Ce numără $$A_n^k$$?

șirurile ordonate de $$k$$ elemente distincte alese dintre $$n$$

submulțimile cu $$k$$ elemente ale unei mulțimi cu $$n$$ elemente

șirurile de lungime $$k$$ în care elementele se pot repeta

ordonările tuturor celor $$n$$ elemente

Cum trec de la Aₙ^(k) la Aₙ^(k+1)?

Adaugi un loc nou, care poate primi oricare dintre cele n-k obiecte încă nefolosite, deci Aₙ^(k+1)=Aₙ^(k)·(n-k). Din A₉⁴=3024 rezultă A₉⁵=3024· 5=15 120, fără să mai scrii toți factorii.

Cum rezolv ecuația Aₙ³=20n?

Aranjamentele de câte 3 au sens doar pentru n≥ 3, deci aceasta este condiția de existență. Scrii n(n-1)(n-2)=20n și împarți la n≠ 0: (n-1)(n-2)=20=5· 4, deci n-1=5 și n=6. Verificare: A₆³=6· 5· 4=120=20· 6, iar valoarea găsită respectă condiția.

Cât fac Aₙ⁰ și Aₙ¹ și de ce?

Aₙ¹=n, pentru că pe un singur loc poate sta oricare dintre cele n obiecte. Aₙ⁰=1: fără niciun loc de ocupat există o singură situație, cea goală. Forma cu factoriale confirmă: n!/n!=1 și n!/((n-1)!)=n.

Cum scriu aranjamentele cu factoriale?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Aranjamente

Se scrie $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ : la numitor stă factorialul obiectelor care rămân neașezate. Motivul: toate cele $n$ obiecte se ordonează în $n!$ feluri, adică întâi primele $k$ locuri, în $A_{n}^{k}$ feluri, apoi celelalte $n - k$ , în $(n - k)!$ feluri. Exemplu: $4$ probe din $9$ puse pe $4$ poziții numerotate ale unei centrifuge dau $A_{9}^{4} = \frac{9 !}{5 !} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$ de variante.

Aranjamentele numără alegerile în care contează ordinea: iei $k$ obiecte diferite dintr-o colecție de $n$ și le pui pe $k$ locuri numerotate. Aceleași obiecte, mutate pe alte locuri, formează alt rezultat, iar obiectele rămase în afara locurilor nu intră în socoteală.

Numărătoarea merge loc cu loc. Primul loc poate primi oricare dintre cele $n$ obiecte, următorul unul dintre cele $n - 1$ rămase și așa mai departe, deci $A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ , cu atâția factori câte locuri. Desenată, numărătoarea devine o diagramă arborescentă: fiecare nivel e un loc nou, iar ramurile unui nod sunt obiectele încă neplasate.

Scrierea cu factoriale, $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ , vine din așezarea tuturor celor $n$ obiecte, făcută în două etape: întâi primele $k$ locuri, apoi celelalte $n - k$ , care se pot aranja în $(n - k)!$ feluri. Valorile de margine sunt $A_{n}^{0} = 1$ , $A_{n}^{1} = n$ și $A_{n}^{n} = n!$ , adică numărul permutărilor.

Pentru control, ține minte două reguli. Niciun rezultat nu poate trece de $n^{k}$ , cât ar fi dacă obiectele s-ar putea repeta. Un loc în plus înmulțește rezultatul cu numărul obiectelor încă disponibile, $n - k$ . O ecuație ca $A_{n}^{2} = a$ se rezolvă găsind două numere consecutive al căror produs este $a$ .

De reținut

$A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1) = \frac{n !}{( n - k )!}$
la numitor stă factorialul obiectelor neașezate, $(n - k)!$
$A_{n}^{k + 1} = A_{n}^{k} \cdot (n - k)$

Greșeala tipică

Se scrie $A_{9}^{4} = \frac{9 !}{4 !}$ , cu factorialul locurilor la numitor; corect este $\frac{9 !}{5 !} = 3024$ , pentru că se împarte la ordinile celor $5$ obiecte rămase.

