Compararea puterilor cu aceeași bază (M2, științe ale naturii)

Un tehnician de radiologie are de ales între două ecrane de protecție. Prin primul trece fracțiunea ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{0,8}$ din radiația care îl lovește, prin al doilea fracțiunea ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{1,4}$. Care protejează mai bine? Nu ai nevoie de calculator: scrii $\frac{1}{4}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$, deci prima fracțiune devine ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{1,6}$, iar cu baza $\frac{1}{2}$ un exponent mai mare înseamnă o valoare mai mică. Primul ecran lasă să treacă mai puțin. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), exact acest gest devine metodă: aduci puterile la aceeași bază și decizi ordinea din monotonia funcției exponențiale. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține puterile cu exponent real și funcția exponențială printre temele clasei a X-a; varianta-model pentru sesiunea 2026 nu cere o comparare de puteri, iar exponențiala e folosită doar în problema de analiză din partea a treia.

Graficul lui $a^x$ și citirea monotoniei le-ai văzut în lecția M2 de clasa a IX-a despre funcția exponențială, iar monotonia strictă, ca proprietate de folosit în calcule, este fixată în proprietățile funcției exponențiale la M2. Aici nu le mai redemonstrăm, ci le transformăm în unealtă de comparare.

Ce vei învăța

• Vei ști să decizi care dintre două puteri cu aceeași bază este mai mare, spunând de fiecare dată ce proprietate a bazei decide sensul.
• Vei ști să rescrii numere ca $0,125$, $\frac{1}{9}$, $0,04$ sau $1000$ ca puteri ale unei baze comune.
• Vei ști că baza $2$ și baza $\frac{1}{2}$ duc la aceeași concluzie și de ce sensul se răstoarnă o singură dată.
• Vei ști să ordonezi un șir de trei sau patru puteri cu baze înrudite, printr-o singură listă de exponenți.
• Vei ști să compari puteri cu baze neînrudite când exponenții întregi au un divizor comun.
• Vei ști să citești prin monotonie o inecuație simplă cu necunoscuta în exponent, ca prag într-un model din științe.

Hai să descoperim împreună

1. Exponenții și poziția bazei: regula de lucru

Compararea a două puteri cu aceeași bază este decizia despre ordinea lor luată numai din exponenți și din poziția bazei față de $1$. Regula: fie $a>0$, $a\ne 1$, și $u$, $v$ numere reale. Dacă $a>1$, atunci $a^u<a^v$ exact atunci când $u<v$: ordinea exponenților se păstrează. Dacă $0<a<1$, atunci $a^u<a^v$ exact atunci când $u>v$: ordinea exponenților se răstoarnă. Pentru $u=v$ puterile sunt egale, iar pentru $u\ne v$ ele sunt diferite.

Regula nu e nouă ca fapt: pe graficul lui $a^x$ ai văzut că o bază supraunitară dă o curbă care urcă, iar una subunitară o curbă care coboară. Nou este modul de lucru. Nu mai citești înălțimi pe desen, ci scrii un raționament de două rânduri: întâi poziția bazei față de $1$, apoi compararea exponenților.

Urmărim drumul pe o pereche care nu mai apare în lecție: $0,74^{-3,1}$ și $0,74^{-2,9}$. Baza $0,74$ se află între zero și unu; funcția $x\mapsto 0,74^x$ scade strict. Exponenții sunt $-3,1$ și $-2,9$, iar $-3,1<-2,9$. Descreșterea răstoarnă ordinea, deci $0,74^{-3,1}>0,74^{-2,9}$. Calculatorul confirmă, dar concluzia nu depinde de el.

2. De ce decide numai poziția bazei față de 1?

Ia $u<v$ și împarte puterea cu exponentul mai mare la cealaltă: $\frac{a^v}{a^u}=a^{v-u}$, unde $v-u$ este un număr pozitiv. Rămâne de știut dacă o putere cu exponent pozitiv este peste $1$ sau sub $1$. Pentru o bază supraunitară, puterea cu exponent pozitiv este mai mare decât $1$, deci $a^v$ este mai mare decât $a^u$. Pentru o bază subunitară, puterea cu exponent pozitiv este mai mică decât $1$, deci $a^v$ este mai mică decât $a^u$.

Observă ce nu contează: cât de departe e baza de $1$. Baza $1,0001$ păstrează ordinea la fel de sigur ca baza $1000$, doar că diferențele dintre valori sunt mici. De aceea nu există o „bază prea apropiată de 1” pentru care regula să nu mai funcționeze.

