Adunarea și scăderea polinoamelor: pe scurt

Suma a două polinoame se calculează pe coeficienți de același rang: $c_k=a_k+b_k$ — exact reducerea termenilor asemenea, cu rangurile lipsă completate cu $0$. Cel mai sigur procedeu practic e tabelul de coeficienți, aliniat pe ranguri.

Surpriza capitolului: pentru $f,g,f+g$ nenule, $\mathrm{grad}(f+g)\le \max (\mathrm{grad}f,\mathrm{grad}g)$ — o inegalitate, nu o egalitate. Dacă gradele sunt diferite, are loc sigur egalitatea; dacă sunt egale, coeficienții dominanți se pot anula prin adunare, iar gradul sumei poate scădea oricât de mult (chiar până la polinomul nul, care nu mai are grad deloc).

Opusul lui $f$ are toți coeficienții schimbați de semn; scăderea este $f-g=f+(-g)$, cu semnul schimbat la toți termenii scăzătorului. Adunarea polinoamelor este comutativă, asociativă, are element neutru (polinomul nul) și element opus — se comportă ca un grup abelian, exact ca $(\mathbb{C},+)$.

Cel mai rapid control al unui rezultat: evaluarea în câteva puncte comode ($x=1,-1,2$), folosind $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ — o nepotrivire arată sigur o greșeală, deși o potrivire nu e o demonstrație completă.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru $f=4X^3-X^2+2X-5$ și $g=-4X^3+3X^2-6$, calculați $f+g$.

   • a) $2X^2+2X-11$
   • b) $2X^2-2X-11$
   • c) $8X^3+2X^2+2X-11$
   • d) $2X^2+2X-5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $2X^2+2X-11$

   Pe ranguri: $4-4=0$; $-1+3=2$; $2+0=2$; $-5-6=-11$. Termenii de rang $3$ se reduc, deci $f+g=2X^2+2X-11$.

2. Care este gradul lui $f+g$ de la exercițiul anterior?

   • a) $3$
   • b) $2$
   • c) $6$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $2$

   Deși $f$ și $g$ au gradul $3$, coeficienții dominanți ($4$ și $-4$) se anulează, iar gradul sumei coboară la $2$.

3. Dacă $\mathrm{grad}f=6$ și $\mathrm{grad}g=2$, ce grad are $f+g$?

   • a) $8$
   • b) $2$
   • c) $6$
   • d) $4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $6$

   Gradele fiind diferite, egalitatea are loc sigur: gradul sumei este cel mai mare dintre cele două, adică $6$.