Aranjamente: definiție și formulă (M2, științe ale naturii)

Cercul de astronomie al unui liceu are pe listă nouă obiecte cerești de urmărit — o planetă, două nebuloase, câteva roiuri de stele —, dar într-o noapte senină are doar cinci ferestre de observație, la ore diferite. În fiecare fereastră telescopul se îndreaptă spre alt obiect. Câte programe diferite ale nopții există? Nu le observi pe toate nouă, deci nu e o problemă de permutări; contează însă ce obiect ajunge în prima fereastră și ce obiect ajunge în ultima, fiindcă la ore diferite cerul arată altfel, deci nu e nici o simplă alegere de grup. Situația aceasta, la jumătatea drumului, are un nume: aranjamente. Lecția face parte din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), capitolul „Metode de numărare”. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tema: aranjamentele sunt trecute explicit la capitolul de metode de numărare.

Vii din lecția despre problemele de permutări cu restricții, unde ordonai toate elementele unei mulțimi. Acum ordonezi doar o parte dintre ele. Instrumentele rămân aceleași: regula produsului, diagrama arborescentă și factorialul. Ce se schimbă este momentul în care te oprești din înmulțit.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști un aranjament după trei semne: elemente distincte, ordine care contează și doar o parte dintre elemente folosite.
• Vei ști să construiești diagrama arborescentă a unor aranjamente mici și să citești din ea numărul de frunze.
• Vei ști să scrii formula ca produs de k factori și să explici, poziție cu poziție, de unde vine fiecare factor.
• Vei ști să treci la forma cu factoriale și să înțelegi de ce la numitor stă $(n-k)!$, nu $k!$.
• Vei ști să rezolvi ecuații cu aranjamente căutând produse de numere naturale consecutive.
• Vei ști să verifici un rezultat cu plafonul $A_n^k\le n^k$ și cu trecerea de la $k$ la $k+1$ poziții.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un aranjament?

Un aranjament de $n$ elemente luate câte $k$ este un șir ordonat format din $k$ elemente distincte, alese dintr-o mulțime cu $n$ elemente (aici $n$ și $k$ sunt numere naturale, cu $0\le k\le n$). Numărul tuturor acestor șiruri se notează $A_n^k$ și se citește „aranjamente de $n$ luate câte $k$”. Pentru $k=0$ se convine că există un singur aranjament, șirul vid.

Programa de examen din 2014 spune același lucru cu alte cuvinte: aranjamentele numără submulțimile ordonate cu câte $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente. „Ordonat” înseamnă că fiecare element are un loc al lui — primul, al doilea și așa mai departe — iar două șiruri cu aceleași elemente puse în altă ordine sunt aranjamente diferite.

Să vedem definiția pe un caz pe care îl poți desena. La lecția de chimie sunt patru indicatori acido-bazici: turnesol (T), fenolftaleină (F), metiloranj (M) și albastru de bromtimol (B). Profesorul are două eprubete numerotate cu aceeași soluție și vrea să pună în fiecare un alt indicator, ca să compare culorile. În eprubeta 1 poate ajunge oricare dintre cei patru indicatori; în eprubeta 2, oricare dintre cei trei rămași. Diagrama arborescentă are, așadar, patru ramuri la primul nivel și câte trei ramuri din fiecare, la al doilea.

Frunzele sunt cele $12$ perechi ordonate. Perechea TF (turnesol în eprubeta 1, fenolftaleină în eprubeta 2) și perechea FT sunt frunze diferite: culorile se văd în alte eprubete. Nicio frunză nu are aceeași literă de două ori, fiindcă un indicator nu poate sta în ambele eprubete. Așadar $A_4^2=12$, iar diagrama e chiar lista tuturor aranjamentelor.

2. De unde vine formula-produs?

Diagrama e bună cât are puține frunze. Pentru programul din deschidere ar avea zeci de mii, așa că numărăm pe poziții, cu regula produsului. În prima fereastră poate intra oricare dintre cele $9$ obiecte. După ce ai ales-o, pentru a doua fereastră rămân $8$ obiecte, pentru a treia $7$, pentru a patra $6$, iar pentru a cincea $5$. Fiecare alegere se face după cea dinainte, iar numărul de variante al unei etape nu depinde de ce anume s-a ales înainte, doar de câte obiecte s-au consumat. Prin regula produsului,

$$A_9^5=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=15120.$$

Răspunsul la întrebarea din deschidere este, deci, $15120$ de programe diferite ale nopții.