Figura A arată aceeași idee pe două curbe. Pe graficul lui $1,8^x$, punctul din dreptul lui $x=1,5$ este mai sus decât cel din dreptul lui $x=0,5$. Pe graficul lui $0,4^x$ se întâmplă invers: la abscisa mai mare, punctul este mai jos. Aceleași două abscise dau ordini opuse, iar singura diferență dintre situații este baza.

3. Cum aducem două baze diferite la aceeași bază?

Regula cere baze egale. Foarte des bazele sunt diferite, dar sunt puteri ale aceluiași număr: $4=2^2$, $32=2^5$, $0,25=2^{-2}$, $27=3^3$, $\frac{1}{9}=3^{-2}$, $0,04=5^{-2}$, $1000=10^3$, $0,01=10^{-2}$. Atunci rescrii fiecare putere cu regula ${\left(a^p\right)}^q=a^{pq}$ și ajungi la aceeași bază.

Pe perechea $32^{0,7}$ și $0,25^{-1,6}$: prima devine ${\left(2^5\right)}^{0,7}=2^{3,5}$, a doua ${\left(2^{-2}\right)}^{-1,6}=2^{3,2}$. Baza comună $2$ este supraunitară, iar $3,5>3,2$, deci $32^{0,7}>0,25^{-1,6}$. Atenție la semne: la $0,25$ exponentul bazei comune este negativ, iar minus înmulțit cu minus a dat un exponent pozitiv.

Înainte de orice comparare, scrie lângă fiecare bază descompunerea ei. Pasul pare banal, dar el prinde cele mai multe greșeli, pentru că fiecare transformare se poate verifica separat, prin ridicare la putere.

4. Contează dacă alegem baza 2 sau baza 1/2?

Nu. Ia perechea $0,125^{0,4}$ și $16^{-0,35}$. În baza $2$: $0,125=2^{-3}$ și $16=2^4$, deci numerele sunt $2^{-1,2}$ și $2^{-1,4}$. Baza e supraunitară, iar $-1,2>-1,4$, deci $0,125^{0,4}>16^{-0,35}$.

În baza $\frac{1}{2}$: $0,125={\left(\frac{1}{2}\right)}^3$ și $16={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-4}$, deci numerele sunt ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{1,2}$ și ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{1,4}$. Baza e subunitară, iar $1,2<1,4$, deci ordinea se răstoarnă: prima putere este din nou cea mai mare. Concluzia coincide, cum trebuie, pentru că numerele comparate sunt aceleași.

Morala practică: alege baza care îți dă exponenți comozi și aplică regula potrivită pentru baza aleasă, o singură dată. Nu amesteca cele două baze în aceeași comparare.

5. Cum ordonăm mai multe puteri deodată?

Procedeul are trei pași: aduci toate numerele la aceeași bază, scrii lista exponenților și o ordonezi, apoi transferi ordinea asupra valorilor, păstrând-o la bază supraunitară și inversând-o la bază subunitară.

Pentru $9^{0,45}$, ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-0,8}$ și $27^{0,25}$ alegem baza $3$: obținem $3^{0,9}$, $3^{0,8}$ și $3^{0,75}$. Exponenții ordonați crescător sunt $0,75<0,8<0,9$, iar baza e supraunitară, deci $27^{0,25}<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-0,8}<9^{0,45}$.

Lista de exponenți este un obiect de lucru foarte comod: o poți scrie într-un tabel, lângă numerele inițiale, iar ordonarea se face pe numere simple, fără puteri. Dacă două numere ajung la același exponent, ele sunt egale, iar ordonarea trebuie să spună asta.

Când șirul conține și o bază subunitară, nu schimba procedeul la jumătatea drumului. Fie aduci totul la baza supraunitară, fie totul la cea subunitară, și abia la final transferi ordinea. Un șir în care unele numere sunt scrise în baza $3$ și altele în baza $\frac{1}{3}$ nu se poate ordona corect doar privind exponenții, pentru că aceeași listă de exponenți ar cere două reguli opuse.

6. Și dacă nicio bază comună nu există?

Bazele $6$ și $15$ nu sunt puteri ale aceluiași număr. Pentru $6^{15}$ și $15^{10}$ schimbăm strategia și aducem puterile la același exponent întreg, folosind divizorul comun $5$ al exponenților: $6^{15}={\left(6^3\right)}^5=216^5$, iar $15^{10}={\left(15^2\right)}^5=225^5$.

Acum exponentul este același, iar variază baza. Funcția $x\mapsto x^5$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$, cum ai văzut la funcția putere cu exponent întreg la M2. Din $216<225$ rezultă $6^{15}<15^{10}$. Dacă exponentul comun ar fi fost negativ, funcția putere ar fi fost descrescătoare pe $(0,+\infty )$, iar ordinea s-ar fi răsturnat.

