Coliniaritate, paralelism și perpendicularitate cu numere complexe

Un tâmplar care montează un raft nu are nevoie de ecuații: are o nivelă cu bulă și un echer. Prima unealtă îi spune dacă două muchii merg în aceeași direcție, a doua dacă se întâlnesc sub unghi drept. Cu ele verifică, în câteva secunde, tot ce trebuie verificat la o mobilă: că marginile sunt paralele, că colțurile sunt drepte, că trei găuri sunt pe aceeași linie.

Numerele complexe oferă exact aceste două unelte, într-o formă surprinzător de compactă. Ai văzut în lecția Distanțe și unghiuri în planul complex că raportul a două diferențe de afixe conține unghiul dintre două direcții. Dacă unghiul este $0^{\circ }$ sau $180^{\circ }$, direcțiile coincid — iar asta se citește dintr-o singură proprietate a raportului: el este real. Dacă unghiul este de $90^{\circ }$, raportul este pur imaginar. Două cuvinte, „real" și „pur imaginar", înlocuiesc toată aparatura de verificare a paralelismului și a perpendicularității. Lecția aceasta transformă observația într-un set de criterii pe care le vei putea aplica mecanic, la orice configurație de puncte.

Ce vei învăța

• Vei ști să demonstrezi și să folosești criteriul de coliniaritate a trei puncte: raportul $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ este un număr real.
• Vei ști să scrii criteriile și în formă fără împărțire, folosind conjugatul, ceea ce le face comode în demonstrații.
• Vei ști criteriul de paralelism a două drepte și pe cel de perpendicularitate, cu raport pur imaginar.
• Vei ști de ce înmulțirea cu $i$ este „echerul" numerelor complexe.
• Vei ști să determini parametri din condiții de coliniaritate sau de perpendicularitate.
• Vei ști să aplici criteriile la patrulatere și la demonstrarea unor proprietăți ale triunghiului.

Hai să descoperim împreună

1. Numărul director al unei drepte

Fie $A$ și $B$ două puncte distincte. Diferența $z_B-z_A$ descrie complet direcția dreptei $AB$: modulul ei dă lungimea segmentului, iar argumentul dă direcția. O vom numi numărul director al dreptei $AB$.

Un lucru important de observat de la început: numărul director nu este unic. Dacă $M$ și $N$ sunt alte două puncte ale aceleiași drepte, atunci $z_N-z_M$ este un multiplu real al lui $z_B-z_A$. De pildă, pentru $A(1+i)$ și $B(3+2i)$ numărul director este $2+i$; dar dacă luăm punctul $C(7+4i)$, care se află pe aceeași dreaptă, obținem $z_C-z_A=6+3i=3(2+i)$ — același număr, înmulțit cu $3$.

Toate criteriile lecției se sprijină pe această observație simplă: direcțiile se compară prin raportul numerelor directoare.

2. Coliniaritate: raportul este real

Teoremă. Fie $A$, $B$, $C$ trei puncte, cu $B\ne A$. Punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare dacă și numai dacă

$$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in \mathbb{R}.$$

Demonstrație. Din lecția Afixul mijlocului, al centrului de greutate și raportul dat știm că punctele dreptei $AB$ sunt exact punctele de afix $z=z_A+t(z_B-z_A)$, cu $t\in \mathbb{R}$. Punctul $C$ se află pe dreapta $AB$ dacă și numai dacă există $t$ real cu

$$z_C-z_A=t(z_B-z_A),$$

adică, împărțind prin $z_B-z_A\ne 0$, dacă și numai dacă raportul $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ este numărul real $t$. $■$

Se poate justifica și prin unghiuri, ceea ce ajută intuiția: un număr complex nenul este real exact când argumentul lui este $0$ sau $\pi$. Din teorema unghiului, aceasta înseamnă că unghiul dintre direcțiile $AB$ și $AC$ este $0^{\circ }$ sau $180^{\circ }$ — adică cele trei puncte sunt pe aceeași dreaptă. Semnul lui $t$ spune și de care parte: $t>0$ înseamnă că $C$ este de aceeași parte cu $B$ față de $A$, iar $t<0$ că este de partea opusă.

Exemplu. Fie $A(1+i)$, $B(3+2i)$, $C(7+4i)$. Atunci $z_B-z_A=2+i$ și $z_C-z_A=6+3i$, deci

$$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{6+3i}{2+i}=\frac{3(2+i)}{2+i}=3\in \mathbb{R}.$$

Punctele sunt coliniare. Valoarea $t=3$ ne spune în plus că $AC=3\cdot AB$ și că $B$ se află între $A$ și $C$.

