Combinări: definiție și formulă (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un aliaj binar e făcut din două metale, iar ce contează este care două: alama e cupru cu zinc, bronzul e cupru cu staniu, iar „zinc cu cupru” e tot alamă. Dacă un laborator de chimie are patru metale și vrea să încerce toate aliajele binare posibile, întrebarea nu mai e „în ce ordine le iau”, ci doar „ce pereche aleg”. Aici se rupe firul cu lecțiile de până acum: la aranjamente, schimbul a două elemente dădea o situație nouă; la combinări, nu mai dă nimic nou. Lecția face parte din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), capitolul „Metode de numărare”, și îți arată de unde vine formula combinărilor și cum o folosești în contexte de laborator. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tema: combinările sunt trecute explicit la capitolul de metode de numărare.

Vii din problemele rezolvate cu aranjamente, unde fiecare poziție avea rolul ei. Formula combinărilor se va sprijini pe cea a aranjamentelor: numeri întâi ca și cum ordinea ar conta, apoi corectezi.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști o combinare: o alegere de $k$ elemente distincte în care schimbul a două elemente alese nu schimbă nimic.
Vei ști să explici relația $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$ prin numărare dublă și să deduci din ea formula combinărilor.
Vei ști să calculezi $C_{n}^{k}$ ca produs de $k$ factori împărțit la $k!$ , simplificând înainte de a înmulți.
Vei ști să numeri perechile unei mulțimi cu $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ și să recunoști situațiile care cer perechi.
Vei ști să numeri alegeri pe categorii, înmulțind combinările fiecărei categorii.
Vei ști să rezolvi ecuații de tipul $C_{n}^{2} = a$ și $C_{n}^{3} = b$ prin produse de numere consecutive.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o combinare?

O combinare de $n$ elemente luate câte $k$ este o alegere fără ordine a $k$ elemente distincte dintr-o mulțime care are $n$ elemente — altfel spus, o submulțime formată din $k$ dintre ele (aici $n$ și $k$ sunt numere naturale, cu $0 \leq k \leq n$ ). Numărul tuturor acestor submulțimi se notează $C_{n}^{k}$ și se citește „combinări de $n$ luate câte $k$ ”. Programa de examen din 2014 o descrie exact așa: numărul submulțimilor cu câte $k$ elemente ale unei mulțimi finite cu $n$ elemente.

Cuvântul decisiv este submulțime. Într-o mulțime elementele nu au loc și nu se repetă: ${Cu, Zn}$ și ${Zn, Cu}$ sunt aceeași mulțime, scrisă în două feluri. Cu metalele cupru, zinc, staniu și nichel, aliajele binare sunt

${Cu, Zn}, {Cu, Sn}, {Cu, Ni}, {Zn, Sn}, {Zn, Ni}, {Sn, Ni},$

adică $6$ — primele trei sunt alama, bronzul și cupronichelul. Proporțiile în care se amestecă metalele schimbă proprietățile aliajului, dar nu și perechea de metale; aici numărăm doar perechile, nu rețetele. Dacă ai fi numărat perechi ordonate, ai fi obținut $A_{4}^{2} = 12$ : fiecare aliaj ar fi apărut de două ori, o dată pentru fiecare ordine a celor două metale. Așadar $C_{4}^{2} = 6$ , exact jumătate din $12$ .

2. De ce se împarte la $k!$ ?

Jumătatea de mai sus nu e o întâmplare. Într-o seră sunt $15$ plante de aceeași specie, iar pentru un experiment de fotosinteză se aleg trei, puse toate sub aceeași lampă; nu contează ordinea în care au fost alese. Câte grupe de trei plante se pot forma?

Numărăm întâi alegerile ordonate, ca și cum am eticheta plantele „prima”, „a doua”, „a treia”: $A_{15}^{3} = 15 \cdot 14 \cdot 13 = 2730$ . Apoi ne întrebăm de câte ori a fost numărată aceeași grupă. O grupă de trei plante — să le zicem P, Q și R — apare în lista ordonată o dată pentru fiecare ordine a celor trei, adică de $3! = 6$ ori.

Aceeași grupă de trei plante apare în lista ordonată de 3! = 6 ori; de aceea C₁₅³ = A₁₅³ : 6.

