Împarte, înmulțește, scade, coboară: pe scurt

Împărțirea a două polinoame $f$ și $g$ (cu $g\ne 0$) urmează, coeficient cu coeficient, aceeași procedură ca împărțirea numerelor naturale în scris. Înainte de primul pas, ambele polinoame se ordonează descrescător după grade, iar termenii lipsă se completează cu $0$ — aici apar cele mai multe greșeli, pentru că fără locul rezervat coloanele se deplasează.

Fiecare pas al algoritmului are patru mișcări: împarți termenul dominant al restului parțial la termenul dominant al lui $g$, obținând un monom al câtului; înmulțești acel monom cu tot $g$; scazi produsul din restul parțial, cu grijă la semne; apoi cobori termenii rămași. Te oprești când gradul restului scade sub gradul lui $g$ — ce rămâne este restul $r$, iar $f=g\cdot q+r$.

Dacă $g$ nu este monic, la fiecare pas apar în mod natural fracții, chiar dacă $f$ și $g$ au coeficienți întregi — nu e o greșeală, ci exact ce garantează teorema împărțirii cu rest. Dacă restul iese $0$, împărțirea este exactă și obții direct o descompunere în factori a lui $f$. Verificarea obligatorie, de fiecare dată: înmulțești câtul cu împărțitorul, aduni restul și trebuie să regăsești exact deîmpărțitul.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care este ordinea corectă a celor patru mișcări dintr-un pas al algoritmului de împărțire a polinoamelor?

   • a) împarte, înmulțește, scade, coboară
   • b) împarte, scade, înmulțește, coboară
   • c) înmulțește, împarte, coboară, scade
   • d) coboară, împarte, înmulțește, scade
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) împarte, înmulțește, scade, coboară

   Ordinea fixă este: împarți termenii dominanți ca să afli monomul câtului, îl înmulțești cu tot împărțitorul, scazi produsul din restul parțial, apoi cobori termenii rămași și reiei. Orice altă ordine strică schema de calcul.

2. Care este câtul împărțirii lui $f=X^4-X^3-3X^2+5X-2$ la $g=X^2-X+1$?

   • a) $X^2+4$
   • b) $X^2-4$
   • c) $X^2-X-4$
   • d) $X^2-2X-4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $X^2-4$

   Primul pas: $X^4:X^2=X^2$, iar $X^2(X^2-X+1)=X^4-X^3+X^2$; scăzând rămâne $-4X^2+5X-2$. Al doilea pas: $-4X^2:X^2=-4$, iar $-4(X^2-X+1)=-4X^2+4X-4$; scăzând rămâne $X+2$, de grad $1<2$, deci ne oprim. Câtul este $X^2-4$, restul $X+2$. Verificare: $(X^2-X+1)(X^2-4)+X+2=X^4-X^3-3X^2+5X-2$ ✓.

3. Care este restul împărțirii lui $f=4X^3-X^2+3X-2$ la $g=2X-1$?

   • a) $-\frac{1}{2}$
   • b) $\frac{1}{4}$
   • c) $-\frac{1}{4}$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $-\frac{1}{4}$

   Coeficientul dominant al lui $g$ nu este $1$, deci apar fracții: $4X^3:2X=2X^2$, apoi (după scădere) $X^2:2X=\frac{1}{2}X$, apoi $\frac{7}{2}X:2X=\frac{7}{4}$. Efectuând complet algoritmul, câtul este $q=2X^2+\frac{1}{2}X+\frac{7}{4}$ și restul $-\frac{1}{4}$. Verificare: $(2X-1)\left(2X^2+\frac{1}{2}X+\frac{7}{4}\right)-\frac{1}{4}=4X^3-X^2+3X-2$ ✓.