Combinări: definiție și formulă: pe scurt

O combinare de $n$ elemente luate câte $k$ este o submulțime cu $k$ elemente a unei mulțimi cu $n$ elemente: ordinea nu contează, elementele nu se repetă. Numărul lor, $C_n^k$, se deduce din aranjamente: fiecare submulțime cu $k$ elemente poate fi ordonată în $k!$ moduri, deci $A_n^k=C_n^k\cdot k!$, de unde $$C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$ Practic, la numărător pui $k$ factori descrescători începând cu $n$, la numitor $k!$, și simplifici înainte de a înmulți. În lecțiile și testele de pe MatePolis se folosește peste tot notația românească $C_n^k$.

Cazuri particulare: $C_n^0=C_n^n=1$, $C_n^1=C_n^{n-1}=n$, $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$ — formulă des întâlnită la strângeri de mână, meciuri, drepte determinate de puncte.

Testul decisiv pentru a alege între aranjamente și combinări: dacă schimbând între ele două elemente alese obții aceeași situație (o echipă, o comisie, o submulțime), folosești combinări; dacă obții alta, aranjamente.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $C_7^3$.

   • a) $35$
   • b) $210$
   • c) $21$
   • d) $105$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $35$

   $C_7^3=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{1\cdot 2\cdot 3}=\frac{210}{6}=35$.

2. Într-un grup de $15$ persoane, fiecare dă mâna cu fiecare exact o dată. Câte strângeri de mână au loc?

   • a) $210$
   • b) $105$
   • c) $15$
   • d) $225$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $105$

   O strângere de mână e o pereche neordonată: $C_{15}^2=\frac{15\cdot 14}{2}=105$.

3. Câte diagonale are un decagon convex (poligon cu $10$ laturi)?

   • a) $25$
   • b) $45$
   • c) $35$
   • d) $90$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $35$

   Toate segmentele determinate de cele $10$ vârfuri sunt $C_{10}^2=45$; dintre ele, $10$ sunt laturi. Diagonale: $45-10=35$.