La această lecție lucrăm cu exponenți comuni întregi. Aducerea la un exponent comun fracționar folosește puterile cu exponent rațional, care fac parte din suplimentul de examen, în lecția despre puterile cu exponent rațional la M2.

7. Cum citim o inegalitate cu necunoscuta în exponent?

Uneori nu compari două numere date, ci cauți toate valorile unei mărimi pentru care o putere trece de un prag. Pentru $5^{x+1}<125$ scrii pragul ca putere a bazei, $125=5^3$, și citești monotonia: baza $5$ e supraunitară, deci inegalitatea dintre puteri are loc exact când are loc aceeași inegalitate între exponenți, $x+1<3$. Obții $x<2$, adică mulțimea soluțiilor $S=(-\infty ,2)$.

Pe figura B se vede ce ai calculat: curba lui $5^{x+1}$ stă sub orizontala $y=125$ exact la stânga abscisei $2$, iar punctul $(2;125)$ este desenat gol, pentru că inegalitatea e strictă. Programa de științe cere la clasa a X-a ecuațiile exponențiale, nu inecuațiile ca temă separată; aici le folosim doar în această formă, ca citire a monotoniei, atunci când un model din științe cere un prag.

Ce faci dacă pragul nu este o putere a bazei, de exemplu $5^{x+1}<100$? Monotonia îți spune în continuare forma răspunsului: mulțimea soluțiilor este tot un interval nemărginit la stânga. Capătul lui este însă exponentul la care trebuie ridicat $5$ ca să dea $100$, un număr care nu se scrie cu puteri. Din $5^2<100<5^3$ rezultă că, în capătul intervalului, exponentul $x+1$ este între $2$ și $3$, deci capătul însuși este între $1$ și $2$; valoarea lui exactă se scrie cu logaritmi, în lecțiile care urmează ecuațiilor exponențiale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două comparări, două sensuri

Compară, justificând prin monotonie: a) $1,3^{-2,5}$ și $1,3^{-2,05}$; b) $0,45^{\sqrt{5}}$ și $0,45^{2,2}$.

Rezolvare. a) Baza $1,3$ trece de $1$, așa că funcția $x\mapsto 1,3^x$ urcă strict și păstrează ordinea exponenților. Cum $-2,5<-2,05$, rezultă $1,3^{-2,5}<1,3^{-2,05}$.

b) Baza $0,45$ e mai mică decât $1$, așa că funcția scade strict. Avem $\sqrt{5}\approx 2,236$, deci $\sqrt{5}>2,2$, iar descreșterea răstoarnă ordinea: $0,45^{\sqrt{5}}<0,45^{2,2}$. Justificarea completă are trei elemente: poziția bazei, compararea exponenților, concluzia cu sensul corect.

Exemplul 2 — Baza comună 3

Compară numerele $27^{0,8}$ și ${\left(\frac{1}{9}\right)}^{-1,3}$.

Rezolvare. Ambele baze sunt puteri ale lui $3$: $27=3^3$ și $\frac{1}{9}=3^{-2}$. Obținem $27^{0,8}=3^{2,4}$ și ${\left(\frac{1}{9}\right)}^{-1,3}={\left(3^{-2}\right)}^{-1,3}=3^{2,6}$. Baza $3$ este supraunitară și $2,4<2,6$, deci $27^{0,8}<{\left(\frac{1}{9}\right)}^{-1,3}$.

Controlul cu calculatorul dă $3^{2,4}\approx 13,97$ și $3^{2,6}\approx 17,40$. Ordinea se potrivește, iar diferența nu e mică: două zecimi în exponent înseamnă aici un factor de aproape $1,25$.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev compară $0,25^{-0,95}$ și $8^{0,55}$. El scrie: „$0,25={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$, deci primul număr este ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1,9}$; $8=2^3$, deci al doilea este $2^{1,65}$; exponentul $-1,9$ este mai mic decât $1,65$, deci primul număr este mai mic.” Unde greșește și care este răspunsul corect?

Rezolvare. Fiecare transformare, luată separat, e corectă. Greșeala e la ultimul pas: elevul a comparat exponenți ai unor baze diferite, $\frac{1}{2}$ și $2$. Regula leagă exponenții numai când baza este aceeași.

Corect: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1,9}=2^{1,9}$, pentru că $\frac{1}{2}=2^{-1}$. Acum ambele numere sunt în baza $2$, supraunitară, iar $1,9>1,65$, deci $0,25^{-0,95}>8^{0,55}$. Concluzia elevului era exact pe dos. Numeric, $2^{1,9}\approx 3,73$ și $2^{1,65}\approx 3,14$.

