Coliniaritate și perpendicularitate: pe scurt

Numărul director al dreptei $AB$ este $z_B-z_A$; el nu e unic, dar orice alt număr director al aceleiași drepte este un multiplu real al lui. Direcțiile se compară prin rapoarte de numere directoare.

Coliniaritate: $A,B,C$ sunt coliniare $⟺\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in \mathbb{R}$. Paralelism: $AB\parallel CD⟺\frac{z_B-z_A}{z_D-z_C}\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. Perpendicularitate: aceleași drepte sunt perpendiculare exact când raportul este pur imaginar.

Regula de aur, într-o propoziție: partea imaginară nulă înseamnă aceeași direcție, partea reală nulă înseamnă direcții perpendiculare. Înmulțirea cu $i$ este „echerul” numerelor complexe — rotește cu $90°$ fără să schimbe lungimea.

Criteriile au și o formă fără împărțire, mai comodă în demonstrații, folosind conjugatul: $(z_C-z_A)\overline{(z_B-z_A)}\in \mathbb{R}$ pentru coliniaritate, respectiv $\mathrm{Re}\left[(z_B-z_A)\overline{(z_D-z_C)}\right]=0$ pentru perpendicularitate. Ambele forme dau exact același răspuns, pentru că $u\bar{v}$ diferă de $\frac{u}{v}$ doar printr-un factor real pozitiv, $|v{|}^2$.

Aceste criterii se folosesc adesea „invers”, pentru a afla un parametru necunoscut dintr-o condiție geometrică dată, și se aplică la fel de bine unei configurații de patru puncte: laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale și paralele, iar diagonalele unui pătrat sunt egale și perpendiculare — toate proprietățile se citesc direct din semnul părții reale sau imaginare a unui singur produs cu conjugatul.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru $A(2+i)$, $B(5+3i)$, $C(11+7i)$, calculați raportul $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$.

   • a) $3$
   • b) $3i$
   • c) $1+i$
   • d) $2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $3$

   $z_B-z_A=3+2i$ și $z_C-z_A=9+6i=3(3+2i)$, deci raportul este $3$, real — punctele sunt coliniare.

2. Numerele directoare a două drepte sunt $6+3i$ și $10+5i$. Care este relația dintre drepte?

   • a) sunt perpendiculare
   • b) sunt paralele
   • c) fac un unghi de $45°$
   • d) nu au nicio relație specială
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) sunt paralele

   $\frac{6+3i}{10+5i}=\frac{3(2+i)}{5(2+i)}=\frac{3}{5}$, real nenul, deci dreptele au aceeași direcție.

3. Dreptele $AB$ și $CD$ au numerele directoare $z_B-z_A=5+3i$ și $z_D-z_C=-3+5i$. Care este relația dintre ele?

   • a) coincid
   • b) sunt paralele
   • c) sunt perpendiculare
   • d) nu au nicio relație specială
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) sunt perpendiculare

   $\frac{5+3i}{-3+5i}=\frac{(5+3i)(-3-5i)}{34}=\frac{-34i}{34}=-i$, pur imaginar, deci dreptele sunt perpendiculare.