare: pentru $x=3$ și $y=7$, $(9-4)+(5-7)i-(3+7i)=2-9i$.

10. Trecem termenii cu $z$ în stânga și numerele în dreapta: $2z=(6-9i)-(-8+5i)=14-14i$, deci $z=7-7i$. Verificare: $3z+(-8+5i)=13-16i$ și $z+(6-9i)=13-16i$.

11. $z_1-z_2=(m^2-4m-2)+(2m-8)i$. Diferența este reală când $2m-8=0$, deci $m=4$. Atunci valoarea ei este $m^2-4m-2=-2$.

12. Numerele sunt opuse când suma lor este $0$. Suma este $(3m+3)+(5-n)i$, deci $3m+3=0$ și $5-n=0$: $m=-1$, $n=5$. Numerele sunt $-2+7i$ și $2-7i$.

13. a) $z_A+z_B+z_C=(9+3i)+(-4-6i)+(-5+3i)=(9-4-5)+(3-6+3)i=0$. Cele trei oscilații se anulează reciproc: punctul rămâne în repaus, deși fiecare sursă, singură, l-ar pune în mișcare. b) $z_A+z_B=5-3i$, deci $x(t)=5\cos \omega t+3\sin \omega t$ micrometri, iar la $\omega t=0$ deplasarea este $5$ micrometri, egală cu partea reală a fazorului.

14. $2z_1=2(8+9i)=16+18i$ și $3z_2=3(-5-6i)=-15-18i$, deci $2z_1+3z_2=(16-15)+(18-18)i=1$.

15. Scădem $7+8i$ din ambii membri: $2z=(-5-2i)-(7+8i)=-12-10i$, deci $z=-6-5i$. Verificare: $2(-6-5i)+(7+8i)=-5-2i$.

16. $2w=4+5i$, deci $z+2w=(-6-7i)+(4+5i)=-2-2i$. Partea reală și partea imaginară sunt amândouă egale cu $-2$.

17. Greșeala: elevul a scăzut coeficienții, ca și cum $4z_1-z_2$ ar fi $(4-1)(z_1-z_2)$. Corect se calculează întâi multiplul, $4z_1=-8+20i$, apoi $4z_1-z_2=(-8+20i)-(7-3i)=-15+23i$. Verificare pe coloane: $4\cdot (-2)-7=-15$ și $4\cdot 5-(-3)=23$.

18. a) Fie $z=a+bi$, cu $a$ și $b$ reale. Numărul $z+(6+i)=(a+6)+(b+1)i$ este real când $b=-1$. Numărul $z-(-2+7i)=(a+2)+(b-7)i$ este pur imaginar când $a+2=0$ și $b-7\ne 0$. Rezultă $a=-2$, $b=-1$, iar $b-7=-8$ este diferit de zero, deci singurul număr este $z=-2-i$. b) Nu există: prima condiție cere $b=-1$, iar $z+(-4+9i)=(a-4)+(b+9)i$ este real doar pentru $b=-9$, iar partea imaginară a lui $z$ nu poate avea două valori.

De reținut

• Adunarea și scăderea se fac pe două coloane separate: $(a+bi)\pm (c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i$.
• Opusul lui $a+bi$ este $-a-bi$, iar orice scădere este adunarea cu opusul; minusul din fața unei paranteze schimbă semnul ambilor termeni.
• Un factor real înmulțește ambele părți: $k(a+bi)=ka+kbi$; combinațiile $p{z}_1+q{z}_2$ se calculează multiplu cu multiplu, apoi pe coloane.
• Condiția de real sau de pur imaginar se pune pe suma deja adusă la forma algebrică, nu pe termenii ei luați separat.
• Un calcul lung se verifică pe coloane, iar o scădere se verifică adunând scăzătorul la rezultat: trebuie să reapară descăzutul.

