Aranjamente: definiție și formulă: pe scurt

Un aranjament de $n$ elemente luate câte $k$ este o submulțime ordonată de $k$ elemente distincte dintre cele $n$: se folosesc doar $k$ dintre elemente, dar ordinea contează. Numărul lor, $A_n^k$, se obține cu regula produsului: $n$ variante pentru prima poziție, $n-1$ pentru a doua, …, $n-k+1$ pentru poziția $k$ — exact $k$ factori: $$A_n^k=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}.$$

Forma-produs e mai rapidă la calcule numerice ($A_{10}^3=10\cdot 9\cdot 8=720$, fără să calculezi $10!$); forma cu factoriale e mai potrivită la simplificări cu literă. Cazuri particulare: $A_n^0=1$, $A_n^1=n$, $A_n^n=n!=P_n$ — permutările sunt un caz particular de aranjamente, anume $k=n$.

Criteriul de recunoaștere: dacă schimbând între ele două dintre elementele alese obții altă situație (podium, funcții distincte, cifre ale unui număr), ai de-a face cu aranjamente. Greșeala cea mai frecventă: numărul greșit de factori — $A_n^k$ are exact $k$ factori, nu mai mulți și nu mai puțini.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $A_6^2$.

   • a) $30$
   • b) $15$
   • c) $720$
   • d) $36$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $30$

   $A_6^2=6\cdot 5=30$ — exact $2$ factori, începând de la $6$.

2. Calculați $A_8^3$.

   • a) $56$
   • b) $336$
   • c) $512$
   • d) $40320$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $336$

   $A_8^3=8\cdot 7\cdot 6=336$ — exact $3$ factori.

3. Rezolvați în $\mathbb{N}$, $n\ge 2$, ecuația $A_n^2=56$.

   • a) $n=-7$
   • b) $n=7$
   • c) $n=8$
   • d) $n=9$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $n=8$

   $A_n^2=n(n-1)=56$, deci $n^2-n-56=0$, cu $\Delta =1+224=225=15^2$ și $n=\frac{1+15}{2}=8$ (respingem $n=-7$, negativ). Verificare: $8\cdot 7=56$ ✓.