Același raționament, făcut cu litere, dă formula generală. Pe poziția $1$ ai $n$ variante, pe poziția $2$ ai $n-1$, iar când ajungi la poziția $k$, $k-1$ elemente sunt deja consumate, așa că îți mai rămân $n-(k-1)=n-k+1$ variante:

$$A_n^k=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1).$$

Produsul are exact $k$ factori, câte unul pentru fiecare poziție, începe cu $n$ și coboară din unu în unu. O regulă de control utilă: ultimul factor, adunat cu numărul de poziții, dă $n+1$. La programul de observație, $5+5=10=9+1$.

3. Cum apare forma cu factoriale?

Programa aduce, la acest capitol, un exemplu de bibliotecă: câte moduri există de a așeza pe un raft opt cărți, apoi doar cinci dintre ele. Să-l facem cu opt atlase de anatomie, toate diferite. Toate opt se așază în $P_8=8!=40320$ de feluri — sunt permutările celor opt. Cinci dintre ele, puse în primele cinci locuri ale raftului, se așază în $A_8^5=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=6720$ de feluri.

Legătura dintre cele două numere spune tot. O așezare completă a celor opt atlase se construiește în doi pași: întâi hotărăști ce atlase stau, în ordine, pe primele cinci locuri (asta e un aranjament de $8$ luate câte $5$), apoi așezi pe ultimele trei locuri cele trei atlase rămase, în $3!$ feluri. Deci

$$8!=A_8^5\cdot 3!,\text{adica˘}{A}_8^5=\frac{8!}{3!}.$$

Verificarea: $6720\cdot 6=40320$. În general, o permutare a celor $n$ elemente se desparte într-un aranjament al primelor $k$ locuri și o permutare a celor $n-k$ elemente rămase, așa că $n!=A_n^k\cdot (n-k)!$, de unde

$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!},0\le k\le n.$$

La numitor stau elementele care nu au fost așezate — de aceea acolo apare $(n-k)!$, nu $k!$. Forma aceasta e comodă când simplifici expresii cu litere; la calcule cu numere, forma-produs e mai scurtă.

4. Ce spun cazurile de la margine?

Pentru $k=1$ ai un singur loc și $n$ variante: $A_n^1=n$. Pentru $k=n$ ocupi toate locurile, iar formula dă $A_n^n=\frac{n!}{0!}=n!$, adică exact numărul permutărilor: $A_n^n=P_n$. Permutările sunt, deci, cazul particular al aranjamentelor în care nu lași niciun element deoparte. Pentru $k=0$, formula dă $A_n^0=\frac{n!}{n!}=1$ — un singur șir, cel vid, în acord cu convenția din definiție și cu $0!=1$.

Dincolo de margine formula nu mai are sens: dacă $k>n$, o mulțime cu mai puțin de $k$ elemente nu ajunge pentru $k$ locuri ocupate de elemente diferite, iar expresia $A_n^k$ nu se scrie. Dacă, de pildă, ai trei specii de alge și cinci acvarii numerotate, nu poți popula fiecare acvariu cu o specie diferită; numărul unor astfel de populări nu este zero calculat printr-o formulă, ci pur și simplu situația nu există.

5. Cum rezolv o ecuație de tipul $A_n^2=240$?

O egalitate ca $A_n^2=240$ ascunde o întrebare simplă. Cum $A_n^2=n(n-1)$, cauți două numere naturale consecutive al căror produs este $240$. Rădăcina pătrată a lui $240$ e puțin peste $15$, iar cele două numere consecutive stau de o parte și de alta a ei: încerci $15$ și $16$, iar $15\cdot 16=240$. Deci $n=16$, cu condiția $n\ge 2$ îndeplinită.

Drumul prin numere consecutive îți arată imediat și dacă ecuația are sau nu soluție. Dacă în locul lui $240$ ar fi stat $250$, numărul ar fi căzut între produsul $15\cdot 16$ și următorul produs de două numere consecutive, deci ecuația n-ar fi avut soluție naturală. Produsul $n(n-1)$ crește odată cu $n$, așa că la o ecuație de acest tip există cel mult o soluție.

