Acasă · Matematică M2 clasa a X-a · Cazuri favorabile și cazuri posibile, numărate cu combinatorica (M2, științe ale naturii)

Cazuri favorabile și cazuri posibile, numărate cu combinatorica (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un asistent primește zece probe etichetate de la $1$ la $10$ și le trece prin analizor într-o ordine amestecată, fără să se uite la etichete. Cât de probabil este ca probele să iasă exact în ordinea etichetelor? Nu poți scrie lista tuturor ordinilor posibile: sunt peste trei milioane și jumătate. Poți însă să le numeri, cu uneltele din unitatea de numărare, iar lecția îți arată cum. Lecția face parte din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), capitolul de probabilități, unde cazurile posibile și cele favorabile se determină cu metodele de numărare. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tema: probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile stă alături de permutări, aranjamente și combinări la conținuturile clasei a X-a.

În lecția precedentă ai învățat definiția clasică a probabilității și regula ei de bază: rezultatele numărate trebuie să fie egal posibile. Aici rezultatele devin grupuri, șiruri sau așezări, iar întrebarea centrală devine: ce anume este un caz și cum îl număr fără să-l scriu?

Ce vei învăța

Vei ști să spui ce este un caz când se aleg mai multe obiecte deodată și de ce toate cazurile sunt egal posibile.
Vei ști să alegi între permutări, aranjamente, combinări și regula produsului după ce descrii un singur rezultat.
Vei ști să calculezi probabilități pentru alegeri pe categorii, cu produse de combinări, și să le controlezi prin suma lor.
Vei ști să numeri cazuri în care contează pozițiile: coduri, ordini de analiză, locuri pe un rând.
Vei ști să verifici o formulă pe un caz mic, scris integral, și să citești cazurile dintr-o diagramă.
Vei ști să rezolvi cerințe scurte de tipul celor de la Subiectul I al bacalaureatului M2, pe submulțimi și pe numere cu cifre date.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un caz atunci când alegi mai multe obiecte odată?

Cazul unei alegeri simultane este o submulțime: când se aleg deodată $k$ obiecte distincte dintr-un grup de $n$ obiecte, un rezultat al experimentului este o submulțime cu $k$ elemente a grupului. Dacă alegerea se face la întâmplare, toate cele $C_{n}^{k}$ submulțimi sunt egal posibile, deci $card (Ω) = C_{n}^{k}$ , iar cazurile favorabile sunt submulțimile care fac evenimentul adevărat.

Un exemplu mic arată de ce e important să numeri submulțimi și nu „feluri de rezultate”. Pe o masă stau șase eșantioane de sare: trei de sare gemă, $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , și trei de sare marină, $b_{1}$ , $b_{2}$ , $b_{3}$ . Se iau la întâmplare două eșantioane pentru un test de puritate. Cineva ar putea spune că există trei rezultate, „două de sare gemă”, „una de fiecare” și „două de sare marină”, fiecare cu o treime. Să numărăm submulțimile: sunt $C_{6}^{2} = 15$ . Dintre ele, trei conțin două eșantioane de sare gemă, trei conțin două de sare marină, iar nouă conțin câte unul de fiecare fel. „Una de fiecare” are, așadar, probabilitatea $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ , nu o treime.

Cele trei „feluri” se numesc compoziții. O compoziție este un eveniment, adesea cu multe cazuri, nu un caz. Aceasta este forma pe care o ia, la alegerile de mai multe obiecte, regula din lecția precedentă: numeri obiectele individuale, nu categoriile lor.

2. Cum aleg unealta de numărare?

Înainte de orice formulă, descrie în cuvinte un singur rezultat: „trei cristale puse pe aceeași balanță”, „codul $527$ ”, „ordinea în care ies probele din analizor”. Apoi pune cele două întrebări din lecția despre alegerea metodei de numărare: dacă schimbi între ele două elemente, obții alt rezultat? se pot repeta elementele?

Rezultatul e…	Se numără cu	Lecția de sprijin
o așezare a tuturor celor $n$ obiecte	$P_{n} = n!$	permutări
un șir de $k$ obiecte distincte din $n$	$A_{n}^{k}$	aranjamente
un grup de $k$ obiecte distincte din $n$ , fără ordine	$C_{n}^{k}$	combinări
un șir de $k$ poziții, fiecare cu $m$ variante, cu repetiție	$m^{k}$	regula produsului

Cazurile posibile și cele favorabile se numără cu aceeași descriere a rezultatului — ambele ca șiruri sau ambele ca submulțimi. Regula ai întâlnit-o deja la alegerea metodei; în probabilități ea devine obligatorie.

