Combinări complementare (M2, științe ale naturii)

O rețea de radiotelescoape are $27$ de antene identice ca rol, iar într-o noapte de observații astronomul folosește $24$ dintre ele; celelalte trei intră în mentenanță. Câte echipe de antene poate forma? Dacă scrii direct $C_{27}^{24}$ și te apuci să simplifici un produs de douăzeci și patru de factori, pierzi o jumătate de oră. Dacă însă observi că fiecare echipă e hotărâtă complet de cele trei antene scoase, problema devine una de o linie. Lecția aceasta, din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), capitolul „Metode de numărare”, transformă această schimbare de privire într-o formulă și îți arată unde te ajută: la calcule, la ecuații și la citirea enunțurilor de laborator. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tema: formula combinărilor complementare este numită explicit printre proprietățile combinărilor.

Pornești de la combinări: definiție și formulă, unde ai învățat să numeri submulțimile cu $k$ elemente. Aici nu apare nicio unealtă nouă de numărare, ci o observație despre felul în care citești o alegere.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă că $C_n^k$ și $C_n^{n-k}$ sunt combinări complementare și de ce au aceeași valoare.
• Vei ști să explici egalitatea prin corespondența „ce iei ↔ ce lași” și să o verifici cu formula cu factoriale.
• Vei ști să alegi, înainte de calcul, scrierea cu mai puțini factori, ori de câte ori $k$ trece de jumătatea lui $n$.
• Vei ști să folosești cazurile $C_n^{n-1}=n$ și $C_n^{n-2}=C_n^2$ în ecuații cu necunoscuta în indicele de jos.
• Vei ști să rezolvi ecuații de forma $C_n^a=C_n^b$, cu ambele familii de soluții și cu verificarea condițiilor.
• Vei ști să recunoști în enunțurile din științe formulări ca „toate, în afară de” sau „se păstrează ca martor”.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să alegi ce rămâne afară?

O pereche de combinări complementare este formată din două combinări cu același număr $n$ de elemente, de forma $C_n^k$ și $C_n^{n-k}$, unde $0\le k\le n$: numerele $k$ și $n-k$ se completează unul pe altul până la $n$. Formula combinărilor complementare spune că

$$C_n^k=C_n^{n-k},0\le k\le n.$$

Ca să vezi de unde vine, ia opt gaze din depozitul unui laborator: heliu, neon, argon, kripton, xenon, azot, dioxid de carbon și metan. Pentru un experiment, laborantul pregătește un amestec din șase dintre ele. Ordinea în care le introduce nu contează, deci amestecul este o submulțime cu șase elemente. În loc să scrie amestecurile, laborantul poate scrie gazele care lipsesc din fiecare: perechea (azot, metan) lipsește din amestecul He–Ne–Ar–Kr–Xe–CO₂, perechea (heliu, neon) lipsește din amestecul Ar–Kr–Xe–N₂–CO₂–CH₄ și așa mai departe. Fiecare amestec are exact o pereche de gaze lipsă, iar fiecare pereche lipsă descrie exact un amestec. Cele două liste au, deci, același număr de rânduri, iar perechile unei mulțimi cu opt elemente se numără ușor: $C_8^2=28$. Prin urmare, amestecurile de șase gaze sunt tot $28$, fără să fi calculat vreun produs de șase factori.

2. De ce funcționează pentru orice $n$ și $k$?

Raționamentul cu gazele nu a folosit nimic special despre ele. Luăm o mulțime $M$ cu $n$ elemente și o submulțime oarecare $S$ a ei, cu $k$ elemente. Lui $S$ îi punem în corespondență mulțimea elementelor lui $M$ care nu sunt în $S$, adică complementara ei față de $M$, pe care ai întâlnit-o la operațiile cu mulțimi din clasa a IX-a. Complementara are $n-k$ elemente. Două submulțimi diferite au complementare diferite, iar complementara complementarei este chiar mulțimea de la care ai pornit. Așadar asocierea funcționează în ambele sensuri, element cu element, fără să lase ceva pe dinafară: fiecare submulțime cu $k$ elemente are o „pereche” unică printre cele cu $n-k$ elemente, și invers. Figura arată corespondența în cazul cel mai simplu, pe cele șase gaze nobile, când se lasă afară unul singur.