Exemplul 4 — Patru puteri într-un singur șir

Ordonează crescător numerele $8^{0,45}$, $4^{0,65}$, $2^{1,45}$ și ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1,6}$.

Rezolvare. Aducem totul la baza $2$: $8^{0,45}=2^{1,35}$, $4^{0,65}=2^{1,3}$, $2^{1,45}$ rămâne neschimbat, iar ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1,6}=2^{1,6}$. Lista exponenților, ordonată, este $1,3<1,35<1,45<1,6$.

Baza $2$ păstrează ordinea, deci $4^{0,65}<8^{0,45}<2^{1,45}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1,6}$. Observă că baza cea mai mare, $8$, nu a dat numărul cel mai mare: contează exponentul obținut după aducerea la baza comună, nu baza inițială. Un tabel cu două coloane, numărul inițial și exponentul lui în baza $2$, face lucrul vizibil dintr-o privire și îți permite să verifici fiecare rând separat.

Exemplul 5 — Ecranul de plumb și ecranul de aluminiu

Pentru un anumit fascicul de raze X, fiecare strat de $0,25$ mm de plumb înjumătățește intensitatea, iar pentru aluminiu înjumătățirea cere $4$ mm. Fracțiunea care trece printr-o grosime de $d$ milimetri este $T_{\mathrm{Pb}}(d)={\left(\frac{1}{16}\right)}^d$ pentru plumb și $T_{\mathrm{Al}}(d)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{d/4}$ pentru aluminiu, cu $d\ge 0$. Valorile sunt rotunjite, de ordinul celor din radiologia de diagnostic. Care ecran protejează mai bine: o foaie de plumb de $0,6$ mm sau o placă de aluminiu de $12$ mm? Ce grosime de plumb asigură cel puțin protecția plăcii de aluminiu?

Rezolvare. Aducem ambele fracțiuni la baza $\frac{1}{2}$. Pentru plumb, $\frac{1}{16}={\left(\frac{1}{2}\right)}^4$, deci $T_{\mathrm{Pb}}(0,6)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{2,4}$. Pentru aluminiu, $T_{\mathrm{Al}}(12)={\left(\frac{1}{2}\right)}^3$. Baza e subunitară și $2,4<3$, deci ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2,4}>{\left(\frac{1}{2}\right)}^3$: prin plumb trece o fracțiune mai mare, iar placa de aluminiu protejează mai bine. Numeric, trec aproximativ $19\%$, respectiv $12,5\%$ din radiație. Plumbul rămâne materialul preferat pentru că, la aceeași protecție, este mult mai subțire, dar la grosimile alese aici placa groasă de aluminiu câștigă.

Pentru a doua întrebare cerem ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{4d}\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^3$. Baza subunitară răstoarnă ordinea, deci $4d\ge 3$, adică $d\ge 0,75$ mm: mulțimea grosimilor potrivite este $S=[0,75,+\infty )$. Figura C arată cele două fracțiuni ca funcții de grosime. La plumb, exponentul lui $\frac{1}{2}$ crește cu $4$ pe milimetru, la aluminiu doar cu un sfert, deci curba plumbului coboară mult mai abrupt; totuși, la $0,6$ mm ea nu a ajuns încă la nivelul pe care aluminiul îl atinge la $12$ mm.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră numerele $a=49^{0,3}$ și $b={\left(\frac{1}{7}\right)}^{-0,5}$. a) Arătați că $a>b$. b) Arătați că $a<7$.

Rezolvare. a) Scriem ambele numere în baza $7$: $a={\left(7^2\right)}^{0,3}=7^{0,6}$ și $b={\left(7^{-1}\right)}^{-0,5}=7^{0,5}$. Baza $7$ este supraunitară și $0,6>0,5$, deci $a>b$.

b) Numărul $7$ este chiar $7^1$, iar $0,6<1$, deci, cu baza supraunitară, $7^{0,6}<7^1$, adică $a<7$. Pentru a compara o putere cu un număr, scrii numărul ca putere a aceleiași baze. Cerința e construită de noi după forma cerințelor scurte din lucrarea de bacalaureat; nu este un subiect oficial.

Să exersăm

La fiecare comparare scrie baza comună, poziția ei față de $1$ și regula aplicată. La inecuații, scrie mulțimea soluțiilor.