3. De ce nu se schimbă raportul când trec de la șiruri la submulțimi?

Să presupunem că numeri întâi cu submulțimi: $C_{n}^{k}$ cazuri posibile, dintre care $f$ favorabile. Fiecare submulțime cu $k$ elemente se poate ordona în $k!$ feluri, iar condiția evenimentului (de exemplu, „toate eșantioanele sunt de sare gemă”) nu depinde de ordinea în care le-ai scris. Atunci, numărând cu șiruri, fiecare caz favorabil devine $k!$ șiruri favorabile, iar fiecare caz posibil devine $k!$ șiruri posibile:

$\frac{k ! \cdot f}{k ! \cdot C _{n}^{k}} = \frac{f}{C _{n}^{k}} .$

Factorul $k!$ se simplifică, deci probabilitatea e aceeași. Argumentul are o condiție ascunsă: evenimentul să nu depindă de ordine. Dacă întrebarea este „prima probă aleasă e acidă”, ordinea contează în definiția evenimentului, iar numărarea cu submulțimi nu mai poate descrie cazurile; atunci lucrezi cu șiruri de la început.

4. Cum număr o alegere din două categorii?

Într-un cristalizor s-au format nouă cristale: șase de sulfat de cupru, albastre, și trei de alaun, incolore. Pentru măsurarea densității, un elev ia la întâmplare patru cristale. Cazurile posibile sunt submulțimile de câte patru: $C_{9}^{4} = 126$ . O compoziție cu $j$ cristale de sulfat de cupru și $4 - j$ de alaun se construiește din două alegeri care nu se influențează — întâi cristalele albastre, apoi cele incolore —, deci numărul ei este un produs de combinări:

Compoziția	Numărarea	Cazuri
$4$ de sulfat de cupru	$C_{6}^{4}$	$15$
$3$ de sulfat de cupru, $1$ de alaun	$C_{6}^{3} \cdot C_{3}^{1}$	$60$
$2$ de sulfat de cupru, $2$ de alaun	$C_{6}^{2} \cdot C_{3}^{2}$	$45$
$1$ de sulfat de cupru, $3$ de alaun	$C_{6}^{1} \cdot C_{3}^{3}$	$6$

Controlul e obligatoriu: compozițiile nu au cazuri comune și le acoperă pe toate, deci $15 + 60 + 45 + 6 = 126$ . În general, pentru un grup format din $a$ obiecte dintr-o categorie și $b$ din cealaltă, din care se iau simultan $k$ , probabilitatea ca exact $j$ dintre ele să vină din prima categorie este

$\frac{C _{a}^{j} \cdot C _{b}^{k - j}}{C _{a + b}^{k}} .$

O formulă nouă se verifică pe un caz mic, scris integral: cu patru eșantioane de sare în loc de șase, lista perechilor încape pe un rând, iar cazurile se pot citi și pe un arbore, ca în lecția despre diagramele arborescente pentru experimente.

5. Ce se schimbă când contează pozițiile?

Un analizor automat primește cinci probe de sânge, dintre care una este proba martor, și le analizează într-o ordine aleasă la întâmplare. Un rezultat este acum o ordine a celor cinci probe, deci cazurile posibile sunt $P_{5} = 5! = 120$ . Care e probabilitatea ca proba martor să fie analizată prima sau ultima? Pui martorul pe una dintre cele două poziții de la capete (două variante), apoi așezi celelalte patru probe pe locurile rămase, în $4! = 24$ de feluri:

$P = \frac{2 \cdot 24}{120} = \frac{2}{5} .$

Același rezultat se obține mai scurt dacă privești doar locul martorului: el poate ocupa oricare dintre cele cinci poziții, egal posibile, iar două sunt favorabile. Când două descrieri corecte dau același număr, ai o verificare gratuită.