Aceeași concluzie se obține și fără cuvinte, doar din formula cu factoriale. Înlocuind $k$ cu $n-k$, numitorul devine $(n-k)!\cdot (n-(n-k))!=(n-k)!\cdot k!$, adică aceiași doi factori, scriși în altă ordine:

$$C_n^{n-k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=C_n^k.$$

Merită să ai ambele explicații: calculul te convinge că egalitatea e adevărată, corespondența îți spune de ce și te ajută să recunoști situația într-un enunț în care nu apare nicio formulă.

3. Când merită să treci la complementar?

Revino la rețeaua de radiotelescoape. A alege cele $24$ de antene care lucrează înseamnă a alege cele $3$ care nu lucrează, deci

$$C_{27}^{24}=C_{27}^3=\frac{27\cdot 26\cdot 25}{6}=9\cdot 13\cdot 25=2925.$$

Scrierea cu indicele de sus mic, $3$, a cerut trei factori la numărător și $3!$ la numitor; scrierea directă ar fi cerut douăzeci și patru de factori și $24!$. Regula practică: când $k$ este mai mare decât jumătate din $n$, lucrezi cu $n-k$. Când $k$ e deja sub jumătate, trecerea la complementar lungește calculul, deci o eviți. Pentru $k$ exact la jumătate (se poate doar când $n$ e par) cele două scrieri coincid.

Observă și ce înseamnă regula în laborator: întrebarea „pe cine păstrez?” și întrebarea „pe cine scot?” au același răspuns numeric, iar tu alegi întrebarea cu mai puține elemente.

Diferența de efort nu e doar de timp, ci și de siguranță. Un produs lung, chiar simplificat cu grijă, are multe locuri în care poate apărea o greșeală de calcul, iar o greșeală într-un singur factor strică tot rezultatul. Un produs de doi sau trei factori se verifică dintr-o privire. De aceea merită să-ți faci un obicei: înainte de a scrie primul factor, te uiți la cele două numere ale combinării și decizi care scriere e mai scurtă. Decizia durează o secundă și îți poate economisi un sfert de oră.

4. Ce spun cazurile de lângă capăt?

Pentru $k=1$ formula dă $C_n^{n-1}=C_n^1=n$: a alege toate elementele în afară de unul înseamnă a decide care e cel lăsat deoparte, iar pentru asta ai $n$ variante. Pentru $k=2$,

$$C_n^{n-2}=C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}.$$

Aceste două egalități sunt folositoare când necunoscuta stă în indicele de jos al unei combinări cu indicele de sus foarte mare. O ecuație de forma $C_n^{n-2}=c$ pare să ceară un produs de $n-2$ factori, deci o expresie pe care nu o poți scrie; după trecerea la complementar devine $\frac{n(n-1)}{2}=c$, adică $n(n-1)=2c$: cauți două numere naturale consecutive cu produsul $2c$, lângă rădăcina pătrată a lui $2c$. La final verifici condiția de existență a expresiei inițiale, $n\ge 2$.

5. Cum rezolv o ecuație de forma $C_n^a=C_n^b$?

Egalitatea a două combinări cu același $n$ se poate produce în două feluri: fie $a=b$, fie $a$ și $b$ sunt complementare, adică $a+b=n$. De ce nu există și alte posibilități? Compară două combinări vecine de pe aceeași „linie” (același $n$):

$$\frac{C_n^{k+1}}{C_n^k}=\frac{n-k}{k+1}.$$

Raportul este mai mare decât $1$ cât timp $k+1<n-k$, adică până la jumătatea lui $n$, și mai mic decât $1$ după aceea. Valorile $C_n^0,C_n^1,\dots ,C_n^n$ urcă strict până la mijloc și coboară strict după mijloc, în oglindă. O valoare se repetă, deci, numai în poziții simetrice față de mijloc, iar pozițiile simetrice au suma $n$.

Drumul, pe ecuația $C_{18}^x=C_{18}^{3x-2}$, cu $x$ natural: condițiile cer $x\le 18$ și $0\le 3x-2\le 18$, adică $1\le x\le 6$. Prima familie dă $x=3x-2$, deci $x=1$; a doua dă $x+3x-2=18$, deci $x=5$. Ambele valori respectă condițiile, deci mulțimea soluțiilor este $\{1,5\}$. Ordinea pașilor contează: întâi condițiile, apoi cele două familii, la final verificarea fiecărei valori.

6. Cum recunoști complementul într-un enunț?

Semnalul nu e un număr, ci o formulare: „toate, în afară de…”, „se păstrează ca martor”, „rămân în rezervă”, „se exclud”, „intră în mentenanță”. Când enunțul descrie grupul mare prin ce lipsește din el, alegerea se face, de fapt, asupra grupului mic. Atenție însă la un detaliu care apare des în științe: dacă elementele scoase sunt precizate pe categorii (două probe de sol și una de apă, nu „trei probe oarecare”), complementul se ia separat, în fiecare categorie, și rezultatele se înmulțesc. O singură combinare pe total ar număra și scoaterile nepermise.