Contraexemplu. Pentru $D(4+2i)$ avem $z_D-z_A=3+i$, deci

$$\frac{3+i}{2+i}=\frac{(3+i)(2-i)}{5}=\frac{6-3i+2i+1}{5}=\frac{7-i}{5},$$

număr cu partea imaginară nenulă: punctele $A$, $B$, $D$ nu sunt coliniare.

3. Aceleași criterii, fără împărțire

Împărțirea numerelor complexe este corectă, dar greoaie într-o demonstrație. Există o variantă echivalentă, care folosește doar înmulțiri și conjugate.

Pornim de la două observații despre conjugat, cunoscute din lecția Conjugatul unui număr complex:

$$w\in \mathbb{R}⟺w=\bar{w},w\text{ pur imaginar}⟺w+\bar{w}=0(\text{adica˘ }\mathrm{Re}w=0).$$

Lemă. Fie $u,v\in \mathbb{C}$, cu $v\ne 0$. Numărul $\frac{u}{v}$ și numărul $u\bar{v}$ sunt, fie amândouă reale, fie amândouă pur imaginare, fie niciunul.

Demonstrație. Amplificăm cu $\bar{v}$:

$$u\bar{v}=\frac{u}{v}\cdot v\bar{v}=\frac{u}{v}\cdot |v{|}^2.$$

Cum $|v{|}^2$ este un număr real strict pozitiv, înmulțirea cu el nu schimbă nici partea reală nulă, nici partea imaginară nulă — schimbă doar scara. $■$

Rezultă imediat variantele fără împărțire ale criteriilor:

$$A,B,C\text{ coliniare}⟺(z_C-z_A)\overline{(z_B-z_A)}\in \mathbb{R}⟺\mathrm{Im}\left[(z_C-z_A)\overline{(z_B-z_A)}\right]=0.$$

Exemplu. Pentru $A(1+i)$, $B(3+2i)$, $C(7+4i)$: $(z_C-z_A)\overline{(z_B-z_A)}=(6+3i)(2-i)=12-6i+6i+3=15$, număr real — coliniare, fără să fi făcut nicio împărțire.

Aceeași lemă transformă și criteriul de perpendicularitate din secțiunea 5 într-o condiție de forma „partea reală este nulă".

4. Paralelism

Trecem de la trei puncte pe o dreaptă la două drepte distincte.

Criteriu. Fie dreptele $AB$ și $CD$, cu $A\ne B$ și $C\ne D$. Atunci

$$AB\parallel CD⟺\frac{z_B-z_A}{z_D-z_C}\in {\mathbb{R}}^{\ast }.$$

Justificare. Raportul este real și nenul exact când cele două numere directoare au același argument sau argumente care diferă cu $\pi$ — adică exact când cele două drepte au aceeași direcție. $■$

Reține că trebuie cerut ${\mathbb{R}}^{\ast }$, nu doar $\mathbb{R}$: valoarea $0$ ar însemna $z_B=z_A$, adică o dreaptă nedefinită. Trebuie de asemenea verificat separat că dreptele sunt distincte, dacă enunțul cere paralelism propriu-zis: criteriul nu deosebește două drepte paralele de una și aceeași dreaptă.

Exemplu. Direcțiile $4+2i$ și $6+3i$ dau raportul

$$\frac{4+2i}{6+3i}=\frac{2(2+i)}{3(2+i)}=\frac{2}{3}\in {\mathbb{R}}^{\ast },$$

deci dreptele corespunzătoare sunt paralele.

Aplicație la patrulatere. Într-un paralelogram, laturile opuse sunt nu doar paralele, ci și egale, ceea ce se scrie foarte simplu: $z_B-z_A=z_C-z_D$. Pentru $A(1+i)$, $B(5+2i)$, $C(4+6i)$, $D(5i)$ avem $z_B-z_A=4+i$ și $z_C-z_D=(4+6i)-5i=4+i$ — egale, deci $[AB]$ și $[DC]$ sunt paralele și congruente.

5. Perpendicularitate

Iată criteriul cel mai folosit la examen.

Criteriu. Fie dreptele $AB$ și $CD$, cu $A\ne B$ și $C\ne D$. Atunci

$$AB\perp CD⟺\frac{z_B-z_A}{z_D-z_C}\text{ este pur imaginar.}$$

Justificare. Un număr complex nenul este pur imaginar exact când argumentul lui este $\frac{\pi }{2}$ sau $\frac{3\pi }{2}$. Din teorema unghiului, argumentul raportului este unghiul dintre cele două direcții, deci condiția spune exact că unghiul dintre drepte este de $90^{\circ }$. $■$

Folosind lema din secțiunea 3, criteriul se rescrie fără împărțire:

$$AB\perp CD⟺\mathrm{Re}\left[(z_B-z_A)\overline{(z_D-z_C)}\right]=0.$$

De ce înmulțirea cu $i$ este echerul. Numărul $i$ are modulul $1$ și argumentul $\frac{\pi }{2}$, deci înmulțirea cu $i$ rotește cu $90^{\circ }$ fără să schimbe lungimea. De aceea, dacă un număr director se obține din celălalt înmulțind cu $i$ (sau cu $-i$, sau cu $it$ pentru un $t$ real nenul), dreptele sunt perpendiculare.