6. Cât de mică poate fi o probabilitate?

Revenim la cele zece probe din deschidere. Toate ordinile de trecere prin analizor sunt egal posibile, iar numărul lor este

$P_{10} = 10! = 3628 800.$

Ordinea etichetelor este una singură, deci probabilitatea ei este $\frac{1}{3 628 800} \approx 2, 76 \cdot 1 0^{- 7}$ . Un asemenea eveniment are totuși un caz favorabil, deci probabilitatea lui nu e zero. În laborator, tocmai de aceea probele se etichetează și se înregistrează: ordinea bună nu apare din întâmplare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Găsește greșeala: eprubetele cu amidon

Pe un stativ sunt $7$ eprubete: $5$ conțin soluție de amidon, iar $2$ conțin apă distilată. Se iau simultan, la întâmplare, $3$ eprubete. Un elev calculează probabilitatea ca toate trei să conțină amidon astfel: „cazuri favorabile $A_{5}^{3} = 60$ , cazuri posibile $C_{7}^{3} = 35$ , deci $P = \frac{60}{35}$ .” Identificați greșeala și corectați rezultatul.

Rezolvare. Rezultatul elevului e mai mare decât $1$ , deci sigur greșit. El a numărat cazurile favorabile ca șiruri ( $A_{5}^{3}$ ) și cazurile posibile ca submulțimi ( $C_{7}^{3}$ ). Numărând ambele ca submulțimi:

$P = \frac{C _{5}^{3}}{C _{7}^{3}} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7} .$

Numărând ambele ca șiruri, rezultatul e același: $\frac{A _{5}^{3}}{A _{7}^{3}} = \frac{60}{210} = \frac{2}{7}$ .

Exemplul 2 — Model din controlul alimentelor: pachetele de cafea

Un inspector pentru protecția consumatorilor primește $10$ pachete de cafea măcinată de la un producător; $2$ dintre ele au fost amestecate cu cicoare, dar inspectorul nu știe care. El alege la întâmplare $4$ pachete pentru analiză. Calculați probabilitatea ca printre cele alese să fie: a) niciun pachet amestecat; b) exact un pachet amestecat; c) ambele pachete amestecate.

Rezolvare. Un rezultat este o submulțime de $4$ pachete din $10$ : $card (Ω) = C_{10}^{4} = 210$ . Pachetele curate sunt $8$ .

a) Toate cele patru sunt curate: $C_{8}^{4} = 70$ de cazuri, $P = \frac{70}{210} = \frac{1}{3}$ .

b) Un pachet amestecat și trei curate: $C_{2}^{1} \cdot C_{8}^{3} = 2 \cdot 56 = 112$ , $P = \frac{112}{210} = \frac{8}{15}$ .

c) Ambele pachete amestecate și două curate: $C_{2}^{2} \cdot C_{8}^{2} = 28$ , $P = \frac{28}{210} = \frac{2}{15}$ .

Control: $70 + 112 + 28 = 210$ . Interpretare pentru inspector: cu patru pachete analizate, rămâne o șansă de o treime să nu prindă niciun pachet amestecat, deci un eșantion atât de mic nu dă o garanție.

Exemplul 3 — Codul congelatorului

Congelatorul unui laborator are un cod format din $5$ cifre distincte, de la $1$ la $9$ . Codul a fost generat la întâmplare dintre toate codurile posibile. Calculați probabilitatea ca cifrele codului să fie în ordine strict crescătoare.

Rezolvare. Un cod este un șir de $5$ cifre distincte: $card (Ω) = A_{9}^{5} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 15120$ . Un cod crescător e complet determinat de mulțimea cifrelor lui: odată aleasă mulțimea, există o singură ordine crescătoare. Deci codurile favorabile sunt câte submulțimi cu $5$ elemente are mulțimea celor nouă cifre, $C_{9}^{5} = 126$ :

$P = \frac{126}{15 120} = \frac{1}{120} .$

Rezultatul nu depinde de câte cifre stau la dispoziție: fiecare grup de cinci cifre apare în $5! = 120$ de ordini, iar una singură e crescătoare.

Exemplul 4 — Citește diagrama: cursurile opționale

O grupă de $9$ studenți la biologie a urmat, în vacanță, două cursuri opționale: microscopie și genetică. Diagrama arată câți studenți au urmat numai microscopie, câți au urmat ambele cursuri și câți numai genetică; ceilalți $3$ studenți ai grupei nu au urmat niciun curs. Se aleg la întâmplare $2$ studenți din grupă pentru a prezenta cursurile. Calculați probabilitatea ca: a) amândoi să fi urmat cursul de genetică; b) unul să fi urmat numai microscopie, iar celălalt numai genetică.

Studenții grupei care au urmat cursurile opționale; ceilalți 3 nu au urmat niciun curs.

