Lungimile $$9$$, $$14$$ și $$23$$ sunt introduse în formula lui Heron. Ce se obține?

aria $$0$$: cele trei puncte sunt coliniare

un produs negativ: triunghiul nu există

Când dă formula lui Heron aria zero?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Formula lui Heron

Când una dintre diferențele $p - a$ , $p - b$ , $p - c$ este zero, adică o latură este egală cu suma celorlalte două. Atunci cele trei puncte sunt coliniare, iar triunghiul este degenerat. Exemplu: pentru $5$ , $7$ și $12$ , $p = 12$ și $p - 12 = 0$ , deci aria este $0$ . Dacă o diferență iese negativă, ca la $3$ , $4$ , $10$ , unde $p - 10 = - 1, 5$ , lungimile nu formează deloc un triunghi.

Când cunoști doar lungimile celor trei laturi, aria se află fără niciun unghi. Calculezi semiperimetrul, jumătatea sumei laturilor, apoi cele trei diferențe dintre el și fiecare latură. Aria este radicalul produsului acestor patru numere: $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ .

Formula nu cade din cer. Pornind de la aria cu sinus și scriind cosinusul unghiului prin laturi, cu teorema cosinusului, unghiul dispare din calcul, iar ce rămâne se descompune în patru factori. De aceea Heron și drumul prin cosinus și sinus dau exact aceeași arie pe orice triunghi.

Semnul diferențelor verifică singur datele: toate pozitive înseamnă un triunghi adevărat, o diferență nulă înseamnă trei puncte pe aceeași dreaptă și aria zero, iar o diferență negativă înseamnă că lungimile nu închid un triunghi. Când vârfurile sunt date în reper, lucrezi cu pătratele distanțelor, fără radicali. La lungimi măsurate, triunghiurile foarte alungite sunt capcane: o eroare mică la o latură schimbă vizibil aria, așa că pe teren se aleg triunghiuri cu laturi apropiate ca mărime.

De reținut

$S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ , cu $p = \frac{a + b + c}{2}$
o diferență nulă: puncte coliniare, aria $0$
o diferență negativă: lungimile nu formează triunghi

Greșeala tipică

Se introduce perimetrul întreg în locul semiperimetrului; pentru $13$ , $14$ , $15$ s-ar lucra cu $42$ și s-ar obține un rezultat fără legătură cu aria $84$ .

Exerciții din această mini-lecție

În formula lui Heron, $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ , ce reprezintă $p$ ?
- a) perimetrul triunghiului
- b) produsul celor trei laturi
- c) semiperimetrul triunghiului
- d) cea mai lungă latură
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) semiperimetrul triunghiului

$p = \frac{a + b + c}{2}$ este jumătatea perimetrului. Cu perimetrul întreg în loc de $p$ , diferențele și aria ies cu totul altele.
Care este aria triunghiului cu laturile $4$ , $51$ și $53$ ?
- a) $180$
- b) $90$
- c) $45$
- d) $102$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $90$

$p = 54$ , diferențele sunt $50$ , $3$ și $1$ , deci $S = 54 \cdot 50 \cdot 3 \cdot 1 = 8100 = 90$ .
Lungimile $9$ , $14$ și $23$ sunt introduse în formula lui Heron. Ce se obține?
- a) un produs negativ: triunghiul nu există
- b) aria $23$
- c) aria $46$
- d) aria $0$ : cele trei puncte sunt coliniare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) aria $0$ : cele trei puncte sunt coliniare

$p = 23$ , iar diferența $23 - 23$ este $0$ , deci produsul este $0$ . Cum $9 + 14 = 23$ , cele trei puncte stau pe aceeași dreaptă.

Întrebări conexe

Cât este aria triunghiului cu laturile $13$ , $14$ și $15$ ?

Semiperimetrul este $p = 21$ , iar diferențele sunt $8$ , $7$ și $6$ . Aria este $21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 7056 = 84$ . Triunghiul este des folosit ca exemplu, pentru că laturile și aria sunt numere întregi.

Ce arie are un triunghi echilateral cu latura $6$ , după formula lui Heron?

Semiperimetrul este $9$ , iar toate diferențele sunt $3$ . Aria este $9 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243 = 93 \approx 15, 59$ . Rezultatul coincide cu formula $\frac{a ^{2} 3}{4} = \frac{36 3}{4} = 93$ . La un triunghi echilateral, cele trei diferențe din formulă sunt egale, deci calculul se scurtează.

Cum aflu raza cercului înscris după ce am aria cu formula lui Heron?

Împarți aria la semiperimetru: $r = \frac{S}{p}$ . Pentru triunghiul $13$ , $14$ , $15$ , aria este $84$ , iar $p = 21$ , deci $r = 4$ . Formula vine din descompunerea triunghiului în trei triunghiuri cu vârful în centrul cercului înscris.

Ce arie are triunghiul isoscel cu laturile $10$ , $10$ și $12$ ?

Cu $p = 16$ , diferențele sunt $6$ , $6$ și $4$ , iar aria este $16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4 = 2304 = 48$ . Verificare: înălțimea pe bază cade la mijlocul ei, fiindcă triunghiul este isoscel; ea are $100 - 36 = 8$ , iar $\frac{12 \cdot 8}{2} = 48$ .

Dă formula lui Heron același rezultat pentru triunghiul $6$ , $8$ , $10$ ?

Da. Cu $p = 12$ , diferențele sunt $6$ , $4$ și $2$ , iar aria este $12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 576 = 24$ . Triunghiul este dreptunghic, iar semiprodusul catetelor, $\frac{6 \cdot 8}{2}$ , dă tot $24$ . Formula lui Heron funcționează pentru orice triunghi, fie el ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic.

Ce arie are o parcelă triunghiulară măsurată cu ruleta la $25$ , $29$ și $36$ m?

Semiperimetrul este $45$ , iar diferențele sunt $20$ , $16$ și $9$ . Aria este $45 \cdot 20 \cdot 16 \cdot 9 = 129600 = 360$ m². Pe teren se măsoară ușor lungimi, nu unghiuri, de aceea formula lui Heron este comodă.

Oamenii mai întreabă și: formula lui Heron dă zero · triunghi degenerat Heron · Heron cu diferență negativă · când nu există triunghiul la Heron

Când dă formula lui Heron aria zero?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cât este aria triunghiului cu laturile 13, 14 și 15?

Ce arie are un triunghi echilateral cu latura 6, după formula lui Heron?

Cum aflu raza cercului înscris după ce am aria cu formula lui Heron?

Ce arie are triunghiul isoscel cu laturile 10, 10 și 12?

Dă formula lui Heron același rezultat pentru triunghiul 6, 8, 10?

Ce arie are o parcelă triunghiulară măsurată cu ruleta la 25, 29 și 36 m?

Continuă cu

Cât este aria triunghiului cu laturile $13$ , $14$ și $15$ ?

Ce arie are un triunghi echilateral cu latura $6$ , după formula lui Heron?

Ce arie are triunghiul isoscel cu laturile $10$ , $10$ și $12$ ?

Dă formula lui Heron același rezultat pentru triunghiul $6$ , $8$ , $10$ ?

Ce arie are o parcelă triunghiulară măsurată cu ruleta la $25$ , $29$ și $36$ m?