Combinări complementare: pe scurt

Formula combinărilor complementare: $C_n^k=C_n^{n-k}$, pentru orice $0\le k\le n$. Explicația în cuvinte: a alege $k$ elemente dintr-o mulțime cu $n$ elemente înseamnă, simultan, a alege cele $n-k$ elemente care rămân afară — o singură alegere, citită în două feluri. Se demonstrează fie prin calcul cu factoriale (numitorii $k!(n-k)!$ și $(n-k)!k!$ sunt identici), fie prin corespondența $S\mapsto M\setminus S$ dintre o submulțime și complementara ei.

Utilitate practică: dacă $k>\frac{n}{2}$, calculezi $C_n^{n-k}$ în loc de $C_n^k$ — astfel $C_{100}^{98}$ devine $C_{100}^2=4950$, dintr-o singură socoteală, în loc de un produs cu $98$ de factori.

Cea mai costisitoare greșeală apare la ecuațiile $C_n^a=C_n^b$: egalitatea are două familii de soluții, $a=b$ sau $a+b=n$ — nu doar prima. Ambele trebuie scrise și verificate față de condițiile $0\le a,b\le n$. Formula explică și de ce, pe fiecare linie a triunghiului lui Pascal, valorile cresc spre mijloc și scad simetric spre capete.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $C_{60}^{58}$.

   • a) $1770$
   • b) $3540$
   • c) $60$
   • d) $1830$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $1770$

   $C_{60}^{58}=C_{60}^2=\frac{60\cdot 59}{2}=1770$ — mult mai rapid decât calculul direct cu $58$ de factori.

2. Determinați $n\in \mathbb{N}$ pentru care $C_n^{n-1}=15$.

   • a) $n=14$
   • b) $n=15$
   • c) $n=16$
   • d) $n=105$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $n=15$

   Prin combinări complementare, $C_n^{n-1}=C_n^1=n$. Ecuația devine $n=15$.

3. Rezolvați ecuația $C_{14}^x=C_{14}^6$, cu $x\in \mathbb{N}$, $0\le x\le 14$.

   • a) $x\in \{6,14\}$
   • b) $x=6$ (unica soluție)
   • c) $x\in \{6,8\}$
   • d) $x=8$ (unica soluție)
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $x\in \{6,8\}$

   Egalitatea are două familii de soluții: $x=6$ sau $x+6=14\Rightarrow x=8$. Ambele respectă $0\le x\le 14$, deci $x\in \{6,8\}$.