Un exemplu fără calcule arată cum sună asta într-un protocol. „Dintre probele de sânge ale zilei, toate intră în analizor, cu excepția celor hemolizate” nu cere o alegere a probelor analizate, ci o constatare: probele hemolizate sunt deja cunoscute, deci nu există nimic de numărat. „Se trimit la analiză toate probele, cu excepția a două, alese de medic pentru o repetare ulterioară” cere, în schimb, o alegere, iar alegerea se face asupra celor două probe. Întrebarea de control este aceeași de fiecare dată: cine decide și ce anume se alege?

Un ultim avertisment: formula e a combinărilor. La aranjamente ordinea contează, iar $A_n^k$ și $A_n^{n-k}$ sunt, în general, numere foarte diferite, fiindcă un șir de $k$ elemente nu e determinat de elementele lăsate afară.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcule cu mai puțini factori

Calculați $C_{44}^{42}$, $C_{33}^{30}$ și $C_{35}^{32}$.

Rezolvare. În toate trei, indicele de sus trece de jumătatea indicelui de jos, deci lucrăm cu complementarul.

$$C_{44}^{42}=C_{44}^2=\frac{44\cdot 43}{2}=22\cdot 43=946.$$

$$C_{33}^{30}=C_{33}^3=\frac{33\cdot 32\cdot 31}{6}=11\cdot 16\cdot 31=5456.$$

$$C_{35}^{32}=C_{35}^3=\frac{35\cdot 34\cdot 33}{6}=35\cdot 17\cdot 11=6545.$$

Exemplul 2 — Găsește greșeala

Un laborator de mediu are $38$ de probe de sol și $9$ probe de apă. Le analizează pe toate, cu excepția a două probe de sol și a unei probe de apă, care se păstrează la frigider pentru o contraexpertiză. Un elev calculează numărul variantelor astfel: „se păstrează $3$ probe din $47$, deci $C_{47}^{44}=C_{47}^3=16215$”. Găsiți greșeala și corectați rezultatul.

Rezolvare. Elevul a luat complementul pe totalul amestecat. Numărul $C_{47}^3$ include și variantele în care se păstrează trei probe de sol sau două de apă, pe care enunțul nu le permite. Complementul se ia în fiecare categorie: la sol se aleg cele $2$ probe păstrate, $C_{38}^2$ variante (echivalent, cele $36$ analizate, $C_{38}^{36}$), iar la apă proba păstrată, $C_9^1$ variante. Alegerile sunt independente:

$$C_{38}^{36}\cdot C_9^8=C_{38}^2\cdot C_9^1=703\cdot 9=6327.$$

Rezultatul corect e mult mai mic decât $16215$, cum era de așteptat: am păstrat doar o parte dintre variantele numărate de elev.

Exemplul 3 — Broaștele marcate

Într-un studiu despre o populație de broaște de lac, un ecolog a marcat $46$ de exemplare. Pentru analize de laborator păstrează $2$ dintre ele, iar pe celelalte $44$ le eliberează în lac. În câte moduri poate alege grupul eliberat? Explicați de ce rezultatul coincide cu numărul modurilor de a alege exemplarele păstrate.

Rezolvare. Grupul eliberat este o submulțime cu $44$ de elemente a mulțimii celor $46$ de broaște, iar ordinea eliberării nu contează. Fiecare grup eliberat e determinat complet de perechea de broaște păstrate, și invers, deci

$$C_{46}^{44}=C_{46}^2=\frac{46\cdot 45}{2}=23\cdot 45=1035\text{ de moduri}.$$

Cele două întrebări descriu aceeași decizie a ecologului, privită din două părți: ce pleacă și ce rămâne. Modelul presupune că exemplarele sunt deosebite între ele (au marcaje diferite), altfel nu am avea ce număra. În studiile de teren, această presupunere e chiar motivul marcării: fiecare animal primește un semn propriu, ca să poată fi recunoscut la o nouă capturare, iar numărarea de mai sus se sprijină exact pe această individualizare.

Exemplul 4 — Două familii de soluții

Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuația $C_{17}^x=C_{17}^{2x-1}$.

Rezolvare. Condițiile de existență: $x\le 17$ și $0\le 2x-1\le 17$, deci $1\le x\le 9$.