Rezolvare. Din diagramă: $3$ studenți numai microscopie, $1$ la ambele, $2$ numai genetică; cu cei $3$ fără curs, grupa are $3 + 1 + 2 + 3 = 9$ studenți. Un rezultat este o pereche neordonată de studenți: $card (Ω) = C_{9}^{2} = 36$ .

a) Cursul de genetică l-au urmat $1 + 2 = 3$ studenți, deci perechile favorabile sunt $C_{3}^{2} = 3$ : $P = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ .

b) Un student din cei $3$ numai de microscopie și unul din cei $2$ numai de genetică: $3 \cdot 2 = 6$ perechi, $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .

Diagrama nu a calculat nimic în locul nostru; ea a arătat din câți studenți se face fiecare alegere, iar numărarea a rămas treaba combinărilor.

Exemplul 5 — Straturile din grădina botanică

O grădină botanică a unei școli are $6$ straturi așezate pe un singur rând, numerotate de la $1$ la $6$ . În ele se plantează $6$ specii diferite, câte una pe strat, iar repartizarea se face prin tragere la sorți. Trei dintre specii sunt plante medicinale: sunătoarea, coada-șoricelului și tătăneasa. Calculați probabilitatea ca cele trei plante medicinale să ocupe primele trei straturi, în orice ordine.

Rezolvare. Un rezultat este o așezare a celor $6$ specii pe cele $6$ straturi: $card (Ω) = 6! = 720$ . Plantele aromatice se pot așeza pe straturile $1$ , $2$ , $3$ în $3! = 6$ feluri, iar celelalte trei specii pe straturile $4$ , $5$ , $6$ tot în $3! = 6$ feluri. Rezultă $6 \cdot 6 = 36$ de cazuri favorabile:

$P = \frac{36}{720} = \frac{1}{20} .$

Un control pe altă cale: contează doar ce mulțime de trei specii ajunge pe primele trei straturi, iar cele $C_{6}^{3} = 20$ de mulțimi posibile sunt egal posibile; una singură e favorabilă, deci probabilitatea este $\frac{1}{20}$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră mulțimea $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ . a) Arătați că mulțimea $A$ are $21$ de submulțimi cu două elemente. b) Determinați probabilitatea ca, alegând o submulțime cu două elemente a mulțimii $A$ , diferența dintre elementul mai mare și cel mai mic să fie egală cu $3$ . c) Determinați probabilitatea ca, alegând o submulțime cu două elemente a mulțimii $A$ , ambele elemente să fie numere prime.

Rezolvare. a) $C_{7}^{2} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$ .

b) Submulțimile cu diferența $3$ sunt ${1, 4}$ , ${2, 5}$ , ${3, 6}$ , ${4, 7}$ , adică $4$ . Probabilitatea este $\frac{4}{21}$ .

c) Numerele prime din $A$ sunt $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , deci submulțimile favorabile sunt $C_{4}^{2} = 6$ . Probabilitatea este $\frac{6}{21} = \frac{2}{7}$ .

Cerințele urmează forma celor scurte de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat publicat pentru 2026, unde cerința de probabilitate se rezolvă prin numărarea cazurilor; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

1. Scrie $card (Ω)$ pentru fiecare experiment, spunând ce este un rezultat: a) se aleg simultan $3$ dintre $7$ plante pentru o analiză; b) se acordă premiile I, II și III pentru $3$ dintre $7$ proiecte; c) se formează un cod de $3$ cifre cu cifre din ${1, 2, \dots, 7}$ , cifrele putându-se repeta.

2. O trusă de optică are $8$ lentile: $6$ convergente și $2$ divergente. Se iau la întâmplare, simultan, $3$ lentile. Calculează probabilitatea ca în grupul luat să se afle o singură lentilă divergentă.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) Un club de astronomie are $11$ telescoape: $7$ cu lentile și $4$ cu oglinzi. Pentru o seară de observații se aleg simultan, la întâmplare, $3$ telescoape. „Fiindcă telescoapele cu lentile sunt majoritare, e mai probabil ca toate trei telescoapele alese să fie cu lentile decât ca exact unul dintre ele să fie cu lentile.”

4. Șase probe, printre care proba martor $M$ și proba etalon $E$ , sunt analizate într-o ordine aleasă la întâmplare. Calculează probabilitatea ca proba $M$ să fie analizată imediat înaintea probei $E$ .

5. Un program atribuie fiecărei probe un cod de $3$ cifre, fiecare cifră de la $0$ la $9$ , toate codurile fiind egal posibile. Calculează probabilitatea ca un cod să aibă exact două cifre egale.