De ce exact de $6$ ori, și nu mai des pentru unele grupe și mai rar pentru altele? Pentru că numărul ordinilor depinde doar de câte elemente are grupa, nu de care sunt ele: orice trei plante distincte se pot înșira în același număr de feluri. Așadar fiecare grupă a fost numărată de exact $6$ ori, iar numărul grupelor este $\frac{2 730}{6} = 455$ . În general, construirea unui aranjament de $n$ luate câte $k$ se face în doi pași: alegi submulțimea ( $C_{n}^{k}$ variante), apoi o ordonezi ( $k!$ variante). Numărând aceleași obiecte pe două căi — numărare dublă —, obții

$A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k} .$

3. Cum arată formula combinărilor?

Din relația de mai sus, împărțind la $k!$ și folosind forma cu factoriale a aranjamentelor,

$C_{n}^{k} = \frac{A _{n}^{k}}{k !} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}, 0 \leq k \leq n .$

În calcule cu numere, prima formă e cea practică: sus scrii produsul primilor $k$ factori ai lui $n!$ , luați de la $n$ în jos, jos scrii $k!$ , și simplifici înainte de a înmulți. De exemplu, $C_{13}^{2} = \frac{13 \cdot 12}{2} = 13 \cdot 6$ — cu un singur produs mic. Forma cu factoriale e utilă când lucrezi cu litere: arată că rezultatul depinde de $k$ și de $n - k$ la fel de mult, o observație pe care o vei exploata în lecția următoare.

Un lucru merită remarcat: împărțirea la $k!$ dă întotdeauna un număr natural, deși nu se vede din formulă. Explicația e chiar numărarea dublă — $C_{n}^{k}$ numără obiecte, deci nu poate fi fracție.

4. Ce spun cazurile de la margine?

Pentru $k = 0$ , mulțimea vidă e singura submulțime care nu conține nimic: $C_{n}^{0} = 1$ . Pentru $k = n$ există o singură submulțime cu toate elementele, mulțimea însăși: $C_{n}^{n} = 1$ . Pentru $k = 1$ , submulțimile cu un element sunt chiar elementele: $C_{n}^{1} = n$ . Formula cu factoriale confirmă toate trei, cu convenția $0! = 1$ . În limbajul unui experiment: dacă nu alegi nicio plantă, ai un singur „plan”, cel gol; dacă le iei pe toate cincisprezece, iar ai un singur plan; dacă alegi una singură, ai atâtea planuri câte plante există. Cazurile de margine nu sunt excepții de memorat, ci verificări ale faptului că ai înțeles ce numără formula.

Cazul $k = 2$ merită o formă proprie, pentru că apare foarte des:

$C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2} .$

El numără perechile neordonate de elemente distincte: legături posibile între $n$ obiecte, meciuri între $n$ echipe, comparații între $n$ probe luate două câte două.

5. Cum număr perechile dintr-o mulțime?

Un ameliorator are $13$ soiuri de grâu și vrea să le încrucișeze două câte două, fiecare pereche o singură dată — un plan de încrucișări numit dialel fără reciproce, în care nu se face distincție între soiul-mamă și soiul-tată. Fiecare încrucișare e o pereche neordonată de soiuri, deci numărul lor este

$C_{13}^{2} = \frac{13 \cdot 12}{2} = 78.$

Dacă ameliorătorul ar face și încrucișările reciproce (soiul A ca mamă și, separat, ca tată), ar conta ordinea, iar numărul s-ar dubla. Regula de recunoaștere pentru perechi e simplă: dacă relația dintre cele două elemente e simetrică (A cu B e același lucru ca B cu A), numeri cu $C_{n}^{2}$ .

6. Ce fac când alegerea are categorii?

Pentru o expoziție, un herbar oferă $10$ plante lemnoase și $6$ plante ierboase, toate diferite. Se aleg $2$ lemnoase și $3$ ierboase. Alegerea lemnoaselor și alegerea ierboaselor se fac independent, fiecare fără ordine:

$C_{10}^{2} \cdot C_{6}^{3} = 45 \cdot 20 = 900.$

Se înmulțesc, pentru că orice pereche de lemnoase se poate combina cu orice grup de trei ierboase — e regula produsului, aplicată unor alegeri care sunt ele însele combinări. Poți imagina o diagramă arborescentă cu două niveluri: la primul nivel, $45$ de ramuri, câte una pentru fiecare pereche de lemnoase; din fiecare dintre ele pleacă alte $20$ de ramuri, câte una pentru fiecare grup de ierboase. Frunzele sunt expozițiile posibile. Atenție la un detaliu: împărțirea la factorial se face în interiorul fiecărei categorii ( $2!$ pentru lemnoase, $3!$ pentru ierboase), nu o singură dată, la final, cu $5!$ . Cele cinci plante alese nu pot fi amestecate între categorii, deci nu există $5!$ ordini de eliminat.

