Ce probabilitate are o alegere pe categorii?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Cazuri numărate cu combinatorica

Numeri cazurile posibile ca submulțimi, $C_{a + b}^{k}$ , iar cazurile favorabile ca produs de combinări, câte una pentru fiecare categorie. Exemplu: dintr-un lot de $12$ probe, $5$ contaminate și $7$ curate, se aleg la întâmplare $4$ . Probabilitatea ca exact $2$ să fie contaminate este $\frac{C _{5}^{2} \cdot C _{7}^{2}}{C _{12}^{4}} = \frac{10 \cdot 21}{495} = \frac{210}{495} = \frac{14}{33}$ .

Când un experiment alege mai multe obiecte, cazurile nu se mai pot scrie unul câte unul, dar se pot număra.

Ce este un caz. Descrie întâi un singur rezultat. Un grup luat deodată este o submulțime, iar numărul tuturor grupurilor de $k$ obiecte din $n$ este $C_{n}^{k}$ . Un șir în care ordinea contează se numără cu $A_{n}^{k}$ , o așezare a tuturor obiectelor cu $P_{n} = n!$ , iar un șir cu repetiție cu $m^{k}$ .

Aceeași schemă sus și jos. Numărătorul și numitorul se numără în același fel. Dacă evenimentul nu depinde de ordine, poți lucra fie cu șiruri, fie cu submulțimi: raportul iese la fel, fiindcă factorul $k!$ se simplifică.

Pe categorii. Un grup cu $j$ obiecte dintr-o categorie și restul din alta se construiește din două alegeri, deci numărul lui este un produs de combinări. Toate compozițiile adunate refac numărul grupurilor.

Compozițiile nu sunt cazuri. „Două de un fel” sau „câte unul din fiecare” sunt evenimente cu multe cazuri, nu rezultate egal posibile.

Verificarea. Pe un caz mic scrii lista completă; pe unul mare cauți a doua cale de numărare, care trebuie să dea același număr.

De reținut

exact $j$ din categoria cu $a$ obiecte și $k - j$ din cea cu $b$ : $C_{a}^{j} \cdot C_{b}^{k - j}$ cazuri
compozițiile sunt evenimente cu multe cazuri, nu cazuri egal posibile
numărătorul și numitorul se numără după aceeași schemă

Greșeala tipică

Se numără cazurile favorabile ca șiruri și cele posibile ca submulțimi; pentru „două roșii” ar ieși $\frac{12}{15}$ , o valoare de două ori prea mare.

Exerciții din această mini-lecție

Se aleg simultan, la întâmplare, $3$ dintre $10$ probe. Câte cazuri posibile are experimentul?
- a) $720$
- b) $120$
- c) $1000$
- d) $30$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $120$

Un caz este o submulțime cu $3$ elemente: $C_{10}^{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120$ . Numărul $720 = A_{10}^{3}$ ar număra șirurile ordonate.
Într-o cutie sunt $6$ bulbi de lalea roșie și $5$ de lalea galbenă, identici la vedere. Se plantează $2$ bulbi aleși simultan, la întâmplare. Care este probabilitatea ca ambii să fie de lalea roșie?
- a) $\frac{6}{11}$
- b) $\frac{36}{121}$
- c) $\frac{3}{11}$
- d) $\frac{15}{121}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{3}{11}$

Cazurile posibile sunt $C_{11}^{2} = 55$ , cele favorabile $C_{6}^{2} = 15$ , deci $\frac{15}{55} = \frac{3}{11}$ .
Cinci probe, printre care probele $A$ și $B$ , sunt analizate într-o ordine aleasă la întâmplare. Care este probabilitatea ca proba $A$ să fie analizată înaintea probei $B$ (nu neapărat imediat)?
- a) $\frac{1}{5}$
- b) $\frac{2}{5}$
- c) $\frac{1}{10}$
- d) $\frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{1}{2}$

Ordinile sunt $5! = 120$ . Schimbând între ele locurile lui $A$ și $B$ , fiecare ordine cu $A$ înainte corespunde uneia cu $B$ înainte, deci jumătate sunt favorabile: $\frac{60}{120} = \frac{1}{2}$ .

Întrebări conexe

De ce nu pot număra compozițiile ca și cum ar fi cazuri?

Pentru că au numere diferite de submulțimi. Alegând $2$ bile din $4$ roșii și $2$ albastre, „două roșii” are $C_{4}^{2} = 6$ cazuri, „una din fiecare” $4 \cdot 2 = 8$ , iar „două albastre” $1$ , din $15$ . Probabilitățile sunt $\frac{6}{15}$ , $\frac{8}{15}$ , $\frac{1}{15}$ , nu câte $\frac{1}{3}$ .

Pot număra cu șiruri în loc de submulțimi la o alegere simultană?

Da, dacă numeri la fel sus și jos. Pentru „două roșii” din $4$ roșii și $2$ albastre, cu șiruri obții $\frac{4 \cdot 3}{6 \cdot 5} = \frac{12}{30}$ , iar cu submulțimi $\frac{6}{15}$ : aceeași valoare, $\frac{2}{5}$ , fiindcă factorul $2!$ se simplifică.

Care este probabilitatea ca două obiecte anume să fie printre cele alese?

Dacă se aleg $3$ probe din $10$ și vrei ca $A$ și $B$ să fie alese, a treia probă se alege din celelalte $8$ . Favorabile sunt $C_{8}^{1} = 8$ grupe din $C_{10}^{3} = 120$ , deci probabilitatea este $\frac{8}{120} = \frac{1}{15}$ .

Care este probabilitatea ca un cod cu cifre distincte să aibă cifrele crescătoare?

Codurile de $3$ cifre distincte sunt $A_{10}^{3} = 720$ . Fiecare mulțime de $3$ cifre se poate scrie crescător într-un singur fel, deci favorabile sunt $C_{10}^{3} = 120$ . Probabilitatea este $\frac{120}{720} = \frac{1}{6}$ .

Care este probabilitatea ca două probe anume să fie analizate primele?

Din $5$ probe analizate într-o ordine aleatoare, $A$ și $B$ ocupă primele două locuri în $2$ ordini, iar celelalte trei se așază în $3! = 6$ feluri. Favorabile sunt $12$ ordini din $5! = 120$ , deci probabilitatea este $\frac{1}{10}$ .

Oamenii mai întreabă și: probabilitate cu combinări pe categorii · alegere simultană din două categorii · exact două dintr-o categorie probabilitate · produs de combinări la probabilități