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea numerelor naturale de trei cifre distincte care se pot scrie cu cifrele $1$ , $3$ , $4$ , $6$ și $8$ . Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din această mulțime, el să fie mai mic decât $400$ .

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se aleg simultan, la întâmplare, trei elemente ale mulțimii ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . Determinați probabilitatea ca suma lor să fie egală cu $10$ .

8. Laboratorul de fizică are $7$ lămpi spectrale: $3$ cu vapori de sodiu, $2$ cu vapori de mercur și $2$ cu hidrogen. Pentru o lucrare despre spectrele de emisie se iau la întâmplare, simultan, $3$ lămpi. Calculează probabilitatea ca ele să conțină trei gaze diferite, câte o lampă din fiecare fel.

9. Scrie toate submulțimile cu două elemente ale mulțimii ${Au, Ag, Cu, Zn}$ . Calculează, numărându-le, probabilitatea ca o submulțime aleasă la întâmplare să conțină numai metale prețioase (aurul și argintul), apoi verifică rezultatul cu formula combinărilor.

10. (Problemă aplicată.) Un lot de $20$ de seringi conține o singură seringă cu acul tocit. Controlul de calitate verifică $5$ seringi alese la întâmplare, simultan. Calculează probabilitatea ca seringa defectă să fie printre cele verificate.

11. Un grădinar are $6$ soiuri de roșii, dintre care $2$ sunt rezistente la mană. Alege la întâmplare $3$ soiuri pentru o parcelă. El crede că e mai probabil să nu aleagă niciun soi rezistent decât să le aleagă pe amândouă. Compară cele două probabilități.

12. Primele trei locuri ale unui concurs de proiecte de biologie se atribuie prin tragere la sorți între $8$ echipe, fiecare clasament de trei echipe fiind egal posibil. Școala ta are $2$ echipe în concurs. Calculează probabilitatea ca echipele școlii tale să ocupe locurile I și II, în orice ordine.

13. Din trusa de la exercițiul 2 se scot la întâmplare, una după alta, trei lentile, reținând ordinea. Calculează probabilitatea ca prima lentilă scoasă să fie convergentă, iar a doua divergentă.

14. Un cod PIN de $4$ cifre, fiecare cifră de la $0$ la $9$ , este generat la întâmplare. Calculează probabilitatea ca PIN-ul să conțină exact două cifre $0$ și exact două cifre $9$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea $B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . Determinați probabilitatea ca, alegând o submulțime cu două elemente a mulțimii $B$ , produsul elementelor ei să fie pătrat perfect.

16. Opt butelii de gaz, dintre care $3$ cu hidrogen, se așază la întâmplare într-un rastel cu $8$ locuri pe un singur rând. Calculează probabilitatea ca toate cele trei butelii cu hidrogen să stea una lângă alta.

17. Dintr-un grup de $n$ obiecte se aleg simultan, la întâmplare, $k$ obiecte, unde $1 \leq k \leq n$ . Arată că probabilitatea ca un obiect anume să fie printre cele alese este $\frac{k}{n}$ .

18. (Provocare.) Patru flacoane cu reactivi, etichetate $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , sunt puse la întâmplare, câte unul, pe patru poziții ale unui raft, marcate tot cu $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Calculează probabilitatea ca niciun flacon să nu ajungă pe poziția cu propria literă.

Răspunsuri și explicații

1. a) Un rezultat e un grup de $3$ plante: $C_{7}^{3} = 35$ . b) Un rezultat e un șir (locul I, locul II, locul III): $A_{7}^{3} = 210$ . c) Un rezultat e un șir de $3$ cifre cu repetiție: $7^{3} = 343$ .

2. $card (Ω) = C_{8}^{3} = 56$ . Exact o lentilă divergentă: $C_{2}^{1} \cdot C_{6}^{2} = 2 \cdot 15 = 30$ . $P = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$ .

3. Fals. Cazurile posibile sunt $C_{11}^{3} = 165$ . „Toate trei cu lentile” are $C_{7}^{3} = 35$ de cazuri, iar „exact unul cu lentile” are $C_{7}^{1} \cdot C_{4}^{2} = 7 \cdot 6 = 42$ . Deci $\frac{35}{165} < \frac{42}{165}$ : compoziția mixtă câștigă, pentru că se poate forma în mai multe feluri, deși telescoapele cu oglinzi sunt mai puține.