6. Ce se întâmplă când mai adaugi o poziție?

În diagrama arborescentă, trecerea la un nivel nou înseamnă că din fiecare frunză mai pleacă ramuri — câte una pentru fiecare element încă nefolosit. După $k$ poziții au rămas $n-k$ elemente, deci

$$A_n^{k+1}=A_n^k\cdot (n-k).$$

Cu numere: $A_{49}^2=49\cdot 48=2352$, iar pentru a treia poziție rămân $49-2=47$ elemente, deci $A_{49}^3=2352\cdot 47=110544$. Regula te scutește de refacerea întregului produs când o problemă cere pe rând două, trei, patru poziții. Din același motiv, fiecare poziție nouă înmulțește cu un număr cel mult egal cu $n$, de unde plafonul $A_n^k\le n^k$: șirurile cu elemente distincte sunt cel mult atâtea câte șiruri fără nicio restricție.

7. Cum recunosc un aranjament într-un enunț?

Trei întrebări, puse în ordine. Elementele alese sunt distincte (un obiect ceresc nu ocupă două ferestre, un indicator nu stă în două eprubete)? Se folosește doar o parte dintre elemente? Și dacă schimbi între ele două elemente alese, obții altă situație? Trei răspunsuri „da” înseamnă aranjamente. Dacă se folosesc toate elementele, ai permutări, adică $A_n^n$. Dacă schimbul nu produce nimic nou (două persoane care merg la aceeași excursie, fără roluri), ai altă structură, pe care o vei număra în lecția despre combinări. Alegerea sistematică între toate aceste scheme e subiectul unei lecții separate din unitate; aici îți ajunge testul schimbului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aceeași valoare, două scrieri

Calculați $A_{12}^4$ ca produs și scrieți-l ca raport de factoriale. Calculați apoi $A_{25}^2$ și $A_{15}^1$.

Rezolvare. Pentru $n=12$ și $k=4$ produsul are patru factori, de la $12$ în jos:

$$A_{12}^4=12\cdot 11\cdot 10\cdot 9=11880.$$

Ca raport, la numitor stă factorialul numărului de elemente neașezate, $12-4=8$: $A_{12}^4=\frac{12!}{8!}$. După simplificare rămân exact factorii de mai sus. Controlul pe ultimul factor: $9+4=13=12+1$.

Apoi $A_{25}^2=25\cdot 24=600$ și $A_{15}^1=15$, fiindcă un singur loc se ocupă în $15$ feluri.

Exemplul 2 — Citește diagrama

Un student la biologie vizitează, într-o zi, trei dintre cele șase stații de monitorizare ale unui râu, notate $S_1,S_2,\dots ,S_6$; ordinea vizitelor contează, fiindcă probele se prelevă în ordinea traseului. El a început diagrama arborescentă a traseelor care pornesc din $S_1$ (figura de mai jos): a desenat cele cinci ramuri spre a doua stație, dar a completat al treilea nivel numai sub $S_2$. a) Câte frunze ar avea ramura lui $S_1$, desenată complet? b) Câte frunze ar avea diagrama tuturor traseelor, cu oricare stație la început? c) Câte trasee au stația $S_4$ pe locul al doilea și încep cu $S_1$?

Rezolvare. a) Sub $S_2$ figura arată $4$ frunze — stațiile încă nevizitate. Fiecare dintre cele $5$ noduri de pe al doilea nivel are tot atâtea continuări, deci ramura lui $S_1$, desenată complet, ar avea $5\cdot 4=20$ de frunze.

b) Toate cele șase ramuri de la primul nivel arată la fel — doar etichetele diferă —, deci diagrama completă are $6\cdot 20=120$ de frunze. Rezultatul este $A_6^3=6\cdot 5\cdot 4=120$, obținut acum prin citirea structurii diagramei, nu prin formulă.

c) Primele două locuri sunt fixate ($S_1$, apoi $S_4$), iar al treilea se completează cu oricare dintre cele patru stații rămase, deci numărul traseelor este $1\cdot 1\cdot 4=4$. Pe diagramă, sunt cele patru frunze ale sub-ramurii $S_1\to S_4$.