Exemplu. Fie $A(1+i)$, $B(5+3i)$, $C(0)$, $D(-1+2i)$. Numerele directoare sunt $z_B-z_A=4+2i$ și $z_D-z_C=-1+2i$. Raportul:

$$\frac{4+2i}{-1+2i}=\frac{(4+2i)(-1-2i)}{1+4}=\frac{-4-8i-2i+4}{5}=\frac{-10i}{5}=-2i,$$

număr pur imaginar: $AB\perp CD$.

Aceeași verificare, fără împărțire: $(4+2i)\overline{(-1+2i)}=(4+2i)(-1-2i)=-4-8i-2i-4i^2=-10i$, cu partea reală nulă $✓$

6. Tabloul complet

Merită ținut minte ca un tot, pentru că cele patru linii spun aceeași poveste, citită în locuri diferite ale aceluiași raport $w$:

Observă simetria: partea imaginară nulă înseamnă aceeași direcție, partea reală nulă înseamnă direcții perpendiculare. Nu există a treia posibilitate de reținut.

7. Determinarea unui parametru

Criteriile se folosesc cel mai des „invers": nu ca să verifici o proprietate, ci ca să afli o necunoscută din ea.

Exemplu. Determină numărul real $m$ pentru care punctele $A(1+i)$, $B(3+2i)$ și $C(m+4i)$ sunt coliniare.

Rezolvare. Numerele directoare sunt $z_B-z_A=2+i$ și $z_C-z_A=(m-1)+3i$. Punem condiția ca raportul să fie real; folosim varianta fără împărțire, care e mai comodă:

$$[(m-1)+3i](2-i)=2(m-1)-(m-1)i+6i+3=[2m+1]+[6-(m-1)]i.$$

Condiția de coliniaritate este ca partea imaginară să fie nulă:

$$6-(m-1)=0⟺7-m=0⟺m=7.$$

Verificare: pentru $m=7$ obținem $C(7+4i)$, iar $\frac{6+3i}{2+i}=3\in \mathbb{R}✓$ — chiar exemplul din secțiunea 2.

8. Aplicații într-un triunghi

a) Triunghi dreptunghic. Fie $A(1+2i)$, $B(5+4i)$, $C(7)$. Verificăm unghiul din $B$:

$$\frac{z_A-z_B}{z_C-z_B}=\frac{-4-2i}{2-4i}=\frac{(-4-2i)(2+4i)}{4+16}=\frac{-8-16i-4i+8}{20}=\frac{-20i}{20}=-i.$$

Raportul este pur imaginar, deci unghiul din $B$ este drept; în plus are modulul $1$, deci $BA=BC$ — triunghiul este dreptunghic isoscel în $B$.

Control prin distanțe: $A{B}^2=|4+2i{|}^2=20$, $B{C}^2=|2-4i{|}^2=20$, $A{C}^2=|6-2i{|}^2=40=20+20✓$

b) Pătratul, verificat integral. Pentru $A(1+i)$, $B(5+2i)$, $C(4+6i)$, $D(5i)$:

• laturi opuse egale și paralele: $z_B-z_A=4+i=z_C-z_D$ și $z_D-z_A=-1+4i=z_C-z_B$;
• laturi consecutive perpendiculare: $\frac{z_C-z_B}{z_B-z_A}=\frac{-1+4i}{4+i}=\frac{i(4+i)}{4+i}=i$, pur imaginar — și de modul $1$, deci laturile sunt și egale;
• diagonale perpendiculare: $\frac{z_C-z_A}{z_D-z_B}=\frac{3+5i}{-5+3i}=\frac{(3+5i)(-5-3i)}{34}=\frac{-34i}{34}=-i$.

Toate proprietățile pătratului, obținute din patru afixe.

c) Ortocentrul unui triunghi înscris în cercul unitate. Iată un rezultat pe care numerele complexe îl fac aproape gratuit. Dacă vârfurile $A$, $B$, $C$ au afixele $a$, $b$, $c$ cu $|a|=|b|=|c|=1$, se poate arăta că punctul de afix $h=a+b+c$ este ortocentrul triunghiului, adică punctul de intersecție a înălțimilor.