4. Cazurile posibile: $6! = 720$ . „Lipim” $M$ și $E$ în ordinea $M E$ , ca un singur bloc; rămân $5$ obiecte de așezat, în $5! = 120$ de feluri. $P = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}$ .

5. Cazurile posibile: $1 0^{3} = 1000$ . Pentru exact două cifre egale alegi poziția cifrei diferite ( $3$ variante), cifra repetată ( $10$ variante) și cifra diferită ( $9$ variante): $3 \cdot 10 \cdot 9 = 270$ . $P = \frac{270}{1 000} = \frac{27}{100}$ .

6. Numerele posibile: $A_{5}^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ . Un număr e mai mic decât $400$ dacă prima cifră este $1$ sau $3$ ( $2$ variante), apoi celelalte două poziții se completează cu $A_{4}^{2} = 12$ de feluri: $2 \cdot 12 = 24$ . $P = \frac{24}{60} = \frac{2}{5}$ .

7. Cazurile posibile: $C_{6}^{3} = 20$ . Submulțimile cu suma $10$ sunt ${1, 3, 6}$ , ${1, 4, 5}$ , ${2, 3, 5}$ . $P = \frac{3}{20}$ .

8. $card (Ω) = C_{7}^{3} = 35$ . Câte o lampă din fiecare fel (sodiu, mercur, hidrogen): $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ . $P = \frac{12}{35}$ .

9. Submulțimile sunt ${Au, Ag}$ , ${Au, Cu}$ , ${Au, Zn}$ , ${Ag, Cu}$ , ${Ag, Zn}$ , ${Cu, Zn}$ , adică $6$ . Una singură conține numai metale prețioase, deci $P = \frac{1}{6}$ . Cu formula: $\frac{C _{2}^{2}}{C _{4}^{2}} = \frac{1}{6}$ .

10. $card (Ω) = C_{20}^{5} = 15504$ . Grupele care conțin seringa defectă se completează cu $4$ seringi dintre celelalte $19$ : $C_{19}^{4} = 3876$ . $P = \frac{3 876}{15 504} = \frac{1}{4}$ . Controlul prinde seringa defectă doar într-un caz din patru.

11. $card (Ω) = C_{6}^{3} = 20$ . Niciun soi rezistent: toate trei vin din cele $4$ nerezistente, $C_{4}^{3} = 4$ grupe. Ambele rezistente: cele $2$ plus unul dintre cele $4$ , $C_{2}^{2} \cdot C_{4}^{1} = 4$ grupe. Probabilitățile sunt egale, $\frac{4}{20} = \frac{1}{5}$ , deci grădinarul greșește: niciuna dintre cele două situații nu e mai probabilă.

12. Clasamentele posibile: $A_{8}^{3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ . Echipele școlii ocupă locurile I și II în $2$ ordini, iar locul III revine uneia dintre celelalte $6$ echipe: $2 \cdot 6 = 12$ . $P = \frac{12}{336} = \frac{1}{28}$ .

13. Evenimentul privește ordinea, deci cazurile se numără ca șiruri: $A_{8}^{3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ . Prima lentilă este una dintre cele $6$ convergente, a doua una dintre cele $2$ divergente, iar a treia oricare dintre cele $6$ rămase: $6 \cdot 2 \cdot 6 = 72$ de șiruri. $P = \frac{72}{336} = \frac{3}{14}$ .

14. Cazurile posibile: $1 0^{4} = 10000$ . Alegi cele două poziții ale cifrelor $0$ , $C_{4}^{2} = 6$ variante; pe celelalte două poziții stau cifrele $9$ . $P = \frac{6}{10 000} = \frac{3}{5 000}$ .

15. Submulțimile cu două elemente sunt $C_{6}^{2} = 15$ . Scriind produsele tuturor celor $15$ perechi, singurul pătrat perfect este $1 \cdot 4 = 4$ ; produsele $9$ , $16$ , $25$ sau $36$ ar cere perechi cu elemente egale sau în afara lui $B$ . $P = \frac{1}{15}$ .

16. Așezările posibile: $8! = 40320$ . Cele trei butelii cu hidrogen alăturate formează un bloc; blocul și cele $5$ butelii fără hidrogen sunt $6$ obiecte, așezate în $6! = 720$ de feluri, iar în interiorul blocului buteliile cu hidrogen se pot ordona în $3! = 6$ feluri. Cazuri favorabile: $720 \cdot 6 = 4320$ , deci $P = \frac{4 320}{40 320} = \frac{3}{28}$ .