Exemplul 3 — Ecuația prin numere consecutive

Determinați numărul natural $n$ pentru care $A_n^2=1640$.

Rezolvare. Condiția de existență este $n\ge 2$. Ecuația înseamnă $n(n-1)=1640$, deci căutăm două numere naturale consecutive cu produsul $1640$. Cum $40^2=1600$ și $41^2=1681$, perechea stă în jurul lui $40$: $40\cdot 41=1640$. Rezultă $n=41$.

Verificare: $A_{41}^2=41\cdot 40=1640$. Alte soluții naturale nu există, fiindcă produsul $n(n-1)$ crește odată cu $n$.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „$A_{14}^3=\frac{14!}{3!}$”. Fără să calculați $14!$, arătați că rezultatul nu poate fi corect, apoi găsiți valoarea corectă.

Rezolvare. Un aranjament de $14$ luate câte $3$ are trei poziții și cel mult $14$ variante pe fiecare, deci $A_{14}^3\le 14^3=2744$. Fracția scrisă de elev, după simplificare cu $3!$, rămâne produsul $14\cdot 13\cdot 12\cdots 4$, care are unsprezece factori, fiecare cel puțin $4$ — un număr cu mult peste $2744$. Deci scrierea e greșită.

Greșeala este la numitor: acolo trebuie factorialul elementelor neașezate, $14-3=11$, nu al celor așezate. Corect:

$$A_{14}^3=\frac{14!}{11!}=14\cdot 13\cdot 12=2184,$$

valoare care respectă plafonul, $2184\le 2744$.

Exemplul 5 — Canalele unui secvențiator

Un secvențiator de ADN are trei canale numerotate, iar un laborator are $48$ de probe diferite care așteaptă analiza. La o rulare se încarcă câte o probă în fiecare canal. a) Câte încărcări diferite sunt posibile? b) Un model nou are patru canale. De câte ori crește numărul încărcărilor posibile?

Rezolvare. a) Probele sunt distincte, se folosesc doar trei dintre ele, iar canalul contează (rezultatele se citesc pe canale), deci numărăm aranjamente:

$$A_{48}^3=48\cdot 47\cdot 46=103776.$$

b) Al patrulea canal se completează cu una dintre cele $48-3=45$ de probe rămase, deci $A_{48}^4=A_{48}^3\cdot 45$. Numărul încărcărilor crește de $45$ de ori — factorul este numărul probelor încă libere, nu numărul canalelor.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Arătați că $A_{50}^2-A_{50}^1=2400$. b) Determinați numărul natural $n$, $n\ge 2$, pentru care $A_n^2=870$. c) La olimpiada școlară de biologie participă $34$ de elevi, iar juriul acordă două burse diferite (una de două sute și una de trei sute de lei), cel mult una fiecărui elev. Determinați în câte moduri pot fi acordate cele două burse.

Rezolvare. a) $A_{50}^2=50\cdot 49=2450$ și $A_{50}^1=50$, deci diferența este $2450-50=2400$.

b) $n(n-1)=870$. Rădăcina pătrată a lui $870$ este între $29$ și $30$, deci încercăm $29\cdot 30=870$. Rezultă $n=30$, care respectă condiția $n\ge 2$.

c) Bursele sunt diferite, deci contează cine primește fiecare bursă; un elev nu primește două. Numărăm perechile ordonate de elevi distincți (bursa mică, bursa mare): $A_{34}^2=34\cdot 33=1122$ de moduri.

Exemplul reproduce forma cerințelor scurte de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat 2026, unde cerința de numărare a modelului publicat e formulată ca o probabilitate; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat, deci structura ei nu se poate anticipa.

Să exersăm

La fiecare problemă cu context, scrie întâi, într-o propoziție, de ce ai de-a face cu aranjamente (ce se alege, din câte, și ce anume dă ordinea), abia apoi calculează. La ecuații, scrie condiția de existență înainte de orice calcul.

1. Calculează $A_8^4$ și $A_{63}^2$.

2. Scrie $A_9^6$ ca produs de factori consecutivi și ca raport de factoriale, apoi calculează-l.

3. Calculează $A_{56}^2$, $A_{44}^1$ și $A_6^0$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice număr natural $n\ge 3$, numărul $A_n^3$ se divide cu $6$.”