Exerciții din această mini-lecție

Ce numără $A_{n}^{k}$ ?
- a) submulțimile cu $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente
- b) șirurile ordonate de $k$ elemente distincte alese dintre $n$
- c) șirurile de lungime $k$ în care elementele se pot repeta
- d) ordonările tuturor celor $n$ elemente
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) șirurile ordonate de $k$ elemente distincte alese dintre $n$

Un aranjament e un șir: elementele sunt distincte și ordinea contează. Submulțimile sunt combinări, iar șirurile cu repetiție sunt $n^{k}$ .
Câți factori are produsul care dă $A_{11}^{6}$ ?
- a) $5$
- b) $11$
- c) $6$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $6$

Câte locuri, atâția factori: $A_{11}^{6} = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6$ , adică șase factori, ultimul fiind $11 - 6 + 1 = 6$ .
Cât este $A_{35}^{2}$ ?
- a) $1225$
- b) $1190$
- c) $595$
- d) $70$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $1190$

$A_{35}^{2} = 35 \cdot 34 = 1190$ . Valoarea $1225 = 3 5^{2}$ ar permite repetarea elementului, iar $595$ e jumătate, adică perechile neordonate.

Întrebări conexe

Cum trec de la $A_{n}^{k}$ la $A_{n}^{k + 1}$ ?

Adaugi un loc nou, care poate primi oricare dintre cele $n - k$ obiecte încă nefolosite, deci $A_{n}^{k + 1} = A_{n}^{k} \cdot (n - k)$ . Din $A_{9}^{4} = 3024$ rezultă $A_{9}^{5} = 3024 \cdot 5 = 15120$ , fără să mai scrii toți factorii.

Câte clasamente pe primele trei locuri sunt posibile la $12$ echipe?

Locurile $1$ , $2$ și $3$ sunt diferite, iar o echipă nu poate ocupa două locuri, deci numeri aranjamente: $A_{12}^{3} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320$ . Dacă ar conta doar care echipe urcă pe podium, fără ordine, ar fi de $3! = 6$ ori mai puține.

Cum rezolv ecuația $A_{n}^{3} = 20 n$ ?

Aranjamentele de câte $3$ au sens doar pentru $n \geq 3$ , deci aceasta este condiția de existență. Scrii $n (n - 1) (n - 2) = 20 n$ și împarți la $n \neq = 0$ : $(n - 1) (n - 2) = 20 = 5 \cdot 4$ , deci $n - 1 = 5$ și $n = 6$ . Verificare: $A_{6}^{3} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 = 20 \cdot 6$ , iar valoarea găsită respectă condiția.

În câte feluri se încarcă $3$ probe din $10$ în trei poziții ale unui aparat?

Pozițiile sunt numerotate și fiecare probă se folosește o dată, deci $A_{10}^{3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ de încărcări. Dacă aceeași probă s-ar putea pune de mai multe ori, ar fi $1 0^{3} = 1000$ , iar diferența sunt încărcările cu repetare.

Cât fac $A_{n}^{0}$ și $A_{n}^{1}$ și de ce?

$A_{n}^{1} = n$ , pentru că pe un singur loc poate sta oricare dintre cele $n$ obiecte. $A_{n}^{0} = 1$ : fără niciun loc de ocupat există o singură situație, cea goală. Forma cu factoriale confirmă: $\frac{n !}{n !} = 1$ și $\frac{n !}{( n - 1 )!} = n$ .

Oamenii mai întreabă și: formula aranjamentelor cu factorial · A de n luate câte k cu factoriale · aranjamente n factorial supra n minus k factorial · de ce la aranjamente numitorul este (n-k)!

Cum scriu aranjamentele cu factoriale?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum trec de la Ank​ la Ank+1​?

Câte clasamente pe primele trei locuri sunt posibile la 12 echipe?

Cum rezolv ecuația An3​=20n?

În câte feluri se încarcă 3 probe din 10 în trei poziții ale unui aparat?

Cât fac An0​ și An1​ și de ce?

Continuă cu

Cum trec de la $A_{n}^{k}$ la $A_{n}^{k + 1}$ ?

Câte clasamente pe primele trei locuri sunt posibile la $12$ echipe?

Cum rezolv ecuația $A_{n}^{3} = 20 n$ ?

În câte feluri se încarcă $3$ probe din $10$ în trei poziții ale unui aparat?

Cât fac $A_{n}^{0}$ și $A_{n}^{1}$ și de ce?