1. Compară: a) $2,4^{0,35}$ și $2,4^{0,53}$; b) $0,6^{-1,2}$ și $0,6^{-2,1}$.

2. Scrie în baza $0,9$ și compară numerele $0,81^{0,4}$ și $0,9^{0,7}$. Compară apoi, la fel, $1,21^{0,4}$ și $1,1^{0,7}$ și explică de ce concluzia se schimbă.

3. Scrie ca puteri ale lui $2$ și compară numerele $16^{0,4}$ și $0,5^{-1,9}$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $a>0$, $a\ne 1$ și $a^{0,3}>a^{0,2}$, atunci $a^{-1}<1$.

5. Compară numerele $125^{0,2}$ și $0,04^{-0,35}$.

6. Ordonează crescător numerele $10^{-1,5}$, $0,01^{0,7}$, $1000^{-0,45}$ și $0,1^{1,2}$.

7. Rezolvă, citind monotonia: a) $3^{x-2}\le 27$; b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x}>8$.

8. Compară numerele $2^{-45}$ și $5^{-18}$, aducându-le la același exponent întreg.

9. Arată că numărul $8^{0,7}$ se află între $4$ și $8$, fără să-l calculezi.

10. (Problemă aplicată.) Într-o fibră optică de telecomunicații, lumina își pierde puterea pe drum: după $L$ kilometri rămâne fracțiunea $10^{-L/50}$ din puterea trimisă, cu $L\ge 0$. Receptorul funcționează dacă primește cel puțin $10^{-3}$ din puterea emisă. Scrie inecuația și află ce lungime poate avea legătura. Ajung $170$ km fără amplificator?

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Comparați numerele $36^{-0,25}$ și ${\left(\frac{1}{6}\right)}^{0,45}$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $0,5^{-0,8}\cdot 4^{-0,3}>1$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Ordonați crescător numerele $a=121^{0,3}$, $b={\left(\frac{1}{11}\right)}^{-0,5}$ și $c=1331^{0,15}$.

14. Pentru ce valori ale bazei $a>0$, $a\ne 1$, are loc inegalitatea $a^{\sqrt{3}}<a^{1,7}$?

15. Două culturi de paramecii pornesc de la câte $50$ de indivizi. Numărul lor după $t$ ore este $P_1(t)=50\cdot 4^{t/24}$ în primul vas și $P_2(t)=50\cdot 8^{t/48}$ în al doilea, pentru $t\in [0,72]$. Care cultură are mai mulți indivizi la $t=36$ ore? Răspunde întâi fără calculator, apoi estimează cele două numere.

16. Rezolvă inecuația $4^x<2^{x+3}$.

17. Care dintre numerele ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{0,2}$ și ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{0,25}$ este mai aproape de $1$? Justifică.

18. (Provocare.) Fie $0<a<1$. Ordonează crescător numerele $a^{-2}$, $a^0$, $a^{1,5}$ și $a^{-0,3}$ și spune care dintre ele sunt mai mari decât $1$.

Răspunsuri și explicații

1. a) Baza $2,4$ e supraunitară și $0,35<0,53$, deci $2,4^{0,35}<2,4^{0,53}$. b) Baza $0,6$ e subunitară și $-1,2>-2,1$, iar ordinea se răstoarnă: $0,6^{-1,2}<0,6^{-2,1}$.

2. Cum $0,81=0,9^2$, avem $0,81^{0,4}=0,9^{0,8}$. Baza $0,9$ e subunitară și $0,8>0,7$, deci ordinea se răstoarnă: $0,81^{0,4}<0,9^{0,7}$. La fel, $1,21=1,1^2$, deci $1,21^{0,4}=1,1^{0,8}$; baza $1,1$ e supraunitară și păstrează ordinea, așa că $1,21^{0,4}>1,1^{0,7}$. Exponenții sunt aceiași în ambele comparări; s-a schimbat doar poziția bazei față de $1$.

3. $16^{0,4}={\left(2^4\right)}^{0,4}=2^{1,6}$ și $0,5^{-1,9}={\left(2^{-1}\right)}^{-1,9}=2^{1,9}$. Baza $2$ păstrează ordinea și $1,6<1,9$, deci $16^{0,4}<0,5^{-1,9}$.

4. Adevărat. Exponentul mai mare, $0,3$, dă valoarea mai mare, deci funcția $x\mapsto a^x$ păstrează ordinea și baza este supraunitară. Pentru $a>1$, puterea cu exponent negativ $a^{-1}$ este mai mică decât $a^0=1$.

5. $125^{0,2}={\left(5^3\right)}^{0,2}=5^{0,6}$ și $0,04^{-0,35}={\left(5^{-2}\right)}^{-0,35}=5^{0,7}$. Baza $5$ e supraunitară și $0,6<0,7$, deci $125^{0,2}<0,04^{-0,35}$.