5. Rezolvă în $\mathbb{N}$ ecuația $2A_n^2=3A_{n-1}^2$.

6. Rezolvă în $\mathbb{N}$ ecuația $A_n^3=12144$.

7. Stabilește care dintre situațiile următoare se numără cu aranjamente și precizează $n$ și $k$: a) alegerea a trei elevi din zece care să care materialele pentru o ieșire pe teren, toți cu aceeași sarcină; b) semănarea a patru dintre cele șase soiuri de fasole pe patru rânduri numerotate ale unui lot experimental, câte un soi pe rând; c) așezarea tuturor celor șase microscoape ale laboratorului pe cele șase mese numerotate, câte unul pe masă.

8. Desenează diagrama arborescentă a aranjamentelor de câte două elemente ale mulțimii $\{X,Y,Z\}$ și scrie toate frunzele.

9. (Problemă aplicată.) Un apicultor are $23$ de stupi și trei senzori diferiți: unul de temperatură, unul de umiditate și un cântar. Montează fiecare senzor la alt stup. În câte moduri poate face montajul?

10. Simplifică $\frac{A_n^4}{A_n^3}$, pentru $n\ge 4$, și verifică rezultatul pentru $n=18$.

11. Compară $A_{29}^2$ cu $29^2$. Pentru ce valori ale lui $k$, $0\le k\le n$, are loc egalitatea $A_n^k=n^k$, dacă $n\ge 2$?

12. Știind că $A_{22}^3=9240$, calculează $A_{22}^4$ fără a reface tot produsul.

13. Determină numărul natural $k$ pentru care $A_{66}^k=274560$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Arătați că $2A_6^2+A_4^4=84$. b) Determinați numărul natural $n$, $n\ge 2$, pentru care $A_n^2=4n$. c) Calculați numărul codurilor formate din trei litere distincte, alese dintre literele A, B, C, D, E, F, G și scrise în ordine, care au prima literă vocală.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Calculați $A_{27}^2$. b) Arătați că $A_n^3=(n-2)A_n^2$, pentru orice număr natural $n\ge 3$. c) Determinați numărul natural $n$, $n\ge 3$, pentru care $A_n^3=8A_n^2$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Arătați că $\frac{A_{31}^3}{A_{31}^2}=29$. b) Determinați câte coduri formate din patru simboluri distincte, scrise în ordine, se pot alcătui cu simbolurile $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon ,\zeta$. c) Determinați numărul natural $n$, $n\ge 3$, pentru care $A_{n-1}^2=1332$.

17. Determină cel mai mic număr natural $n$ pentru care $A_n^2>1000$.

18. (Provocare.) Rezolvă în $\mathbb{N}$ ecuația $A_n^3=20n$.

Răspunsuri și explicații

1. $A_8^4=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=1680$ (patru factori, ultimul $5$, iar $5+4=9$); $A_{63}^2=63\cdot 62=3906$.

2. $A_9^6=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=60480$. Ca raport: $A_9^6=\frac{9!}{3!}$, fiindcă trei elemente rămân neașezate; $\frac{362880}{6}=60480$.

3. $A_{56}^2=56\cdot 55=3080$; $A_{44}^1=44$; $A_6^0=1$ (un singur șir, cel vid).

4. Adevărat. $A_n^3=n(n-1)(n-2)$ este produsul a trei numere naturale consecutive. Printre ele există cel puțin un număr par și exact un multiplu de $3$, iar $2$ și $3$ sunt prime între ele, deci produsul se divide cu $6$. Exemple: $A_3^3=6$, $A_{30}^3=24360=6\cdot 4060$.

5. Condiția: $n-1\ge 2$, adică $n\ge 3$. Ecuația devine $2n(n-1)=3(n-1)(n-2)$. Cum $n-1\ne 0$, împărțim la el: $2n=3(n-2)$, adică $2n=3n-6$, de unde $n=6$. Verificare: $2A_6^2=2\cdot 30=60$ și $3A_5^2=3\cdot 20=60$.

6. Condiția: $n\ge 3$. Căutăm trei numere consecutive cu produsul $12144$. Cum $23^3=12167$ e foarte aproape, numărul din mijloc este $23$: $24\cdot 23\cdot 22=12144$. Deci $n=24$.