Greșeli frecvente

• Factorul real pus pe o singură parte. În $-4(1-7i)$ se înmulțesc amândouă părțile: rezultatul este $-4+28i$. Elevii care scriu $-4-7i$ au înmulțit doar prima parte, iar cei care scriu $-4-28i$ au uitat că minus ori minus dă plus.
• Mutarea unui termen fără schimbarea semnelor. Din $z+(2-9i)=u$ nu rezultă $z=u+(2-9i)$, ci $z=u-(2-9i)$. Când treci un număr complex în celălalt membru, scade-l cu totul, cu ambele părți.
• Fazori adunați pentru oscilații cu frecvențe diferite. Regula „suma fazorilor dă fazorul sumei” funcționează numai când toate oscilațiile au aceeași pulsație $\omega$. Pentru o vibrație de $50$ Hz și una de $120$ Hz, termenii cu cosinus nu sunt termeni asemenea, iar suma fazorilor nu descrie nicio oscilație reală.
• Partea imaginară aruncată ca „nefizică”. În problemele cu oscilații, partea imaginară a fazorului descrie termenul cu sinus, care se măsoară la fel de real ca termenul cu cosinus. Dacă aduni doar părțile reale, obții o altă oscilație decât cea înregistrată de senzor.
• Semnul termenului cu sinus trecut greșit în fazor. După convenția $x(t)=p\cos \omega t-q\sin \omega t$, oscilația $2,5\cos \omega t+1,5\sin \omega t$ are fazorul $2,5-1,5i$, nu $2,5+1,5i$: coeficientul sinusului este $-q$. Scrie întâi $-q=1,5$, apoi $q=-1,5$, și abia la final fazorul; altfel toate sumele următoare ies cu partea imaginară greșită.

Aplică acasă

1. Foaia de calcul cu două coloane. Într-o foaie de calcul scrie, pe rânduri, cinci numere complexe inventate: partea reală în coloana A, partea imaginară în coloana B. Pune în ultimul rând suma fiecărei coloane și compară cu suma calculată de mână. Adaugă apoi o coloană C cu opusul fiecărui număr și verifică faptul că suma totală a coloanelor A și C este zero.
2. Oscilațiile într-o aplicație de grafice. Desenează funcțiile $6\cos x+\sin x$ și $-4\cos x+\sin x$ și suma lor, pe intervalul $[0,2\pi ]$. Scrie fazorii celor două oscilații după convenția din lecție și verifică faptul că, la $x=0$, suma arată partea reală a sumei fazorilor. Schimbă apoi a doua funcție astfel încât suma să fie constant zero și notează ce fazor ai folosit.
3. Calculatorul științific în modul complex. Multe calculatoare științifice au un mod pentru numere complexe (de obicei notat CMPLX), în care tasta $i$ apare ca funcție secundară. Rezolvă de mână exercițiile 2 și 4, apoi refă-le pe calculator și notează unde ar fi apărut o diferență dacă ai fi uitat o schimbare de semn. La lucrare vei calcula de mână, deci calculatorul rămâne doar un instrument de verificare.

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează două deprinderi pe care se sprijină tot capitolul de numere complexe: lucrul pe coloane (partea reală cu partea reală, partea imaginară cu partea imaginară) și controlul semnelor la paranteze. Dificultatea matematică e mică, dar greșelile de semn de aici se propagă în fiecare lecție ulterioară, de la înmulțire până la ecuațiile de gradul al doilea. Un elev care își verifică scăderea adunând scăzătorul la rezultat, ca în Exemplul 3, și-a format deja un reflex bun.

Întrebări bune de control: „Ce număr adunat la $z$ dă $0$?”; „Cum verifici o scădere fără s-o refaci?”; „Când este o sumă pur imaginară?”. Contextul oscilațiilor e ales pentru elevii de științe: el arată că adunarea pe părți nu e un truc de calcul, ci exact adunarea termenilor asemenea din formulele deplasărilor. Nu e nevoie de amplitudini sau de unghiuri de fază; acestea țin de modulul numărului complex și de forma trigonometrică, iar a doua nu face parte din programa de științe.