6. În baza $10$: $0,01^{0,7}=10^{-1,4}$, $1000^{-0,45}=10^{-1,35}$ și $0,1^{1,2}=10^{-1,2}$. Exponenții ordonați: $-1,5<-1,4<-1,35<-1,2$. Baza $10$ păstrează ordinea, deci $10^{-1,5}<0,01^{0,7}<1000^{-0,45}<0,1^{1,2}$.

7. a) $27=3^3$, iar baza $3$ păstrează ordinea: $x-2\le 3$, deci $x\le 5$ și $S=(-\infty ,5]$. b) $\frac{1}{2}=2^{-1}$ și $8=2^3$, deci inecuația devine $2^{-2x}>2^3$, adică $-2x>3$ și $x<-\frac{3}{2}$. Mulțimea soluțiilor este $S=\left(-\infty ,-\frac{3}{2}\right)$. Dacă lucrezi în baza $\frac{1}{2}$, obții $2x<-3$, adică același rezultat.

8. $2^{-45}={\left(2^5\right)}^{-9}=32^{-9}$ și $5^{-18}={\left(5^2\right)}^{-9}=25^{-9}$. Funcția $x\mapsto x^{-9}$ este strict descrescătoare pe $(0,+\infty )$, iar $32>25$, deci $32^{-9}<25^{-9}$, adică $2^{-45}<5^{-18}$.

9. $8^{0,7}={\left(2^3\right)}^{0,7}=2^{2,1}$. Cum $2<2,1<3$ și baza $2$ păstrează ordinea, $2^2<2^{2,1}<2^3$, adică $4<8^{0,7}<8$. Numeric, $8^{0,7}\approx 4,29$.

10. Condiția este $10^{-L/50}\ge 10^{-3}$. Baza $10$ păstrează ordinea, deci $-\frac{L}{50}\ge -3$, adică $L\le 150$. Cu $L\ge 0$, mulțimea soluțiilor este $S=[0,150]$: legătura poate avea cel mult $150$ km. Pentru $170$ km fracțiunea este $10^{-3,4}\approx 4,0\cdot 10^{-4}$, sub prag, deci e nevoie de un amplificator pe traseu. Valoarea de $50$ km pentru o scădere de zece ori corespunde fibrelor moderne, la lungimea de undă folosită în rețele.

11. În baza $6$: $36^{-0,25}=6^{-0,5}$ și ${\left(\frac{1}{6}\right)}^{0,45}=6^{-0,45}$. Baza $6$ e supraunitară și $-0,5<-0,45$, deci $36^{-0,25}<{\left(\frac{1}{6}\right)}^{0,45}$.

12. $0,5^{-0,8}=2^{0,8}$ și $4^{-0,3}=2^{-0,6}$, deci produsul este $2^{0,8-0,6}=2^{0,2}$. Cum $0,2>0$ și baza e supraunitară, $2^{0,2}>2^0=1$.

13. În baza $11$: $a={\left(11^2\right)}^{0,3}=11^{0,6}$, $b={\left(11^{-1}\right)}^{-0,5}=11^{0,5}$ și $c={\left(11^3\right)}^{0,15}=11^{0,45}$. Exponenții ordonați: $0,45<0,5<0,6$, iar baza $11$ păstrează ordinea, deci $c<b<a$. Baza cea mai mare, $1331$, a dat numărul cel mai mic.

14. Avem $\sqrt{3}\approx 1,732$, deci $\sqrt{3}>1,7$. Inegalitatea cere ca exponentul mai mare să dea valoarea mai mică, adică funcția să fie descrescătoare. Asta se întâmplă exact pentru $0<a<1$.

15. $P_1(36)=50\cdot 4^{1,5}=50\cdot 2^3$ și $P_2(36)=50\cdot 8^{0,75}=50\cdot 2^{2,25}$. Baza $2$ păstrează ordinea și $3>2,25$, deci primul vas are mai mulți paramecii. Numeric, $P_1(36)=400$, iar $P_2(36)\approx 238$ de indivizi.

16. $4^x=2^{2x}$, deci inecuația devine $2^{2x}<2^{x+3}$. Baza $2$ păstrează ordinea: $2x<x+3$, deci $x<3$ și $S=(-\infty ,3)$.

17. Ambele numere sunt subunitare, fiindcă baza $\frac{1}{3}$ e subunitară și exponenții sunt pozitivi. Baza răstoarnă ordinea, iar $0,2<0,25$, deci ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{0,2}>{\left(\frac{1}{3}\right)}^{0,25}$. Dintre două numere aflate sub $1$, cel mai mare este mai aproape de $1$, deci ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{0,2}$.