7. a) Nu sunt aranjamente: cei trei elevi au aceeași sarcină, iar schimbul a doi dintre ei nu produce o altă situație. b) Aranjamente de $6$ elemente luate câte $4$: soiurile sunt distincte, se folosesc doar patru, iar rândul pe care ajunge fiecare contează. c) Aranjamente de $6$ luate câte $6$, adică permutări: se folosesc toate microscoapele.

8. Din rădăcină pleacă trei ramuri ($X$, $Y$, $Z$), iar din fiecare câte două, spre celelalte litere. Frunzele sunt $XY$, $XZ$, $YX$, $YZ$, $ZX$, $ZY$, deci $A_3^2=6$.

9. Senzorii sunt diferiți, deci contează la ce stup ajunge fiecare, iar un stup nu primește doi senzori. Ordinea „temperatură, umiditate, cântar” fixează pozițiile: $A_{23}^3=23\cdot 22\cdot 21=10626$ de montaje.

10. $\frac{A_n^4}{A_n^3}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{n(n-1)(n-2)}=n-3$. Pentru $n=18$: $A_{18}^4=73440$, $A_{18}^3=4896$, iar $\frac{73440}{4896}=15=18-3$.

11. $A_{29}^2=29\cdot 28=812$, iar $29^2=841$, deci $812<841$. Pentru $k=0$ ambele numere sunt $1$, iar pentru $k=1$ ambele sunt $n$, deci egalitatea are loc. Pentru $k\ge 2$, produsul $A_n^k$ conține factorul $n-1$, mai mic decât $n$, iar ceilalți factori sunt cel mult $n$; de aceea $A_n^k<n^k$. Egalitatea are loc exact pentru $k=0$ și $k=1$.

12. După trei poziții rămân $22-3=19$ elemente, deci $A_{22}^4=A_{22}^3\cdot 19=9240\cdot 19=175560$.

13. Înmulțim factorii începând cu $66$ până ajungem la $274560$: $66\cdot 65=4290$, apoi $4290\cdot 64=274560$. Au fost trei factori, deci $k=3$.

14. a) $A_6^2=30$ și $A_4^4=4!=24$, iar $2\cdot 30+24=84$. b) $n(n-1)=4n$ și $n\ge 2$, deci putem împărți la $n$: $n-1=4$, adică $n=5$. Verificare: $A_5^2=20=4\cdot 5$. c) Vocalele dintre cele șapte litere sunt A și E, deci prima poziție are $2$ variante. Celelalte două poziții se completează, în ordine, din cele $6$ litere rămase: $A_6^2=30$. Rezultă $2\cdot 30=60$ de coduri.

15. a) $A_{27}^2=27\cdot 26=702$. b) $A_n^3=n(n-1)\cdot (n-2)=A_n^2\cdot (n-2)$: a treia poziție se completează cu unul dintre cele $n-2$ elemente rămase. c) Din b), $(n-2)A_n^2=8A_n^2$, iar $A_n^2\ne 0$ pentru $n\ge 3$, deci $n-2=8$, adică $n=10$.

16. a) $\frac{A_{31}^3}{A_{31}^2}=\frac{31\cdot 30\cdot 29}{31\cdot 30}=29$ — adică numărul elementelor rămase după două poziții, $31-2$. b) Sunt șase simboluri, se folosesc patru, distincte, iar ordinea contează: $A_6^4=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360$ de coduri. c) $A_{n-1}^2=(n-1)(n-2)=1332$; rădăcina pătrată a lui $1332$ e puțin peste $36$, iar perechea de consecutive este $37\cdot 36=1332$, deci $n-1=37$ și $n=38$.

17. $A_n^2=n(n-1)$ crește odată cu $n$. Avem $A_{32}^2=32\cdot 31=992<1000$, iar $A_{33}^2=33\cdot 32=1056>1000$. Cel mai mic număr cu această proprietate este, așadar, $n=33$.

18. Condiția: $n\ge 3$. $n(n-1)(n-2)=20n$; împărțind la $n\ne 0$, $(n-1)(n-2)=20$. Două consecutive cu produsul $20$: $5\cdot 4$, deci $n-1=5$ și $n=6$. Verificare: $A_6^3=120=20\cdot 6$.