7. Cum rezolv o ecuație de tipul $C_{n}^{2} = 630$ ?

Scrii $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ și înmulțești cu $2$ : $n (n - 1) = 1260$ . Ca la aranjamente, cauți două numere naturale consecutive cu produsul $1260$ ; rădăcina pătrată a lui $1260$ e puțin sub $36$ , iar $35 \cdot 36 = 1260$ . Deci $n = 36$ , cu condiția $n \geq 2$ îndeplinită. Pasul care se uită cel mai ușor este tocmai înmulțirea cu $2$ : cine caută consecutive cu produsul $630$ nu găsește nimic, fiindcă $630$ cade între două produse de numere consecutive vecine, și crede că ecuația nu are soluție.

La ecuațiile cu $C_{n}^{3}$ înmulțești cu $3! = 6$ și cauți trei numere consecutive cu produsul obținut. Numărul din mijloc stă foarte aproape de rădăcina cubică a produsului, așa că o estimare grosieră e suficientă pentru a nimeri tripletul din prima sau a doua încercare.

8. Combinări sau aranjamente?

Testul schimbului rămâne cel din lecțiile anterioare: dacă schimbi între ele două elemente alese și obții altă situație, numeri aranjamente; dacă obții aceeași situație, numeri combinări. Trei plante sub aceeași lampă formează o combinare; trei plante puse pe trei rafturi cu lumină diferită formează un aranjament. La fel, trei probe trimise împreună la același analizor formează o submulțime, pe când trei probe analizate în trei zile diferite, câte una pe zi, formează un șir. Datele numerice pot fi identice, iar răspunsul diferă prin factorul $3! = 6$ — de aceea contextul trebuie citit cu atenție, nu doar numerele. Legătura dintre cele două numere este mereu factorul $k!$ . Pentru un tabel complet al schemelor (cu și fără ordine, cu și fără repetiție) există o lecție separată, despre alegerea metodei de numărare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcule prin simplificare

Calculați $C_{13}^{3}$ , $C_{15}^{4}$ și $C_{20}^{1}$ .

Rezolvare. Pentru fiecare, numărătorul are $k$ factori, iar numitorul este $k!$ ; simplificăm înainte de a înmulți.

$C_{13}^{3} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{6} = 13 \cdot 2 \cdot 11 = 286.$

$C_{15}^{4} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{24} = 15 \cdot 7 \cdot 13 = 1365,$

fiindcă $14 \cdot 12 = 168 = 24 \cdot 7$ . În sfârșit, $C_{20}^{1} = 20$ .

Exemplul 2 — Găsește greșeala

Un laborator de microbiologie pregătește o cultură mixtă din trei tulpini de bacterii lactice, alese dintre cele $19$ din colecție; tulpinile se adaugă simultan în lapte. Un elev calculează numărul culturilor posibile astfel: „ $19 \cdot 18 \cdot 17 = 5814$ ”. Identificați greșeala și corectați rezultatul.

Rezolvare. Elevul a numărat alegeri ordonate, adică $A_{19}^{3}$ . Dar o cultură mixtă e definită doar de tulpinile care o compun: aceleași trei tulpini, alese în altă ordine, dau aceeași cultură. Fiecare cultură a fost numărată de $3! = 6$ ori, deci

$C_{19}^{3} = \frac{5 814}{6} = 969.$

Controlul de bun-simț: rezultatul corect trebuie să fie mai mic decât numărul alegerilor ordonate, și de exact $6$ ori mai mic, pentru trei elemente.

Exemplul 3 — Interacțiunile dintr-o rețea de proteine

Un laborator studiază $16$ proteine și testează, pentru fiecare pereche de proteine distincte, dacă ele interacționează. Câte teste face, dacă fiecare pereche se testează o singură dată?