18. Exponenții ordonați crescător sunt $-2<-0,3<0<1,5$. Baza subunitară răstoarnă ordinea, deci $a^{1,5}<a^0<a^{-0,3}<a^{-2}$. Cum $a^0=1$, mai mari decât $1$ sunt $a^{-0,3}$ și $a^{-2}$, adică puterile cu exponent negativ.

De reținut

• Pentru $a>1$, $a^u<a^v$ exact când $u<v$; pentru $0<a<1$, $a^u<a^v$ exact când $u>v$. Decide numai poziția bazei față de $1$.
• Bazele înrudite se aduc la o bază comună cu ${\left(a^p\right)}^q=a^{pq}$; fracțiile zecimale subunitare dau exponenți negativi: $0,125=2^{-3}$.
• Poți lucra în baza $2$ sau în baza $\frac{1}{2}$: concluzia e aceeași, dacă aplici regula bazei alese o singură dată.
• Un șir de puteri se ordonează prin lista exponenților obținuți în baza comună; exponenți egali înseamnă numere egale.
• O inecuație $a^u<a^v$ se citește prin monotonie ca inecuație între exponenți, cu sensul dat de bază.

Greșeli frecvente

• Scrii „$0,125=2^3$”. O fracție subunitară este o putere a lui $2$ cu exponent negativ: $0,125=\frac{1}{8}=2^{-3}$. Verifică ridicând la putere: $2^3=8$, nu $0,125$.
• Lași un număr întreg nescris ca putere într-un șir. Când ordonezi $2^{1,7}$, $8$ și $4^{1,6}$, numărul $8$ trebuie scris și el ca $2^3$; altfel compari exponenții $1,7$ și $3,2$ cu numărul $8$ însuși și ordinea iese greșită. Orice număr din șir primește un exponent în baza comună.
• Răstorni sensul de două ori. Dacă ai trecut numerele din baza $\frac{1}{2}$ în baza $2$, semnul exponenților s-a schimbat deja; baza nouă este supraunitară și păstrează ordinea. Aplici regula bazei în care ai scris ultima dată numerele.
• Crezi că exponenți apropiați dau valori apropiate. $10^{-6}$ și $10^{-5}$ au exponenții la distanță de o unitate, dar al doilea număr este de zece ori mai mare. Pentru un semnal într-o fibră optică, diferența aceasta hotărăște dacă receptorul mai funcționează.
• Răspunzi la un prag cu o singură valoare. La întrebarea „ce grosime de plumb ajunge?” din Exemplul 5 nu scrii doar „$0,75$ mm”, ci $d\ge 0,75$ mm, adică mulțimea $[0,75,+\infty )$. Inecuația are o mulțime de soluții, nu o soluție.

Aplică acasă

1. Data viitoare când faci o radiografie dentară, întreabă ce grosime de plumb are șorțul de protecție, sau caut-o în descrierea unui asemenea șorț (de obicei $0,25$ sau $0,5$ mm). Cu modelul din Exemplul 5, scrie fracțiunea de radiație care trece ca putere a lui $\frac{1}{2}$ și compar-o, fără calculator, cu fracțiunea care ar trece printr-o placă de aluminiu de $1$ cm.
2. Într-o foaie de calcul, scrie în coloana A exponenții de la $-2$ la $2$, din jumătate în jumătate, în coloana B valorile lui $0,7^x$, iar în coloana C valorile lui $1,4^x$. Sortează separat coloanele B și C crescător, cu exponenții alături, și notează în două propoziții ce ordine au exponenții după fiecare sortare.
3. În aplicația de cameră a telefonului, compensarea expunerii se reglează în trepte: o treaptă în plus dublează lumina primită de senzor. Alege patru reglaje, de exemplu $-0,7$, $+0,3$, $+1,3$ și $-1,7$, scrie cantitatea de lumină ca $2^{\text{treapta˘}}$ față de reglajul zero, ordonează-le și fă câte o fotografie pentru fiecare, ca să verifici ordinea cu ochiul.

Pentru părinți și profesori

Ce s-a citit pe grafic în clasa a IX-a devine aici o tehnică scrisă de comparare, sprijinită pe monotonia funcției exponențiale. Elevul trebuie să spună de fiecare dată trei lucruri: baza comună aleasă, poziția ei față de $1$ și sensul care rezultă. Cele mai multe erori apar la rescrierea fracțiilor zecimale ca puteri și la trecerea dintre baza $2$ și baza $\frac{1}{2}$, de aceea merită cerută verificarea fiecărei rescrieri prin ridicare la putere.