De reținut

• Un aranjament de $n$ luate câte $k$ e un șir ordonat de $k$ elemente distincte dintr-o mulțime cu $n$ elemente; testul de recunoaștere: schimbul a două elemente alese dă altă situație, iar o parte din elemente rămâne nefolosită.
• Formula-produs $A_n^k=n(n-1)\cdots (n-k+1)$ are exact $k$ factori, unul pe poziție; ultimul factor plus $k$ dă $n+1$.
• Forma cu factoriale $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ vine din $n!=A_n^k\cdot (n-k)!$: la numitor stau elementele neașezate.
• La margini: $A_n^0=1$, $A_n^1=n$, $A_n^n=P_n=n!$; pentru $k>n$ expresia nu are sens.
• O poziție nouă înmulțește cu numărul elementelor încă libere: $A_n^{k+1}=A_n^k(n-k)$, iar plafonul $A_n^k\le n^k$ e un control rapid al oricărui rezultat.

Greșeli frecvente

• Factorialul greșit la numitor. Scrierea „$A_{14}^3=\frac{14!}{3!}$” pune la numitor elementele așezate. Numitorul corect este $(n-k)!$, al celor rămase pe dinafară. Semnalul de alarmă e plafonul: rezultatul nu poate depăși $n^k$.
• Indicele de jos deplasat greșit. În $A_{n-1}^2$ mulțimea are $n-1$ elemente, deci produsul începe cu $n-1$ și coboară: $(n-1)(n-2)$. Cine scrie $(n-1)n$ sau $n(n-1)-1$ aplică formula lui $A_n^2$ unei alte mulțimi și ajunge la alt $n$. Scrie întâi primul factor, apoi coboară câte unu.
• Diagrama cu ramuri repetate. La un aranjament, din nodul „T” nu mai pleacă o ramură tot spre „T”. Dacă diagrama ta are și frunze de tipul TT, ai numărat șiruri în care un element se repetă, iar numărul frunzelor nu mai e $A_n^k$.
• La ecuații, produse oarecare în loc de consecutive. Din $n(n-1)=240$ nu rezultă nimic prin descompunerea $12\cdot 20$: cele două numere trebuie să fie consecutive. Caută-le lângă rădăcina pătrată a membrului drept.
• Pasul de la $k$ la $k+1$ poziții înmulțit greșit. Când știi $A_n^k$ și vrei $A_n^{k+1}$, poziția nouă se completează din elementele încă libere, adică din $n-k$. Cine înmulțește cu $n$ tratează poziția nouă ca pe una cu repetiție, iar cine înmulțește cu $n-k-1$ scade de două ori elementul abia așezat.

Aplică acasă

1. Diagrama din nasturi. Ia patru nasturi de culori diferite și două cești numerotate. Pune pe rând câte un nastur în fiecare ceașcă și desenează, pe o foaie, fiecare așezare ca ramură a unei diagrame. Numără frunzele și compară cu $A_4^2$; apoi adaugă o a treia ceașcă și prezice, cu regula „înmulțești cu elementele libere”, câte frunze noi apar.
2. Tabelul care crește. Construiește un tabel cu $A_6^1,A_6^2,\dots ,A_6^6$, folosind doar regula de trecere de la $k$ la $k+1$. Desenează valorile ca bare și observă ce se întâmplă cu ultimele două; explică, cu cuvintele tale, de ce ultimul pas înmulțește cu $1$.
3. Tasta calculatorului. Multe calculatoare științifice au o tastă notată nPr. Calculează cu ea câteva valori, de pildă aranjamentele de $10$ luate câte $4$, și verifică fiecare rezultat cu produsul de $k$ factori. Încearcă și o pereche cu $k>n$ și notează ce afișează calculatorul.

Pentru părinți și profesori

Aranjamentele sunt prima schemă din capitol în care elevul trebuie să se oprească din înmulțit la momentul potrivit. De aceea lecția pune accentul pe poziții: fiecare factor al produsului corespunde unui loc de ocupat, iar numărul locurilor e $k$. Diagrama arborescentă, cerută explicit de programă pentru aranjamente, face vizibil acest lucru — un nivel al diagramei înseamnă un loc, iar numărul de ramuri care pleacă dintr-un nod scade cu unu la fiecare nivel.