Rezolvare. Interacțiunea e o relație simetrică: proteina A cu proteina B este același test ca B cu A. Fiecare test corespunde, deci, unei perechi neordonate de proteine:

$C_{16}^{2} = \frac{16 \cdot 15}{2} = 120 de teste .$

Observă cât de repede crește numărul perechilor: fiecare proteină nouă adaugă atâtea teste câte proteine erau deja în studiu. De aceea studiile reale de interacțiune, cu mii de proteine, nu testează toate perechile una câte una, ci folosesc metode care verifică multe perechi deodată — numărul perechilor ar fi de ordinul milioanelor.

Exemplul 4 — Probe alese pe categorii

Pentru controlul calității unui laborator de analize se aleg, la întâmplare, $3$ dintre cele $7$ probe de sânge ale zilei și $2$ dintre cele $6$ probe de urină. În câte moduri se poate face alegerea?

Rezolvare. În fiecare categorie ordinea nu contează, iar cele două alegeri sunt independente:

$C_{7}^{3} \cdot C_{6}^{2} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} \cdot \frac{6 \cdot 5}{2} = 35 \cdot 15 = 525.$

Împărțirea la factorial s-a făcut separat, cu $3!$ pentru sânge și cu $2!$ pentru urină.

Exemplul 5 — O ecuație cu combinări

Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuația $C_{n}^{2} = 1711$ .

Rezolvare. Condiția de existență este $n \geq 2$ . Ecuația devine $\frac{n ( n - 1 )}{2} = 1711$ , adică $n (n - 1) = 3422$ . Cum $5 8^{2} = 3364$ și $5 9^{2} = 3481$ , încercăm $58 \cdot 59 = 3422$ . Deci $n = 59$ .

Verificare: $C_{59}^{2} = \frac{59 \cdot 58}{2} = 59 \cdot 29 = 1711$ . Căutarea s-a făcut lângă rădăcina pătrată a lui $3422$ : două numere consecutive cu un produs dat sunt întotdeauna foarte aproape de această rădăcină, unul puțin sub ea, celălalt puțin peste.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Arătați că $C_{6}^{3} - C_{5}^{2} = 10$ . b) Determinați numărul natural $n$ , $n \geq 2$ , pentru care $C_{n}^{2} = 13 n$ . c) Pe un cerc se aleg $7$ puncte distincte. Determinați câte patrulatere convexe au toate vârfurile printre aceste puncte.

Rezolvare. a) $C_{6}^{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} = 20$ și $C_{5}^{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ , deci diferența este $10$ .

b) $\frac{n ( n - 1 )}{2} = 13 n$ ; cum $n \geq 2$ , putem împărți la $n$ : $\frac{n - 1}{2} = 13$ , deci $n = 27$ . Verificare: $C_{27}^{2} = \frac{27 \cdot 26}{2} = 351 = 13 \cdot 27$ .

c) Patru puncte distincte de pe un cerc sunt vârfurile unui singur patrulater convex, cel obținut unindu-le în ordinea în care apar pe cerc; ordinea în care le alegem nu contează. Așadar fiecare submulțime cu patru puncte dă exact un patrulater, iar numărul cerut este $C_{7}^{4} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{24} = 35$ .

Exemplul reproduce forma cerințelor scurte de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat 2026, unde cerința de numărare a modelului publicat e formulată ca o probabilitate; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat, deci structura ei nu se poate anticipa.

Să exersăm

La fiecare problemă cu context, explică pe scurt de ce schimbul a două elemente alese nu schimbă rezultatul. Calculează prin produs de $k$ factori împărțit la $k!$ , simplificând înainte de înmulțire.

1. Calculează $C_{14}^{4}$ și $C_{21}^{2}$ .

2. Scrie $C_{13}^{4}$ ca raport de factoriale, apoi calculează-l prin simplificare.

3. Verifică relația $A_{14}^{5} = 5! \cdot C_{14}^{5}$ , calculând separat cei doi membri.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă numărul elementelor unei mulțimi se dublează, numărul submulțimilor ei cu două elemente se dublează și el.”

5. Rezolvă în $N$ ecuația $C_{n}^{2} = n + 77$ .

6. Rezolvă în $N$ ecuația $C_{n}^{3} = 2300$ .

7. Scrie toate submulțimile cu trei elemente ale mulțimii ${a, b, c, d}$ și verifică rezultatul cu formula.

8. Pentru o olimpiadă interdisciplinară, școala formează o echipă cu $4$ dintre cei $6$ elevi pasionați de chimie și $3$ dintre cei $5$ elevi pasionați de biologie. În câte moduri se poate forma echipa?