La clasă, figura din secțiunea 7 se poate reface într-o aplicație de grafice, cu elevii alegând ei fazorii; în zece minute ei văd că adunarea pe părți și suprapunerea curbelor spun același lucru. Merită discutat și ce nu arată desenul: el confirmă o valoare într-un punct, dar numai calculul exact al fazorilor spune că două curbe sunt identice pe tot intervalul. Pentru elevii care greșesc sistematic semnele, lucrul pe două coloane scrise efectiv pe foaie, câteva ore la rând, e mai eficient decât orice regulă memorată.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: capitolul „Numere complexe” numește „operații cu numere complexe scrise sub formă algebrică”, competența X.CS.2.4 cere efectuarea lor „în contexte variate”, iar X.CS.6.4 cere analiza unor probleme din alte domenii cu ajutorul numerelor complexe. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, unde „Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex, operații cu numere complexe” apar la clasa a X-a, în capitolul „Mulțimi de numere”; de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)”. În varianta-model din 2026, prima cerință a Subiectului I cere verificarea valorii unei expresii de forma $z_1+3i{z}_2$, pentru două numere complexe date; exercițiile marcate aici sunt create pentru exercițiu. Aceeași programă din 2014 cere și interpretarea geometrică a adunării și a scăderii, care lipsește din Anexa 28; ea se lucrează în suplimentul despre interpretarea geometrică a operațiilor cu numere complexe la M2.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: adunarea și scăderea numerelor complexe, mate-info (M1). Lecția următoare a traseului este înmulțirea numerelor complexe și puterile lui i la M2, iar exercițiile de recapitulare ale unității sunt în testul M2 despre numerele complexe.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre adunarea numerelor complexe?

Varianta M2 lasă deoparte structura algebrică a mulțimii numerelor complexe și interpretarea geometrică, care la științe se face doar în suplimentul pentru examen. În schimb, insistă pe combinațiile cu coeficienți reali, pe condițiile de real și pur imaginar cu parametru, pe identificarea părților pentru necunoscute reale și pe un model fizic, suprapunerea oscilațiilor.

La ce subiect al bacalaureatului M2 pot apărea adunarea și scăderea?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține operațiile cu numere complexe la clasa a X-a. În varianta-model pentru 2026, prima cerință a Subiectului I cere să arăți că expresia $z_1+3i{z}_2$, pentru două numere complexe date, are o valoare dată; adunarea se combină acolo cu o înmulțire. Pentru MAT_P2 din 2030, tema aparține domeniului „Algebră”.

De ce fizicienii descriu o oscilație printr-un număr complex?

Pentru că o oscilație armonică de frecvență dată are două ingrediente, termenul cu cosinus și cel cu sinus, iar un număr complex are exact două părți. Când oscilațiile de aceeași frecvență se suprapun, ingredientele se adună separat, deci numerele complexe se adună pe părți. Calculele cu fazori înlocuiesc astfel calculele cu formule trigonometrice.

Ce înseamnă „amplitudini mici” în modelul fazorilor?

Înseamnă că deplasările rămân în zona în care materialul se comportă elastic, iar efectul a două surse este suma efectelor fiecăreia. La vibrații puternice, o placă sau un resort ies din această zonă, deplasarea nu mai crește proporțional cu forța, iar adunarea fazorilor nu mai descrie mișcarea. Pentru senzorii de pe o pompă, amplitudinile sunt de câțiva micrometri, bine în interiorul zonei.

Pot aduna un număr real cu unul complex?

Da. Numărul real $r$ se scrie $r+0i$, deci se adună doar la partea reală, iar partea imaginară rămâne neschimbată: $5+(-8+3i)=-3+3i$. La fel, un număr pur imaginar $bi$ se adună doar la partea imaginară. Regula pe coloane rămâne aceeași, cu zero pe coloana care lipsește.

Ce fac când un coeficient al combinației este o fracție?

Înmulțești fracția cu fiecare parte și simplifici, exact ca la numerele reale: $-\frac{3}{4}(8+4i)=-6-3i$. Dacă apar mai multe fracții, adu-le la același numitor pe fiecare coloană separat, ca la adunarea obișnuită a fracțiilor. Nu trece la zecimale aproximative, fiindcă rezultatul cerut este un număr complex exact, iar o zecimală rotunjită nu mai verifică egalitatea.