Care dintre numerele $$0{,}3^{1{,}4}$$ și $$0{,}3^{1{,}9}$$ este mai mare?

nu se poate decide fără calculator

Cum compar 2³⁰ cu 3²⁰ fără calculator?

Bazele nu au o bază comună, dar exponenții au divizorul comun 10. Scrii 2³⁰=(2³)¹⁰=8¹⁰ și 3²⁰=(3²)¹⁰=9¹⁰. La același exponent pozitiv, baza mai mare dă numărul mai mare, deci 3²⁰>2³⁰.

Care e cel mai mare număr natural n pentru care 5ⁿ<3000?

Calculezi puterile succesive: 5⁴=625 și 5⁵=3125. Baza 5 păstrează ordinea, deci 5ⁿ 3000 pentru n≥ 5. Răspunsul este n=4. Pragul se citește prin monotonie, fără a rezolva formal o inecuație.

Cum compar puteri aducându-le la aceeași bază?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Compararea puterilor prin baza comună

Rescrii bazele înrudite ca puteri ale aceluiași număr, înmulțești exponenții și compari exponenții obținuți. Exemplu: $8^{0, 5}$ și $4^{0, 7}$ . Cum $8 = 2^{3}$ și $4 = 2^{2}$ , numerele devin $2^{1, 5}$ și $2^{1, 4}$ . Baza $2$ este mai mare decât $1$ , deci păstrează ordinea exponenților: $8^{0, 5} > 4^{0, 7}$ . Dacă baza comună ar fi subunitară, ordinea s-ar inversa.

Două puteri cu aceeași bază se compară fără să le calculezi: te uiți unde se află baza față de $1$ și apoi compari exponenții. O bază mai mare decât $1$ păstrează ordinea exponenților, iar una cuprinsă între $0$ și $1$ o întoarce. Mărimea bazei nu contează, contează doar de ce parte a lui $1$ se află.

Când bazele diferă, dar sunt înrudite, ca $4$ , $32$ , $0, 25$ și $\frac{1}{8}$ față de $2$ , le rescrii pe toate cu aceeași bază, folosind regula puterii unei puteri: exponenții se înmulțesc. Fracțiile subunitare devin puteri cu exponent negativ. Alegerea dintre baza $2$ și baza $\frac{1}{2}$ nu schimbă rezultatul, cu condiția să aplici o singură dată regula potrivită bazei cu care lucrezi.

Pentru un șir de mai multe numere scrii lista exponenților în baza comună, o ordonezi și transferi ordinea asupra numerelor. Dacă nu există o bază comună, dar exponenții întregi au un divizor comun, aduci puterile la același exponent și compari bazele.

Aceeași regulă citește și inegalitățile simple de tipul $a^{u} < a^{v}$ : ele devin inegalități între exponenți, cu sensul dat de bază. Astfel se află, de exemplu, lungimea maximă a unei legături prin fibră optică sau grosimea minimă a unui ecran de protecție, exprimate ca praguri scrise cu puteri.

De reținut

bazele înrudite se aduc la una comună cu $(a^{p})^{q} = a^{pq}$
bază mai mare decât $1$ : ordinea exponenților se păstrează
bază între $0$ și $1$ : ordinea se inversează

Greșeala tipică

Se compară exponenții puterilor cu baze diferite, ca $0, 5 < 0, 7$ , și se trage concluzia $8^{0, 5} < 4^{0, 7}$ ; exponenții se compară abia după aducerea la aceeași bază.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre numerele $0, 3^{1, 4}$ și $0, 3^{1, 9}$ este mai mare?
- a) $0, 3^{1, 4}$
- b) $0, 3^{1, 9}$
- c) sunt egale
- d) nu se poate decide fără calculator
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $0, 3^{1, 4}$

Baza $0, 3$ este subunitară, deci exponentul mai mic dă valoarea mai mare: $0, 3^{1, 4} > 0, 3^{1, 9}$ .
Scris ca putere a lui $2$ , numărul $0, 062 5^{0, 5}$ este:
- a) $2^{2}$
- b) $2^{- 4, 5}$
- c) $2^{- 2}$
- d) $2^{- 3, 5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2^{- 2}$

$0, 0625 = \frac{1}{16} = 2^{- 4}$ , iar exponenții se înmulțesc: $(2^{- 4})^{0, 5} = 2^{- 2}$ .
Ordinea crescătoare a numerelor $a = 8 1^{0, 15}$ , $b = 9^{0, 4}$ și $c = (\frac{1}{3})^{- 0, 65}$ este:
- a) $a < b < c$
- b) $a < c < b$
- c) $c < a < b$
- d) $b < c < a$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $a < c < b$

În baza $3$ : $a = 3^{0, 6}$ , $b = 3^{0, 8}$ , $c = 3^{0, 65}$ . Baza $3$ păstrează ordinea, iar $0, 6 < 0, 65 < 0, 8$ .

