Cazuri favorabile prin combinatorică: pe scurt

Când mulțimea rezultatelor e prea mare pentru liste sau arbori, cazurile favorabile și cele posibile se numără cu permutări $P_n=n!$, aranjamente $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ și combinări $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Alegerea instrumentului se face cu două întrebări: contează ordinea? (da $\to$ $A_n^k$ sau $P_n$; nu $\to$ $C_n^k$) și se repetă elementele?

Regula de aur, valabilă în tot capitolul: cazurile favorabile și cele posibile se numără în același model — ambele ordonat, sau ambele neordonat. Amestecul (de exemplu $C_4^2$ la numărător și $A_7^2$ la numitor) dă rezultate false.

Tiparul cel mai frecvent: dintr-o urnă cu $a$ obiecte de un fel și $b$ de alt fel, se extrag simultan $n$ obiecte. Numărul cazurilor cu exact $k$ obiecte din primul fel este $C_a^k\cdot C_b^{n-k}$, iar cazurile posibile sunt $C_{a+b}^n$; se aplică regula produsului, pentru că alegerile din cele două categorii sunt independente. La probleme cu poziții (cifre, litere, locuri) ordinea contează, deci se lucrează cu aranjamente sau permutări.

Control obligatoriu: rezultatul între $0$ și $1$; suma probabilităților tuturor compozițiilor disjuncte trebuie să dea $1$; iar formula se poate verifica pe un caz mic, numărat de mână.

Exerciții din această mini-lecție

1. O urnă conține $6$ bile roșii și $4$ bile albastre. Se extrag simultan $3$ bile. Care este numărul cazurilor posibile?

   • a) $120$
   • b) $720$
   • c) $210$
   • d) $100$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $120$

   Extragerea simultană nu ține cont de ordine, deci se folosesc combinări: $C_{10}^3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3}=120$. Varianta b) ar corespunde aranjamentului $A_{10}^3=720$ (greșit, pentru că ordinea nu contează la o extragere simultană); c) și d) provin din combinări calculate greșit.

2. Pentru aceeași urnă ($6$ roșii, $4$ albastre), din care se extrag simultan $3$ bile, care este probabilitatea ca toate trei să fie roșii?

   • a) $\frac{1}{6}$
   • b) $\frac{1}{4}$
   • c) $\frac{1}{5}$
   • d) $\frac{3}{10}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{1}{6}$

   Cazuri favorabile: $C_6^3=20$; cazuri posibile: $C_{10}^3=120$ (calculat la exercițiul anterior). $P=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$. Variantele b), c) și d) provin din combinări calculate greșit sau din amestecarea modelului ordonat cu cel neordonat.

3. Se formează numere de două cifre distincte cu cifre din mulțimea $\{1,2,3,4,6\}$. Se alege unul la întâmplare. Care este probabilitatea ca numărul să fie par?

   • a) $\frac{3}{5}$
   • b) $\frac{2}{5}$
   • c) $\frac{1}{2}$
   • d) $\frac{3}{4}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{3}{5}$

   Cazuri posibile: $A_5^2=5\cdot 4=20$. Numărul e par dacă cifra unităților e $2$, $4$ sau $6$ ($3$ variante), iar cifra zecilor se alege din celelalte $4$ cifre rămase: $3\cdot 4=12$ cazuri favorabile. $P=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$. Atenție: mulțimea $\{1,2,3,4,6\}$ are trei cifre pare, nu două — de aceea varianta b) e o greșeală frecventă.