Prima familie: $x=2x-1$, de unde $x=1$. Atunci ambii membri sunt $C_{17}^1$, egalitate evidentă.

A doua familie: $x+(2x-1)=17$, de unde $3x=18$ și $x=6$. Atunci ecuația devine $C_{17}^6=C_{17}^{11}$, adevărată, fiindcă $6+11=17$; valoarea comună este $12376$.

Ambele valori respectă condițiile, deci $x\in \{1,6\}$.

Exemplul 5 — Citește tabelul

Un program de planificare a analizelor afișează câte panouri de $k$ teste se pot alege dintr-o listă de $n$ teste. Pe ecran se văd valorile de mai jos. Completați, fără calcule noi, căsuțele marcate cu semnul întrebării.

Rezolvare. În fiecare rând, $k$ și numărul din coloana a patra au suma $n$: $4+41=45$, $3+51=54$, $5+28=33$. Deci $C_{45}^{41}=148995$, $C_{54}^{51}=24804$ și $C_{33}^{28}=237336$. Controlul rândului al doilea, cel mai scurt: $C_{54}^3=\frac{54\cdot 53\cdot 52}{6}=9\cdot 53\cdot 52=24804$, deci și valoarea afișată e corectă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Arătați că $C_{30}^{29}+C_{30}^1=60$. b) Aflați numărul natural $n$, $n\ge 2$, care verifică egalitatea $C_n^{n-2}=861$. c) Câte submulțimi cu $54$ de elemente are o mulțime cu $57$ de elemente?

Rezolvare. a) $C_{30}^{29}=C_{30}^1=30$, deci suma este $30+30=60$.

b) $C_n^{n-2}=C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$, deci $n(n-1)=1722$. Rădăcina pătrată a lui $1722$ este puțin peste $41$, iar $42\cdot 41=1722$. Deci $n=42$.

c) Numărul cerut este $C_{57}^{54}=C_{57}^3=\frac{57\cdot 56\cdot 55}{6}=19\cdot 28\cdot 55=29260$.

Exemplul reproduce forma cerințelor scurte de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat 2026, unde cerința de numărare a modelului publicat e formulată ca o probabilitate; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat, deci structura ei nu se poate anticipa.

Să exersăm

Înainte de fiecare calcul, compară $k$ cu jumătatea lui $n$ și scrie ce scriere alegi. La problemele cu context, spune în cuvinte ce anume rămâne afară.

1. Calculează $C_{54}^{52}$ și $C_{36}^{33}$.

2. Scrie $C_{29}^{25}$ ca o combinare cu indicele de sus mai mic, apoi calculează-o.

3. Câte submulțimi cu $7$ elemente ale mulțimii $\{1,2,3,\dots ,10\}$ nu conțin niciunul dintre numerele $1$ și $2$? Rezolvă o dată direct și o dată prin partea lăsată afară: ce condiție trebuie să îndeplinească ea?

4. Calculează $C_{25}^{21}$, simplificând înainte de înmulțire.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice număr natural $n\ge 4$, are loc inegalitatea $C_n^3<C_n^{n-2}$.”

6. Determină numărul natural $n\ge 2$ pentru care $C_n^{n-2}=3\cdot C_n^{n-1}$.

7. Pentru fiecare dintre combinările $C_{64}^{61}$, $C_{41}^{21}$, $C_{41}^{20}$, $C_{40}^{20}$ și $C_{50}^{27}$, decide dacă trecerea la combinarea complementară scurtează calculul și scrie forma pe care o alegi. Nu calcula valorile.

8. Rezolvă în $\mathbb{N}$ ecuația $C_{20}^{x+2}=C_{20}^{2x-5}$ și explică de ce o familie de soluții nu dă nimic.

9. (Problemă aplicată.) Într-un experiment de protecție a plantelor se folosesc $40$ de loturi de semințe de mazăre. Pe $37$ dintre ele se aplică un fungicid, iar celelalte $3$ rămân netratate, ca martor. În câte moduri se pot alege loturile tratate?

10. Scrie fiecare combinare de mai jos cu indicele de sus cât mai mic, apoi ca expresie în $n$: $C_n^{n-3}$ (pentru $n\ge 3$), $C_{n+2}^n$ și $C_{2n}^{2n-2}$ (pentru $n\ge 1$).

11. Rezolvă în $\mathbb{N}$ ecuația $C_{15}^x=C_{15}^{x+3}$.

12. Pentru câte valori ale lui $k$, $0\le k\le 22$, are loc inegalitatea $C_{22}^k<C_{22}^{18}$? Justifică fără să calculezi combinările.

