Aria triunghiului: formula lui Heron: pe scurt

Trei laturi determină complet un triunghi, deci și aria lui trebuie să se poată calcula doar din cele trei numere, fără niciun unghi. Formula care face asta se numește formula lui Heron: $\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, unde $p=\frac{a+b+c}{2}$ este semiperimetrul.

O verificare gratuită a diferențelor: $(p-a)+(p-b)+(p-c)=p$. Dacă produsul de sub radical iese negativ, triunghiul cu acele laturi nu există — formula își testează singură datele, la fel cum face inegalitatea triunghiului.

Din arie se poate obține orice înălțime, cu $h_a=\frac{2\mathcal{S}}{a}$: cea mai lungă latură are întotdeauna cea mai scurtă înălțime corespunzătoare. Natura triunghiului (ascuțitunghic, dreptunghic, obtuzunghic) se citește tot din laturi, comparând pătratul celei mai mari cu suma celorlalte două pătrate — exact criteriul din lecția anterioară.

Greșeli frecvente: folosirea perimetrului în loc de semiperimetru la numărător (umflă rezultatul), „corectarea” unui radical negativ (semnalează, de fapt, că triunghiul nu există), rotunjirea prematură a factorilor individuali și alegerea formulei lui Heron acolo unde alta e mai scurtă (de exemplu, când triunghiul e dreptunghic sau ai deja un unghi).

Exerciții din această mini-lecție

1. Formula lui Heron pentru aria unui triunghi este:

   • a) $\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
   • b) $\mathcal{S}=\sqrt{pabc}$
   • c) $\mathcal{S}=\frac{a+b+c}{2}$
   • d) $\mathcal{S}=p(p-a)(p-b)(p-c)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

   Aria este rădăcina pătrată a produsului semiperimetrului cu cele trei diferențe față de laturi.

2. Semiperimetrul unui triunghi cu laturile $6$, $8$, $10$ este:

   • a) $8$
   • b) $12$
   • c) $10$
   • d) $24$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $12$

   $p=\frac{6+8+10}{2}=12$.

3. Dacă produsul $p(p-a)(p-b)(p-c)$ iese negativ, aceasta înseamnă că:

   • a) triunghiul este obtuzunghic
   • b) triunghiul este echilateral
   • c) triunghiul nu există
   • d) am greșit doar semnul; se ia valoarea absolută
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) triunghiul nu există

   Un produs negativ sub radical arată că laturile date nu respectă inegalitatea triunghiului — nu se poate forma niciun triunghi.