Verificare pe un caz concret. Luăm $a=1$, $b=i$ și $c=\frac{-3+4i}{5}$ — toate de modul $1$, pentru că ${\left(\frac{-3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9+16}{25}=1$. Atunci

$$h=1+i+\frac{-3+4i}{5}=\frac{5+5i-3+4i}{5}=\frac{2+9i}{5}=\frac{2}{5}+\frac{9}{5}i.$$

Verificăm că $AH\perp BC$:

$$\frac{h-a}{b-c}=\frac{-\frac{3}{5}+\frac{9}{5}i}{i-\frac{-3+4i}{5}}=\frac{-3+9i}{5i+3-4i}=\frac{-3+9i}{3+i}=\frac{(-3+9i)(3-i)}{10}=\frac{-9+3i+27i+9}{10}=3i,$$

număr pur imaginar $✓$ La fel se verifică $BH\perp AC$ (raportul iese $\frac{1}{2}i$) și $CH\perp AB$ (raportul iese $i$).

O consecință frumoasă: centrul de greutate are afixul $g=\frac{a+b+c}{3}=\frac{h}{3}$, deci $h=3g$ — un număr real ori $g$. Prin criteriul de coliniaritate, centrul cercului (originea), centrul de greutate și ortocentrul sunt coliniare: este dreapta lui Euler, obținută aici dintr-o singură observație.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea coliniarității

Arătați că punctele $A(1+i)$, $B(3+2i)$, $C(7+4i)$ sunt coliniare și precizați poziția lui $B$ față de celelalte două.

Rezolvare. $z_B-z_A=2+i$ și $z_C-z_A=6+3i=3(2+i)$, deci

$$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=3\in \mathbb{R}.$$

Punctele sunt coliniare. Cum $t=3>1$, punctul $C$ se află dincolo de $B$ față de $A$, adică $B$ este între $A$ și $C$. Mai precis, $AC=3\cdot AB$, deci $B$ împarte segmentul $[AC]$ în raportul $\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$.

Exemplul 2 — Trei puncte care nu sunt coliniare

Stabiliți dacă punctele $A(1+i)$, $B(3+2i)$, $D(4+2i)$ sunt coliniare.

Rezolvare. Folosim varianta fără împărțire: $z_D-z_A=3+i$, $z_B-z_A=2+i$, deci

$$(3+i)\overline{(2+i)}=(3+i)(2-i)=6-3i+2i-i^2=7-i.$$

Partea imaginară este $-1\ne 0$, deci punctele nu sunt coliniare.

Exemplul 3 — Perpendicularitate

Arătați că dreptele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare, unde $A(1+i)$, $B(5+3i)$, $C(0)$, $D(-1+2i)$.

Rezolvare. Numerele directoare sunt $z_B-z_A=4+2i$ și $z_D-z_C=-1+2i$. Calculăm

$$(4+2i)\overline{(-1+2i)}=(4+2i)(-1-2i)=-4-8i-2i-4i^2=-4-10i+4=-10i.$$

Partea reală este $0$, deci $AB\perp CD$.

Control prin raport: $\frac{4+2i}{-1+2i}=\frac{-10i}{5}=-2i$, pur imaginar $✓$

Exemplul 4 — Determinarea unui parametru

Determinați numărul real $m$ pentru care punctele $A(1+i)$, $B(3+2i)$, $C(m+4i)$ sunt coliniare.

Rezolvare. $z_B-z_A=2+i$ și $z_C-z_A=(m-1)+3i$. Punem condiția ca partea imaginară a produsului cu conjugatul să fie nulă:

$$[(m-1)+3i](2-i)=[2(m-1)+3]+[6-(m-1)]i=(2m+1)+(7-m)i.$$

Condiția $7-m=0$ dă $m=7$.

Verificare: $C(7+4i)$, iar $\frac{6+3i}{2+i}=3$, real $✓$

Exemplul 5 — Natura unui triunghi prin perpendicularitate

Arătați că triunghiul cu vârfurile $A(1+2i)$, $B(5+4i)$, $C(7)$ este dreptunghic isoscel și precizați vârful unghiului drept.

Rezolvare. Încercăm unghiul din $B$: $z_A-z_B=-4-2i$ și $z_C-z_B=2-4i$. Observăm direct că

$$-4-2i=-i(2-4i),$$

pentru că $-i(2-4i)=-2i+4i^2=-4-2i✓$ Raportul este deci $-i$: pur imaginar (unghi drept în $B$) și de modul $1$ (laturi egale, $BA=BC$).

Control prin distanțe: $A{B}^2=|4+2i{|}^2=20$, $B{C}^2=|2-4i{|}^2=20$, $A{C}^2=|6-2i{|}^2=40$. Într-adevăr $20+20=40✓$ Triunghiul este dreptunghic isoscel, cu unghiul drept în $B$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

În planul complex se consideră punctele $A$, $B$, $C$, $D$ de afixe $z_A=1+i$, $z_B=5+2i$, $z_C=4+6i$, $z_D=5i$.

a) Arătați că $AB\parallel DC$.

b) Arătați că $AB\perp BC$.

c) Arătați că diagonalele patrulaterului $ABCD$ sunt perpendiculare și au aceeași lungime, apoi precizați natura patrulaterului.