9. La un turneu de șah participă $20$ de jucători, iar fiecare joacă exact o partidă cu fiecare dintre ceilalți. Câte partide se joacă?

10. (Problemă aplicată.) Un laborator testează efectul combinat al antibioticelor asupra unei tulpini bacteriene: dintr-un panel de $10$ antibiotice diferite se aleg câte $4$ , administrate simultan. Câte combinații diferite de câte patru antibiotice pot fi testate?

11. Câte diagonale are un poligon convex cu $32$ de laturi?

12. Simplifică $\frac{C _{n}^{3}}{C _{n}^{2}}$ , pentru $n \geq 3$ .

13. Pe o dreaptă $d_{1}$ se află $5$ puncte, iar pe o dreaptă $d_{2}$ , paralelă cu $d_{1}$ , se află $4$ puncte. Câte triunghiuri au toate vârfurile printre aceste $9$ puncte?

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Arătați că $C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{1} = 60$ . b) Determinați numărul natural $n$ , $n \geq 3$ , pentru care $C_{n}^{3} = 9 C_{n}^{2}$ . c) Dintre cei $7$ ghizi ai unui parc național, $3$ sunt biologi. Pentru o tură de monitorizare se aleg $3$ ghizi, fără roluri diferite. Determinați câte grupe conțin exact un biolog.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Arătați că $\frac{A _{5}^{3}}{C _{5}^{3}} = 6$ . b) Arătați că $C_{n}^{2} = \frac{A _{n}^{2}}{2}$ , pentru orice număr natural $n \geq 2$ . c) Pe harta unei păduri experimentale sunt trasate $5$ drumuri forestiere paralele între ele și $4$ poteci paralele între ele, perpendiculare pe drumuri. Determinați câte dreptunghiuri au toate laturile pe aceste drumuri și poteci.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea $M = {1, 2, 3, \dots, 24}$ . a) Arătați că $M$ are $276$ de submulțimi cu două elemente. b) Determinați câte submulțimi cu două elemente ale lui $M$ au ambele elemente divizibile cu $4$ . c) Determinați câte submulțimi cu două elemente ale lui $M$ au cel mai mare element egal cu $10$ .

17. Dintre cei $17$ membri ai unui cerc de biologie se formează o grupă de $3$ pentru o expediție. Doi dintre membri, Andrei și Bianca, nu pot face parte împreună din grupă, fiindcă prezintă împreună un referat chiar în săptămâna expediției. Câte grupe se pot forma?

18. (Provocare.) Șase elevi trebuie împărțiți în trei perechi de laborator; perechile nu sunt numerotate și nici membrii unei perechi nu au roluri diferite. În câte moduri se poate face împărțirea?

Răspunsuri și explicații

1. $C_{14}^{4} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{24} = 7 \cdot 13 \cdot 11 = 1001$ , fiindcă $2 \cdot 12 = 24$ ; $C_{21}^{2} = \frac{21 \cdot 20}{2} = 210$ .

2. $C_{13}^{4} = \frac{13 !}{4 ! \cdot 9 !} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{24} = 13 \cdot 11 \cdot 5 = 715$ , fiindcă $12 \cdot 10 = 120 = 24 \cdot 5$ .

3. $A_{14}^{5} = 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 = 240240$ . $C_{14}^{5} = \frac{240 240}{120} = 2002$ , iar $5! \cdot C_{14}^{5} = 120 \cdot 2002 = 240240$ . Cei doi membri sunt egali: fiecare submulțime cu cinci elemente se ordonează în $120$ de feluri.

4. Fals. $C_{2 n}^{2} = \frac{2 n ( 2 n - 1 )}{2} = n (2 n - 1)$ , iar $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ ; raportul lor este $\frac{2 ( 2 n - 1 )}{n - 1}$ , mai mare decât $4$ pentru orice $n \geq 2$ . De exemplu, pentru $n = 45$ : $C_{45}^{2} = 990$ , iar $C_{90}^{2} = 4005$ , de peste patru ori mai mult. Numărul perechilor crește aproximativ cu pătratul numărului de elemente.

5. Condiția: $n \geq 2$ . Înmulțind cu $2$ : $n (n - 1) = 2 n + 154$ , adică $n^{2} - 3 n = 154$ , sau $n (n - 3) = 154$ . Căutăm două numere naturale care diferă prin $3$ și au produsul $154$ : $14 \cdot 11 = 154$ . Deci $n = 14$ . Verificare: $C_{14}^{2} = 91 = 14 + 77$ .