Întrebări conexe

Câte straturi de protecție reduc o radiație sub $1%$ , dacă fiecare o înjumătățește?

După $n$ straturi rămâne $(\frac{1}{2})^{n}$ din radiație și ceri $(\frac{1}{2})^{n} < \frac{1}{100}$ , adică $2^{n} > 100$ . Cum $2^{6} = 64$ și $2^{7} = 128$ , sunt necesare cel puțin $7$ straturi. Baza $\frac{1}{2}$ e subunitară, deci exponentul trebuie să fie mare ca valoarea să fie mică.

Cum ordonez puterile $9^{0, 5}$ , $2 7^{0, 3}$ și $(\frac{1}{3})^{- 1, 2}$ ?

Toate se scriu în baza $3$ : $9^{0, 5} = 3^{1}$ , $2 7^{0, 3} = 3^{0, 9}$ și $(\frac{1}{3})^{- 1, 2} = 3^{1, 2}$ . Exponenții în ordine crescătoare sunt $0, 9 < 1 < 1, 2$ , iar baza $3$ păstrează ordinea: $2 7^{0, 3} < 9^{0, 5} < (\frac{1}{3})^{- 1, 2}$ . Semnul minus din ultimul exponent s-a compensat cu inversarea bazei.

Cum compar $2^{30}$ cu $3^{20}$ fără calculator?

Bazele nu au o bază comună, dar exponenții au divizorul comun $10$ . Scrii $2^{30} = (2^{3})^{10} = 8^{10}$ și $3^{20} = (3^{2})^{10} = 9^{10}$ . La același exponent pozitiv, baza mai mare dă numărul mai mare, deci $3^{20} > 2^{30}$ .

Cum rezolv inecuația $(\frac{1}{2})^{x} > \frac{1}{8}$ ?

Scrii $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}$ , deci inecuația devine $(\frac{1}{2})^{x} > (\frac{1}{2})^{3}$ . Baza e subunitară, așa că sensul se inversează la exponenți: $x < 3$ . Probă la $x = 0$ : $1 > \frac{1}{8}$ , adevărat, iar la $x = 4$ obții $\frac{1}{16}$ , care nu mai depășește $\frac{1}{8}$ .

Care e cel mai mare număr natural $n$ pentru care $5^{n} < 3000$ ?

Calculezi puterile succesive: $5^{4} = 625$ și $5^{5} = 3125$ . Baza $5$ păstrează ordinea, deci $5^{n} < 3000$ pentru $n \leq 4$ și $5^{n} > 3000$ pentru $n \geq 5$ . Răspunsul este $n = 4$ . Pragul se citește prin monotonie, fără a rezolva formal o inecuație.

Cât de lungă poate fi o fibră optică dacă puterea scade de $10$ ori la fiecare $50$ km?

Puterea după $L$ km este $P_{0} \cdot 1 0^{- \frac{L}{50}}$ . Dacă receptorul are nevoie de cel puțin o miime din $P_{0}$ , ceri $1 0^{- \frac{L}{50}} \geq 1 0^{- 3}$ . Baza $10$ păstrează ordinea: $- \frac{L}{50} \geq - 3$ , adică $L \leq 150$ km.

Oamenii mai întreabă și: compararea puterilor cu baze diferite · aducerea puterilor la aceeași bază · cum compar 8 la o putere cu 4 la alta · compararea puterilor prin baza comună

Cum compar puteri aducându-le la aceeași bază?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Câte straturi de protecție reduc o radiație sub 1%, dacă fiecare o înjumătățește?

Cum ordonez puterile 90,5, 270,3 și (31​)−1,2?

Cum compar 230 cu 320 fără calculator?

Cum rezolv inecuația (21​)x>81​?

Care e cel mai mare număr natural n pentru care 5n<3000?

Cât de lungă poate fi o fibră optică dacă puterea scade de 10 ori la fiecare 50 km?