Rezolvare. a) $z_B-z_A=4+i$ și $z_C-z_D=(4+6i)-5i=4+i$. Cele două numere directoare sunt egale, deci raportul lor este $1\in {\mathbb{R}}^{\ast }$: dreptele sunt paralele. (Fiind egale, nu doar proporționale, segmentele $[AB]$ și $[DC]$ au și aceeași lungime.)

b) $z_C-z_B=-1+4i$, iar

$$\frac{z_C-z_B}{z_B-z_A}=\frac{-1+4i}{4+i}=\frac{i(4+i)}{4+i}=i,$$

pentru că $i(4+i)=4i-1$. Raportul este pur imaginar, deci $AB\perp BC$. În plus $|i|=1$, deci $AB=BC$.

c) Diagonalele au numerele directoare $z_C-z_A=3+5i$ și $z_D-z_B=-5+3i$. Lungimile:

$$AC=|3+5i|=\sqrt{34},BD=|-5+3i|=\sqrt{34},$$

deci sunt egale. Perpendicularitatea:

$$(3+5i)\overline{(-5+3i)}=(3+5i)(-5-3i)=-15-9i-25i-15i^2=-34i,$$

cu partea reală nulă $✓$

Din a) și b) patrulaterul are laturile consecutive egale și perpendiculare; împreună cu diagonalele egale și perpendiculare, rezultă că $ABCD$ este un pătrat, cu latura $\sqrt{17}$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Pentru fiecare verificare, alege singur varianta mai comodă — cu împărțire sau cu conjugat — și scrie explicit ce condiție ai verificat („partea imaginară este nulă", „partea reală este nulă").

1. Arată că punctele $A(1+i)$, $B(3+2i)$, $C(7+4i)$ sunt coliniare.

2. Stabilește dacă punctele $A(1+i)$, $B(3+2i)$, $D(4+2i)$ sunt coliniare.

3. Stabilește dacă punctele $A(2+i)$, $B(5+3i)$, $C(11+7i)$ sunt coliniare.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Trei puncte $A$, $B$, $C$ sunt coliniare dacă și numai dacă raportul $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ este un număr real."

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă raportul a două numere directoare este $5i$, dreptele corespunzătoare sunt paralele."

6. Arată că dreptele cu numerele directoare $4+2i$ și $6+3i$ sunt paralele.

7. Arată că dreptele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare, pentru $A(1+i)$, $B(5+3i)$, $C(0)$, $D(-1+2i)$.

8. Verifică perpendicularitatea de la exercițiul anterior și prin varianta fără împărțire, cu conjugatul.

9. Determină numărul real $m$ pentru care punctele $A(1+i)$, $B(3+2i)$, $C(m+4i)$ sunt coliniare.

10. Determină numărul real $p$ pentru care dreptele cu numerele directoare $3+pi$ și $2-6i$ sunt perpendiculare.

11. Arată că triunghiul cu vârfurile $A(1+2i)$, $B(5+4i)$, $C(7)$ este dreptunghic isoscel și precizează vârful unghiului drept.

12. Pentru $A(1+i)$, $B(5+2i)$, $C(4+6i)$, $D(5i)$, arată că $AB\parallel DC$ și că $AD\parallel BC$.

13. Pentru aceleași puncte, arată că $AB\perp BC$.

14. (Problemă aplicată.) Trei jaloane de trasare a unui drum se află în punctele de afixe $1+i$, $3+2i$ și $7+4i$ (coordonatele în sute de metri). a) Verifică dacă cele trei jaloane sunt aliniate. b) Un al patrulea jalon trebuie plantat astfel încât dreapta care îl unește cu primul să fie perpendiculară pe drum; verifică dacă punctul de afix $3-3i$ este potrivit.

15. Arată că, dacă $M$ este mijlocul segmentului $[AB]$, atunci $A$, $M$, $B$ sunt coliniare, folosind criteriul cu raportul.

16. Pentru $A(1+i)$, $B(5+2i)$, $C(4+6i)$, $D(5i)$, arată că diagonalele sunt perpendiculare și egale.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră punctele $A$, $B$, $C$, $D$ de afixe $1+i$, $5+2i$, $4+6i$, $5i$. a) Arătați că $AB\parallel DC$. b) Arătați că $AB\perp BC$. c) Arătați că diagonalele sunt perpendiculare și egale, apoi precizați natura patrulaterului $ABCD$.

18. (Provocare.) Se consideră punctele $A$, $B$, $C$ de afixe $a=1$, $b=i$, $c=\frac{-3+4i}{5}$, toate de modul $1$, și punctul $H$ de afix $h=a+b+c$. Arată că $AH\perp BC$ și că $BH\perp AC$, deci că $H$ este ortocentrul triunghiului.