6. Condiția: $n \geq 3$ . $n (n - 1) (n - 2) = 6 \cdot 2300 = 13800$ . Trei numere consecutive cu produsul $13800$ : cum $2 4^{3} = 13824$ e foarte aproape, numărul din mijloc este $24$ , iar $25 \cdot 24 \cdot 23 = 13800$ . Deci $n = 25$ .

7. Submulțimile sunt ${a, b, c}$ , ${a, b, d}$ , ${a, c, d}$ , ${b, c, d}$ — patru, fiecare obținută lăsând afară câte un element. Formula dă $C_{4}^{3} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{6} = 4$ .

8. Alegerile sunt independente și fără ordine: $C_{6}^{4} \cdot C_{5}^{3} = 15 \cdot 10 = 150$ .

9. O partidă e o pereche neordonată de jucători: $C_{20}^{2} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190$ de partide.

10. Antibioticele se administrează simultan, deci ordinea nu contează: $C_{10}^{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{24} = 210$ de combinații.

11. Segmentele cu capetele în vârfuri sunt $C_{32}^{2} = 496$ ; dintre ele, $32$ sunt laturi, iar restul sunt diagonale: $496 - 32 = 464$ .

12. $\frac{C _{n}^{3}}{C _{n}^{2}} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6} \cdot \frac{2}{n ( n - 1 )} = \frac{n - 2}{3}$ .

13. Trei puncte de pe aceeași dreaptă nu formează triunghi, deci un triunghi are două vârfuri pe o dreaptă și unul pe cealaltă. Două pe $d_{1}$ , unul pe $d_{2}$ : $C_{5}^{2} \cdot 4 = 10 \cdot 4 = 40$ . Unul pe $d_{1}$ , două pe $d_{2}$ : $5 \cdot C_{4}^{2} = 5 \cdot 6 = 30$ . Cazurile sunt disjuncte, deci $40 + 30 = 70$ de triunghiuri.

14. a) $C_{6}^{2} = 15$ și $C_{4}^{1} = 4$ , iar $15 \cdot 4 = 60$ . b) $C_{n}^{3} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6} = \frac{n ( n - 1 )}{2} \cdot \frac{n - 2}{3} = \frac{n - 2}{3} C_{n}^{2}$ , iar $C_{n}^{2} \neq = 0$ , deci $\frac{n - 2}{3} = 9$ și $n = 29$ . Verificare: $C_{29}^{3} = 3654 = 9 \cdot 406 = 9 C_{29}^{2}$ . c) Biologul se alege dintre cei $3$ în $C_{3}^{1} = 3$ feluri, iar ceilalți doi membri, fără ordine, dintre cei $4$ ghizi care nu sunt biologi: $C_{4}^{2} = 6$ . Alegerile sunt independente, deci $3 \cdot 6 = 18$ grupe.

15. a) $A_{5}^{3} = 60$ și $C_{5}^{3} = 10$ , iar $\frac{60}{10} = 6 = 3!$ . b) $\frac{A _{n}^{2}}{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2} = C_{n}^{2}$ : fiecare pereche neordonată corespunde exact celor două perechi ordonate formate cu aceleași elemente. c) Un dreptunghi e determinat de cele două drumuri pe care stau două laturi opuse și de cele două poteci pe care stau celelalte două; în fiecare pereche ordinea nu contează. Alegerile sunt independente: $C_{5}^{2} \cdot C_{4}^{2} = 10 \cdot 6 = 60$ de dreptunghiuri.

16. a) $C_{24}^{2} = \frac{24 \cdot 23}{2} = 276$ . b) În $M$ sunt $6$ multipli de $4$ ( $4, 8, \dots, 24$ ), deci $C_{6}^{2} = 15$ submulțimi. c) Elementul $10$ e sigur în submulțime, iar celălalt element e unul dintre numerele $1, 2, \dots, 9$ , deci numărul lor este $C_{9}^{1} = 9$ .

17. Toate grupele de trei sunt $C_{17}^{3} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15}{6} = 680$ . Grupele interzise îi conțin pe amândoi, Andrei și Bianca, iar al treilea membru e oricare dintre ceilalți $15$ : $15$ grupe. Rămân $680 - 15 = 665$ de grupe.