13. Un laborator de microbiologie are $41$ de tulpini de drojdie și $6$ tulpini de mucegai. Se pun la incubat toate, cu excepția a $3$ tulpini de drojdie și a $2$ tulpini de mucegai. În câte moduri se poate face alegerea tulpinilor incubate?

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Arătați că $C_{53}^{51}=26\cdot C_{53}^{52}$. b) Determinați numărul natural $n$, $n\ge 11$, pentru care $C_n^4=C_n^{11}$. c) Un laborator are $13$ probe de frunze și $9$ probe de rădăcini. Se analizează $19$ dintre ele, iar celelalte $3$ se păstrează. Determinați în câte moduri se pot alege probele analizate, dacă printre probele păstrate trebuie să fie cel puțin o probă de frunze.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Arătați că $C_{38}^{35}=8436$. b) Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuația $C_{16}^{x+2}=C_{16}^{2x-1}$. c) Câte submulțimi cu cel puțin $60$ de elemente are o mulțime cu $62$ de elemente?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Arătați că $C_{2n}^{n+1}=C_{2n}^{n-1}$, pentru orice număr natural $n\ge 1$. b) Determinați numărul natural $n$, $n\ge 2$, pentru care $C_n^{n-2}=n+665$. c) O colecție are $35$ de specii de fluturi. Determinați în câte moduri se pot alege speciile fotografiate, dacă se fotografiază toate, în afară de una.

17. Câte submulțimi cu $69$ de elemente ale mulțimii $\{1,2,3,\dots ,71\}$ conțin numărul $12$?

18. (Provocare.) Fără să-l calculezi, arată că numărul $C_{12}^6$ este par. Folosește perechile formate dintr-o submulțime și complementara ei, apoi verifică prin calcul.

Răspunsuri și explicații

1. $C_{54}^{52}=C_{54}^2=\frac{54\cdot 53}{2}=27\cdot 53=1431$; $C_{36}^{33}=C_{36}^3=\frac{36\cdot 35\cdot 34}{6}=6\cdot 35\cdot 34=7140$.

2. Cum $25+4=29$, $C_{29}^{25}=C_{29}^4=\frac{29\cdot 28\cdot 27\cdot 26}{24}=29\cdot 7\cdot 9\cdot 13=23751$, după ce $24$ de la numitor se simplifică: $4$ cu $28$, iar $6$ cu $27$ și $26$.

3. Direct: cele $7$ elemente se aleg dintre numerele $3,4,\dots ,10$, adică dintre $8$ numere; a alege $7$ dintre ele înseamnă a-l alege pe cel lăsat deoparte, deci sunt $8$ submulțimi. Prin partea lăsată afară: o submulțime cu $7$ elemente lasă afară $3$ numere, iar ca $1$ și $2$ să lipsească, ele trebuie să fie printre cele $3$; al treilea număr lăsat afară se alege dintre celelalte $8$, deci tot $8$ variante. Condiția „nu conține” devine, pentru partea lăsată afară, „conține”.

4. $C_{25}^{21}=C_{25}^4=\frac{25\cdot 24\cdot 23\cdot 22}{24}=25\cdot 23\cdot 22=12650$.

5. Fals. Membrul drept este $C_n^{n-2}=C_n^2$, iar $\frac{C_n^3}{C_n^2}=\frac{n-2}{3}$. Pentru $n=4$ inegalitatea e adevărată ($4<6$), dar pentru $n=5$ avem $C_5^3=10$ și $C_5^2=10$, deci nu mai are loc „mai mic strict”; pentru $n\ge 6$ se inversează, de exemplu $C_6^3=20>15=C_6^2$. Un singur contraexemplu, $n=5$, ajunge ca afirmația să fie falsă.

6. Prin complementare, $C_n^{n-2}=C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$ și $C_n^{n-1}=C_n^1=n$. Ecuația devine $\frac{n(n-1)}{2}=3n$; cum $n\ne 0$, împărțim la $n$: $n-1=6$, deci $n=7$. Verificare: $C_7^5=21=3\cdot 7=3\cdot C_7^6$.

7. $C_{64}^{61}$ devine $C_{64}^3$: $61$ trece mult de jumătatea lui $64$. $C_{41}^{21}$ devine $C_{41}^{20}$: jumătatea lui $41$ este $20,5$, iar $21$ o depășește, deci câștigi un factor. $C_{41}^{20}$ rămâne așa, fiindcă $20<20,5$, iar complementara ei ar avea un factor în plus. $C_{40}^{20}$ rămâne așa: $20$ este exact jumătate din $40$, iar complementara este aceeași combinare. $C_{50}^{27}$ devine $C_{50}^{23}$.