Răspunsuri și explicații

1. $z_B-z_A=2+i$, $z_C-z_A=6+3i=3(2+i)$, deci raportul este $3$, număr real: punctele sunt coliniare.

2. $(z_D-z_A)\overline{(z_B-z_A)}=(3+i)(2-i)=7-i$, cu partea imaginară $-1\ne 0$: punctele nu sunt coliniare.

3. $z_B-z_A=3+2i$ și $z_C-z_A=9+6i=3(3+2i)$, deci raportul este $3$, real: punctele sunt coliniare.

4. Adevărat. Punctele dreptei $AB$ sunt exact cele de afix $z_A+t(z_B-z_A)$ cu $t$ real; $C$ se află pe această dreaptă exact când $z_C-z_A=t(z_B-z_A)$, adică atunci când raportul este numărul real $t$. (Se presupune $B\ne A$, altfel raportul nici nu se poate forma.)

5. Fals. Un raport pur imaginar înseamnă unghi de $90^{\circ }$, deci drepte perpendiculare, nu paralele. Pentru paralelism raportul trebuie să fie real nenul.

6. $\frac{4+2i}{6+3i}=\frac{2(2+i)}{3(2+i)}=\frac{2}{3}$, număr real nenul: dreptele sunt paralele.

7. $\frac{4+2i}{-1+2i}=\frac{(4+2i)(-1-2i)}{5}=\frac{-10i}{5}=-2i$, pur imaginar, deci $AB\perp CD$.

8. $(4+2i)\overline{(-1+2i)}=(4+2i)(-1-2i)=-4-10i+4=-10i$. Partea reală este $0$, deci dreptele sunt perpendiculare — același rezultat, fără nicio împărțire.

9. $[(m-1)+3i](2-i)=(2m+1)+(7-m)i$; condiția de coliniaritate cere $7-m=0$, deci $m=7$. Verificare: pentru $C(7+4i)$ raportul este $3$, real $✓$

10. Condiția este ca partea reală a produsului $(3+pi)\overline{(2-6i)}=(3+pi)(2+6i)$ să fie nulă. Calculăm: $(3+pi)(2+6i)=6+18i+2pi+6p{i}^2=(6-6p)+(18+2p)i$. Din $6-6p=0$ rezultă $p=1$. Verificare: $\frac{3+i}{2-6i}=\frac{(3+i)(2+6i)}{40}=\frac{20i}{40}=\frac{i}{2}$, pur imaginar $✓$

11. $z_A-z_B=-4-2i$ și $z_C-z_B=2-4i$, iar $-4-2i=-i(2-4i)$, deci raportul este $-i$: pur imaginar (unghi drept) și de modul $1$ (laturi egale). Unghiul drept este în $B$. Control: $A{B}^2=20$, $B{C}^2=20$, $A{C}^2=40=20+20✓$

12. $z_B-z_A=4+i$ și $z_C-z_D=4+i$: egale, deci raportul este $1$, real nenul — paralele (și congruente). $z_D-z_A=-1+4i$ și $z_C-z_B=-1+4i$: la fel.

13. $\frac{z_C-z_B}{z_B-z_A}=\frac{-1+4i}{4+i}=\frac{i(4+i)}{4+i}=i$, pur imaginar, deci $AB\perp BC$. Modulul $1$ arată în plus că $AB=BC$.

14. a) $z_B-z_A=2+i$ și $z_C-z_A=6+3i=3(2+i)$, raport $3$, real: cele trei jaloane sunt aliniate. b) Numărul director al noii direcții este $(3-3i)-(1+i)=2-4i$. Verificăm perpendicularitatea pe drum: $(2-4i)\overline{(2+i)}=(2-4i)(2-i)=4-2i-8i+4i^2=-10i$, cu partea reală nulă $✓$ Punctul este potrivit.

15. Dacă $M$ este mijlocul, atunci $z_M=\frac{z_A+z_B}{2}$, deci $z_M-z_A=\frac{z_B-z_A}{2}$ și $$\frac{z_M-z_A}{z_B-z_A}=\frac{1}{2}\in \mathbb{R},$$ deci punctele sunt coliniare. Valoarea $t=\frac{1}{2}$ confirmă și că $M$ este la jumătatea drumului.