17. $card (Ω) = C_{n}^{k}$ . Grupele care conțin obiectul fixat se completează cu $k - 1$ obiecte dintre celelalte $n - 1$ : $C_{n - 1}^{k - 1}$ cazuri. Deci $P = \frac{C _{n - 1}^{k - 1}}{C _{n}^{k}} = \frac{( n - 1 )!}{( k - 1 )! ( n - k )!} \cdot \frac{k ! ( n - k )!}{n !} = \frac{k}{n} .$

18. Așezările posibile: $4! = 24$ . Le numărăm pe cele fără niciun flacon la locul lui. Flaconul $A$ poate merge pe poziția $B$ , $C$ sau $D$ ( $3$ variante, simetrice). Dacă $A$ merge în $B$ , atunci fie $B$ merge în $A$ și $C$ , $D$ își schimbă locurile ( $1$ așezare), fie $B$ merge în $C$ sau $D$ , iar restul e forțat ( $2$ așezări). Deci $3 \cdot 3 = 9$ așezări favorabile și $P = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$ .

De reținut

La o alegere simultană de $k$ obiecte din $n$ , un caz este o submulțime; toate cele $C_{n}^{k}$ submulțimi sunt egal posibile, iar compozițiile („două de un fel”) sunt evenimente, nu cazuri.
Descrie un rezultat în cuvinte, apoi alege unealta: $P_{n}$ pentru așezări complete, $A_{n}^{k}$ pentru șiruri distincte, $C_{n}^{k}$ pentru grupuri fără ordine, $m^{k}$ pentru șiruri cu repetiție.
Numărul cazurilor cu exact $j$ obiecte dintr-o categorie de $a$ și $k - j$ din una de $b$ este $C_{a}^{j} \cdot C_{b}^{k - j}$ ; compozițiile adunate dau $C_{a + b}^{k}$ .
Numărarea cu șiruri și cea cu submulțimi dau aceeași probabilitate, cât timp evenimentul nu depinde de ordine și ambele numere sunt numărate la fel.
Un rezultat se verifică pe un caz mic scris integral sau pe o a doua cale de numărare.

Greșeli frecvente

Iei compozițiile drept cazuri egal posibile. La două eșantioane luate din trei de sare gemă și trei de sare marină, „unul de fiecare” nu are o treime, ci $\frac{9}{15}$ , fiindcă are mai multe submulțimi decât celelalte compoziții.
Uiți poziția obiectului special când numeri cu șiruri. La un eveniment de forma „exact un obiect de un anumit fel”, numărat cu șiruri, obiectul acela poate ocupa oricare loc din șir. Cine îl pune numai pe primul loc pierde toate celelalte așezări și obține o probabilitate prea mică.
Pui la numitor doar categoria din întrebare. Pentru „toate trei conțin amidon”, cazurile posibile sunt toate grupele din cele șapte eprubete, nu doar grupele din cele cinci cu amidon.
Inventezi repetiția. La un cod cu cifre distincte, cazurile posibile sunt $A_{n}^{k}$ , nu $n^{k}$ ; codurile cu cifre repetate nu există în acest experiment.
Uiți ordinea din interiorul grupului. Dacă trei specii anume trebuie să ocupe primele trei straturi, ele se pot așeza acolo în $3!$ feluri; cine scrie doar $3!$ pentru celelalte specii pierde un factor.

Aplică acasă

Experimentul ceaiului, în varianta ta. Statisticianul Ronald Fisher a descris în 1935 un test cu opt cești de ceai, patru cu laptele pus primul, pe care o degustătoare trebuia să le recunoască. Pregătește șase pahare de apă, trei îndulcite și trei nu, și cere cuiva să aleagă cele trei îndulcite. Calculează probabilitatea de a le nimeri pe toate ghicind și discută dacă un singur succes dovedește că persoana simte diferența.
Ordinea alfabetică din întâmplare. Scrie literele A, B, C, D, E, F pe șase bilețele. Extrage trei, notează-le în ordinea extragerii, apoi pune-le înapoi; repetă de $30$ de ori. De câte ori au ieșit în ordine alfabetică? Compară frecvența cu probabilitatea calculată prin raționamentul de la Exemplul 3.
Lacătul cu cifru. Uită-te la un lacăt cu cifru sau la un cod de acces. Poate avea cifre repetate? Calculează câte coduri are și care e probabilitatea de a-l ghici din prima încercare, apoi compară cu numărul codurilor care ar exista dacă cifrele ar trebui să fie distincte.