8. Condițiile: $x+2\le 20$ și $0\le 2x-5\le 20$, deci $3\le x\le 12$. Prima familie: $x+2=2x-5$, deci $x=7$, valoare acceptată (ambii membri sunt $C_{20}^9$). A doua familie: $(x+2)+(2x-5)=20$, adică $3x=23$, fără soluție naturală. Singura soluție este $x=7$.

9. Loturile tratate sunt determinate de cele $3$ loturi martor, deci $C_{40}^{37}=C_{40}^3=\frac{40\cdot 39\cdot 38}{6}=20\cdot 13\cdot 38=9880$ de moduri.

10. $C_n^{n-3}=C_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$, fiindcă $3+(n-3)=n$. Apoi $C_{n+2}^n=C_{n+2}^2=\frac{(n+2)(n+1)}{2}$, fiindcă $2+n=n+2$. În sfârșit, $C_{2n}^{2n-2}=C_{2n}^2=\frac{2n(2n-1)}{2}=n(2n-1)$. În toate trei, indicele de sus nou e diferența dintre cele două numere ale combinării.

11. Condițiile: $0\le x$ și $x+3\le 15$, deci $x\le 12$. Prima familie, $x=x+3$, nu are soluție. A doua: $x+(x+3)=15$, deci $x=6$, acceptat. Soluția: $x=6$, cu $C_{15}^6=C_{15}^9$.

12. $C_{22}^{18}=C_{22}^4$. Pe linia lui $22$ valorile cresc strict până la mijloc ($k=11$) și apoi scad în oglindă, deci $C_{22}^k<C_{22}^4$ exact pentru $k\in \{0,1,2,3\}$ și pentru pozițiile simetrice lor, $k\in \{19,20,21,22\}$. Sunt $8$ valori.

13. Complementul se ia în fiecare categorie: $C_{41}^{38}\cdot C_6^4=C_{41}^3\cdot C_6^2=10660\cdot 15=159900$ de moduri, cu $C_{41}^3=\frac{41\cdot 40\cdot 39}{6}=41\cdot 20\cdot 13=10660$.

14. a) $C_{53}^{51}=C_{53}^2=\frac{53\cdot 52}{2}=1378$ și $C_{53}^{52}=C_{53}^1=53$, iar $26\cdot 53=1378$. b) Cum $4\ne 11$, egalitatea are loc numai dacă indicii sunt complementari: $4+11=n$, deci $n=15$. c) Alegerea probelor analizate e determinată de cele $3$ probe păstrate. Toate grupele de $3$ probe păstrate sunt $C_{22}^3=\frac{22\cdot 21\cdot 20}{6}=1540$, iar dintre ele $C_9^3=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{6}=84$ conțin numai probe de rădăcini. Rămân $1540-84=1456$ de moduri. Aici lucrează ambele feluri de complement: probele analizate prin cele păstrate și condiția „cel puțin una” prin contrariul ei.

15. a) $C_{38}^{35}=C_{38}^3=\frac{38\cdot 37\cdot 36}{6}=38\cdot 37\cdot 6=8436$. b) Condițiile: $x+2\le 16$ și $0\le 2x-1\le 16$, deci $1\le x\le 8$. Prima familie: $x+2=2x-1$, deci $x=3$ (ambii membri $C_{16}^5$). A doua: $(x+2)+(2x-1)=16$, deci $3x=15$ și $x=5$ (ecuația devine $C_{16}^7=C_{16}^9$). Soluțiile: $x\in \{3,5\}$. c) „Cel puțin $60$” înseamnă $60$, $61$ sau $62$ de elemente: $C_{62}^{60}+C_{62}^{61}+C_{62}^{62}=C_{62}^2+C_{62}^1+1=1891+62+1=1954$.

16. a) Indicii $n+1$ și $n-1$ au suma $2n$, deci sunt complementari: a alege $n+1$ elemente dintr-o mulțime cu $2n$ elemente înseamnă a alege cele $n-1$ elemente lăsate afară. b) $\frac{n(n-1)}{2}=n+665$, deci $n(n-1)-2n=1330$, adică $n(n-3)=1330$. Căutăm două numere cu diferența $3$ și produsul $1330$, lângă rădăcina pătrată a lui $1330$ (aproximativ $36,5$): $38\cdot 35=1330$. Deci $n=38$. Verificare: $C_{38}^{36}=C_{38}^2=703=38+665$. c) $C_{35}^{34}=C_{35}^1=35$ de moduri: alegerea e determinată de specia nefotografiată.