Ce merită urmărit în caiet: dacă elevul spune în cuvinte ce înseamnă ordinea în problema dată (canal, fereastră de observație, rând, bursă); dacă produsul are atâția factori câte locuri sunt; dacă, la ecuații, pune condiția $n\ge k$ înainte de calcul. Întrebări bune de control: „Ce reprezintă un nivel al diagramei?”, „De ce la numitor stă $(n-k)!$?”, „Ce se schimbă dacă adaugi încă un loc?”. Semn că a înțeles: poate verifica singur un rezultat cu plafonul $n^k$ și cu trecerea de la $k$ la $k+1$.

Pentru cine pregătește bacalaureatul M2 din 2027–2029: programa de examen mai descrie aranjamentele și ca număr al funcțiilor injective între două mulțimi finite; tema e tratată în lecția despre numărarea prin funcții, din suplimentul clasei. Lecția următoare din traseu, problemele rezolvate cu aranjamente, aplică formula în contexte cu restricții. La final de unitate, testul de metode de numărare verifică aranjamentele împreună cu permutările și combinările. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: aranjamente, definiție și formulă. Ideea de mulțime și de element distinct vine din clasa a IX-a, de la mulțimi și intervale.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Metode de numărare” de clasa a X-a, unde programa scrie „Permutări, aranjamente, combinări”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) conține tema: la „Metode de numărare” apar aranjamentele, ca număr al submulțimilor ordonate cu câte $k$ elemente. În modelul oficial publicat pentru 2026, numărarea apare la Subiectul I, într-o cerință de probabilitate; o cerință formulată direct cu aranjamente nu există în acel model. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Care e diferența dintre lecția de aranjamente de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Formula și definiția sunt aceleași. La științe ale naturii programa cere explicit diagrama arborescentă pentru aranjamente și contexte practice, așa că lecția pornește din diagramă și din poziții, cu exemple din laborator și de teren. Forma cu factoriale e dedusă din așezarea pe raft, iar ecuațiile se rezolvă prin produse de numere consecutive.

La ce subiect apar aranjamentele la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 le trece la capitolul „Metode de numărare” și nu împarte temele pe subiecte. Modelul oficial 2026 are la Subiectul I o cerință de probabilitate rezolvată prin numărarea cazurilor, nu una cu aranjamente scrise ca atare. Pentru MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Ce legătură are diagrama arborescentă cu formula aranjamentelor? Fiecare nivel al diagramei corespunde unei poziții, iar din fiecare nod pleacă atâtea ramuri câte elemente au rămas nefolosite: $n$ la primul nivel, $n-1$ la al doilea și tot așa. Numărul frunzelor este produsul acestor numere, adică exact $A_n^k$. Formula e, de fapt, numărătoarea frunzelor fără desen.

De ce $A_n^k$ nu poate depăși $n^k$? Pentru că $n^k$ numără toate șirurile de lungime $k$ cu elemente din mulțime, inclusiv cele în care un element se repetă. Aranjamentele sunt doar o parte dintre ele, cele fără repetiție. De aceea un rezultat mai mare decât $n^k$ semnalează sigur o greșeală, de obicei la numitorul formei cu factoriale.

De ce aranjamentele rămân tot mai în urma șirurilor cu repetiție când crește numărul pozițiilor? La fiecare poziție nouă, șirurile cu repetiție se înmulțesc cu $n$, pe când aranjamentele se înmulțesc doar cu numărul elementelor încă libere, care scade cu unu de la o poziție la alta. Distanța dintre $n^k$ și $A_n^k$ crește, așadar, cu fiecare poziție adăugată. Diagrama arată același lucru: la aranjamente, din nodurile fiecărui nivel nou pleacă tot mai puține ramuri.

Ce înseamnă „șir ordonat” în definiția aranjamentului? Înseamnă că fiecare element ocupă o poziție precisă — primul, al doilea și așa mai departe —, iar două șiruri cu aceleași elemente în altă ordine se numără separat. Indicatorul pus în eprubeta 1 și cel pus în eprubeta 2 nu pot schimba locurile fără ca rezultatul experimentului să se schimbe.