Ce numără $$C_n^k$$?

submulțimile cu $$k$$ elemente ale unei mulțimi cu $$n$$ elemente

șirurile ordonate de $$k$$ elemente distincte

ordonările celor $$n$$ elemente

șirurile de lungime $$k$$ cu repetiție

De ce se împarte la k factorial la combinări?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Combinări

Pentru că fiecare grupă de $k$ obiecte apare de $k!$ ori printre alegerile ordonate. Numărând întâi cu ordine obții $A_{n}^{k}$ șiruri, iar șirurile formate din aceleași obiecte reprezintă aceeași grupă. Exemplu: $3$ plante alese din $7$ pentru un experiment dau $A_{7}^{3} = 210$ de șiruri, iar fiecare grup de $3$ plante apare în $3! = 6$ ordini, deci $C_{7}^{3} = \frac{210}{6} = 35$ de grupe.

Combinările numără grupele: iei $k$ obiecte diferite dintr-o colecție de $n$ , iar ordinea în care le-ai luat nu mai contează. Două grupe cu aceleași obiecte sunt una și aceeași grupă, așa că $C_{n}^{k}$ înseamnă, de fapt, numărul submulțimilor cu $k$ obiecte.

Formula apare dintr-o numărătoare făcută de două ori. Alegerile cu ordine, adică $A_{n}^{k}$ , se pot obține hotărând mai întâi grupa și abia apoi ordinea obiectelor din ea, care se pot înșira în $k!$ feluri. Așadar $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$ , iar $C_{n}^{k} = \frac{A _{n}^{k}}{k !} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ . Practic, scrii $k$ factori pornind de la $n$ în jos, împarți la $k!$ și simplifici înainte să înmulțești.

Valorile de margine sunt $C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ și $C_{n}^{1} = n$ . Perechile fără ordine se numără cu $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ de fiecare dată când legătura dintre două obiecte merge în ambele sensuri: interacțiuni, încrucișări, partide. Dacă alegerea se face din mai multe categorii, se înmulțesc combinările fiecărei categorii, cu factorialul propriu. O ecuație ca $C_{n}^{2} = a$ devine $n (n - 1) = 2 a$ , rezolvată prin două numere consecutive.

De reținut

$C_{n}^{k} = \frac{A _{n}^{k}}{k !} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$
fiecare grupă de $k$ obiecte apare de $k!$ ori printre alegerile ordonate
$C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ numără perechile fără ordine

Greșeala tipică

Se împarte la $(n - k)!$ în loc de $k!$ ; numitorul numără ordinile obiectelor alese, deci pentru $3$ din $7$ se împarte la $3! = 6$ și se obțin $35$ de grupe.

Exerciții din această mini-lecție

Ce numără $C_{n}^{k}$ ?
- a) șirurile ordonate de $k$ elemente distincte
- b) ordonările celor $n$ elemente
- c) submulțimile cu $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente
- d) șirurile de lungime $k$ cu repetiție
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) submulțimile cu $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente

Combinările sunt submulțimi: ordinea nu contează. Șirurile ordonate sunt aranjamente.
Cât este $C_{16}^{4}$ ?
- a) $43680$
- b) $1820$
- c) $7280$
- d) $910$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $1820$

$C_{16}^{4} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{24} = 1820$ . Numărul $43680$ este $A_{16}^{4}$ , înainte de împărțirea la $4!$ .
Relația corectă dintre aranjamente și combinări este:
- a) $A_{n}^{k} = (n - k)! \cdot C_{n}^{k}$
- b) $C_{n}^{k} = k! \cdot A_{n}^{k}$
- c) $A_{n}^{k} = n! \cdot C_{n}^{k}$
- d) $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$

Fiecare submulțime cu $k$ elemente se ordonează în $k!$ feluri, deci aranjamentele sunt de $k!$ ori mai multe decât combinările.

Întrebări conexe

Câte diagonale are un poligon convex cu $10$ laturi?

Oricare două vârfuri determină un segment, iar ordinea în care le numești nu schimbă segmentul, deci numeri perechi fără ordine: $C_{10}^{2} = 45$ de segmente. Dintre ele, $10$ sunt laturi, deci diagonalele, adică segmentele care unesc vârfuri nevecine, sunt $45 - 10 = 35$ .

Câte triunghiuri determină $9$ puncte, dacă oricare trei sunt necoliniare?

Un triunghi e determinat de mulțimea celor trei vârfuri, fără ordine, iar orice trei puncte necoliniare formează un triunghi. Rezultă $C_{9}^{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} = 84$ de triunghiuri. Dacă trei dintre puncte ar fi coliniare, s-ar scădea un triunghi.

Câte mâini de $5$ cărți se pot primi dintr-un pachet de $52$ ?

Ordinea în care primești cărțile nu schimbă mâna, deci numeri combinări: $C_{52}^{5} = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48}{120} = 2598960$ . Dacă ar conta ordinea în care sosesc cărțile, rezultatul ar fi de $5! = 120$ de ori mai mare.

Care este probabilitatea de a ghici toate numerele la loto $6$ din $49$ ?

Variantele posibile sunt submulțimile cu $6$ elemente ale lui ${1, \dots, 49}$ : $C_{49}^{6} = 13983816$ . Doar una este cea extrasă, deci probabilitatea este $\frac{1}{13 983 816}$ , sub o șansă la $13$ milioane.

Cum rezolv ecuația $C_{n}^{3} = 56$ ?

Combinările de câte $3$ cer $n \geq 3$ . Din $\frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6} = 56$ obții $n (n - 1) (n - 2) = 336$ , iar trei numere consecutive cu produsul $336$ sunt $8$ , $7$ , $6$ . Cel mai mare dintre ele este $n$ , deci $n = 8$ ; verificare: $C_{8}^{3} = \frac{336}{6} = 56$ .

Oamenii mai întreabă și: de ce împărțim la k! la combinări · legătura dintre aranjamente și combinări · combinări egal aranjamente supra k factorial · de ce C de n luate câte k are k! la numitor

De ce se împarte la k factorial la combinări?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Câte diagonale are un poligon convex cu 10 laturi?

Câte triunghiuri determină 9 puncte, dacă oricare trei sunt necoliniare?

Câte mâini de 5 cărți se pot primi dintr-un pachet de 52?

Care este probabilitatea de a ghici toate numerele la loto 6 din 49?

Cum rezolv ecuația Cn3​=56?

Continuă cu

Câte diagonale are un poligon convex cu $10$ laturi?

Câte triunghiuri determină $9$ puncte, dacă oricare trei sunt necoliniare?

Câte mâini de $5$ cărți se pot primi dintr-un pachet de $52$ ?

Care este probabilitatea de a ghici toate numerele la loto $6$ din $49$ ?

Cum rezolv ecuația $C_{n}^{3} = 56$ ?