16. Numerele directoare ale diagonalelor sunt $z_C-z_A=3+5i$ și $z_D-z_B=-5+3i$. Lungimi: $|3+5i|=\sqrt{34}$ și $|-5+3i|=\sqrt{34}$ — egale. Perpendicularitate: $(3+5i)(-5-3i)=-34i$, cu partea reală nulă $✓$

17. a) $z_B-z_A=4+i=z_C-z_D$, deci raportul este $1$, real nenul: $AB\parallel DC$. b) $\frac{z_C-z_B}{z_B-z_A}=\frac{-1+4i}{4+i}=i$, pur imaginar: $AB\perp BC$. c) $AC=BD=\sqrt{34}$, iar $(3+5i)(-5-3i)=-34i$ are partea reală nulă, deci diagonalele sunt perpendiculare și egale. Patrulaterul are laturile consecutive egale ($|4+i|=|-1+4i|=\sqrt{17}$) și perpendiculare, deci este un pătrat de latură $\sqrt{17}$.

18. Avem $h=1+i+\frac{-3+4i}{5}=\frac{2+9i}{5}$. Pentru prima perpendicularitate: $$h-a=\frac{2+9i}{5}-1=\frac{-3+9i}{5},b-c=i-\frac{-3+4i}{5}=\frac{3+i}{5},$$ deci $$\frac{h-a}{b-c}=\frac{-3+9i}{3+i}=\frac{(-3+9i)(3-i)}{9+1}=\frac{-9+3i+27i+9}{10}=\frac{30i}{10}=3i,$$ pur imaginar, deci $AH\perp BC$. Pentru a doua: $h-b=\frac{2+4i}{5}$ și $a-c=1-\frac{-3+4i}{5}=\frac{8-4i}{5}$, deci $$\frac{h-b}{a-c}=\frac{2+4i}{8-4i}=\frac{(2+4i)(8+4i)}{64+16}=\frac{16+8i+32i-16}{80}=\frac{40i}{80}=\frac{1}{2}i,$$ tot pur imaginar, deci $BH\perp AC$. Punctul $H$ se află pe două dintre înălțimi, deci este ortocentrul. (Se verifică la fel și a treia: raportul $\frac{h-c}{a-b}$ iese $i$.)

De reținut

• Numărul director al dreptei $AB$ este $z_B-z_A$; el este determinat până la un factor real nenul, deci direcțiile se compară prin rapoarte.
• Coliniaritate: $A$, $B$, $C$ sunt coliniare $⟺\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in \mathbb{R}$. Valoarea $t$ a raportului spune și unde se află $C$: între $A$ și $B$ dacă $t\in (0,1)$, dincolo de $B$ dacă $t>1$, de partea cealaltă a lui $A$ dacă $t<0$.
• Paralelism: $AB\parallel CD⟺\frac{z_B-z_A}{z_D-z_C}\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. Perpendicularitate: $AB\perp CD⟺$ același raport este pur imaginar.
• Variantele fără împărțire, mai comode în demonstrații: aceeași direcție $⟺\mathrm{Im}\left[(z_B-z_A)\overline{(z_D-z_C)}\right]=0$; perpendicularitate $⟺\mathrm{Re}\left[(z_B-z_A)\overline{(z_D-z_C)}\right]=0$.
• Regula de aur, într-o propoziție: partea imaginară nulă înseamnă aceeași direcție, partea reală nulă înseamnă direcții perpendiculare. Înmulțirea cu $i$ este echerul, pentru că rotește cu $90^{\circ }$ fără să schimbe lungimea.

Greșeli frecvente

• Confunzi cele două criterii. Raport real înseamnă coliniar sau paralel; raport pur imaginar înseamnă perpendicular. Un test rapid de memorie: raportul $i$ nu poate însemna „aceeași direcție", pentru că $i$ este chiar rotația de un sfert de tură.
• Formezi rapoarte cu afixe, nu cu diferențe. Criteriile se aplică numerelor directoare, adică diferențelor $z_B-z_A$. Raportul $\frac{z_C}{z_B}$ nu are nicio semnificație geometrică în aceste probleme.
• Uiți condiția de nenulitate. Pentru paralelism raportul trebuie să fie real nenul, iar pentru perpendicularitate pur imaginar nenul; numărul $0$ ar însemna două puncte confundate, adică o dreaptă nedefinită.
• Confunzi paralelismul cu coincidența. Criteriul nu deosebește două drepte paralele distincte de una și aceeași dreaptă. Dacă enunțul cere paralelism propriu-zis, verifică separat, de exemplu arătând că un punct al primei drepte nu se află pe a doua.
• Nu verifici rezultatul. Fiecare afirmație obținută se poate controla independent: perpendicularitatea, prin teorema lui Pitagora pe pătratele distanțelor; coliniaritatea, calculând raportul și în ordinea inversă a punctelor (trebuie să iasă tot un număr real).

Aplică acasă

1. Echerul și numărul $i$. Desenează pe hârtie milimetrică un segment de la $(1,1)$ la $(5,3)$, deci cu numărul director $4+2i$. Calculează $i(4+2i)$ și desenează al doilea segment, pornind din același punct, cu numărul director obținut. Verifică apoi cu echerul că unghiul dintre ele este drept.

