Cum rezolv ecuația C₂₀^(x+1)=C₂₀^(2x-2)?

Ai două familii. Din x+1=2x-2 rezultă x=3, cu C₂₀⁴=C₂₀⁴. Din (x+1)+(2x-2)=20 rezultă x=7, cu C₂₀⁸=C₂₀¹². Ambele valori respectă 0≤ x+1≤ 20 și 0≤ 2x-2≤ 20, deci soluțiile sunt 3 și 7.

Cum aflu n din Cₙⁿ⁻¹+Cₙⁿ⁻²=28?

Treci la indicii complementari, care au mai puțini factori, și scrii fiecare termen ca expresie în n: Cₙⁿ⁻¹=n și Cₙⁿ⁻²= (n(n-1))/2. Ecuația devine (n(n+1))/2=28, adică n(n+1)=56=7· 8, deci n=7. Verificare: C₇⁶+C₇⁵=7+21=28, iar condiția n≥ 2 este îndeplinită.

De ce sunt egale combinările complementare?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Combinări complementare

Pentru că a alege ce intră înseamnă a alege, în același timp, ce rămâne afară. Fiecare grupă de $k$ obiecte are exact o grupă complementară de $n - k$ obiecte și invers, deci cele două numărători dau același rezultat: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ . Exemplu: a pune $5$ dintre $7$ plante în seră înseamnă a alege $2$ care rămân afară, deci $C_{7}^{5} = C_{7}^{2} = 21$ .

Orice alegere de $k$ obiecte dintr-o colecție de $n$ poate fi descrisă în două feluri: prin obiectele luate sau prin cele lăsate deoparte. Fiecare grup luat corespunde unui singur grup rămas, iar corespondența merge în ambele sensuri, deci cele două numărători dau același rezultat: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ . Cele două combinări se numesc complementare, fiindcă $k$ și $n - k$ se completează până la $n$ .

Folosul practic apare la calcule: când $k$ trece de jumătatea lui $n$ , lucrezi cu $n - k$ și scrii mai puțini factori. Astfel, a alege toate probele unui lot, în afară de două, înseamnă a alege cele două rămase. De aici vin și cazurile $C_{n}^{n - 1} = n$ și $C_{n}^{n - 2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ , utile în ecuațiile în care necunoscuta stă jos.

O ecuație $C_{n}^{a} = C_{n}^{b}$ are două familii de soluții: $a = b$ sau $a + b = n$ . Valorile unei linii cresc până la mijloc și apoi scad, deci alte posibilități nu există; fiecare valoare găsită se verifică apoi față de condițiile $0 \leq a, b \leq n$ . Când excluderile sunt precizate pe categorii, complementul se ia separat în fiecare categorie. Formula nu se aplică aranjamentelor, unde ordinea contează.

De reținut

$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ : ce iei corespunde exact cu ce lași
când $k > \frac{n}{2}$ , se calculează cu $n - k$
$C_{n}^{a} = C_{n}^{b}$ are soluțiile $a = b$ sau $a + b = n$

Greșeala tipică

Se crede că $C_{n}^{n - k}$ se obține scăzând $C_{n}^{k}$ din ceva; formula nu scade nimic, spune doar că cele două numere sunt egale, ca $C_{7}^{5} = C_{7}^{2} = 21$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care egalitate este formula combinărilor complementare?
- a) $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$
- b) $C_{n}^{k} = C_{n - k}^{k}$
- c) $A_{n}^{k} = A_{n}^{n - k}$
- d) $C_{n}^{k} = C_{n}^{k + 1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$

Alegerea celor $k$ elemente luate e totuna cu alegerea celor $n - k$ lăsate afară. La aranjamente egalitatea nu are loc, fiindcă ordinea contează.
Cât este $C_{80}^{78}$ ?
- a) $6320$
- b) $3160$
- c) $82160$
- d) $80$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3160$

$C_{80}^{78} = C_{80}^{2} = \frac{80 \cdot 79}{2} = 3160$ . Numărul $6320$ ar fi numărul perechilor ordonate.
Mulțimea soluțiilor naturale ale ecuației $C_{26}^{x} = C_{26}^{x + 4}$ este:
- a) ${11}$
- b) ${11, 15}$
- c) ${4}$
- d) mulțimea vidă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${11}$

Egalitatea $x = x + 4$ e imposibilă, iar $x + (x + 4) = 26$ dă $x = 11$ , cu $C_{26}^{11} = C_{26}^{15}$ .

Întrebări conexe

Câte echipe de $11$ jucători se pot forma din $13$ ?

Alegi cei $2$ jucători care nu intră, în loc de cei $11$ care intră: $C_{13}^{11} = C_{13}^{2} = \frac{13 \cdot 12}{2} = 78$ de echipe. Calculul direct ar cere $11$ factori la numărător și la numitor.

Cum rezolv ecuația $C_{20}^{x + 1} = C_{20}^{2 x - 2}$ ?

Ai două familii. Din $x + 1 = 2 x - 2$ rezultă $x = 3$ , cu $C_{20}^{4} = C_{20}^{4}$ . Din $(x + 1) + (2 x - 2) = 20$ rezultă $x = 7$ , cu $C_{20}^{8} = C_{20}^{12}$ . Ambele valori respectă $0 \leq x + 1 \leq 20$ și $0 \leq 2 x - 2 \leq 20$ , deci soluțiile sunt $3$ și $7$ .

Câți șoareci martor pot fi aleși dacă $22$ din $25$ primesc tratamentul?

Alegerea celor $22$ tratați fixează și grupul de $3$ martori, deci $C_{25}^{22} = C_{25}^{3} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{6} = 2300$ de feluri de a împărți lotul. Lucrezi cu $3$ factori în loc de $22$ .

Cum aflu $n$ din $C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} = 28$ ?

Treci la indicii complementari, care au mai puțini factori, și scrii fiecare termen ca expresie în $n$ : $C_{n}^{n - 1} = n$ și $C_{n}^{n - 2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ . Ecuația devine $\frac{n ( n + 1 )}{2} = 28$ , adică $n (n + 1) = 56 = 7 \cdot 8$ , deci $n = 7$ . Verificare: $C_{7}^{6} + C_{7}^{5} = 7 + 21 = 28$ , iar condiția $n \geq 2$ este îndeplinită.

În câte feluri aleg $4$ subiecte din $6$ la o lucrare?

Echivalent, alegi cele $2$ subiecte pe care le lași nerezolvate: $C_{6}^{4} = C_{6}^{2} = 15$ . Numărătoarea după ce rămâne afară e mai scurtă ori de câte ori se păstrează mai mult de jumătate.

Oamenii mai întreabă și: C de n luate câte k egal C de n luate câte n minus k · de ce C n k este egal cu C n n-k · formula combinărilor complementare explicată · combinări complementare demonstrație

De ce sunt egale combinările complementare?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Câte echipe de 11 jucători se pot forma din 13?

Cum rezolv ecuația C20x+1​=C202x−2​?

Câți șoareci martor pot fi aleși dacă 22 din 25 primesc tratamentul?

Cum aflu n din Cnn−1​+Cnn−2​=28?

În câte feluri aleg 4 subiecte din 6 la o lucrare?

Continuă cu

Câte echipe de $11$ jucători se pot forma din $13$ ?

Cum rezolv ecuația $C_{20}^{x + 1} = C_{20}^{2 x - 2}$ ?

Câți șoareci martor pot fi aleși dacă $22$ din $25$ primesc tratamentul?

Cum aflu $n$ din $C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} = 28$ ?

În câte feluri aleg $4$ subiecte din $6$ la o lucrare?