Întrebări bune de control: „De ce un exponent mai mare poate da un număr mai mic?”; „Ce se schimbă dacă scrii totul în baza $\frac{1}{2}$ în loc de baza $2$?”; „Ce înseamnă, pentru semnalul dintr-o fibră optică, diferența dintre $10^{-3}$ și $10^{-4}$?”. Contextele din radiologie, din telecomunicații și din biologie arată de ce compararea puterilor nu e doar un exercițiu: pragurile de siguranță și de funcționare se scriu ca puteri.

O activitate scurtă la clasă: fiecare grupă primește trei puteri cu baze din familia lui $2$ și le scrie de două ori, o dată în baza $2$ și o dată în baza $\frac{1}{2}$. Grupa ordonează numerele în ambele scrieri, cu regula potrivită fiecărei baze, și verifică dacă cele două ordini coincid. Când nu coincid, discuția despre rândul greșit scoate la iveală aproape toate confuziile de semn. Calculatorul rămâne instrumentul de control de la final, nu metoda.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: capitolul de funcții numește funcția exponențială, monotonia ei și ecuațiile exponențiale, iar compararea puterilor este aplicarea directă a monotoniei. Inecuațiile exponențiale nu sunt numite ca temă separată, de aceea exercițiile cu inecuații din lecție nu poartă niciun marcaj de examen. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014; printre temele ei de clasa a X-a se află proprietățile puterilor cu exponent rațional, irațional și real, funcția exponențială și, în nota capitolului de funcții, lectura grafică a monotoniei; de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)” de la exercițiile de comparare. Varianta-model publicată pentru 2026 nu cere nicio comparare de puteri: partea întâi a lucrării conține o ecuație cu logaritmi, iar funcția exponențială intervine abia în partea a treia, la analiza matematică. Enunțurile marcate în lecție sunt scrise pentru exercițiu, nu preluate din subiecte oficiale.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: compararea puterilor cu aceeași bază, mate-info (M1). Lecția următoare a traseului este ecuațiile exponențiale elementare la M2, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul M2 despre rata creșterii, compunere și inversare.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre compararea puterilor?

Varianta M2 nu mai demonstrează regula, ci o preia din monotonia studiată la funcția exponențială și o folosește imediat. Lucrează cu baze comune scrise ca fracții zecimale, cu trecerea între baza $2$ și baza $\frac{1}{2}$, cu ordonări de șiruri și cu praguri din radiologie și din telecomunicații. Aducerea radicalilor de ordine diferite la un exponent fracționar rămâne pentru supliment.

La ce subiect al bacalaureatului M2 pot apărea comparări de puteri?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține puterile cu exponent real și funcția exponențială la clasa a X-a, fără să le repartizeze pe subiecte. Varianta-model pentru 2026 nu are nicio cerință de comparare a puterilor; exponențiala apare acolo doar la Subiectul al III-lea. Pentru MAT_P2 din 2030, tema este în domeniul „Algebră”.

Trebuie să aleg întotdeauna baza cea mai mică, de exemplu 2 în loc de 4?

Nu. Orice bază comună este corectă, dacă toate numerele se pot scrie în ea. Baza cea mai mică dă de obicei exponenți mai simpli, dar pentru $16^{0,45}$ și $4^{0,8}$ poți lucra la fel de bine în baza $4$. Contează să aplici regula potrivită bazei alese și să nu o schimbi pe parcurs.

De ce la M2 lucrăm doar cu inecuații atât de simple?

Programa de științe cere la clasa a X-a ecuațiile exponențiale și monotonia, nu și inecuațiile ca temă separată. De aceea lecția folosește inecuațiile doar ca citire a monotoniei, când o problemă din științe cere un prag. Inecuațiile care cer substituții sau discuții după parametri sunt materie de mate-info.

Pot folosi calculatorul în loc de monotonie?

Pentru control, da, și e o obișnuință bună în laborator. Justificarea cerută într-o lucrare este însă raționamentul prin monotonie, iar el rămâne valabil și când numerele sunt foarte apropiate sau foarte mari. Calculatorul rotunjește; două puteri apropiate pot apărea egale pe ecran, deși una este strict mai mare.

De ce la exponenți negativi compar exponenții cu tot cu semn?

Pentru că regula se referă la ordinea numerelor reale, nu la mărimea lor fără semn. Între $-1,9$ și $-1,2$, mai mare este $-1,2$, deși $1,9$ pare „mai mult”. Dacă ai compara valorile absolute, ai inversa ordinea exact la exponenții negativi și ai greși sensul. Scrie exponenții pe o axă și citește ordinea de la stânga la dreapta.