2. Alinierea din curte. Alege trei repere fixe care ți se par aliniate și măsoară coordonatele lor față de un colț ales ca origine. Calculează raportul celor două numere directoare: cu cât partea imaginară a rezultatului este mai aproape de zero, cu atât reperele sunt mai bine aliniate.

3. Pătratul verificat cu numere. Măsoară cele patru colțuri ale unei mese sau ale unei foi mari și notează-le ca afixe. Verifică apoi, prin calcul, dacă laturile consecutive sunt perpendiculare și dacă diagonalele au aceeași lungime — adică dacă obiectul este cu adevărat dreptunghiular.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie grupul de aplicații ale numerelor complexe în geometrie și este, probabil, cea mai „rentabilă" dintre ele: două criterii scurte înlocuiesc verificări care altfel cer construcții sau raționamente sintetice lungi. Ideea unificatoare este că un singur raport de diferențe conține toată informația despre poziția relativă a două direcții, iar cele două cazuri extreme — parte imaginară nulă și parte reală nulă — sunt exact paralelismul și perpendicularitatea.

Ce verifică lecția: formarea corectă a numerelor directoare (diferențe de afixe, nu afixe), recunoașterea unui număr real și a unuia pur imaginar, folosirea variantei cu conjugatul atunci când împărțirea ar fi greoaie, determinarea unui parametru dintr-o condiție geometrică și aplicarea criteriilor la patrulatere. Întrebări bune de control: „Ce înseamnă că raportul este $i$?"; „De ce numărul director nu este unic?"; „Cum verifici perpendicularitatea fără să împarți?". Un semn sigur că a înțeles: la o problemă cu patru puncte formează întâi cele patru diferențe și abia apoi se întreabă ce trebuie demonstrat.

La Bacalaureat M1, aceste criterii apar aproape întotdeauna într-o problemă cu patru puncte, în care se cere pe rând un paralelism, o perpendicularitate și natura patrulaterului. Redactarea așteptată de barem are trei părți: numărul director calculat explicit, raportul (sau produsul cu conjugatul) calculat explicit, și concluzia formulată în cuvinte („raportul este pur imaginar, deci dreptele sunt perpendiculare"). Concluzia neînsoțită de calculul afișat nu primește punctajul întreg, oricât de evidentă ar părea.

Întrebări frecvente

Cum arăt că trei puncte sunt coliniare folosind numere complexe? Calculezi raportul $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ și arăți că este un număr real, adică are partea imaginară nulă. Echivalent, arăți că produsul $(z_C-z_A)\overline{(z_B-z_A)}$ este real, ceea ce evită împărțirea.

Ce este numărul director al unei drepte? Diferența afixelor a două puncte ale ei, de exemplu $z_B-z_A$. Modulul lui dă lungimea segmentului, iar argumentul dă direcția. Nu este unic: orice multiplu real nenul al lui descrie aceeași direcție.

Care este condiția de perpendicularitate a două drepte? Raportul numerelor lor directoare trebuie să fie pur imaginar, adică să aibă partea reală nulă. Echivalent, unul dintre numerele directoare se obține din celălalt înmulțind cu $i$ sau cu $-i$, eventual după o schimbare de scară cu un număr real nenul.

De ce înmulțirea cu $i$ înseamnă rotație cu $90^{\circ }$? Pentru că $i$ are modulul $1$ și argumentul $\frac{\pi }{2}$. La înmulțire modulele se înmulțesc și argumentele se adună, deci înmulțirea cu $i$ păstrează lungimea și adaugă un sfert de tură la direcție.

Când folosesc varianta cu conjugatul în loc de raport? Ori de câte ori împărțirea ar fi greoaie sau ar apărea un parametru la numitor. Produsul $u\bar{v}$ diferă de $\frac{u}{v}$ printr-un factor real strict pozitiv, $|v{|}^2$, deci ambele sunt reale sau pur imaginare simultan.

Criteriul de paralelism deosebește două drepte paralele de una singură? Nu. Dacă raportul numerelor directoare este real nenul, dreptele au aceeași direcție, dar pot fi și una și aceeași dreaptă. Când enunțul cere paralelism propriu-zis, verifici separat că un punct al primei drepte nu aparține celei de-a doua.

Cum determin un parametru dintr-o condiție de coliniaritate? Scrii numerele directoare cu parametrul în ele, formezi produsul cu conjugatul, dezvolți și pui condiția ca partea imaginară să fie nulă. Se obține o ecuație în parametru, de obicei de gradul întâi.

La ce ajută valoarea concretă a raportului, dacă știu deja că e reală? Ea localizează al treilea punct: dacă $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=t$, atunci $AC=|t|\cdot AB$, iar semnul și mărimea lui $t$ arată dacă $C$ este între $A$ și $B$, dincolo de $B$ sau de cealaltă parte a lui $A$.