18. Alegem perechile una după alta: prima din cei șase, $C_{6}^{2} = 15$ variante; a doua din cei patru rămași, $C_{4}^{2} = 6$ ; a treia e formată din ultimii doi, $1$ variantă. Obținem $15 \cdot 6 \cdot 1 = 90$ de liste ordonate de perechi. Cum perechile nu sunt numerotate, fiecare împărțire apare în $3! = 6$ ordini, deci numărul împărțirilor este $\frac{90}{6} = 15$ .

De reținut

Combinările numără submulțimile: o alegere de $k$ elemente distincte dintre $n$ , în care schimbul a două elemente alese nu produce nimic nou.
Numărarea dublă dă $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$ : alegi submulțimea, apoi o ordonezi în $k!$ feluri; de aici $C_{n}^{k} = \frac{A _{n}^{k}}{k !} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ .
În calcule, $k$ factori descrescători de la $n$ la numărător, $k!$ la numitor, simplificare înainte de înmulțire.
$C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ , $C_{n}^{1} = n$ , iar perechile se numără cu $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ ori de câte ori relația dintre două elemente e simetrică.
La alegeri pe categorii se înmulțesc combinările fiecărei categorii, cu împărțirea la factorial făcută separat, în fiecare categorie.

Greșeli frecvente

Numitorul greșit. Unii scriu „ $C_{n}^{k} = \frac{A _{n}^{k}}{( n - k )!}$ ”, amestecând formula combinărilor cu cea a aranjamentelor. Numitorul corect este $k!$ , numărul ordinilor în care se pot așeza elementele alese.
Perechi cu el însuși. La „fiecare pereche de proteine se testează”, perechea unei proteine cu ea însăși nu există: perechile sunt de elemente distincte. Cine numără $n^{2}$ sau $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ include și astfel de perechi fictive.
Uitarea factorului $2$ la ecuații. Dintr-o egalitate ca $C_{n}^{2} = a$ trebuie ajuns la $n (n - 1) = 2 a$ . Cine caută direct două numere consecutive cu produsul $a$ de obicei nu găsește nimic și conchide greșit că ecuația nu are soluție.
Perechi numărate cu $C_{n}^{2}$ când relația nu e simetrică. Dacă ameliorătorul face și încrucișările reciproce, soiul-mamă și soiul-tată au roluri diferite, iar perechea (A, B) nu mai e aceeași cu (B, A). Cine le numără tot cu $C_{n}^{2}$ obține doar jumătate; aici se numără perechi ordonate, cu $A_{n}^{2}$ .
Un singur factorial pentru mai multe categorii. La „ $2$ lemnoase și $3$ ierboase”, calculul „ $\frac{A _{10}^{2} \cdot A _{6}^{3}}{5 !}$ ” împarte la ordinile tuturor celor cinci plante, deși o lemnoasă nu poate schimba locul cu o ierboasă. Corect: $\frac{A _{10}^{2}}{2 !} \cdot \frac{A _{6}^{3}}{3 !}$ .

Aplică acasă

Paleta de culori. Ia cinci culori de acuarelă și amestecă-le două câte două pe o foaie, fiecare pereche o singură dată. Numără amestecurile și compară cu $C_{5}^{2}$ . Verifică și că galben cu albastru dă aceeași culoare ca albastru cu galben — de aceea ordinea nu contează.
Salata de fructe. Alege opt fructe și numără salatele din câte patru fructe care conțin mărul. Compară rezultatul cu numărul submulțimilor cu trei elemente ale celorlalte șapte fructe. Explică de ce cele două numere trebuie să fie egale: o salată care conține mărul e complet descrisă de cele trei fructe care îl însoțesc.
Cartonașele care se grupează. Scrie literele A, B, C, D pe patru cartonașe și notează toate șirurile ordonate de câte trei cartonașe. Grupează apoi șirurile care folosesc aceleași trei litere. Câte grupuri ai obținut și câte șiruri are fiecare grup? Leagă rezultatul de relația $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$ , apoi repetă experimentul cu grupuri de câte două cartonașe și verifică dacă fiecare grup are acum doar două șiruri.

Pentru părinți și profesori

Combinările sunt prima schemă în care elevul trebuie să renunțe la ordine după ce a învățat să o numere. De aceea lecția nu dă formula direct, ci o obține prin numărarea dublă: numeri ca și cum ordinea ar conta, apoi împarți la numărul ordinilor fiecărei grupe. Relația $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$ , cerută de programă printre „relațiile dintre” permutări, aranjamente și combinări, devine astfel un argument pe care elevul îl poate reface singur, nu o formulă de memorat.