Pentru părinți și profesori

Lecția leagă unitatea de numărare de cea de probabilități: aceleași permutări, aranjamente și combinări produc acum cele două numere din definiția clasică. Punctul de greutate este identificarea cazului — un grup, un șir sau o așezare — și argumentul că, într-o alegere la întâmplare, toate grupurile sau toate șirurile sunt egal posibile, pe când compozițiile nu sunt. Regula „aceeași schemă sus și jos” vine din lecția despre alegerea metodei și este aici justificată prin simplificarea factorului $k!$ .

Ce merită urmărit în caiet: scrie elevul, în cuvinte, un rezultat înainte de formulă; înmulțește combinările categoriilor și verifică suma compozițiilor; recunoaște singur când evenimentul depinde de ordine; verifică pe un caz mic. Întrebări bune de control: „Ce este aici un caz?”, „Dacă schimb două elemente, obțin alt caz?”, „Ce dă suma tuturor compozițiilor?”. Semn de înțelegere: elevul găsește, pentru aceeași problemă, două numărări diferite care dau aceeași probabilitate.

Noțiunea de submulțime vine din clasa a IX-a, de la mulțimi și intervale. Lecția următoare, despre evenimentul contrar, scurtează multe dintre numărările de aici. Unitatea se verifică prin testul de probabilități. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: cazuri favorabile și cazuri posibile, numărarea cu combinatorică.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul „Date, statistică matematică și probabilități”, unde programa cere determinarea cazurilor posibile și a cazurilor favorabile, iar metodele de numărare aparțin domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde permutările, aranjamentele, combinările și „probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile”. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I conține o cerință de probabilitate rezolvată prin numărarea cazurilor. Programa de examen din 2014 așază probabilitățile în capitolul „Matematici financiare” și cere ca aplicațiile acestui capitol să fie din domeniul financiar (profit, preț de cost, credite, buget); exercițiile marcate aici „tip Bacalaureat M2” sunt pe mulțimi de numere, ca cerința din modelul oficial, iar celelalte folosesc contexte de laborator și de teren. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Ce diferă între această lecție la M2 și versiunea de la mate-info (M1)? Uneltele de numărare sunt aceleași. La științe ale naturii, lecția insistă pe întrebarea „ce este un caz” și pe diferența dintre submulțimi egal posibile și compoziții, iar problemele vin din laborator și din natură: probe, cristale, pachete analizate, soiuri de plante. Loteria și cărțile de joc lipsesc, fiindcă nu aduc nimic nou pentru un elev de științe.

La ce subiect apare această temă la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 conține metodele de numărare și probabilitatea unui eveniment, fără să împartă temele pe subiecte. În modelul oficial 2026, cerința de probabilitate a Subiectului I se rezolvă prin numărarea cazurilor. Pentru MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Ce înseamnă „la întâmplare” când se aleg mai multe obiecte deodată? Înseamnă că fiecare grup posibil de obiecte are aceeași șansă să fie cel ales. Nu e suficient ca fiecare obiect luat separat să aibă aceeași șansă; ipoteza privește grupurile întregi. Un sac bine amestecat, bilețele identice sau un program care alege uniform asigură această condiție.

Pot număra cazurile cu un arbore în loc de formule? Da, cât timp arborele are puține frunze: ramurile lui sunt chiar șirurile de alegeri. Pentru alegeri simultane, fiecare grup apare pe mai multe ramuri, câte una pentru fiecare ordine, așa că trebuie numărate la fel și cazurile favorabile. Când frunzele devin sute, formulele fac același lucru mai repede.

Dacă obiectele de același fel arată identic, le pot număra ca obiecte diferite? Da, și chiar trebuie. Două eșantioane de sare gemă sunt obiecte diferite chiar dacă nu le deosebești cu ochiul: fiecare poate fi apucat separat. Dacă le numerotezi în gând, $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , toate grupurile devin egal posibile și se pot număra cu combinări. Dacă le-ai contopi într-un singur „fel”, ai număra din nou compoziții, care nu sunt egal posibile.

Ce fac când alegerea are trei categorii? Procedezi la fel ca la două. Pentru o compoziție cu $i$ obiecte din prima categorie, $j$ din a doua și $l$ din a treia, înmulțești trei combinări, câte una pentru fiecare categorie, și împarți la numărul tuturor grupurilor. Suma tuturor compozițiilor posibile trebuie să dea, ca și la două categorii, numărul total de grupuri.