17. O astfel de submulțime îl conține pe $12$ și lasă afară exact două dintre celelalte $70$ de numere. Numărul lor este $C_{70}^{68}=C_{70}^2=\frac{70\cdot 69}{2}=2415$.

18. O submulțime cu $6$ elemente a unei mulțimi cu $12$ elemente are complementara tot cu $6$ elemente, și niciodată egală cu ea însăși (ar trebui ca un element să fie simultan în ea și în afara ei). Submulțimile cu $6$ elemente se împart, deci, în perechi disjuncte de forma (submulțime, complementara ei), iar numărul lor e de două ori numărul perechilor, adică par. Verificare: $C_{12}^6=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{720}=924$, iar $924=2\cdot 462$, adică $462$ de perechi.

De reținut

• $C_n^k$ și $C_n^{n-k}$ se numesc combinări complementare și sunt egale: a alege ce intră înseamnă a alege ce rămâne afară.
• Înainte de calcul compari $k$ cu jumătatea lui $n$ și lucrezi cu numărul mai mic dintre $k$ și $n-k$.
• $C_n^{n-1}=n$ și $C_n^{n-2}=\frac{n(n-1)}{2}$ transformă ecuațiile în care indicele de sus este $n-1$ sau $n-2$ în ecuații cu produse de numere consecutive.
• La $C_n^a=C_n^b$ scrii condițiile, apoi ambele familii, $a=b$ și $a+b=n$, și verifici fiecare valoare găsită.
• Complementul se ia în fiecare categorie separat, iar formula nu se aplică aranjamentelor.

Greșeli frecvente

• Aplicarea formulei la aranjamente. „$A_{10}^8=A_{10}^2$” pare aceeași idee, dar e fals: $A_{10}^2=90$, iar $A_{10}^8=1814400$. Un șir ordonat de opt elemente nu e determinat de cele două elemente lăsate afară, pentru că mai trebuie spusă și ordinea.
• Confuzia cu numărarea prin complementară. În lecțiile despre regula sumei ai scăzut din total cazurile nedorite. Unii elevi scriu, din reflex, „$C_n^{n-k}=C_n^n-C_n^k$”. Formula complementară nu scade nimic: spune doar că două numere sunt egale.
• Paranteza uitată în $n-k$. La $C_{17}^{2x-1}$, complementarul indicelui este $17-(2x-1)=18-2x$, nu $17-2x-1$. Cine uită paranteza obține o a doua familie greșită.
• Respingerea lui $x=0$. Dacă o familie dă $x=0$ și condițiile îl permit, $C_n^0=1$ are sens: e alegerea în care nu iei nimic. Soluția nu se șterge doar pentru că „nu alegi niciun element”.
• Credința că $C_n^k$ crește mereu cu $k$. Valorile cresc numai până la jumătatea lui $n$. Cine compară $C_{26}^{20}$ cu $C_{26}^9$ doar după indicele de jos ajunge la concluzia greșită.

Aplică acasă

1. Tasta nCr. Pe un calculator științific (sau în aplicația telefonului, în modul științific) calculează perechi ca $C(20,3)$ și $C(20,17)$, $C(15,4)$ și $C(15,11)$. Notează valorile și numărul de apăsări de taste pentru fiecare. Formulează în două rânduri regula pe care ai observat-o.
2. Jurnalul de laborator. Caută în manualul de biologie sau de chimie trei protocoale care descriu un grup prin „toate, în afară de…” (probe, plante, reactivi). Rescrie fiecare protocol ca alegere a grupului mic și notează câte variante are alegerea sau de ce nu există nicio alegere de făcut.
3. Raftul pentru vacanță. Ia cinci cărți diferite. Numără în câte moduri poți alege trei pentru vacanță și verifică pe listă că sunt tot atâtea câte perechi de cărți rămân pe raft. Apoi așază cele trei cărți alese în ordinea în care le vei citi și numără din nou: de ce acum nu mai obții același număr ca pentru perechile rămase, puse și ele în ordine?

Pentru părinți și profesori

Lecția nu introduce o schemă nouă de numărare, ci o schimbare de perspectivă: aceeași decizie poate fi descrisă prin elementele alese sau prin cele lăsate deoparte. Pentru elevii de la științe ale naturii, perspectiva are un corespondent concret în protocoalele de laborator (loturi martor, probe păstrate pentru contraexpertiză, echipamente în mentenanță), iar lecția folosește intenționat astfel de situații. Formula $C_n^k=C_n^{n-k}$ este explicată prin corespondența „ce iei ↔ ce lași”, iar calculul cu factoriale apare ca verificare.