Ce merită urmărit în caiet: dacă elevul spune în cuvinte de ce schimbul a două elemente alese nu produce o situație nouă; dacă simplifică înainte de înmulțire; dacă, la alegerile pe categorii, împarte separat în fiecare categorie. Întrebări bune de control: „De câte ori apare aceeași grupă în lista ordonată?”, „Relația dintre cele două elemente este simetrică?”, „Ce se schimbă dacă cele trei plante stau pe rafturi diferite?”. Semn că a înțeles: trece singur de la numărul alegerilor ordonate la numărul grupelor și înapoi și poate explica de ce $C_{n}^{k}$ iese întotdeauna număr natural.

Două locuri în care elevii se împiedică des merită atenție specială. Primul: la alegerile pe categorii, tentația de a aduna rezultatele categoriilor, ca și cum ar fi variante care se exclud. Al doilea: la ecuații, uitarea factorului $2$ sau $6$ care vine din numitor. Amândouă se repară cu aceeași întrebare, pusă înainte de calcul: „ce anume numără fiecare număr pe care îl scriu?”.

Proprietățile combinărilor — combinările complementare, formula de recurență și tabelul triunghiular al combinărilor — sunt subiectul lecțiilor următoare și nu sunt anticipate aici. Noțiunea de submulțime vine din clasa a IX-a, de la mulțimi și intervale. La finalul primei părți a unității, testul de metode de numărare verifică împreună aranjamentele și combinările. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: combinări, definiție și formulă.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Metode de numărare” de clasa a X-a. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) conține combinările la „Metode de numărare”, ca număr al submulțimilor cu câte $k$ elemente ale unei mulțimi finite. În modelul oficial publicat pentru 2026, numărarea apare la Subiectul I într-o cerință de probabilitate; o cerință formulată direct cu combinări nu există în acel model. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Ce diferă între lecția de combinări de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Definiția și formula sunt aceleași. La științe ale naturii formula e obținută prin numărarea dublă, pe un exemplu din laborator, iar aplicațiile vin din chimie, biologie și ameliorarea plantelor: aliaje, culturi mixte, perechi de proteine, încrucișări. Proprietățile combinărilor sunt lăsate lecțiilor următoare, fiecare pe pagina ei.

La ce subiect apar combinările la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 le trece la capitolul „Metode de numărare” și nu împarte temele pe subiecte. În modelul oficial 2026, numărarea apare la Subiectul I ca probabilitate rezolvată prin numărarea cazurilor, nu una cu combinări scrise ca atare. Pentru MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Ce înseamnă numărarea dublă? Înseamnă să numeri aceeași mulțime de obiecte pe două căi și să egalezi rezultatele. Aranjamentele de $n$ luate câte $k$ se numără direct, $A_{n}^{k}$ , sau în doi pași: întâi submulțimea, în $C_{n}^{k}$ feluri, apoi ordinea ei, în $k!$ feluri. Egalitatea $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$ dă formula combinărilor.

Când se înmulțesc două combinări? Când alegerea are mai multe categorii care se aleg independent: câteva probe de sânge și câteva de urină, câțiva chimiști și câțiva biologi. Orice alegere dintr-o categorie se poate asocia cu orice alegere din cealaltă, deci se aplică regula produsului. Fiecare factor e o combinare separată, cu împărțirea la factorialul propriu.

Cum recunosc o combinare într-o problemă de biologie sau de chimie? Caută o relație simetrică sau un grup fără roluri: o pereche de proteine care interacționează, două metale dintr-un aliaj, tulpinile unei culturi mixte, plantele puse sub aceeași lampă. Dacă schimbul a două elemente alese nu schimbă rezultatul experimentului, ai o submulțime și numeri cu $C_{n}^{k}$ .

Există o formulă rapidă pentru numărul perechilor? Da: $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ . Înmulțești numărul elementelor cu numărul lor minus unu și împarți la doi, iar rezultatul iese întotdeauna întreg, fiindcă unul dintre două numere consecutive e par. Pentru $40$ de elemente, $\frac{40 \cdot 39}{2} = 780$ de perechi. Împărțirea la doi elimină dublarea: fiecare pereche ar fi fost numărată o dată din fiecare capăt.