O observație practică: calculatoarele științifice și foile de calcul au o funcție pentru numărul combinărilor, așa că elevul poate verifica rapid orice rezultat. Tocmai de aceea accentul lecției nu cade pe valoarea numerică, ci pe alegerea scrierii și pe citirea enunțului. Un elev care folosește funcția de pe calculator fără să înțeleagă corespondența nu va recunoaște situația într-un enunț fără formule, iar un elev care înțelege corespondența își poate verifica singur calculul pe două căi.

Ce merită urmărit în caiet: dacă elevul compară $k$ cu jumătatea lui $n$ înainte de a calcula; dacă, la ecuațiile $C_n^a=C_n^b$, scrie condițiile și ambele familii; dacă, la excluderile pe categorii, ia complementul în fiecare categorie. Întrebări bune de control: „Ce rămâne afară în această alegere?”, „Care scriere are mai puțini factori?”, „De ce nu merge la fel la aranjamente?”. Semn că a înțeles: spune, pentru un enunț de laborator, ce anume rămâne afară înainte să scrie primul factor.

Două puncte de legătură cu restul unității. Primul: termenul „complementar” mai apare, cu alt sens, la numărarea prin complementară din regula sumei; merită spus explicit că acolo se scade din total, aici se compară două numere. Al doilea: simetria valorilor $C_n^0,\dots ,C_n^n$ devine vizibilă în triunghiul lui Pascal, după ce lecția despre formula de recurență a combinărilor arată cum se construiesc valorile prin adunări. Testul de metode de numărare verifică împreună combinările și proprietățile lor. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: combinări complementare.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Metode de numărare” de clasa a X-a, unde programa scrie „combinări complementare”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) numește explicit, la proprietățile combinărilor, formula combinărilor complementare. În modelul oficial publicat pentru 2026, numărarea apare la Subiectul I într-o cerință de probabilitate; o cerință formulată direct cu combinări complementare nu există în acel model. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Ce diferă între combinările complementare la M2 și la mate-info (M1)? Formula este aceeași. La științe ale naturii lecția pornește de la situații de laborator în care se aleg elementele lăsate deoparte (loturi martor, probe păstrate, echipamente în mentenanță), insistă pe complementul luat pe categorii și pe diferența față de aranjamente, iar calculul cu factoriale apare doar ca verificare a corespondenței.

La ce subiect apar combinările complementare la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 numește formula combinărilor complementare la capitolul „Metode de numărare”, fără să împartă temele pe subiecte. În modelul oficial 2026, cerința de numărare a Subiectului I este o probabilitate, nu o ecuație cu combinări. Pentru MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Se aplică formula și la aranjamente? Nu. La aranjamente contează ordinea, iar elementele lăsate afară nu spun nimic despre ordinea celor alese. De exemplu, $A_7^1=7$, dar $A_7^6=5040$. Corespondența „ce iei ↔ ce lași” funcționează numai pentru alegeri fără ordine, adică pentru submulțimi. Când enunțul cere și o ordine (locuri, roluri, ore), numeri întâi grupul, apoi felurile în care îl ordonezi.

Ce legătură are cu complementara unei mulțimi din clasa a IX-a? Este chiar aceeași noțiune. Complementara unei submulțimi $S$ față de $M$ conține elementele lui $M$ care nu sunt în $S$. Dacă $S$ are $k$ elemente, complementara are $n-k$, iar complementara complementarei este $S$. De aici vine corespondența care dovedește formula.

Ce se întâmplă când $k$ este exact jumătate din $n$? Atunci $k=n-k$, iar formula nu mai dă o egalitate nouă: $C_{2m}^m$ este combinarea din mijlocul liniei și nu are pe acea linie o pereche egală pe altă poziție. Tot ea este cea mai mare valoare a liniei. La calcul nu câștigi nimic trecând la complementar, așa că scrii direct produsul celor $m$ factori.

Cum recunosc într-un enunț că e mai simplu să număr ce rămâne? Caută formulări ca „toate, în afară de”, „se păstrează”, „rămân ca martor”, „se exclud”. Dacă grupul descris prin ce lipsește e mare, iar grupul lăsat afară e mic, alegi grupul mic. Verifică însă dacă excluderile sunt pe categorii: atunci complementul se ia în fiecare categorie.